De thi thu Toan THPT Nguyen Xuan Nguyen

Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.[r]

Trang 1

TRƯỜNG THPT

NGUYỄN XUÂN NGUYÊN

ĐỀ CHÍNH THỨC

ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CÁC MÔN THI ĐH -CĐ

NĂM HỌC 2011 -2012 Môn: TOÁN, khối A, B

Thời gian làm bài: 180 phút, không kể thời gian phát đề

I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7 điểm)

Câu I (2 điểm)

Cho hàm số y = x4−2(m −1)x2+m− 2 (1)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1) khi m=2

2 Tìm m để hàm số (1) đồng biến trên khoảng 1;

¿ 3¿

Câu II (2 điểm)

1 Giải phương trình: cos 2 x+5=2(2 −cos x )(sin x − cos x)

2 Giải hệ phương trình:

¿

x2−3 x ( y −1)+ y2+y (x −3)=4

x − xy −2 y=1

¿{

¿

(x , y ∈ R)

Câu III (2 điểm)

1 Tính tích phân: I = ∫

1

e

x+(x − 2)ln x

x (1+ln x) dx

2 Cho ba số thực dương a , b , c thay đổi thỏa mãn điều kiện abc = 1 Chứng minh rằng:

1

+ 1c  a

1

2+c

Câu IV (1 điểm) Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O , hai mặt phẳng ( SAC ) và ( SBD ) cùng vuông góc với mặt phẳng ( ABCD ) Biết AC ¿ 2 3a,

BD ¿

2 a , khoảng cách từ điểm O đến mặt phẳng ( SAB ) bằng

3 4

a

Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a

II PHẦN RIÊNG (3 điểm)

Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)

A Theo chương trình Chuẩn

Câu V.a (3 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho tam giác ABC có đỉnh A(3; -4) Phương trình đường trung trực cạnh BC, đường trung tuyến xuất phát từ C lần lượt là x+ y − 1=0 và

2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho đường tròn ( C ) có phương trình

x2+y2+2 x − 4 y −8=0 và đường thẳng ( Δ ) có phương trình : 2 x −3 y −1=0 Chứng minh rằng ( Δ ) luôn cắt ( C ) tại hai điểm phân biệt A, B Tìm toạ độ điểm M trên đường tròn (

C ) sao cho diện tích tam giác ABM lớn nhất

3 Giải phương trình: (3x −2)log3x − 1

2

3 9

x+1

2

B Theo chương trình Nâng cao

Câu V.b (3 điểm)

1 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy , cho điểm M (0; 2) và hai đường thẳng d1 , d2 có

phương trình lần lượt là 3 x+ y +2=0 và x − 3 y + 4=0 Gọi A là giao điểm của d1 và

d2 Viết phương trình đường thẳng đi qua M, cắt 2 đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại B ,

C ( B và C khác A ) sao cho 1

1

AC2 đạt giá trị nhỏ nhất.

2 Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn ( C): x2+y2−2 x+ 4 y +2=0 Viết phương trình đường tròn ( C ') tâm M (5, 1) biết ( C ') cắt ( C ) tại hai điểm A , B sao cho

Trang 2

3 Tính giá trị biểu thức A = 20C20110

21C20111

22C20112

23C20113

4 +¿ - 2

2011

C20112011 2012

Hết

-Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.

Họ và tên thí sinh số báo danh

HƯỚNG DẪN CHẤM THI MÔN TOÁN KHỐI A, B

KỲ THI KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG CÁC MÔN THI ĐH - CĐ NĂM HỌC 2011 - 2012

I

(2đ)

1 (1 điểm)

Với m = 2, y=x4−2 x2

1 TXĐ: D = R

2 Sự biến thiên:

a) Chiều biến thiên:

y '=4 x3− 4 x ; y '=0 ⇔ 4 x3

− 4 x=0 ⇔ x=0 , x=± 1

Hàm số đồng biến trên các khoảng (-1; 0) và (1; +∞ )

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (- ∞ ; -1) và (0; 1)

-b) Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x = 0; ycđ = y(0) = 0

Hàm số đạt cực tiểu tại x = ± 1; yct = y( ± 1) = -1

-c) Giới hạn tại vô cực:

Lim

x → ±∞(x4−2 x2)=¿ + ∞

d) Bảng biến thiên Bảng biến thiên

-3) Đồ thị:

0,25 đ

0,25đ

0,25 đ

2) 1 điểm

y' = 4 x3− 4(m−1)x

y' = 0 ⇔ 4 x3− 4(m−1)x = 0 ⇔ x[x2−(m−1)]=0

-TH1: Nếu m- 1 0 ⇔ m 1

Hàm số đồng biến trên khoảng (0; + ∞ )

Vậy m 1 thoả mãn ycbt

-TH 2: m - 1 > 0 ⇔ m> 1

y' = 0 ⇔ x = 0, x = ±√m −1

0,25 đ 0,25 đ

Trang 3

Hàm số đồng biến trên các khoảng (- √m−1 ; 0 ) và ( √m−1 ; + ∞ )

