Nghiên cứu độ rộng vạch phổ trong dây lượng tử hình chữ nhật

Nghiên cứu độ rộng vạch phổ trong dây lượng tử hình chữ nhật.

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG DỰ BỊ ĐHDT TRUNG ƯƠNG NHA TRANG

ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC

Nha trang, tháng 6 năm 2010

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu

và kết quả nghiên cứu nêu trong đề tài là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nghiên cứu nào khác.

Tác giả đề tài

Nguyễn Đình Hiên

LỜI CẢM ƠN

Hoàn thành đề tài nghiên cứu khoa học này, tôi trân trọng bày tỏlòng biết ơn sâu sắc đến Ban Giám Hiệu, Hội đồng khoa học, trưởng bộmôn Lý - Sinh, cùng toàn thể quí thầy cô và các anh chị công nhân viêncủa nhà trường đã động viên, chia sẽ, đóng góp ý kiến và giúp đỡ tôihoàn thiện đề tài này

Tác giả đề tài

Nguyễn Đình Hiên

MỤC LỤC

Trang phụ bìa i

Lời cam đoan ii

Lời cảm ơn iii

Mục lục 1

MỞ ĐẦU 3 NỘI DUNG 10

Chương 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN 10

1.1 Phép chiếu toán tử loại II 10

1.2 Bán dẫn dây lượng tử và Hamiltonian của hệ electron-phonon khi có mặt điện trường 13

1.2.1 Bán dẫn dây lượng tử hình chữ nhật 13

1.2.2 Hamiltonian của hệ electron - phonon trong điện trường 14

1.3 Tính toán giải tích hàm dạng phổ 16

1.3.1 Biểu thức tổng quát của tenxơ độ dẫn 16

1.3.2 Sử dụng phép chiếu phụ thuộc trạng thái loại II để tính biểu thức tenxơ độ dẫn 20

Chương 2 TÍNH GIẢI TÍCH ĐỘ RỘNG VẠCH PHỔ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT 24 2.1 Biểu thức độ rộng vạch phổ 24

2.1.1 Biểu thức của hàm dạng phổ 24

2.1.2 Biểu thức độ rộng vạch phổ 34

2.2 Biểu thức công suất hấp thụ 42Chương 3 LẬP TRÌNH ĐỂ KHẢO SÁT SỐ VÀ VẼ

ĐỒ THỊ 433.1 Kết quả tính số và thảo luận 433.1.1 Khảo sát sự phụ thuộc của công suất hấp thụ vào

tần số trường ngoài 453.1.2 Khảo sát sự phụ thuộc của nửa độ rộng vạch phổ

vào nhiệt độ và kích thước của dây 47KẾT LUẬN 49TÀI LIỆU THAM KHẢO 51PHỤ LỤC P.1

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Hiện nay trên thế giới đã và đang hình thành một ngành khoa học

và cộng nghệ mới, có nhiều triển vọng và dự đoán sẽ tác động mạnh

mẽ đến tất cả các lĩnh vực khoa học, công nghệ, kỹ thuật cũng như đờisống-kinh tế xã hội ở thế kỷ 21 Đó là Khoa học và Công nghệ Nano.Đây là lĩnh vực mang tính liên ngành cao, bao gồm vật lý, hóahọc, y dược-sinh học, công nghệ điện tử tin học, công nghệ môi trường

và nhiều công nghệ khác Theo trung tâm đánh giá công nghệ thế giới(World Technology Evaluation Centrer), trong tương lai sẽ không cóngành công nghiệp nào mà không ứng dụng công nghệ nano [4]

Khoa học và Công nghệ Nano được định nghĩa là khoa học và côngnghệ nhằm tạo ra và nghiên cứu các vật liệu, các hệ thống, các cấu trúc

và các linh kiện có kích thước trong khoảng từ 0,1 đến 100 nm, với rấtnhiều tính chất khác biệt so với vật liệu khối [4] Thật vậy, các nhànghiên cứu đã chỉ ra rằng khi kích thước của chất bán dẫn giảm xuốngmột cách đáng kể theo 1 chiều, 2 chiều, hoặc cả 3 chiều thì các tính chấtvật lý: tính chất cơ, nhiệt, điện, từ, quang thay đổi một cách đột ngột.Chính điều đó đã làm cho các cấu trúc nano trở thành đối tượng của cácnghiên cứu cơ bản, cũng như các nghiên cứu ứng dụng Các tính chấtcủa các cấu trúc nano có thể thay đổi được bằng cách điều chỉnh hìnhdạng và kích thước cỡ nanomet của chúng [1], [4]

