Tong hop phuong phap giai PT vo ty

Vấn đề tiếp theo chính là ở việc kheo léo biến đổi phần còn lại để làm biến mất hệ số tự do , việc gải quyết t theo x được thực hiện dễ dàng hơn.. ví dụ 13 :..[r]

GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

1.Phương pháp đặt ẩn phụ:

Ví dụ: Giải phương trình :

Giải:

với điều kiện Tìm sau đó suy ra (chú ý đối chiếu điều kiện nghiệm đúng)

2.Phương pháp đưa về hệ phương trình:

Thường được dùng để giải phương trình vô tỷ có dạng:

Ví dụ: Giải phương trình :

Đặt:

với điều kiện

Khi đó ta có hệ:

Giải hệ tìm suy ra

3.Phương pháp bất đẳng thức:

Ví dụ: Giải phương trình:

Giải:

Theo BĐT Côsi ta có:

Do đó:

4.Phương pháp lượng giác:

Ví dụ: Giải phương trình:

Giải:

Điều kiện: Đặt:

và biến đổi đơn giản ta có:

suy ra và từ đó tìm được

5.Phương pháp nhân liên hợp:

Ví dụ: Giải phương trình:

Giải:

Phương trình tương đương với:

I.

Phương pháp lượng giác hoá

1 Nếu th“ ta có thể đặt

hoặc

Ví dụ 1 :

cho trở thành :

Kết hợp với điều kiện của t suy ra :

Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm :

Ví dụ 2 : Lời giải : ĐK : Khi đó VP > 0 Nếu

) ( ) = 0

Vậy nghiệm của phương tr“nh là

Ví dụ 3 : Lời giải : ĐK : Đặt

phương tr“nh đã cho trở thành :

Vậy phương tr“nh có nghiệm duy nhất

Ví dụ 4 (TC THTT):

HD :

Nếu : phương tr“nh không xác định

Chú ý với ta có :

vậy để giải phương tr“nh (1) ta chỉ cần xét với

Đặt

khi đó phương tr“nh đã cho trở thành :

2 Nếu th“ ta có thể đặt :

Ví dụ 5 :

Lời giải : ĐK :

Đặt

Phương tr“nh đã cho trở thành :

kết hợp với điều kiện của t suy ra Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm :

TQ :

Ví dụ 6 : Lời giải : ĐK : Đặt

phương tr“nh đã cho trở thành :

(thỏa mãn)

TQ : với a,b là các hằng số cho trước

tr“nh lượng giác đơn giản hơn :

Lời giải :

Do không là nghiệm của phương tr“nh nên :

(1) (2)

Khi đó (2) trở thành :

Suy ra (1) có 3 nghiệm :

Ví dụ 8 :

Lời giải : ĐK :

Đặt

phương tr“nh đã cho trở thành :

Kết hợp với điều kiện suy ra : Vậy phương tr“nh có 1 nghiệm :

4 Mặc định điều kiện : sau khi t“m được số nghiệm chính là số nghiệm tối đa của phương tr“nh và kết luận :

Ví dụ 9 : Lời giải : phương tr“nh đã cho tương đương với :

(1)

(1) trở thành :

:Leftrightarrow Suy ra (1) có tập nghiệm :

Vậy nghiệm của phương tr“nh đã cho có tập nghiệm chính là S

II Phương pháp dùng ẩn phụ không triệt để

* Nội dung phương pháp :

Đưa phương trình đã cho về phương tr“nh bậc hai với ẩn là ẩn phụ

hay là ẩn của phương tr“nh đã cho :

Đưa phương tr“nh về dạng sau :

khi đó :

Đặt Phương trình viết thành :

Đến đây chúng ta giải t theo x Cuối cùng là giải quyết phương

tr“nh sau khi đã đơn giản hóa và kết luận :

lời giải : ĐK :

Đặt

Lúc đó :

(1)

Phương tr“nh trở thành : Giải phương tr“nh trên với ẩn t , ta t“m được :

