Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.[r]
Trang 1TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG LẦN 2
NĂM HỌC: 2020 - 2021
Môn thi: TOÁN - Lớp 10 THPT
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Đề thi có 01 trang - gồm 10 câu
Câu 1 Tìm tập xác địnhcủa hàm số
y
x x
Câu 2 Cho phương trình x2ax12a x 2ax1 1 0 1
với a là tham số.
a Giải phương trình với a 2
b Khi phương trình 1
có nghiệm thực duy nhất Chứng minh rằng a 2
Câu 3 Cho hàm số yf x ax2bx c có đồ thị như hình vẽ bên
Tìm các giá trị nguyên của tham số m để phương trình
f x m f x m
có 6 nghiệm phân biệt
Câu 4 Giải phương trình
2
3 3x 2 6 x 1 7 x10 4 3 x 5x2 0
Câu 5 Giải bất phương trình x 2 2 2 x 5 x 1.
Câu 6 Giải hệ phương trình:
2
Câu 7 Cho hình chữ nhật ABCD có AB2AD, BC a Tính giá trị nhỏ nhất của độ dài vectơ
u MA MB MC
, trong đó M là điểm thay đổi trên đường thẳng BC
Câu 8 Cho tam giác ABC vuông tại A, G là trọng tâm tam giác ABC Tính độ dài cạnh AB biết cạnh
ACa , và góc giữa hai véc tơ GB
và
GC là nhỏ nhất
Câu 9 Cho tam giác ABC cân tại A , nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D là trung điểm của AB, E là
trọng tâm tam giác ADC Chứng minh rằng OECD
1
P
-Hết -Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
x y
-1
3
Số báo danh
………
Trang 2SỞ GD&ĐT VĨNH PHÚC
TRƯỜNG THPT ĐỒNG ĐẬU
Có 06 trang
ĐÁP ÁN ĐỀ THI HSG LẦN 2 CẤP TRƯỜNG NĂM HỌC 2020-2021 MÔN TOÁN 10
1
Tìm tập xác địnhcủa hàm số
y
x x
Hàm số xác định khi và chỉ khi
0
x x
Hoặc
0
5 0
x x x
0,5
5 5 0
0,5
5 x 5
2
Cho phương trình x2ax12a x 2ax1 1 0 1
với a là tham số.
a, Giải phương trình với a 2
b, Khi phương trình 1
có nghiệm thực duy nhất Chứng minh rằng a 2
2,0
a, với a phương trình 2 1 thành
2
0,5
12 1
0 2
x x x
0,5
b, Xét phương trình x2ax12a x 2ax1 1 0 1
Đặt tx2ax khi đó 1, x2ax 1 t 0 2 và phương trình đã cho trở thành:
t at
Phương trình 1
có nghiệm khi a và t thỏa mãn: a 2 4 0 và a2 4 4 t0
a a hay a 2
0,5
Nếu a thì 2 3 có nghiệm t 0, khi đó a2 4 4 t0, suy ra 2
có hai nghiệm
0,5
Trang 3phân biệt, mâu thuẫn với giả thiết 1
có nghiệm duy nhất
Nếu a thì phương trình 2 3 có nghiệm t 1, khi đó điều kiện a2 4 4 t0
không được thỏa mãn
Vậy a 2
3
2,0
Ta có:
3
f x
0,5
Từ đồ thị hàm số yf x ta suy ra đồ thị hàm số yf x
như sau:
x
y
3
-1
O 1
0,5
+ Phương trình f x 1
Để phương trình đã cho có 6 nghiệm phân biệt thì phương trình f x 3 m
phải có
4 nghiệm phân biệt
0,25
1 3 m 3 0 m 4
4
Giải phương trình: 3 3x 2 6 x1 7 x10 4 3 x2 5x2 0 2,0
ĐKXĐ: x 1
Ta có: 3 3x 2 6 x1 7 x10 4 3 x2 5x2 0
0,5
0,5
Trang 4
3 2 1
3 2 1
x
x x
x x
x
0,5
Vì
x
x x
nên 1 x1 0 x (thỏa mãn).1 Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x 1
0,5
5
Giải bất phương trình x 2 2 2 x 5 x 1. 2,0
Điều kiện xác định:
5 2
x³
Bất phương trình tương đương: x- 2+ x+ ³1 2x- 5 2.+
0,5
2x 1 2 (x 2)(x 1) 2x 1 4 2x 5
6 3
x x
é ³ ê Û
ê £
6 3
x x
é ³ ê Û
ê £ ë
Vậy nghiệm của bất phương trình là x³ 6 hoặc
5
3
2£ £x
0,5
6
Giải hệ phương trình:
2
Hệ đã cho
2
2
Ta thấy x = 0 không là nghiệm của hệ nên từ PT (*) đặt:
y t x
ta được PT:
0,25
1
2
t
t
0,25
Khi t = 1 ta có:
2
x y
0,5
Khi
1 2
t
ta có:
1
2
2
0,5
Trang 5Vậy hệ đã cho có 4 nghiệm x y; là 1;1 ; 1; 1 ; 2 2 ; 2 ; 2 2 ; 2
0,25
7
Cho hình chữ nhật ABCD có AB2AD, BCa Tính giá trị nhỏ nhất của độ dài
vectơ u MA 2MB 3MC
, trong đó M là điểm thay đổi trên đường thẳng BC
2,0
AB AD BC a .
0
AC BD (trung điểm của AC BD ).,
u MA MB MC MA MC MB MC
0,5
2MD 2MB 2MC 6MP
(với P là trọng tâm OBC) 0,5
min min 6
u MP PM BC
Vì OBC cân tại O , nên P thuộc trung tuyến OH và
1
3
u PH OH Oh a
(Khi M H )
0,5
8 Cho tam giác ABC vuông tại A, G là trọng tâm tam giác ABC Tính độ dài cạnh AB
biết cạnh ACa , và góc giữa hai véc tơ GB
và
GC là nhỏ nhất
2,0
α
G
D
K
B
Gọi ,K D lần lượt là trung điểm AB AC ,
Gọi là góc giữa hai véc tơ GB
và
GC
Ta có:
cos cos GB GC, cos DB KC,
0,5
4
BA BC CA CB
DB KC BD CK
BD CK BD CK ( Do BACA)
0,5
Trang 6 2 2
2
BD CK BD CK BA BC CA CB
1
4AB AC BC BA BC. CA CB.
1
(Theo công thức hình chiếu véc tơ) 2
5
4BC
0,5
Suy ra
4 5
cos
Dấu bằng xảy ra khi BDCK ABACa
Ta có góc nhỏ nhất khi cos lớn nhất bằng
4 5
Khi đó ABa
0,5
9
Cho tam giác ABC cân tại A , nội tiếp đường tròn tâm O Gọi D là trung điểm của
AB, E là trọng tâm tam giác ADC Chứng minh rằng OECD 2,0
OE OA OD OC OA OA OB OC OA OB OC
Do đó:
1
12
12CD OE 3OA OB 4OC 4OA OB 4OA OC
0,5
12CD OE 4.OA OB OC 4.OA CB 0
(Vì ABC cân tại A có O là tâm đường tròn ngoại tiếp nên OA BC ) 0,5
Do đó CD OE . 0 CD OE
10
Với x 0;1 , hãy tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức
1
P
2,0
Đặt t 1 x , 0 t 1 ta được
5 1 5
5
t
P
Áp dụng BĐT Cô si, ta có
5 1
5 2 5 5 1
t t
P
0,5
E D
A
O
Trang 7Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
5 5 4
t
Vậy MinP 0;1 2 5 5
khi
7 5 5 8