Huong dan giai bai tap Toan trong SGK 12

Cho phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau, ta có các hệ phương trình ẩn x, y.. Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số[r]

GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12

CHƯƠNG III NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

§ 1 Nguyên hàm

Bài tập 1 (trang 100 SGK Giải tích 12): Trong các cặp hàm số dưới đây, hàm số nào là

nguyên hàm của hàm số còn lại?

a) ex

và ex

 ; b) sin 2x và sin x2 ; c)

2 2

x



4

1 e x

x



Có bao nhiêu cách để giải bài tập 1?

Có hai cách :

- Tính nguyên hàm

- Đạo hàm

Giải:

a) ex

và ex

 là nguyên hàm của nhau

b) sin x2 là một nguyên hàm của sin 2x.

c)

4

1 e x

x



  là một nguyên hàm của

2 2

x



Bài tập 2 ( trang 100, 101 SGK Giải tích 12): Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) 3

1

f x

x



; b)

( )

x x

f x

e





; c) 22

();

d) f x( ) sin 5 cos3 ; x x

1 ( )

(1 )(1 2 )

f x



g) f x( ) e3 2 x

 Giải :

a, Đưa về hàm số chứa các

lũy thừa của biến x,

F(x) =

3

5 x

5/ 3

+ 6

7x

7 / 6

+ 3

2x

2 /3

+C c,

-2 cot 2 sin cosx x dx  sin 2x dx x  C

b, Biến đổi thành tổng các tích phân:

2 ln 2 1

(ln 2 1)

x x

x x

C

C e



e, Biến đổi

2

2

1

cos

x

;

sin cosx x dx sin x cos x dx

d, Biến đổi thành tổng:

1 ( ) sin 5 cos3 sin 8 sin 2 ;

2

F(x) =

− 1

4 (

1

4cos 8 x+cos 2 x )+C

( ) tan -

g, Biến đổi vi phân, F(x) =

− 1

2 e

3 −2 x

+C

h, 13ln|1− x| 1+x +C

hướng dẫn câu h:

1 (1+x )(1− 2 x )=

A

1+x+

B

1 −2 x

¿ A (1− 2 x )+B (1− x)

(1− x)(1 −2 x) =

(A+B)+(− 2 A+B)

(1 − x )(1− 2 x )

{A+B=1

− 2 A+B=0 ⇒ A=1/3; B=2/3

Bài tập 3 ( trang 101 SGK

Giải tích 12): Sử dụng

phương pháp đổi biến số,

hãy tính:

a)

9

(1 )

I   x dx;

b) I x1x2 32 dx;

c)

cos.sin;Ixxdx

d)

2

dx

I

e e



Giải:

a, Đặt u   1 x I =

1− x¿10

¿

−¿

¿

b, Đặt u   1 x2 I = 1+x

2

¿5 /2+C

1

c, Đặt t cosx I =

4

1 cos

d, Đặt u e  x  1 I =

1

1 x C e





GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12

Bài tập 4 (trang 101 SGK Giải tích 12): Sử dụng phương pháp tính nguyên hàm từng

phần, hãy tính:

a) xln 1 x xd ; b)  x2 2x 1e x xd ; c) xsin 2 x1 d ; x d)  1 xcos d x x

Giải

a,Áp dụng nguyên hàm từng phần

Đặt uln(1x)

dv d

Kq: ( 1)ln(1 )

x x

x



c, Áp dụng nguyên hàm từng phần

u=x , dv=sin (2 x +1)dx

Kq :− x

2 cos(2 x +1)+

1

4sin (2 x +1)+C

b,Áp dụng nguyên hàm từng phần hai lần

2 2

x x

u x x dv e dx

d, Áp dụng tích phân từng phần

u=x , dv=cos xdx

Kq :(1 − x )sin x − cos x +C

§ 2 Tích phân

Bài tập 1 (Bài tập 1, trang 112 SGK Giải tích 12): Tính các tích phân sau

a)

 

1

3

1

2

1 x dx







; b)

2 0

sin

4 x dx









 

2

1 2

1

1 dx

x x 



;

d)

 

2

2 0

x x dx



e)  

2

2 1

2

1 3

; 1

x dx x







g)

2

2

sin 3 cos5x xdx



 

Giải:

a)

   

2

1 x dx 1 x dx

 

1 2 5

3 1

2

3 9 1

3 



b)

2 0

sin x dx 4









2

0

cosx- sinx dx





cosxdx sinxdx

0

 c) ln 2; d)

34

3 ; e)

4 3ln 2

3 ; g) 0.

