Su tuong giao cua hai do thi

[r]

Chuẩn bị cho kỳ thi tốt nghiệp THPT và thi vào Đại học

SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ

Trịnh Xuân Tình

GV THPT Phú Xuyên B-Hà Nội

A.MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN

Cho hàm số y f x( ) có đồ thị là  C1 và hàm số yg x( ) có đồ thị là  C2 Tọa độ giao điểm của  C1 và  C2 là nghiệm của hệ ( )

( )

y f x

y g x











Phương trình hoành độ giao điểm của  C1 và  C2 là f x( ) g x( ) Số giao điểm của  C1 và

 C2 chính là số nghiệm của pt f x( ) g x( )

Trên mặt phẳng Oxy,giả sử A x A;y A,B x B;y B.Khi đó AB x Bx A2y By A2

0 0

ax bx c a có hai nghiệm x x1, 2 thì x2 x1

a



2

b b thì

/

2 1

2

x x

a



 

B MỘT SỐ BÀI TOÁN

1.Bài toán về giao điểm của đồ thị hàm số 3 2  

0

yax bx cxd a và đường thẳng

ymxn

Thí dụ 1: Cho hàm số 3

3 2

yx  x có đồ thị là  C Gọi d là đường thẳng đi qua

3; 20

A và có hệ số góc m.Tìm m để đường thẳng d cắt  C tại ba điểm phân biệt có hoành

độ lớn hơn -2

Lời giải Đường thẳng d có pt ym x  3 20.Phương trình hoành độ giao điểm của d và

2

3

3 6 0 1

x

f x x x m





    



Để d cắt  C tại ba điểm phân biệt độ lớn hơn -2 thì pt  1 phải có hai nghiệm phân biệt lớn hơn -2 và khác 3.Đặt t x 2 thì pt  1 trở thành 2  /

f t t   t m pt  1 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn -2và khác 3 khi pt  /

1 có hai nghiệm dương phân biệt

khác 5

4 15 0

4

(5) 24 0

m S

m

   



  



  





Vậy với 15 4

4 m thì đường thẳng d cắt  C tại ba điểm phân biệt có hoành độ lớn hơn -2

Thí dụ 2 Cho hàm số yx  2x 1 m x m có đồ thị  C m là tham số thực

Tìm m để đồ thị  C cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x x x1, 2, 3 thỏa mãn điều kiện 2 2 2

1 2 3 4

x x x 

Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm là:

2

1

x

g x x x m





   



Để đồ thị  C cắt trục hoành tại 3 điểm phân biệt có hoành độ x x x1, 2, 3

 g x( ) x2 x m 0 có hai nghiệm phân biệt 1, 2 1 1 4 0 1 0

m

   

  



2 2 2

1 2 3

x x x  2 2  2

1

4

2.Bài toán về giao điểm của đồ thị hàm số 4 2  

+b +c 0

yax x a với trục hoành

Thí dụ 1 Cho hàm số 4 2

yx  m x  m có đồ thị là C m,m là tham số thực.Tìm

m để C mcắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2

Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm giữa C mvà Ox là:

x  m x  m   x  x  m  

2

1

3 1 0

x

x m

 





  



C m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2 khi và chỉ khi pt

2 3 1 0

x  m  có hai nghiệm phân biệt nhỏ hơn 2 và khác  1

Điều này xảy ra khi 0 3 1 4 1;1 \ 0 

m

m m

  



Vậy 1;1 \ 0 

3

m  

  thì C mcắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ nhỏ hơn 2

Thí dụ 2 Cho hàm số 4 2

yx  mx  m có đồ thị là C m.Tìm m để C m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng

Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của C m với trục hoành là:

2

2

1 0

2 1 0

x

x m

  

  



Để C m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt thì ta phải có 2 1 0 1 1

m

m m

 





 