Để hàm số đồng biến trên khoảng (1; 3 ) thì √m−1 ≤ 1 ⇔ m 2

-Vậy hàm số đồng biến trên khoảng (1; 3 ) ⇔ m ¿

0,25 đ

II

(2 đ)

1 (1 đi ểm)

cos 2 x+5=2(2 −cos x )(sin x − cos x)

⇔ 2cos2x - 1 + 5 = 4sinx - 2sinxcosx - 4cosx + 2cos2x =0

-⇔ 2(sinx - cosx) - sinxcosx -2 = 0

Đặt t = sinx - cosx ( - √2≤ t ≤√2 )

⇒ sinxcosx = 1 −t

2 2

Phương trình trở thành t2 + 4t - 5 = 0

t = 1; t = -5 (loại)

-Với t = 1 ⇔ sinx - cosx = 1 ⇔ √2 sin (x − π

2

-⇔

x − π

π

4+k 2 π

¿

x − π

3 π

4 +k 2 π

¿

⇔

x= π

2+k 2 π

¿

x=π +k 2 π

¿

0,25 đ

2 (1 điểm)

x2 -3x(y-1) + y2 + y(x-3) = 0 ⇔ (x-y)2 + 3(x-y) - 4 = 0

-x − y =1

¿

x − y=− 4

¿

-* Với x- y = 1, ta có

¿

x − y=1

x − xy − 2 y=1

¿{

¿

⇔ x = 1; y = 0 và x= -1; y = -2

-* Với x - y = -4 ta có

¿

x − y =− 4

x − xy − 2 y=1

¿{

¿

(Hệ PT vô nghiệm)

Vậy hệ phương trình có 2 nghiệm (x; y) = (1; 0) và (x; y) = (-1; -2)

0,25 đ 0,25 đ

0,25 đ

III

(2 đ)

1 (1 điểm)

I = ∫

1

e

x (1+ln x)−2 ln x

x (1+ln x ) dx=∫

1

e

1

e

ln x

x (1+ln x)dx

-0,25 đ

Trang 4

Ta có

∫

1

e

dx=e −1

-Tính J = ∫

1

e

ln x

x (1+ln x)dx

Đặt t = 1 + lnx

J = ∫

1

2

t −1

t dt =

t

(¿)dt

∫

1

2

¿ = (t - ln |t| ) ¿12 = 1 - ln2

-Vậy I = e - 1 - 2(1- ln2) = e - 3 + 2ln2

0,25 đ

2 (1 điểm)

Do vai trò của a, b, c bình đẳng nên ta giả thiết 0 < a b c

Khi đó 0 < 1 + a + b 1 + a + c 1 + b + c

và 0 < 2 + a 2 + b 2 + c

Ta có

1

= b − 1

c −1

a −1

(2+c )(1+a+c )

b −1

c −1

a −1

a+b+c −3

(2+c )(1+b+c )

33

√abc −3

(2+c )(1+b+c )=0

Vậy

1

+ 1c  a

1

2+c

IV

(1 đ)

Từ giả thiết hai mặt phẳng (SAC) và (SBD) cùng vuông góc với mặt phẳng (ABCD) nên

giao tuyến SO vuông góc với mặt phẳng (ABCD).

VSABCD = 1

Diện tích đáy SABCD=1

2

-.Ta có tam giác ABO vuông tại O và AO = a 3; BO = a , do đó ABD=600

⇒ tam giác ABD đều

Do tam giác ABD đều nên với H là trung điểm của AB, K là trung điểm của HB ta có

DH AB và DH = a 3; OK // DH và

a

OK  DH 

 OK  AB  AB  (SOK)

Gọi I là hình chiếu của O lên SK ta có OI  SK; AB  OI  OI  (SAB) , hay OI là

khoảng cách từ O đến mặt phẳng (SAB)

Tam giác SOK vuông tại O, OI là đường cao  2 2 2

2

a SO

OI OK SO  

Đường cao của hình chóp 2

a

SO 

Thể tích khối chóp S.ABCD:

0,25 đ

0,5 đ

S

Trang 5

3

S ABC ABC

a

0,25 đ

Va

(3 đ)

1 (1 điểm)

Gọi C = (c; 3c - 9) và M là trung điểm của BC ⇒ M(m; 1-m)

Suy ra: B= (2m-c; 11 -2m- 3c)

-Gọi I là trung điểm của AB, ta cú I( 2 m− c +32 ; 7 − 2 m−3 c2 )

Vỡ I nằm trờn đường thẳng 3x - y - 9 = 0 nên 3(2 m− c+3

7 −2 m− 3 c

2 )− 9=0

⇒ m = 2 ⇒ M(2; -1)

Phơng trình BC: x – y - 3=0

-Tọa độ của C là nghiệm của hệ:

¿

3 x − y − 9=0

x − y − 3=0

¿{

¿

⇔

¿

x =3 y=0

¿{

¿ Tọa độ của C = (3; 0), toạ độ B(1; -2)

0,25 đ 0,25 đ

0,25 đ

2 (1 điểm)

Đường trũn (C) cú tõm I(-1; 2), bỏn kớnh R = √13

Khoảng cỏch từ I đến đường thẳng ( Δ ) là d(I , Δ)= 9

√13 < R

Vậy đường thẳng ( Δ ) cắt (C) tại hai điểm A, B phõn biệt

-Gọi M là điểm nằm trờn (C), ta cú S Δ ABM=1

2AB d(M , Δ)

Trong đú AB khụng đổi nờn S Δ ABM lớn nhất khi d(M , Δ) lớn nhất.