Bài tập 2 (Bài tập 2, trang 112 SGK Giải tích 12): Tính các tích phân sau

a)

2

0

1

I   xdx

; b)

2 2 0

sin





; c)

2

ln 2

0

1

x x

e

e



 

; d)

2 0

sin 2 cos

I  x xdx

Giải:

a)

2

0

I 1 x dx

1 x dx 1 x dx

   

   

1 x dx 1 x dx

    

1

c)

1

I e ;

2

 

b)

2

0

1 cos2x

2







dx cos2xdx

4





GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12

d) Ta có sin 2 cos2 1sin 2 1 cos 2  1sin 2 1sin 4

Bài tập 3 ( trang 113 SGK Giải tích 12): Sử dụng phương pháp đổi biến số, hãy tính:

a)

x

3 2

3

(1 )



; b)

x dx

1

2 0

1



; c)

x x

e x dx xe

1

0

(1 ) 1







a

dx

2

2 2 0

1





Giải:

a) Đặt t = 1 + x, A =

5



c) Đặt t = 1 + xex, C = ln(1 + e) d) Đặt x = asint, D = 6



Bài tập 4 ( trang 113 SGK Giải tích 12): Sử dụng phương pháp tính tích phân từng phần,

hãy tính:

a)

2

0







; b)

e

x2 xdx

1

ln



; c)

x dx

1

0

ln(1 )



x

1

2

0



Giải:

a) Đặt

u x

dv sin1xdx

  





u x

dv x dx2

ln

 





3

1 (2 1)

c) Đặt

dv dxln( 1)





u x x

dv e dx









 ,D = –1.(từng phần 2 lần)

§ 3 Ứng dụng của tích phân trong hình học

Bài tập 1 (trang 121 SGK) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) y x y x 2,  2; b) yln ,x y 1; c) y(x 6) ,2 y6x x 2

Giải:

a) Hoành độ giao điểm: x = –1, x = 2

1

9 2

2



c) Hoành độ giao điểm: x = 3, x = 6

3

= 9

b) Hoành độ giao điểm: x x e

e

1 ,

e

e

1

ln 1

 

=

e

e

1

(1 ln )  (1 ln )

e

 

Bài tập 2: (Trang 121 SGK) Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường cong

2 1

y x  , tiếp tuyến với đường này tại M2;5 và trục Oy.

Giải :

Viết phương trình tiếp tuyến với đường này tại M2;5:

Phương trình tiếp tuyến:y 4x 3

Hoành độ giao điểm: x = 0, x = 2

2

2

0

( 1) (4 3)

S =ò x + - x- dx

2 2

0

8 3



Bài tập 4: (Trang 121 SGK) Tính thể tích khối tròn xoay do hình phẳng giới hạn bởi các

đường sau quay quanh trục Ox:

a) y  1 x y2, 0;

b) y  cos , x y  0, x  0, x   ;

c) y tan , x y 0, x 0, x

4



Giải :

a) Tìm hoành độ giao điểm của đồ thị hàm số y   1 x2 với trục Ox ?

Ta có 1 x2 0

1 1

x x





  



GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12

Suy ra parabol y   1 x2 cắt trục hồnh tại hai điểm cĩ hồnh độ lần lượt là -1; 1

Lập cơng thức tính thể tích ?

Khi đĩ:

1

2 2

1

(1 )

15p

=

b)

0

cos

2







c)

V 4 2 xdx

0

4







Bài tập 5: (Trang 121 SGK) Cho tam giác vuơng OPM cĩ cạnh OP nằm trên trục Ox.

