Các phép biến hình trong mặt phảng và một ứng dụng

Kiến thức về các phép biến hình trong mặt phẳng giúp chúng ta giải quyết được nhiều bài toán thực tế trong cuộc sống hàng ngày, như cho một số ngành khoa học khác như hội họa nghệ thuật

Để hoàn thành tốt đề tài nghiên cứu khoa học này, em xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Th.S Trần Hồng Nga đã tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu đề tài

Cuối cùng em kính chúc quý thầy, cô dồi dào sức khỏe và thành công trong sự nghiệp cao quý của mình

Em xin chân thành cảm ơn!

Quảng Bình, tháng 5 năm 2019

Sinh viên thực hiện

Lê Thị Hồng Hạnh

MỤC LỤC

LỜI MỞ Đ U 1

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CƠ SỞ 3

1.1 Vectơ 3

1.1.1 Các định nghĩa 3

1.1.2 Các tính chất 4

1.1.3 Tọa độ vectơ và tọa độ điểm 6

1.2 Đường thẳng trong mặt phẳng 6

1.3 Góc định hướng 7

1.3.1 Góc định hướng của hai tia 7

1.3.2 Góc định hướng của hai đường thẳng 8

CHƯƠNG 2 CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG 9

2.1 Định nghĩa phép biến hình 9

2.1.1 Định nghĩa 9

2.1.2 Các ví dụ 9

2.1.3 Điểm bất động của một phép biến hình 10

2.1.4 Sự xác định phép biến hình 10

2.1.5 Phép biến hình đảo ngược 11

2.2 Các phép biến hình trong mặt phẳng 11

2.2.1 Phép đồng nhất 11

2.2.2 Phép tịnh tiến 11

2.2.3 Phép dời hình 13

2.2.4 Phép đối xứng trục 15

2.2.5 Phép đối xứng tâm 17

2.2.6 Phép quay 19

2.2.7 Phép vị tự 22

2.2.8 Phép đồng dạng 24

CHƯƠNG 3 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN HÌNH 27

3.1 Ứng dụng của phép biến hình vào giải các dạng bài toán chứng minh hoặc xác định các yếu tố hình học 27

3.1.1 Phương pháp 27

3.1.2 Ví dụ 27

2.1.3 Một số bài tập áp dụng 33

3.2 Ứng dụng phép biến hình để xác định ảnh của một điểm và một hình 35

3.2.1 Phương pháp 35

3.2.2 Ví dụ 35

2.2.3 Một số bài tập áp dụng 40

3.3 Ứng dụng phép biến hình để giải bài toán dựng hình 42

3.3.1 Phương pháp 42

3.3.2 Ví dụ 42

3.3.3 Một số bài tập áp dụng 47

3.4 Ứng dụng phép biến hình để giải bài toán quỹ tích 49

3.4.1 Phương pháp 49

3.4.2 Ví dụ 51

3.4.3 Một số bài tập 55

KẾT LUẬN 59

TÀI LIỆU THAM KHẢO 60

LỜI MỞ Đ U

Các phép biến hình trong mặt phẳng là một trong những kiến thức trọng tâm của chương trình hình học ở Trung học phổ thông Phép biến hình gắn liền với những giai đoạn khác nhau của sự phát triển nền toán học nói chung và hình học nói riêng Nhà toán học Euclid, trong tác phẩm “Cơ bản” của mình đã đặt nền móng đầu tiên cho sự ra đời của phương pháp tiền đề Trong tác phẩm của mình, ông đã nêu ra tư tưởng sử dụng phép biến hình thông qua việc định nghĩa hai hình bằng nhau Nhưng lúc này phép biến hình không phải là đối tượng nghiên cứu, nó ch ngầm ẩn xuất hiện trong tình huống so sánh hai hình và c ng

ch được hiểu theo nghĩa là phép chuyển dời hình từ vị trí này sang vị trí khác Đến cuối TK I , nhà toán học người Đức Felix Klein 1849 – 1925 đã nghiên cứu hình học theo quan điểm nhóm các phép biến hình; trong đó có hình học Euclid sơ cấp được giảng dạy ở Trung học phổ thông