Khi giảm kích thước của vật rắn xuống theo một phương nào đó(phương x) chỉ còn vào cỡ vài nanomet (nghĩa là cùng bậc độ lớn vớibước sóng de Broglie của hạt tải điện) thì các electron có thể vẫn chuyểnđộng hoàn toàn tự do trong mặt phẳng (y,z), nhưng chuyển động của

chúng theo phương x sẽ bị giới hạn Hệ electron như vậy gọi là hệ điện

tử chuẩn hai chiều và chất bán dẫn được gọi là bán dẫn chuẩn 2 chiều(giếng lượng tử và siêu mạng)

Nếu kích thước của vật rắn theo phương y cũng co lại chỉ còn vào

cỡ vài nanomet, khi đó các electron chỉ có thể chuyển động tự do theophương z, còn chuyển động của chúng theo các phương y và x đã bịlượng tử hóa Hệ electron như vậy gọi là hệ điện tử chuẩn một chiều vàchất bán dẫn như vậy gọi là bán dẫn chuẩn 1 chiều hay dây lượng tử.Tương tự, nếu kích thước của vật rắn theo cả 3 phương đều co lại chỉcòn vào cỡ vài nanomet thì chuyển động của các electron theo 3 phương(x-y-z) đều bị giới hạn hay nói cách khác các electron bị giam giữ theo cả

3 chiều, thì hệ được gọi là một "chấm lượng tử" Tuy nhiên, định nghĩanày có phần không chặt chẽ, ví dụ, các đám (clusters) bao gồm một số

ít nguyên tử không được coi là các chấm lượng tử, bởi vì mặc dù kíchthước của các đám này nhỏ hơn bước sóng de Broglie, nhưng tính chấtcủa chúng phụ thuộc rất mạnh vào số nguyên tử tạo nên chúng Chỉ cócác đám lớn hơn, có cấu trúc mạng hoàn toàn xác định và tính chất củachúng không còn phụ thuộc vào số nguyên tử nữa, mới được coi là cácchấm lượng tử [1], [2]

Những vật liệu có cấu trúc như trên gọi là vật liệu thấp chiều haybán dẫn chuẩn thấp chiều, cấu trúc này có nhiều tính chất mới lạ so vớicấu trúc thông thường, cả về tính chất quang, điện cũng như mật độtrạng thái

Việc chuyển từ hệ điện tử 3 chiều sạng hệ điện tử chuẩn 1 chiều đãlàm thay đổi đáng kể cả về mặt định tính cũng như định lượng nhiềutính chất vật lý trong đó có tính chất quang, điện của vật liệu Sự giamgiữ điện tử trong các dây lượng tử làm cho các phản ứng của hệ điện

tử đối với các tác dụng ngoài (từ trường, điện trường, điện từ trường )xảy ra khác biệt so với trong hệ điện tử 3 chiều và 2 chiều Cấu trúcbán dẫn một chiều đã làm thay đổi đáng kể nhiều đặc tính của các vậtliệu, đồng thời cũng đã làm xuất hiện thêm nhiều đặc tính mới ưu việthơn mà các hệ điện tử 3 chiều và 2 chiều không có Các vật liệu bán dẫnmới với các cấu trúc 1 chiều đã giúp cho việc tạo ra các linh kiện, thiết

bị dựa trên những nguyên tắc hoàn toàn mới và công nghệ hiện đại cótính chất cách mạng trong khoa học kỹ thuật nói chung và trong lĩnhvực quang-điện tử nói riêng Đó là lý do tại sao các bán dẫn có cấu trúc

1 chiều đã, đang và sẽ được nhiều nhà vật lý quan tâm nghiên cứu

Về mặt thực nghiệm, sự phát triển của các mẫu bán dẫn chất lượngcao đã mở ra một khả năng mới cho việc nghiên cứu Với những mẫunhư thế, chúng ta có khả năng đo được trực tiếp khối lượng hiệu dụngcủa electron, đại lượng phản ánh cấu trúc của vùng dẫn mini và thờigian phục hồi dịch chuyển hạt tải thông qua hàm dạng phổ cộng hưởngelectron-phonon Cho đến nay, đây là phương pháp trực tiếp nhất vàchính xác nhất để cung cấp những thông tin như thế