Do nên không thỏa điều kiện

Với th“ :

( thỏa mãn điều kiên

Ví dụ 11 :

Lời giải : ĐK :

phương trình đã cho trở thành :

* Với , ta có :

* Với , ta có :

Do không là nghiệm của phương tr“nh nên :

Bình phương hai vế và rút gọn ta được : (thỏa mãn)

TQ : lúc đó chúng ta đặt

và đưa về hệ đối xứng loại haiVí dụ

12 : Lời giải :

Phương tr“nh đã cho viết thành :

Từ đó ta tìm được hoặc Giải ra được :

* Nhận xét : Cái khéo léo trong việc đặt ẩn phụ đã được thể hiện

rõ trong ở phương pháp này và cụ thể là ở ví dụ trên Ở bài trên nếu chỉ dừng lại với việc chọn ẩn phụ th“ không dễ để giải quyết trọn vẹn nó Vấn đề tiếp theo chính là ở việc kheo léo biến đổi phần còn lại để làm biến mất hệ số tự do , việc gải quyết t theo x được thực hiện dễ dàng hơn

ví dụ 13 :

Lời giải : ĐK :

phương trình đã cho trở thành :

Giải ra : hoặc (loại)

* ta có :

Vậy là các nghiệm của phương tr“nh đã cho

ví dụ 14 :

Lời giải : ĐK :

Đặt

Phương tr“nh đã cho trở thành :

Phương tr“nh trên đã khá đơn giản !!!!!!! III Phương pháp dùng

ẩn phụ đưa về dạng tích

1 Dùng một ẩn phụ

Lời giải : ĐK :

phương tr“nh (1) trở thành :

(2) giải đựoc bằng cách áp dụng phương pháp I :

TQ : Với a là hắng số cho trước

Lời giải : ĐK : Viết lại (1) dưới dạng :

(2)

Khi đó (2) trở thành :

Do vậy hoặc

* Ta có :

* Ta có :

Vậy phương tr“nh đã cho có 2 nghiệm :

Ví dụ 17 : Lời giải : ĐK : (1)

phương tr“nh đã cho trở thành :

(3)

Đối chiếu với hai điều kiện (1) và (2) thay vào và giải ra :

Ví dụ 18 :

Lời giải : ĐK : (1)

Đặt

phương tr“nh đã cho trở thành :

t^2 + t - 1003 < 0

Do đó phương tr“nh tương đương với :

Do vậy (thỏa (1)) 2 Dùng 2 ẩn phụ

Ví dụ 9 :

Lời giải :

Đặt

*

*

Lời giải : ĐK : hoặc (*)

(1) trở thành :

T“m x ta giải :

(Thỏa (*)) Vậy (1) có 2 nghiệm :

Ví dụ 21 : Lời giải : ĐK : Chuyển vế r?#8220;i b“nh phương hai vế phương tr“nh mới :

(2)

Th“ : (2)

* ta có :

* ta có : Giải ra ta được 2 nghiệm thỏa mãn :

Ví dụ 22 : lời giải : ĐK : Đặt :

Từ phương tr“nh ta được :

từ đó ta giải ra được các nghiệm :

3 Dùng 3 ẩn phụ

Ví dụ 23 :

Lời giải :

(1)

Từ (1) và (2) ta có :

Nên :

:Leftrightarrow

từ đó dễ dàng t“m ra 4 nghiệm của phương

tr“nh :

Lời giải :

Đặt

Suy ra :

khi đó từ (1) ta có :

:Leftrightarrow

Giải như ví dụ 23 suy ra được 3 nghiệm của

phương tr“nh :

III Phương pháp dùng ẩn phụ đưa về hệ

1 Dùng ẩn phụ đưa về hệ đơn giản giải bằng phép thế hoặc rút

gọn theo vế

a Dùng một ẩn phụ

Ví dụ 25 : Lời giải :ĐK :

TQ :

b Dùng 2 ẩn phụ

* ND :

* Cách giải : Đặt :

Như vậy ta có hệ :