Kiến thức về các phép biến hình trong mặt phẳng giúp chúng ta giải quyết được nhiều bài toán thực tế trong cuộc sống hàng ngày, như cho một số ngành khoa học khác như hội họa nghệ thuật dùng những hình bằng nhau để lấp đầy mặt phẳng được phát triển mạnh m vào thế k III ở nước I-ta-li-a ; kiến trúc tháp đôi Petronas, đền Taj Mahal và các ngành kĩ thuật

Ở bậc Trung học phổ thông, học sinh đã được học các phép biến hình trong mặt phẳng gồm: phép dời hình và phép đồng dạng Việc đưa nội dung các phép biến hình vào giảng dạy giúp cho học sinh làm quen với các phương pháp

tư duy và suy luận mới Đó là phương thức đòi hỏi học sinh phải biết nhận thức các đối tượng toán học trong sự chuyển động, thay đổi và phụ thuộc lẫn nhau Đồng thời phép biến hình cung cấp cho chúng ta những công cụ mới để giải bài toán hình học một cách hiệu quả, đặc biệt là đối với các dạng toán chứng minh, tìm ảnh của một hình, dựng hình và tìm quỹ tích Mặt khác, học sinh Trung học

phổ thông thường gặp khó kh n trong việc tiếp cận các phép biến hình, đặc biệt

là trong việc ứng dụng các phép biến hình trong mặt phẳng vào giải toán Vì thế,

để đạt hiệu quả trong việc giảng dạy và giúp học sinh tiếp cận với việc ứng dụng phép biến hình thì việc nghiên cứu về phép biến hình và ứng dụng phép biến hình vào giải toán hết sức quan trọng

Với những lí do trên tôi chọn đề tài Các ph p i n hình trong m t

ph ng và m t s ứng ng làm khóa luận tốt nghiệp

Ngoài lời cảm ơn, phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, khóa luận gồm 3 chương:

Chương I : Kiến thức cơ sở Trong chương này trình bày các kiến thức về vectơ, đường thẳng trong mặt phẳng, góc định hướng

Chương II : Các phép biến hình trong mặt phẳng Trong chương này trình bày các kiến thức liên quan đến phép biến hình trong mặt phẳng: phép đồng nhất, phép tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép vị

tự và phép đồng dạng

Chương III: Một số ứng dụng của phép biến hình Trong chương này trình bày các ứng dụng về định nghĩa, tính chất của phép biến hình vào giải các bài toán dạng hình học

Vectơ là một đoạn thẳng có hướng,

nghĩa là trong hai điểm mút của đoạn

thẳng, đã ch rõ điểm nào là điểm đầu,

điểm nào là điểm cuối

c/ Hai vectơ cùng phương

Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu chúng có giá song song hoặc trùng nhau

Hình 1.1

b)

a)

x a

M

N

Các vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ cùng phương (H.1.2)

d/ Hai vectơ bằng nhau

Hai vectơ được gọi là bằng nhau nếu chúng

cùng hướng và cùng độ dài

Nếu hai vectơ và ⃗ bằng nhau thì ta viết ⃗

(H.1.3)

e/ Vectơ đối của một vectơ

Nếu tổng của hai vectơ và ⃗ là vectơ –

không, thì ta nói là là vectơ đối của ⃗ , hoặc ⃗ là

vectơ đối của

(H.1.4)

1.1.2 Các tính chất

a/ Điều kiện để hai vectơ cùng phương

Vectơ b⃗ cùng phương với vectơ a ⃗ (a⃗ 0⃗ ) khi và ch khi có số k sao cho b⃗ a⃗

b/ Điều kiện để ba điểm thẳng hàng

Hình 1.4

-a a

c/ Tổng của ba vectơ

Nếu M là trung điểm đoạn thẳng AB thì ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ (H.1.6)

Nếu G là trọng tâm tam giác ABC thì ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ (H.1.7)

Với ba điểm bất kì M, N, P ta có: ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (H.1.8)

d/ Quy tắc hiệu ba vectơ

Nếu ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ là một vectơ đã cho thì với điểm O bất kì, ta luôn có: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗

f/ Quy tắc hình bình hành (H.1.10)