Về mặt lý thuyết, việc nghiên cứu các tính chất mới của điện tửtrong bán dẫn thấp chiều đã và đang nhận được sự quan tâm của rấtnhiều nhà Vật lý Mặc dù có khá nhiều cách tiếp cận vấn đề này nhưngphép chiếu toán tử vẫn là một phương pháp được quan tâm với lý do làvới các toán tử chiếu hoàn toàn xác định, chúng ta có thể thu được mộtcông thức độ dẫn khá hoàn hảo, biểu thức hàm dạng phổ tường minh[15] Lý thuyết của Cho và Choi dùng để tính tốc độ hồi phục trong Ge

và Si bỏ qua tán xạ thế biến dạng bằng cách sử dụng các toán tử chiếuphụ thuộc trạng thái loại I, được định nghĩa bởi Badjou và Argyres [14].Tuy nhiên, trong lý thuyết này, sự phát xạ (hấp thụ) phonon không đượcgiải thích một cách chặt chẽ Nói cách khác, mặc dù có xét đến hiệu ứng

nhiều hạt nhưng hàm phân bố của điện tử và phonon chỉ được kết hợpngẫu nhiên.

Để khắc phục các nhược điểm trên, chúng tôi áp dụng một phươngpháp chiếu mới, đó là phương pháp chiếu phụ thuộc trạng thái loại II.Phương pháp này có ưu điểm là khắc phục được sự phân kỳ của thế tán

xạ, chứa tường minh các hàm dạng phổ và sẽ đưa ra được tất cả cácdịch chuyển có thể có của electron vì vậy, bằng cách sử dụng phép chiếutoán tử phụ thuộc trạng thái loại II, biểu thức của tenxơ độ dẫn sẽ đượcdiễn tả một cách tường minh hơn

Cộng hưởng electron-phonon ( Electrophonon resonance-EPR ) làmột hiện tượng thú vị xảy ra trong bán dẫn dưới tác dụng của trườngngoài Hiện tượng này liên quan đến tính kỳ dị của mật độ trạng tháicủa electron trong bán dẫn Khi hiệu số hai mức năng lượng của electronbằng năng lượng phonon cùng với điều kiện thế đặt vào đủ lớn thì sẽxảy ra sự cộng hưởng EPR [30] Nếu quá trình hấp thụ LO-phonon

có sự hấp thụ hoặc phát xạ photon thì ta sẽ có hiệu ứng cộng hưởngelectron-phonon dò tìm quang học (Optically detected electron-phononresonance-ODEPR) [30] Hiện tượng EPR được bắt đầu nghiên cứu kể từnăm 1972 bởi Bryskin và Firsov cho trường hợp bán dẫn không suy biếnđặt trong điện trường mạnh, cho đến nay đã có một số công trình nghiêncứu vấn đề này, chẳng hạn nhóm của Sang Chil Lee và đồng nghiệp [28];nhóm Se Gi Yu [41] Việc nghiên cứu hiệu ứng EPR/ODEPR trongcác thiết bị lượng tử hiện đại đóng vai trò rất quan trọng trong việc hiểubiết tính chất chuyển tải lượng tử của hạt tải điện trong bán dẫn

Vì vậy, nghiên cứu hiệu ứng EPR/ODEPR cũng sẽ cho ta thu đượccác thông tin của hạt tải và phonon

Việc nghiên cứu hiệu ứng EPR/ODEPR trong bán dẫn dây lượng

tử đã và đang được các nhà khoa học rất quan tâm Sở dĩ như vậy là đốivới một bán dẫn có độ thuần khiết cao thì tương tác electron-phonon làloại tương tác chủ yếu Nó sẽ góp phần làm sáng tỏ các tính chất mớicủa khí electron chuẩn 1 chiều dưới tác dụng trường ngoài, từ đó cungcấp thông tin về tinh thể và tính chất quang của dây lượng tử bán dẫncho công nghệ chế tạo các linh kiện quang điện tử và quang tử.