Đặt OM = R, POM  0 ,R 0

3





a) Tính thể tích khối trịn xoay thu được khi quay tam giác đĩ quanh trục Ox.

b) Tìm  sao cho thể tích đĩ là lớn nhất

Viết phương trình OM, toạ độ điểm P?

(OM): y = tan.x

Tọa độ của P: P = (Rcos; 0)

a V=

os

0Rc atan x dx

pị a = 3( os -cos )3

3

R c

p

b Max V(a)=

3

2 3 27

R p

Đặt

1

2

t     t  

vì

0;

3

   

 

  

 

R

V 3(t t3) 3



;

R

V' 3( 3 )t t2

3



;







  



 



t V

t loại

1 3 ' 0

1 ( ).

3

Vậy

   

3 1

27 3

max V maxV t V t









GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12

Ôn tập chương III

Bài tập 3: (Trang 126 SGK) Tìm nguyên hàm của hàm số:

a) f x   x  1 1 2   x 1 3 ; x b) f x( ) sin4 cos 2 ; x 2 x

c)   1 ;2

1

f x

x



 d) f x  e x  1 3

Giải:

a) Khai triển thành tổng ta có   3 4 11 3 3 2 ;

F x  x  x  x  x C

b) Phân tích tích thành tổng :

1 cos 4 ( ) sin 4

2

x

.sin 4 sin 8

Ta có

;

f x

2 1

x

x





d) Khai triển f x  e x  13 e3x  3e2x 3e x  1

F x  e  e  e  x C

Bài tập 4: (Trang 126 SGK).Tính:

a/.  2  x  sin d ; x x b/.

 1 2

d

x

x x





3

1d ; 1

x x

e







sin x  cos x x



e/

1  x  x x



1  x 2  x x



Giải:

a) Áp dụng nguyên hàm từng phần, ta được: F(x) =x  2 cos x  sinx C ;

b)



c)

2 3

x



d)

4





e)    

3 3

2 2

1  x  x x   x  x x   x  x  C

x



Bài tập 5: Tính:

a) 

0

3

x

√1+x dx b)

64

3 1

1 x dx x





2

0

3

2e dx

x x

; d) 2√2

Giải:

a) Đặt : t = √1+x ⇒t2 =1+x

Ta có: dx= 2tdt.

Đổi cận: x = 0 thì t = 1

x = 3 thì t = 2

 0

3

x

√1+x dx=

0

2

(t2−1)2 tdt t

 0

2

2(t2−1)dt=(2

3t

3−2 t)¿02

ĐS: 8/3;

b)

1839

14

c) 

2

0

3

2e dx

Đặt u = x2 và dv = e 3x

ta được du = 2xdx và v = 13 e3x



2

0

3

2e dx

x x

=

= 13 x2e3x

¿02 - 32

0

2

xe3 xdx

Đặt u = x và dv = e 3x

ta được du = dx và v = 13 e3x



2

0

3

2e dx

x x

=

1

3 x2e3x ¿02

-2

9 xe3x ¿02

+ 2

27 0

2

e 3 x d (3 x)

= 4 e6

3 - 4 e6

9 + 2 e 3 x

2 = 8 e6

9 + 2 e6

-2 27

= 272 (13e6 – 1);

d) ĐS: 2√2

Bài tập 6: Tính:

a)

2

2

0

cos2 sinx xdx;





b)

1

1

2x 2 d ;x x







c)

     

2

2 1

d ;

x x



GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12

d)

2

2

0

1 d ;

2 3 x

x  x



e)

2

2

0

sin x cosx d ;x







g)

x+sin x¿2dx

¿

 0

π

¿

Giải:

g)

x+sin x¿2dx

¿



0

π

¿

Ta có: I =

x+sin x¿2dx

¿

 0

π

¿

=



0

π

(x2 +2 x sin x +sin 2x)dx

= 

0

π

x2 dx

+ 2 0

π

x sin xdx

+ 

 0

2

sin xdx

= 3

3

x 

0 + 2I1 +

1

0

π

(1− cos 2 x )dx = π33 +2I1 + 12 x 0 - 14



0

π

cos 2 xd(2 x)