Nếu ABCD là hình bình hành thì ta có

B⃗⃗⃗⃗⃗⃗ D⃗⃗⃗⃗⃗⃗ = C⃗⃗⃗⃗⃗⃗

1.1.3 Tọa đ vectơ và tọa đ điểm

1/ Cho hai vectơ a = (x; y) và b⃗ = (x'; y') ta có:

( ) { ( )

trình của đường thẳng ( ) có vectơ pháp tuyến ⃗ = (A; B)

c/ Nếu đường thẳng (d) có một vectơ ch phương ⃗ = (a; b) thì (d) có một vectơ

đó là chiều dương thì chiều ngược lại gọi là chiều âm và ta nói rằng mặt phẳng

đã được định hướng Người ta thường chọn chiều quay ngược với chiều của kim đồng hồ làm chiều dương

1.3.1 Góc định hướng của hai tia

Trong mặt phẳng P đã định hướng, ta gọi

góc định hướng giữa hai tia Ox và Oy lấy

theo thứ tự đó là góc mà tia Ox phải quay

theo một chiều xác định để đến trùng với vị

O

(Ox⃗⃗⃗⃗⃗ , Oy⃗⃗⃗⃗⃗ ) trong đó Ox gọi là cạnh đầu, Oy gọi là cạnh cuối của góc Số đo của góc định hướng đó là dương hay âm tùy theo cạnh đầu quay xung quanh điểm O

để cho nó trùng lên cạnh cuối theo chiều dương hay chiều âm của mặt phẳng Sau khi quay tia Ox cho trùng với tia Oy, ta có thể quay thêm một, hai hay một số vòng nữa để Ox đến trùng với Oy Tất cả các giá trị của góc nói trên đều gọi là các giá trị của góc định hướng suy rộng (Ox⃗⃗⃗⃗⃗ , Oy⃗⃗⃗⃗⃗ ) Ta có thể kí hiệu như sau:

Góc định hướng đó được kí hiệu là (a, b)

(H.1.12 , trong đó a gọi là cạnh đầu, b gọi là

cạnh cuối của góc Số đo của góc đó là

dương hay âm tùy theo chiều quay của a

xung quanh O đến trùng với b theo chiều

dương hay âm của mặt phẳng

Góc định hướng suy rộng (a, b) giữa hai

đường thẳng được kí hiệu:

( ) = + ,

ba

Hình 1.12

O

CHƯƠNG 2

CÁC PHÉP BIẾN HÌNH TRONG MẶT PHẲNG

Các phép biến hình trong mặt phẳng Trong chương này trình bày các

kiến thức liên quan đến phép biến hình trong mặt phẳng: phép đồng nhất, phép

tịnh tiến, phép đối xứng trục, phép đối xứng tâm, phép quay, phép vị tự và phép

Như vậy cho một phép biến hình là cho một quy tác để với bất kì

hai điều kiện sau:

của P

cho ( )

Nếu H là một hình nào đó của P thì ta có thể xác định tập hợp

( ) * ( )| + Khi đó f(H gọi là ảnh của hình H qua phép biến hình H

và hình H được gọi là tạo ảnh của hình f(H qua phép biến hình f đó

2.1.2 Các ví d

V d 2.1.1 Trong mặt phẳng P cho điểm O cố định Phép biến hình biến mỗi

điểm M thành M' đối xứng cới M qua O được gọi là phép đối xứng tâm O Điểm

O gọi là tâm của phép đối xứng tâm O (H.2.1)

Định nghĩa Cho điểm M nằm trong một mặt phẳng P Một phép biến hình f

biến M thành chính nó thì M được gọi là điểm bất động của phép biến hình f

Kí hiệu: ( )

2.1.4 S ác định ph p i n hình

Phép biến hình f: có thể được xác định như sau:

− Phép biến hình f được xác định bằng các phép dựng hình cơ bản trong

mặt phẳng như: Tìm giao điểm của hai đường thẳng đã được xác định nào đó, dựng đường thẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước, dựng đường tròn với tâm và bán kính đã cho,

− Phép biến hình f còn được xác định bởi biểu thức liên hệ giữa tọa độ (x, y của điểm M với tọa độ (x′, y′) của điểm ( ) đối với hệ tọa độ Oxy