Chính vì vậy, chúng tôi chọn đề tài "Nghiên cứu về độ rộngvạch phổ trong dây lượng tử hình chữ nhật" làm đề tài nghiêncứu của mình

2 Lịch sử nghiên cứu của đề tài

Trong những năm gần đây, một số tác giả của trường ĐHSP Huế

đi sâu nghiên cứu về phản ứng của hệ electron - phonon dưới tác dụngcủa trường ngoài Có một số tác giả nghiên cứu những vấn đề liên quannhư: Cộng hưởng cyclotron khi có mặt tương tác electron-phonon trongbán dẫn hố lượng tử, dò bằng quang học cộng hưởng electron-phonontrong hố lượng tử, hiệu ứng Cerenkov trong bán dẫn dây lượng tử hìnhtrụ

Ở nước ngoài:

Trong những năm gần đây, có một số nhóm tác giả chú tâm nghiêncứu về cộng hưởng electron - phonon trong bán dẫn thấp chiều như:

Se Gi Yu, Pevzner V B và Kim K W.: Nghiên cứu cộng hưởngelectron-phonon trong dây lượng tử hình trụ, tập trung vào nghiên cứu

sự khác nhau về quy tắc lọc lựa để khảo sát khả năng phát hiện sự giamgiữ electron trong dây lượng tử [41]

Sang Chil Lee, Jeong Woo Kanga, Hyung Soo Ahn, Min Yang, NamLyong Kang, Suck Whan Kim: Sử dụng độ dẫn quang thu được từphương pháp toán tử chiếu Mori để khảo sát tính chất của cộng hưởngelectron-phonon trong hố lượng tử

Tuy vậy, chưa có tác giả nào đề cập đến vấn đề độ rộng vạch phổtrong dây lượng tử hình chữ nhật mà đề tài dự kiến thực hiện

3 Mục tiêu của đề tài

Nghiên cứu độ rộng vạch phổ trong dây lượng tử hình chữ nhật dướitác dụng của trường ngoài

4 Nhiệm vụ nghiên cứu

Sử dụng phương pháp toán tử chiếu phụ thuộc trạng thái loại II

để tìm độ dẫn điện và độ rộng vạch phổ do tương tác electron-phonontrong dây lượng tử hình chữ nhật với thế vô hạn dưới tác dụng củatrường laser, từ đó khảo sát số về độ rộng vạch phổ

5 Phương pháp nghiên cứu

- Sử dụng các phương pháp lý thuyết trường lượng tử cho hệ nhiềuhạt trong vật lý thống kê, trong đó tập trung nhiều vào phương pháptoán tử chiếu phụ thuộc trạng thái loại II

- Lập trình mathematica để tính số và vẽ đồ thị

6 Giới hạn đề tài

Đề tài này tập trung nghiên cứu độ rộng vạch phổ trong dây lượng

tử hình chữ nhật với các giới hạn sau:

- Chỉ xét trường hợp phonon khối (3 chiều)

NỘI DUNG

Chương 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ TỔNG QUAN

Chương này trình bày tổng quan về phép chiếu toán tử loại II, bán dẫn dây lượng tử hình chữ nhật, về Hamiltonian của hệ electron-phonon khi có mặt trường ngoài; trình bày tính toán giải tích để thu được biểu thức tenxơ độ dẫn và hàm dạng phổ.

1.1 Phép chiếu toán tử loại II

Phép chiếu toán tử lần đầu tiên được Hazime Mori đưa ra vào năm

1965 khi nghiên cứu sự chuyển tải của hệ nhiều hạt [32], gọi là phép

chiếu toán tử Mori Qua quá trình nghiên cứu, phép chiếu toán tử Mori

phát triển với nhiều cách định nghĩa toán tử chiếu khác nhau tùy vàomục đích tính toán Chẳng hạn, để khai triển biểu thức của tenxơ độdẫn được cho bởi

Khi đó, các toán tử chiếu có thể được định nghĩa theo cách khác nhưsau

tử chọn làm phương chiếu A thì bằng chính toán tử A, Q tác dụng lêntoán tử A bằng không và tích hai toán tử chiếu bằng không

Chẳng hạn, với các toán tử chiếu của Suzuki A và Ashikawa M.[39] thì

vào hai trạng thái α và β, nên gọi là phép chiếu phụ thuộc trạng thái.