TH1: Nếu m 1thì C m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là ( theo thứ tự từ nhỏ đến lơn) x1  2m 1,x2   1,x3  1,x4  2m 1 Các nghiệm này lập thành cấp số cộng khi x1x3  2x2  2m     1 1 2 2m   1 3 m 5

TH2: Nếu 1 1

2 m thì C m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lần lượt là ( theo thứ tự từ nhỏ đến lơn) x1  1x2   2m 1,x3 2m 1,x4  1 Các nghiệm này lập

9

x x  x    m   m  m  m

Vậy với m 5 hoặc 5

9

m  thì C m cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng

3.Bài toán về giao điểm của đồ thị hàm số y ax b





 và y mx nx k

px q

 



 với đường thẳng ymxn

Thí dụ 1: Cho hàm số 2 1

2

x y x





 có đồ thị là  C Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳng d m:ym x  2 2 cắt đồ thị  C tại hai điểm phân biệt A B, thuộc hai nhánh của

đồ thị hàm số sao cho độ dài đoạn AB nhỏ nhất

Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm là

2 1

2

x

x





Nhận xét

+ khi x 2thì pt mx2  4mx 4m  5 0    5 0 ( vô lý) nên pt mx2  4mx 4m  5 0 không nhận x 2 làm nghiệm

+ Đường thẳng d m:ym x  2 2 luôn đi qua điểm cố định I2; 2 là tâm đối xứng của đồ thị  C nên nếu đường thẳng d m cắt đồ thị  C tại hai điểm phân biệt A B, thìA B, thuộc hai nhánh của đồ thị  C

Đường thẳng d m cắt đồ thị  C tại hai điểm phân biệt A B, khi và chỉ khi pt

2

mx  mx m  có hai nghiệm phân biệt / 0 0

m

m m





  



Gọi x x1, 2là hai ngiệm của pt  2 thì

A x m x   B x m x  

2

Vì m 0 và

2

1

2

m m



 Đẳng thức xảy ra khi m 1

Vậy với m 1 thì d m cắt đồ thị  C tại hai điểm phân biệt A B, thuộc hai nhánh của đồ thị

và độ dài đoạn AB nhỏ nhất bằng 2 10

Thí dụ 2:Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳngy  2xm cắt đồ thị hàm số

2 2 3

1

x x

y

x

 



 tại hai điểm phân biết A B, thỏa mãn AB 1

Lời giải

2

2

2 3

1

x

 khi x  1thì pt 3  6  0 ( vô lý) nên pt  3 không nhận x  1 làm nghiệm

Để đường thẳng cắt đồ thi hàm số tại hai điểm phân biết A B, thì pt  3 phải có 2 nghiệm phân biệt   m2  12m 36  0 m   6 6 2 m   6 6 2  *

Gọi x x1, 2là hai ngiệm của pt  3 thì

A x  x m B x  x m AB x x    m  m

5

AB  m  m   m  m     m  

Kết hợp với điều kiện  * ta được 30 3 205 6 6 2

 

   hoặc 6 6 2 30 3 205

5

m  

là các giá trị của m thỏa mãn yêu cầu bài toán

C.BÀI TẬP

Bài 1 Cho hàm số yx 1 2 x 2.Gọi d là đường thẳng đi qua M2;0và có hệ số góc

kTìm k để đường thẳng d cắt đồ thị hàm số tại ba điểm phân biệt

Bài 2 Cho hàm số

2

2 4 2

x x y

x

 



 Tìm tất cả các giá trị của m để đường thẳngd m:ymx  2 2m cắt đồ thị hàm số tại hai điểm phân biệt

Bài 4 Cho hàm số

2

1

mx x m y

x

 



 Tìm tất cả các giá trị của m để đồ thị hàm số cắt trục hoành tại hai điểm có hoành độ dương

Bài 5 Cho hàm số yx4  2(m 1)x2  2m 1 có đồ thị là C m.Tìm m để C m cắt trục

hoành tại bốn điểm phân biệt có hoành độ lập thành một cấp số cộng