2.1.5 Ph p i n hình đảo ngƣ c

đã cho

Ta kí hiệu phép biến hình đảo ngược của f là f -1 và ta có f -1 (M) = M

Mỗi phép biến hình f có duy nhất một phép biến hình đảo ngược f -1 và

f o f -1 = f -1 o f = Id phép đồng nhất mục 2.2.1)

2.2 Các ph p i n hình trong m t ph ng

2.2.1 Ph p đồng nhất

2.2.1.1 Định nghĩa

Định nghĩa 2.2.1.1 Phép biến hình biến mỗi điểm M thành chính nó gọi là phép

Id(M) = M

f : P P

Thì f = Id

2.2.1.2 Biểu thức tọa đ của ph p đồng nhất

thành điểm M x′; y , khi đó ta có: {

2.2.2 Ph p tịnh ti n

2.2.2.1 Định nghĩa

Định nghĩa 2.2.2.1 Trong mặt phẳng cho

thành điểm sao cho ′⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ , gọi là phép

tịnh tiến theo vectơ (H.2.3)

Vậy ⃗ ( ) ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Ch : Đối với phép tịnh tiến ⃗ mà ⃗ , ta không có điểm bất động nào

động đối với phép ⃗

Định nghĩa 2.2.2.2 Cho hình H , tập hợp ảnh của mọi điểm thuộc H lập

thành một hình H được gọi là ảnh của hình H trong phép tịnh tiến

2.2.2.2 Các t nh chất và định

Tính chất 2.2.2.1 Phép tịnh tiến theo vectơ biến điểm M thành điểm là phép biến đổi 1 - 1 và có phép biến đổi ngược Đó là phép tịnh tiến vectơ -v⃗ ) biến điểm M thành điểm M Kí hiệu là ( ⃗⃗⃗⃗⃗ )

Định lí 2.2.2.1 ,1- N u ph p t nh ti n bi n hai điểm M v N n ư t th nh hai điểm M v N′ thì

Hệ quả 2.2.2.1 ,1- h p t nh ti n bi n đư ng thẳng th nh đư ng thẳng, bi n tia

th nh tia, bi n đo n thẳng th nh đo n thẳng bằng n , bi n tam giác th nh tam giác bằng n , bi n đư ng tr n th nh đư ng tr n c cùng bán nh , bi n g c

th nh g c bằng n (H.2.5)

2.2.2.3 Biểu thức tọa đ của ph p tịnh ti n

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho

B

A'

C

R R

O' O

Phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì gọi

nh, bi n g c th nh g c bằng n

Chú ý:

biến trọng tâm , trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác ABC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại

b Phép dời hình biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đ nh thành đ nh, biến cạnh thành cạnh

T nh chất 2.2.3.1 Với bất kì hai điểm A, B và ảnh A của chúng qua một phép

Hình 2.7

H' H

cách Do vậy, phép dời hình là một phép biến hình bảo toàn khoảng cách Người

ta còn gọi nó là phép biến hình đẳng c , hay là phép đẳng c

2.2.4 Ph p đ i xứng tr c

2.2.4.1 Định nghĩa

Định nghĩa 2.2.4.1 Trong mặt phẳng cho đường thẳng d, phép biến hình biến

mỗi điểm M thành điểm M sao cho d là đường thẳng trung trực của đoạn thẳng

MM gọi là phép đối xứng trục d (H.2.8)

Đường thẳng d được gọi là trục của phép đối

xứng hay đơn giản là trục dối xứng

Kí hiệu: Đd

Vậy: Đd(M) = M' ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

MM

Chú ý: Đối với phép đối xứng trục Đd , mọi

điểm nằm trên trục đối xứng d đều là điểm

bất động, các điểm còn lại của P đều không

2.2.4.2 Các t nh chất và định

Định 2.2.4.1 ,1- h p đối x ng tr c một ph p d i hình

NN cùng vuông góc với trục d tại trung điểm H, K của chúng

Vậy phép đối xứng trục là một phép dời hình □

Từ định lí trên ta suy ra được một số tính chất sau đây

Tính chất 2.2.4.1 Phép đối xứng trục biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm

