Bài tập: Giải các phương trình vi phân tuyến tính cấp 2 với hệ số hằng. 1.[r]
Trang 1BÀI TẬP GIẢI TÍCH (Dành cho SV Kiến trúc)
CHƯƠNG 2: HÀM SỐ
Bài 1: Tính giới hạn
1 lim
x→+∞
√
x2+ 2x + 5 − x
2 lim
x→−∞
√
x2− 5x − 1 −√x2+ 3x + 3
3 lim
x→1
3
1 −√
x − 2
1 −√3
x
4 lim
x→0
1
x
1
x − 1 +
1
x + 1
5 lim
x→+∞
p
x +√ x
√
x + 1
6 lim
x→1(1 + sin πx)cot πx
7 lim
x→∞x2
1 − cos 1
x
8 lim
x→0
√
1 + 2x2− cos x
x2
9 lim
x→∞
3x2+ 1
3x2+ 5
2x2+x
10 lim
x→0
√
5 −√
4 + cos x
x2
11 lim
x→0 +
x
p
cos√ x
12 lim
x→2
2x− x2
x − 2
13 lim
x→0
ex 3
− 1 + x2
x tan x
14 lim
x→0
4 arctan (1 + x) − π
x
15 lim
x→0
arctan x − x
x3
16 lim
x→+∞
ln3x
x
17 lim
x→0
sin x
x
1
x2
18 lim
x→+∞x (π − 2 arctan x)
19 lim
x→0
x − sin x
√
1 + 2x − ex
20 lim
x→0 +x2 ln x
21 lim
x→+∞
x2020
ex
22 lim
x→0
1
x2 − 1 sin2x
Bài 2: Xét tính liên tục
1 f (x) =
2x
e2x− e−2x với x 6= 0
2 f (x) =
arctan 1
|x| với x 6= 0
3 f (x) =
3
√
1 + 2x − 1
x với x > 0
a + x2 với x ≤ 0
4 f (x) =
1 − cos√
x
x với x > 0
5 f (x) =
1 − esin x
x − π với x > π
a + x2 với x ≤ π Bài 3: Tính đạo hàm
1 Tính đạo hàm của hàm số sau:
a f (x) = (x − 1)2(x + 1)
b f (x) = |π2− x2| sin2x
c f (x) = arctan x với x ≥ 0
x2+ x với x < 0
d f (x) = x2− 2x với x < 2
2x − 4 với x ≥ 2
2 Tính y0(0) bằng định nghĩa, biết:
y = f (x) = x (x − 1) (x − 2019) (x − 2020)
Trang 23 Tính f+(0) , f−(0) của hàm số
f (x) =
1 + e1x
với x 6= 0
4 Tính y0(x), y00(x) của hàm số cho dưới dạng
tham số
a x = etcos t
y = etsin t
b x = a (t − sin t)
y = a (1 − cos t) ; a = const
c x = t + et
y = t2+ 2t3 Bài 4: Xét tính khả vi
1 Xét tính khả vi của hàm số
a f (x) = (x + 2) |x − 1|
b f (x) =
√
x − 1
√
x − 1 nếu x > 1 sin (x − 1) nếu x ≤ 1
c f (x) = 1 − cos x nếu x ≤ 0
ln (x + 1) − x nếu x > 0
d f (x) =
( x − 1
4 (x + 1)
2
nếu |x| ≥ 1
|x| − 1 nếu x < 1
2 Xét tính khả vi tại x = 1 của hàm số
f (x) =
( x2.e1−x 2
nếu x ≤ 1 1
x nếu x > 1
3 Xét tính khả vi tại x = 0 của hàm số
f (x) = x2 nếu x ≤ 0
ln (1 + x) − x nếu x > 0
4 Tìm a, b để hàm số sau khả vi trên R
a f (x) = x2− 3x + 4 nếu x < 2
ax + b nếu x ≥ 2
b f (x) = 1 − x2 nếu x ≥ 1
ax + b nếu x < 1 Bài 5: Đạo hàm cấp cao
1 Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau
a f (x) = x − 1
x2+ 5x + 6
b f (x) = ln√3
1 − 4x
c f (x) = cos4x + sin4x
d f (x) = e2x(x2+ 3x + 5)
e f (x) = x3sin x
2 Cho hàm số f (x) = ln (1 − 3x), tính f(n)(0)
3 Cho hàm số f (x) = x3sin 3x, tính f(100)(0)
4 Cho y = x
4
2 − x, tính d
4y
CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN Bài 1: Tích phân bất định 1
Z x + x3
1 + x2 − x4
2
x2+ x − 2 3
Z x2+ 1 (x + 1)2(x − 1) 4
Z
2x
x4+ 3x2+ 2 5
Z
x3+ 1
x3− 5x2+ 6x 6
Z x
x8− 1 7
Z x
x3− 1 8
Z
x
x3− 3x + 2 9
Z
x4
x4+ 5x2+ 4 10
Z (x + 1) dx
√
x2+ x + 1 11
Z (2x − 1) dx
√
x2+ 3x + 3 12
√
x2+ 2x − 5 13
Z x arctan x
√
1 + x2 dx
Trang 3Z x ln 1 +√
1 + x2
√
1 + x2 dx 15
Z
dx
x√
1 − x3
16
Z
dx
e2x+ ex− 2
17
Z
arctan ex
ex dx
18
Z
dx
(1 + ex)2
19
Z x.earctan xdx
(1 + x2)32
20
x√3
1 + x
21
Z
dx
√
x −√3
x 22
Z
sin4x · cos5xdx
23
Z
sin4x
cos6xdx
24
Z sin x
sin3x + cos3xdx
25
Z
sin x
sin4x + cos4xdx
26
5 − 4 sin x + 3 cos x
27
Z
dx
sin2x cos x
28
sin x.cos3x
Bài 2: Tích phân xác định
1
ln 2
Z
0
dx
√
1 + ex
2
1
Z
0
q
(1 − x2)3dx
3
a
Z
0
dx
x +√
a2− x2
4
3
Z
0
dx (3 + x2)52
5
2
Z
√ 2
dx
x5√
x2− 1
6
1
Z
0
√
ex
√
ex+ e−xdx
7
5π 4
Z
π
sin 2x sin4x + cos4xdx
CHƯƠNG 4: CHUỖI Bài 1: Xét sự hội tụ của chuỗi số 1
+∞
X
n=1
ln n
n3+ n2+ 2
2
+∞
X
n=1
n · ln n
n2− 1
3
+∞
X
n=1
nn (n + 1)n· 2n−1
4
+∞
X
n=1
1
n · √n
n
5
+∞
X
n=1
3.5.7 (2n + 1) 2.5.8 (3n − 1)
6
+∞
X
n=1
3n.n!