-Gọi d là đường thẳng đi qua tõm I và vuụng gúc với ( Δ )

PT đường thẳng d là 3x + 2y - 1 = 0

Gọi P, Q là giao điểm của đường thẳng d vời đường trũn (C) Toạ độ P, Q là nghiệm

của hệ phương trỡnh:

¿

x2

3 x+2 y −1=0

¿{

¿

⇔

x=1 , y=−1

¿

x=−3 , y=5

¿

⇒ P(1; -1); Q(-3; 5)

Ta cú d(P , Δ)= 4

√13 ; d(Q , Δ)=22

-Ta thấy d(M , Δ) lớn nhất khi và chỉ khi M trựng với Q Vậy tọa độ điểm M (-3; 5)

0,25 đ

3 (1 điểm)

Điều kiện: x > 1

(3x −2)log3x − 1

2

x+1

2 ⇔ (3x −2)[log3(x − 1)− log33]=4 −2

x+1

-⇔ (3x −2)[log3(x − 1)−1]=4 − 2 3 x ⇔ (3x −2)log3(x − 1)+3 x − 2=0

⇔ (3x −2)[log3(x − 1)+1]=0

0,25 đ

A

H C

O

I D

3

a

Trang 6

-

⇔

¿

log3(x −1)=−1

¿

⇔

x=log32

¿

x=4

3

¿

Vậy PT có nghiệm x = 43

0,5 đ

Vb

(3 đ)

1 (1 điểm)

Toạ độ điểm A(-1; 1)

-Ta thấy 2 đường thẳng d1 và d2 vuông góc với nhau

Gọi Δ là đường thẳng đi qua M, cắt 2 đường thẳng d1 và d2 lần lượt tại B ,

C ( B và C khác A )

Gọi H là hình chiếu vuông góc của A trên Δ Ta có:

1

AM2 (không đổi)

1

AC2 đạt giá trị nhỏ nhất bằng

1

AM2 khi H M, hay Δ là đường

thẳng đi qua M và vuông góc với AM

-PT đường thẳng Δ : x + y - 2 = 0

0,25 đ

2 (1 đi ểm)

Phương trình đường tròn (C): x2 + y2 – 2x + 4y + 2 = 0 có tâm I(1, –2), bk R=√3

Đường tròn (C') tâm M cắt đường tròn (C) tại A, B nên AB  IM tại trung điểm H của

đoạn AB

-Ta có AH=BH=AB

3 2

MI 5 1 21 2 2 5

IH ¿√IA2− AH2=√R2− AH2=3

2

-Trường hợp 1: MH = MI – IH = √MH2+AH2

Khi đó bán kính của đường tròn (C’) là R’ = √MH2+AH2 = 13

Phương trình đường tròn (C’) là: y − 1¿

2

=13

x − 5¿2+¿

¿

-Trường hợp 2 : MH = MI + IH = 5+3

13 2

Khi đó bán kính của đường tròn (C’) là R’ = √MH2+AH2 = 43

Phương trình đường tròn (C’) là: y − 1¿

2

=43

x −5¿2+¿

¿

Vậy có 2 đường tròn (C') thỏa mãn ycbt là: (x – 5)2 + (y – 1)2 = 13

và (x – 5)2 + (y – 1)2 = 43

0,25 đ

3 (1 điểm)

(loại)

Trang 7

Ta có

¿

−1¿k2k C2011k

k +1 =¿

¿

=

¿

=

-−2¿k C2012k +1

1

=

-−2¿k +1 C2012 k+1

1

-Với k = 0, 1, 2, …… , 2011 ta có:

A = - 1

−2¿2012C20122012

−2¿2C20122 + .+¿

− 2¿1C2021

¿

=

= - 40241

− 2¿0C20120

− 2¿2012C20122012−¿

−2¿2C20122 + .+¿

− 2¿1C2021

−2¿0C20120

¿

=

= - 40241

−2¿0C20120

−2+1¿2012−¿

¿

= - 40241 [1−1] = 0

Vậy A = 0

0,5 đ

Mời các bạn ghé thăm diễn đàn ôn thi và trao đổi “Cà chua 95” nơi chúng mình có thể trao đổi với nhau những kinh nghiệm học tập, cùng bàn luận những bài tập còn vướng mắc.

http://luyenthidaihoc.name.vn/forum

Cảm ơn bạn đã lắng nghe mình nói…^^~

Định dạng
Số trang	7
Dung lượng	56,06 KB