H

Phép đối xứng trục Đd có tính chất đối hợp Tức là phép đảo ngược của phép đối xứng trục Đd là chính nó Đd-1= Đd

2.2.4.3 Biểu thức tọa đ của ph p đ i ứng tr c

( ) thành ( ) có biểu thức tọa độ sau :

Định nghĩa 2.2.5.1 Trong mặt phẳng cho điểm I, phép biến hình biến mỗi điểm

M khác I thành điểm M sao cho I là trung điểm của đoạn MM gọi là phép đối

T nh chất 2.2.5.1 Phép đối xứng ĐI biến 3 điểm thẳng hàng thành 3 điểm thẳng hàng, đường thẳng d thành đường thẳng d // d hoặc d  d , góc

xOy thành góc x Oy = xOy và các cạnh của chúng cùng phương, đường tròn O;

R thành đường tròn O ; R

2.2.5.3 Biểu thức tọa đ của ph p đ i ứng t m

Định nghĩa 2.2.6.1 Trong mặt phẳng cho điểm O và góc lượng giác , phép

góc quay

Kí hiệu: Q(O, )

Vậy ( )( ) { ( )

Nh n t: Chiều di động của M trên đường tròn tâm O bán kính OM đến trùng

đường tròn tâm O, bán kính OM đến trùng với điểm M cùng chiều kim đồng hồ,

phép quay theo chiều dương, còn phép quay Q(O, ) là phép quay theo chiều âm

trong mặt phẳng có hai chiều xác định (H.2.16)

trong đó O, M, N không thẳng hàng (H.2.17) Theo định nghĩa phép quay, ta có:

tam giác MON và bằng nhau, do

Hình 2.16

α α

Từ định lí trên ta suy ra một số tính chất sau đây

T nh chất 2.2.6.1 Phép quay Q(O, )biến:

- Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và bảo toàn thứ tự của chúng

- Đường thẳng d thành đường thẳng d và góc định hướng d, d = nếu <

2.2.6.2 Biểu thức tọa đ của ph p đ i quay

Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho điểm I(a ; b) cố định Xét phép quay

tâm I, góc quay Giả sử cho điểm ( ) và điểm ( ) là ảnh của điểm

M qua phép quay tâm I Khi đó ta có biểu thức tọa độ sau đây

( ) ( )

*Trườ ợp đặc b ệt

Nếu tâm quay I là điểm O 0 ;0 Khi đó biểu thưc tọa độ của phép quay tâm O

góc quay có dạng như sau :

{

- Nếu k = -1 phép vị tự là phép đối xứng qua tâm vị tự

- Nếu k > 0, thì V(O, k ) là phép vị tự dương, tâm vị tự O nằm ngoài đoạn

Định lí 2.2.7.1 ,1- u ph p v t t số bi n hai điểm M v N n ư t th nh hai điểm M v thì

Hệ quả 2.2.7.1 h p v t t số bi n đư ng thẳng th nh đư ng thẳng song

song (ho c trùng) v i đư ng thẳng đ , bi n tia th nh tia, bi n đo n thẳng th nh

đo n thẳng m độ d i đư c nh n n v i | | bi n tam giác th nh tam giác đ ng

I'

M

Giả sử V là phép vị tự tâm O t số k và I ; R là đường tròn đã cho Gọi I

Bởi vậy R khi và ch khi | | hay là M thuộc đường tròn I ; R

2.2.7.3 Biểu thức tọa đ của ph p vị t

Trong mặt phẳng, với hệ tọa độ Đề - các vuông góc, cho phép vị tự tâm I

(x o ;y o với t số vị tự k  0 biến một điểm ( ) thành điểm (  ) sao cho ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗ Ta có:

b) Nếu chọn gốc tọa độ O là tâm vị tự, từ 1 ta suy ra phương trình sau:

{

2.2.8 Ph p đồng dạng

2.2.8.1 Định nghĩa

Định nghĩa 2.2.8.1 Phép biến hình F được gọi là phép đồng dạng t số k (k > 0)

(H.2.20)

B

B' M

N

M'

N'