Đây là hai kỹ thuật chiếu được sử dụng nhiều nhất khi nghiên cứu độdẫn từ [14]

Ngoài ra, dựa trên hình thức luận Mori, người ta đưa ra nhiềuphương pháp chiếu khác nhau, tùy thuộc vào mục đích tính toán, như

kỹ thuật chiếu cô lập, kỹ thuật chiếu mật độ cân bằng,

Như vậy, một cách tổng quát, có hai loại kỹ thuật chiếu: kỹ thuậtchiếu một electron và kỹ thuật chiếu hệ nhiều electron Kỹ thuật chiếu

hệ nhiều electron được sử dụng rộng rãi hơn vì trên thực tế, nói chunghình thức luận hệ nhiều hạt trong vật rắn không thể rút gọn về hìnhthức luận một hạt Các phép chiếu hệ nhiều hạt được sử dụng nhiềunhất là phép chiếu phụ thuộc trạng thái và phép chiếu độc lập trạngthái Phép chiếu phụ thuộc trạng thái lại được chia thành hai loại khác

nhau, đó là phép chiếu phụ thuộc trạng thái loại I và loại II do nhómtác giả Kang N L và cộng sự đưa ra trong những năm gần đây [6], [12].

Ta đã biết, Badjou và Argypres [6] là nhóm tác giả đầu tiên đưa raphép chiếu phụ thuộc trạng thái trong tính toán công suất hấp thụ củacyclotron trong bán dẫn Nhóm tác giả này định nghĩa phép chiếu phụthuộc trạng thái như sau:

tử dòng của hệ Phép chiếu này phụ thuộc trạng thái | αi, | βi, toán tử

P αβ (k) tác dụng lên toán tử X sẽ chiếu X lên phương của toán tử J k Phép

chiếu này được gọi là phép chiếu phụ thuộc trạng thái loại I.

Nhóm Kang N L và Choi S D đã định nghĩa phép chiếu phụ

thuộc trạng thái loại II [12] như sau:

P αβ γδ X ≡ hXi γδ a+γ a δ /ha+α a β i γδ ,

trong đó hXi γδ ≡ T R {ρ eq [X, a+γ a δ ]} Phép chiếu này phụ thuộc trạng thái

| αi, | βi, | γi, | δi, toán tử P αβ γδ tác dụng lên toán tử X sẽ chiếu X lên phương của toán tử a+

khi sử dụng phép chiếu phụ thuộc trạng thái trong nhiều bài toán khácnhau [19], [36], nhóm này đã thu được biểu thức của tenxơ độ dẫn vàhàm dạng phổ với dạng phù hợp hơn Đặc biệt từ biểu thức của hàmdạng phổ thu được có thể giải thích được quá trình chuyển mức nănglượng của electron kèm theo sự phát xạ hoặc hấp thụ phonon khi điềukiện bảo toàn năng - xung lượng được thỏa mãn.

Năm 2008, nhóm Kang, Choi [12] đã đưa ra kĩ thuật chiếu phụthuộc trạng thái loại II, so sánh với kĩ thuật chiếu phụ thuộc trạng tháiloại I của nhóm Badjou và Argyres [6] và nhận thấy nhiều ưu điểm vượttrội của phép chiếu loại II này Phép chiếu loại I chỉ áp dụng cho trườnghợp khoảng cách giữa hai mức năng lượng gần nhất là không đổi Phépchiếu loại II áp dụng cho trường hợp tổng quát hơn, đó là trường hợpkhoảng cách giữa hai mức năng lượng gần nhất là có thể thay đổi [12].Đây chính là sự mới mẻ và có nhiều ưu điểm nổi bậc của phép chiếu này

1.2 Bán dẫn dây lượng tử và Hamiltonian của hệ

electron-phonon khi có mặt điện trường

1.2.1 Bán dẫn dây lượng tử hình chữ nhật

Mô hình dây lượng tử hình chữ nhật hay được đề cập đến trong cáccông trình nghiên cứu về mặt lý thuyết cũng như thực nghiệm Các loạithế giam giữ hay được sử dụng nhất là thế cao vô hạn, thế parabol, thếtam giác Sử dụng loại thế nào là tùy thuộc vào điều kiện của từng bàitoán (các giả thiết về cấu hình electron, cấu trúc hình học của dây, nhiệt

độ, trường ngoài, ), yêu cầu thực nghiệm và mức độ phức tạp của hốthế đó

Xét mô hình dây lượng tử hình chữ nhật với thế cao vô hạn bên

ngoài dây.