= π

3

3 +2I1 +

π

2 -

1

4 sin2x

 0

Tính I1 = 

0

π

x sin xdx

Đặt u = x và dv = sinxdx

ta có du = dx và v = -cosx

I1 = 

0

π

x sin xdx = -xcosx 0 + 

0

π

cos xdx = π + sinx 0 = π

I =

x+sin x¿2dx

¿

 0

π

¿ = π3

3 + 5 π2

Đáp số

Bài 3 / ( Trang 126 , SGK )

a)

3

2x  3 x  x  x C

b)

c)

ln

x

C x







d)

3

x x x

e  e  e  x C

Bài 4 / ( Trang 126 , SGK )

a) ( x – 2 ) cosx – sinx + C b)

2

5x 3x  x C c)

2

1 2

x x

e  e  x C

d )

1



e )

3 x  3x C

Bài 5 / ( Trang 127 , SGK )

a)

8

3

b)

1839

14

Bài 6 / ( Trang 127 , SGK )

a) 8





b) 1

ln 2

c)

6

2

d) 2 2

c)

21 11ln 2

2  d)

1

ln 3 2



e) 1 2





Bài 7 / ( Trang 127 , SGK )

a) 2 1





b)

4

3



CHƯƠNG IV SỐ PHỨC

§ 1 Số phức

Bài 1(trang 133) Tìm phần thực và phần ảo của số phức z, biết:

a z  i b z  i c z d z  i

Giải:

Phần thực và phần ảo của số phức z lần lượt là: a 1;-π b 2;-1 c 2 2;0 d 0;-7

Bài 2(trang 133) Tìm các số thực x và y, biết:

a) 3x 2  2y1ix1  y 5 ;i

b) 1 2 x  i 3 5 1 3 ;  y i

c) 2x y   2y x i  x 2y 3  y2x1 i

Giải:

Cho phần thực và phần ảo tương ứng bằng nhau, ta có các hệ phương trình ẩn x, y.

a

3 4

;

2 3

;

Bài 4(134) Tính z với:

a) z2i 3; b) z 2 3 ; i c) z 5; d) z i 3

Đáp số:

a 7 b 11 c 5 d 3

§ 2 CỘNG, TRỪ VÀ NHÂN SỐ PHỨC

Bài 1 Thực hiện các phép tính

a) (3 - 5i) +(2+4i) = 5 - i

b) ( -2-3i) +(-1-7i) = -3-10i

GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12

c) (4+3i) -(5-7i) = -1+10i

d) ( 2-3i) -(5-4i) = -3 + i

Bài 2.Tính +, - với

a) = 3, = 2i b) = 1-2i, = 6i

c) = 5i, =- 7i d) = 15, =4-2i

giải

a)+ = 3+2i - = 3-2i;

b)+ = 1+4i - = 1-8i;

c)+ =-2i - = 12i;

d)+ = 19-2i - = 11+2i

Bài 3 Thực hiện các phép tính

a) (3-2i) (2-3i) = -13i;

b) ( -1+i)(3+7i) = -10-4i ;

c) 5(4+3i) = 20+15i;

d) ( -2-5i).4i = -8i + 20

Bài 4.Tính i3, i4 i5

Nêu cách tính in với n là số tự nhiên tuỳ ý

giải

i3=i2.i =-i

i4=i2.i 2=-1

i5=i4.i =i

Nếu n = 4q +r, 0  r < 4 thì in = ir

Bài 5.Tính

a) (2+3i)2=-5+12i;

b) (2+3i)3=-46+9i;

§ 3 PHÉP CHIA SỐ PHỨC

Bài 1 Thực hiện các phép chia sau:

a/

2

3 2

i

i



i i





; c/

5

2 3

i

i

15 10

13 13i

Bài 2 Tìm nghịch đảo

1

z của số phức z biết:

a) z 1 2 ;i b) z 2 3 ; i c) z i; d) z 5 i 3

Giải:

a/

1

1 2i =

1 2

2 9

2 3

i i







11 11 i;

c/

1

1

i

i i



 