Nói cách khác, phép đồng dạng t số k (k > 0 là phép biến hình của mặt

phẳng, nhân khoảng cách giữa bất kì hai điểm nào của nó với cùng một số

dương k xác định cho trước

Như vậy, phép vị tự t số k là phép đồng dạng t số| | Phép dời hình c ng

Hệ quả 2.2.8.1 ,1- h p đ ng d ng bi n ba điểm thẳng h ng th nh ba điểm

thẳng h ng (v h ng m thay đổi th t ba điểm đ ), bi n đư ng thẳng th nh

đư ng thẳng, bi n tia th nh tia, bi n đo n thẳng th nh đo n thẳng m độ d i

đư c nh n n v i ( t số của ph p đ ng d ng), bi n tam giác th nh tam giác đ ng d ng v i t số , bi n đư ng tr n c bán nh th nh đư ng tr n c bán nh , bi n g c th nh g c bằng n

Chú ý:

c ng biến trọng tâm , trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp, ngoại tiếp của tam giác BC tương ứng thành trọng tâm, trực tâm, tâm các đường tròn nội tiếp,

b) Phép đồng dạng biến đa giác n cạnh thành đa giác n cạnh, biến đ nh thành

đ nh, biến cạnh thành cạnh

2.2.8.3 Biểu thức tọa đ của ph p đồng ạng

Trong mặt phẳng Euclid P cho mục tiêu trực chuẩn ( ) Xét phép

đồng dạng f: P P với t số k > 0, k = 1 Ta đã biết f = D.V, trong đó V là phép

vị tự tâm O t số k, còn D là phép đẳng cự (hay phép dời hình)

O O

CHƯƠNG 3

MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA PHÉP BIẾN HÌNH

Trong chương này trình bày các ứng dụng về định nghĩa, tính chất của phép biến hình vào giải dạng các bài toán hình học Các mục sau đây trình bày các phương pháp giải và ví dụ về ứng dụng của phép biến hình vào giải toán Các bài toán trong mục này dựa trên các tài liệu , -, , -, , -, , -, , -

3.1 Ứng d ng của phép bi n hình vào giải các dạng bài toán chứng minh ho c ác định các y u t hình học

3.1.1 Phương pháp

Để giải các bài toán dạng này ta cần:

- Xác định phép biến hình phù hợp dựa vào giả thiết bài toán

- Vận dụng định nghĩa; các tính chất; mối liên hệ giữa các phép biến hình: phép tịnh tiến, phép quay xung quanh một trục, phép đối xứng tâm, phép đồng dạng, phép vị tự, phép dời hình để chứng minh các yếu tố trong hình hoặc xác định các tính chất của hình

3.1.2 Ví d

Ví dụ 3.1.1 Cho hai đường tròn O; R và O ; R tiếp xúc ngoài với nhau tại K

Chứng minh rằng phép tịnh tiến vectơ OO'⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ biến A thành B

Phân tích: - Từ yêu cầu bài toán, ta thấy phép biến hình cần sử dụng trong bài

toán này là phép tịnh tiến

- Theo giả thiết ta xác định được vectơ cố định trong bài là '⃗⃗⃗⃗⃗⃗ Từ vectơ cố định ta xác định một phép tịnh tiến phù hợp, tức là dựng hình bình hành

- Theo định nghĩa phép tịnh tiến ta suy ra A là ảnh của B qua phép tịnh tiến vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗

Từ đó ta có thể giải bài toán như sau

Từ giải thiết bài toán, ta suy ra rằng các điểm A, B nằm cùng một phía đối

Theo định nghĩa của phép tịnh tiến, suy

ra phép tịnh tiến vectơ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ biến A

thành B □

Ví dụ 3.1.2 Cho tứ giác lồi ABCD Chứng minh rằng:

Phân tích: - Đây là bài toán chứng minh một bất đẳng thức hình học Phương

pháp chứng minh bài toán trên là tìm một phép đối xứng trục sao cho diện tích

tứ giác không đổi, nhưng thứ tự cạnh của tứ

giác đó thay đổi (H.3.2)

Thật vậy, ta dựng đường trung trực

(d của đoạn C và gọi D' là ảnh của D

giác CDD là hình thang cân

D'