Hàm sóng và năng lượng của điện tử trong dây lượng tử hình chữ

nhật có tiết diện (L x × L y ) và chiều dài L z được cho bởi:

~ E(t) =

Hamiltonian toàn phần của hệ eletron-phonon trong biểu diễn lượng

tử hóa lần thứ hai được xác định bởi biểu thức [19]

dạng chéo H d và Hamiltonian tương tác electron - phonon không chéo

η (a η) là toán tử sinh (toán tử hủy) của electron ở trạng

thái η với năng lượng ε η = hη|h e |ηi; b+~q (b ~q) là toán tử sinh (hủy) phonon

có vectơ sóng ~q, năng lượng ~ω ~q Đại lượng C η,µ (~q) = V ~q hη|e i~q~r |µi là yếu

tố ma trận tương tác electron - phonon, ~r là vectơ vị trí của electron, V ~q

là thừa số kết cặp, phụ thuộc vào mode của phonon

Hamiltonian tương tác phụ thuộc vào trường ngoài biến thiên theothời gian được cho bởi [38]

H int (t) = − i

Sử dụng giả thiết đoạn nhiệt, biểu thức Hamiltonian tương tác có

thêm thừa số e ∆t , với ∆ → +0 Lúc đó (1.12) trở thành

H int (t) = − i

ω E ` e

−i¯ ωt J ` (1.13)

với ¯ω = ω − i∆.

1.3 Tính toán giải tích hàm dạng phổ

1.3.1 Biểu thức tổng quát của tenxơ độ dẫn

Khi hệ electron-phonon trong bán dẫn được đặt trong điện trườngbiến thiên theo thời gian thì trong hệ sẽ xuất hiện độ dẫn quang Giả sử

độ dẫn suy ra từ mật độ dòng điện được viết theo khai triển của toán

tử mật độ thành tổng các số hạng từ bậc một đến bậc n Bây giờ ta tìm khai triển của toán tử mật độ dòng điện ~ J.

Giá trị trung bình của một đại lượng bất kỳ theo phương phápthống kê lượng tử bằng vết nhiều hạt của tích đại lượng này với toán

tử mật độ Giả sử ban đầu hệ ở trạng thái cân bằng nhiệt động, toán

tử mật độ cân bằng của hệ lúc này là ρ eq Khi có mặt trường ngoài phụthuộc thời gian, toán tử mật độ thay đổi theo thời gian và có thể khaitriển thành

trong đó ρ int (t) là toán tử mật độ khi có nhiễu loạn Phương trình

Liou-ville cho toán tử mật độ có dạng

i~ ∂ρ(t)

∂t = [H(t), ρ(t)] ≡ L(t)ρ(t), (1.15)L(t) là toán tử Liouville toàn phần được định nghĩa bởi L(t)X ≡ [H(t), X],

với X là toán tử tuyến tính bất kỳ Toán tử Liouville cũng có thể phân tích thành hai thành phần, L(t) = L eq + L int (t), tương ứng với các thành phần H eq và H int (t).

Thay biểu thức của H(t) và ρ(t) trong (1.10) và (1.14) vào phương

Do toán tử mật độ cân bằng không phụ thuộc thời gian nên

i~ ∂ρ eq

∂t = [H eq , ρ eq ] = 0, (1.16)

vì vậy phương trình Liouville trở thành

i~ ∂ρ int (t)

∂t = [H eq , ρ int (t)] + [H int (t), ρ eq ] + [H int (t)ρ int (t)]. (1.17)

Để tìm ρ int (t), ta định nghĩa toán tử mật độ trong biểu diễn Dirac

e iH eq t/~ Ae −iH eq t/~ = e iL eq t/~ A,

nên biểu thức (1.19) có thể viết lại thành

i~ ∂ρ

D int (t)

iL eq t/~ L int (t)ρ eq + e iL eq t/~ L int (t)ρ int (t).

Tích phân hai vế của biểu thức này từ −∞ đến t với điều kiện ban đầu

dt1e −iL eq t1/~ L int (t − t1)ρ int (t − t1).