Lời giải : ĐK : Đặt

Khi đó :

(1)

:Leftrightarrow

hoặc Đến đây chỉ việc thay vào để t“m nghiệm của phương tr“nh ban

đầu

Ví dụ 27 :

Lời giải : ĐK :

Đặt :

Với :

(*) Như vậy ta được hệ :

Giải (1) :

(1)

Vậy thỏa (*) chính là 2 nghiệm của phương tr“nh đã cho

Ví dụ 28 : Lời giải : Đặt :

(2) (1)

2 Dùng ẩn phụ đưa về hệ đối xứng Dạng 1 :

CG : Đặt ta có hệ :

Ví dụ 29 : Lời giải : Đặt : ta có :

(1) :Leftrightarrow

Vậy tập nghiệm của phương tr“nh là :

Dạng 2 :

CG : ĐẶt

PT :Leftrightarrow

Ví dụ 30 :

Lời giải : ĐK :

PT

Lấy (3) trừ (2) ta được :

(1)

(Do ) Dạng 3 : Chọn ẩn phụ từ việc làm ngược :

Ví dụ 31 :

Lời giải : ĐK :

Chọn a, b để hệ :

là hệ đối xứng

Giải hệ trên ta được : Đối chiếu với điều kiện của hệ (*) ta được nghiệm duy nhất của phương tr“nh là :

Dạng 4 : Nội dung phương pháp : Cho phương tr“nh : Với các hệ số thỏa mãn :

Cách giải : Đặt

Ví dụ 32 : Lời giải : ĐK :

PT

- Kiểm tra : Đặt :

(1)

Mặt khác : (2)

Từ (1) và (2) ta có hệ :

Đây là hệ đỗi xứng loại II đã biết cách giải

Ví dụ 33 :

Lời giải :

PT

- Kiểm tra :

Đặt :

(1)

Từ (1) và (2) ta có hệ :

Ví dụ 34 :

Lời giải :

PT

- Kiểm tra :

Đặt :

(1)

Từ (1) và (2) ta có hệ :

Giải hệ trên đã thật đơn giản !!!!!!!!! Sử dụng phương pháp biến

đổi tương đương

Dạng 1: Phương trình

Dạng 2: phương trình:

( g(x,m) phải có nghĩa)

Dạng 3: Phương trình:

(f(x,m) và g(x,m) phải có nghĩa)

Ví dụ minh hoạ : VD1: tìm m để pt sau có nghiệm:

LG:

Phương trình đã cho được biến đổi tương đương đưa về dạng:

Do đó điều kiện để phương trình đã cho có nghiệm là:

(ST) Ví dụ Đặt ẩn phụ - dạng 1

VD1: GPT:

do đó điều kiện cho ẩn phụlà

Khi đó phương trình có dạng :

Vậy pt có 2 nghiệm x=1, x=2

Nx: không là nghiệm của pt, chia cả 2 vế cho được

(2) Đặt } , khi đó

t=-1/2

Bây giờ xét 2 trường hợp:

TH1: Nếu n chẵn Khi đó ĐK của pt phải không âm,do đó 2 nghiệm trên

bị loại Vậy pt vô nghiệm.

TH2: Nếu n lẻ

Với

Vậy

Bài tập tương tự: Giải các pt sau:

b>Giải và biện luận pt :

(ST) Ví dụ Đặt ẩn phụ - dạng 2:

Giải: Đk:

đặt : Khi đó pt được chuyển thành hệ:

giải ra được hay

Bài tập tương tự:

Giải các pt sau:

b> Giải và biện luận :

ví dụ:

- Sử dụng BĐT,ví dụ:

Vậy Đk cho ẩn phụ là : -Sử dụng đạo hàm [/b]

Ví dụ

VD1: GPT:

do đó điều kiện cho ẩn phụlà Khi đó phương trình có dạng :

Vậy pt có 2 nghiệm x=1, x=2

Bài tập tương tự: Giải các pt sau:

b>Giải và biện luận pt :

(ST)