nn
7
+∞
X
n=1
1
2n
1 + 1
n + 1
n 2
8
+∞
X
n=1
ln (n5+ n)
√
n5+ n
9
+∞
X
n=1
tan 1 3n − sin 1
3n
Trang 4
+∞
X
n=1
(n + 1)n
nn 2
.3n
11
+∞
X
n=1
ln n
√
2n5+ 3n
12
+∞
X
n=1
(−1)n n
n2 − 1
13
+∞
X
n=1
(−1)n 3n + 2
2n + 7
n
14
+∞
X
n=1
(−1)n
n
n + 1
n
15
+∞
X
n=1
(−1)n 1 + n
n2
16
+∞
X
n=1
(−1)n−12
n
n!
17
+∞
X
n=1
(−1)n
n ln (n2+ 1)
18
+∞
X
n=1
(−1)n
ln (n + 1)
19
+∞
X
n=1
(−1)n√
n + 1 −√
n − 1
Bài 2: Tìm miền hội tụ của chuỗi hàm
1
+∞
X
n=1
1
n.2n
x
x + 1
n
2
+∞
X
n=1
(−1)nn
2.enx
3n
3
+∞
X
n=1
n
n + 1
x 2x + 1
n
4
+∞
X
n=1
2n.sinnx
(n + 1)2
5
+∞
X
n=1
2n.sinnx
n
6
+∞
X
n=1
1
2n
2x + 1
x + 2
n
7
+∞
X
n=1
(−1)n 2n + 1
1 − x
1 + x
n
8
+∞
X
n=1
(−1)n n(2x − 3)n
9
+∞
X
n=1
(x − 1)2n n.4n
10
+∞
X
n=1
(−1)n.x2n
n (2n − 1)
11
+∞
X
n=1
xn tan 1
n
12
+∞
X
n=1
(−1)nn + 1
n2 xn
13
+∞
X
n=1
(x + 1)n
2n(2n + 1)
14
+∞
X
n=1
(−1)n(x + 2)
n
√
n2+ 1
15
+∞
X
n=1
(−1)n x
n
n (2n + 1)
CHƯƠNG 5:PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN
A Phương trình vi phân cấp 1 Bài 1: Giải các phương trình vi phân có biến phân ly
1 xp1 − y2dx + y√
1 − x2dy = 0
2 y0 = x2+ xy + y
2
4 − 1
3 y0 = (x + y + 1)2
4 y0 = cos (x − y − 1) Bài 2: Giải các phương trình vi phân tuyến tính cấp 1
1 y0− 2
x + 1y = (x + 1)
3
2 y0+ y = 1
ex(1 − x) ; y (2) = 1
Trang 53 y + 2xy = xe−x
4 (x2+ y) dx = xdy
5 (y + ln x) dx − xdy = 0
6 y0cos y + sin y = x
Bài 3: Giải các phương trình Becnoulli
1 y0− 2xy = 3x3y2
2 2y0 − x
y =
xy
x2− 1
3 y0+ 2y = y2ex
4 xy0+ y = y2ln x ; y (1) = 1
5 xy0− 2x cos x√y = −2y
6 ydx − (x2y2+ x) dy = 0
B Phương trình vi phân cấp 2
Bài tập: Giải các phương trình vi phân tuyến
tính cấp 2 với hệ số hằng
1 y − 2y + y = 2e2x
2 y00− 6y0+ 9y = cos 3x
3 2y00+ 3y0 + y = xe−x
4 y00+ 2y0 + 2y = x2− 4x + 3
5 y00− 4y0 = 4x2+ 3x + 2 ; y (0) = 0 ; y0(2) = 0
6 y00+ 4y0 + 4y = 3e−2x ; y (2) = y0(2) = 0
7 4y00− 4y0 + y = xex2
8 y00+ 2y0 + 2y = ex sin x
9 y00+ 9y = cos 3x + ex
10 y00+ y = 4xex
11 y00+ y = 6 sin x
12 y00− 4y0 = x2+ 2x + 3
13 y00− 2y0 = 2cos2x
... x3sin x2 Cho hàm số f (x) = ln (1 − 3x), tính f(n)(0)
3 Cho hàm số f (x) = x3sin 3x, tính f(100)(0)
4 Cho y = x
4...
4
2 − x, tính d
4y
CHƯƠNG 3: TÍCH PHÂN Bài 1: Tích phân bất định
Z x + x3
1 + x2 − x4...
6 ydx − (x2y2+ x) dy =
B Phương trình vi phân cấp
Bài tập: Giải phương trình vi phân tuyến
tính cấp với hệ số
1 y − 2y + y = 2e2x