Đây là biểu thức của toán tử mật độ nhiễu loạn khi có trường ngoài

tại thời điểm t Toán tử mật độ lúc này được phân tích thành tổng hai

thành phần, một thành phần chứa toán tử mật độ trung bình và thành

phần kia chứa toán tử mật độ nhiễu loạn tại thời điểm t − t1 Viết biểu

thức này cho ρ int (t − t1) bằng cách thay t bởi (t − t1), sau đó thay biểu

thức thu được vào biểu thức của ρ int (t), ta được

Tiếp tục thay biểu thức của ρ int (t−t1−t2 ) cho đến ρ int (t−t1− .−t n),

ta được biểu thức khai triển của toán tử mật độ đến số hạng thứ n,

trong đó ρ (i) (t), với i = 1, , n, là ma trận thứ i trong khai triển.

Từ khai triển của toán tử mật độ, ta có thể tìm giá trị trung bìnhcủa một đại lượng động lực bất kỳ một cách chính xác (khai triển đến

bậc n) Ở đây ta quan tâm đến độ dẫn của hệ Trung bình theo tập hợp thống kê (emsemble average) của thành phần thứ k (k ≡ x, y, z) của toán tử mật độ dòng điện ~ J được cho bởi [21]

Từ đó ta tìm được số hạng trung bình bậc 1 của toán tử mật độdòng

Đại lượng σ kl (ω) được gọi là tenxơ độ dẫn tuyến tính Thay (1.24)

vào (1.30) ta được biểu thức tổng quát của tenxơ độ dẫn

Để thực hiện điều đó, ta định nghĩa hai toán tử chiếu phụ thuộc

trạng thái loại II P αβ γδ và Q γδ αβ như sau [12]

trong đó Ωγ,δ và Γγ,δ(¯ω) được gọi là các hàm dạng phổ cho trường hợp

tuyến tính Ta có thể chứng minh được Ωγ,δ(¯ω) = 0 (Phụ lục 5), nên

(1.43) và (1.44) được viết lại như sau

Chương 2.

TÍNH GIẢI TÍCH ĐỘ RỘNG VẠCH PHỔ TRONG DÂY LƯỢNG TỬ HÌNH CHỮ NHẬT

Chương này trình bày tính toán giải tích tường minh độ rộng vạch phổ cho mô hình được chọn Biểu thức của hàm dạng phổ có chứa độ dịch phổ và độ rộng vạch phổ thể hiện các quá trình chuyển mức của electron do tương tác với phonon và điện trường ngoài.

Giả sử tương tác là yếu, khi đó ta có thể lấy gần đúng ρ eq ≈ ρ d.

Thay L eq = L d + L ν vào SH1(2.6), rồi sau đó áp dụng đẳng thức (AB)

SH1(2.6) = T R©ρ d [L ν a+γ a δ , (~¯ ω − L d − L ν)−1 L ν a+γ a δ]ª/~ha+α a β i γ,δ

= T R©ρ d [L ν a+γ a δ , (~¯ ω − L d)−1 L ν a+γ a δ]ª/~ha+α a β i γ,δ

+ T R©ρ d [L ν a+γ a δ , (~¯ ω − L d)−1 L ν(~¯ω − L eq)−1 L ν a+γ a δ]ª/~ha+α a β i γ,δ

(2.7)

k B T )]−1 là hàm phân bố Fermi-Dirac của electron

ở trạng thái |αi; ε F là năng lượng Fermi ở nhiệt độ T ;

N ~q = [exp(~ω ~ q

k B T )−1] −1 là hàm phân bố Bose-Einstein của phonon có năng

lượng ~ω ~q

Biểu thức hàm dạng phổ (2.10) có thể tính cụ thể từ khai triển các

số hạng và tính trung bình thống kê theo toán tử mật độ

Thay các Hamiltonian tương ứng cùng toán tử Liouville vào, ta có(Phụ lục 7)

Thay (2.11), (2.13), (2.15) vào (2.10), rồi lấy tổng theo γ và δ, ta được (f β − f α)~Γα,β(¯ω)

Trong (2.17) có 16 số hạng, trong đó có 8 số hạng chứa hoặc 2 toán

tử sinh phonon hoặc 2 toán tử hủy phonon, đó là SH1.1, SH1.3, SH2.2,SH2.4, SH3.1, SH3.3, SH4.2, SH4.4 Tám số hạng này sẽ cho đóng gópbằng 0 vì trị trung bình của hai toán tử cùng sinh phonon hoặc cùng

hủy phonon bằng không Thật vậy, chẳng hạn từ (2.17) ta chứng minh

với SH1.1, áp dụng khai triển giao hoán tử, ta có (Theo phụ lục 12)