25 3

i i







28 28i

Bài 3 Thực hiện các phép tính sau:

a/ 2 (3 )(2 4 )i i  i ; b/

2 3

(1 ) (2 ) 2



 

i i

i ; c/3 2 (6 )(5 ) i i i ; d/ 4-3i+

5 4

3 6

i i



Giải:

a) 2 (3 )(2 4 ) 2 (2 14 ) - 28 4i i  i  i  i   i;

b)

2 3

(1 ) (2 ) 2 ( 8 )

i i i i



i

i

 

; c) 3 2 (6 )(5 ) 3 2 29 11 32 13 i i i   i   i   i;

d) 4-3i+

5 4

3 6

i i



 = 4-3i +

(5 4 )(3 6 ) 45

= 4-3i +

45 45 i 45  45 i

Bài 4 Giải các phưong trình sau:

a/(3-2i)z +(4+5i)=7+3i

(3-2i)z=3 – 2i

z =

3 2

3 2

i

i



b/ (1+3i)z-(2+5i)=(2+i)z

(-1+2i)z=(2+5i)

 z=

i

i i



 

 

c/

(2 3 ) 5 2

4 3

3

4 3

(3 )(4 3 )

15 5

z

i

z

i i





§ 4 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI VỚI HỆ SỐ THỰC

Bài 1(140) Tìm các căn bậc hai phức của các số sau: -7; -8; -12; -20; -121.

a) i 7 ; b)  2 2i ; c)2 3i ; d) 2 5i ; e) 11i

Bài 2(140) Giải các phương trình sau trên tập số phức:

a) 3z2 2 1 0;z  b) 7z2 3z 2 0; c) 5z2  7 11 0.z 

Đáp số:

a) 1,2

3

i

z  

14

i

z  

10

i

z  

Bài 3(140) Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức:

a) z4 z2  6 0; b) z4 7z2 10 0.

Đáp số:

a) z1,2  2,z3,4 i 5; b) z1,2 i 2,z3,4 i 5

GIẢI BÀI TẬP GIẢI TÍCH 12

Bài 4(140) Cho a b c, , ,a0, ,z z1 2 là hai nghiệm của phương trình az2 bz c 0

Hãy tính z z1 2 và z z1 2 theo các hệ số a b c, ,

Giải:

Ta có: 1 2 ; 1 2

z z z z

Bài 5(140) Cho z a bi  là một số phức Hãy tìm một phương trình bậc hai với hệ số thực nhận z và z làm nghiệm.

Giải:

Theo công thức nghiệm của ptb2:

x z x z       0 x2  z z x zz    0

Nếu z a bi  , thì phương trình bậc hai là : x2  2ax a 2 b2 0

ÔN TẬP CHƯƠNG IV

Bài tập 5 (trang 143 SGK) Trên mặt phẳng tọa độ, tìm tập hợp điểm biểu diễn các số

phức z thỏa mãn điều kiện :

a) Phần thực của z bằng 1 ;

b) Phần ảo của z bằng -2 ;

c) Phần thực của z thuộc đoạn 1;2 , phần ảo của z thuộc đoạn 0;1 ;

d) z 2

Giải :

1/ Số phức z có phần thực a = 1: Là đường thẳng qua hoành độ 1 và song song với Oy.

2/ Số phức z có phần ảo b = -2: Là đường thẳng qua tung độ -2 và song song với Ox.

3/ Số phức z có phần thực a [−1,2] ,phần ảo b [0,1] : Là miền hình chữ nhật giới hạn

bởi các đường thẳng x = -1; x = 2; y = 0; y = 1

3/ z 2: Là hình tròn tâm tại gốc tọa độ O, có R = 2.

Bài tập 6 Tìm các số thực x, y sao cho :

b) 2x + y – 1 = (x+2y – 5)i

⇔

2 x+ y −1=0

x+2 y −5=0

⇔

¿x=−1

y=3

¿ {

Bài tập 8 Tính :

b) (4-3i)+ 1+i 2+i = 4- 3i + (1+i)(2 −i)(2+i)(2−i) = 4 – 3i + 3+i5 = 23

5 −

14

5 i

Bài tập 10 Giải các phương trình sau trên tập số phức:

b) z  4 8 0.



2

2

8 8

 







z

z



4 1,2

4 3,4

8 8

 





z