Loi giai dai so cho cac bai toan cuc tri hinh giaitich

Trên đây là một số ví dụ chúng tôi đưa ra nhằm mục đích giúp bạn đọc thấy được những điểm mạnh của từng phương pháp .Qua đó bạn đọc có thể lựa chọn phương pháp giải cho mình khi tiếp c[r]

LỜI GIẢI ĐẠI SỐ TRONG CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ HÌNH GIẢI TÍCH

Các bộ môn toán học luôn có mối quan hệ chặt chẽ với nhau Người ta vẫn thường dùng công cụ của bộ môn này để giải quyết các bài toán thuộc bộ môn khác một cách hiệu quả Bài viết này chúng tôi muốn bàn về việc sử dụng Đại số để giải quyết các bài toán cực trị hình học giải tích Để tiện cho việc theo dõi cũng như có sự so sánh chúng tôi có đưa ra các lời giải hình học cho mỗi bài toán đó Mời các bạn cùng theo dõi các bài toán sau

BÀI TOÁN 1 Trong không gian toạ độ O xy cho mặt phẳng   :xyz 1  0 và các điểm A( 1 ; 2 ;  1 ),B( 1 ; 0 ;  1 ),C( 2 ; 1 ;  2 ) Tìm điểm M thuộc mặt phẳng   sao cho

2 2

MA   nhỏ nhất

Lời giải hình học

Xét điểm I sao cho IA IB     ICO

Giả sử Ix;y;z Ta có

IA x y  z IB x y  z IC x y  z

0

0

x

z

 





 



   

Tacó

2

MA MB MC MI IA MI IB MI IC MI IA IB IC MI IA IB IC

MI IA IB IC

MC MB

MA   nhỏ nhất khi và chỉ khi MI nhỏ nhất khi và chỉ khi MI   Khi

đó MI đi qua ( 0 ; 1 ; 0 ) và có véc tơ chỉ phương n   (  1 ; 1 ; 1 ) nên có phương trình

1 (t R)

t z

t y

t x





















Vậy toạ độ điểm M cần tìm ứng với giá trị t là nghiệm của phương trình

3

2 0

1 ) 1 (      

t

Suy ra 2 2 2

MC MB

MA   nhỏ nhất khi 









 3

2

; 3

1

; 3

2

Lời giải trên sử dụng được kiến thức véc tơ và xác định được điểm I cố định thuộc mặt phẳng   Đó là một lời giải hay mang đầy tính hình học

Lời giải đại số

Vì M   nên Mx;y; 1 x y ta có

             

1 1 3

1 2

3 2

1 2

2

1 4

3

1 3 2

1 2

4

1 2 3 2

1

2

2

1 2

1 2

1 2 2 1

2 2

3

1 2

2 1

2 2 1

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2 2

2 2

2

2

























































































































































 















 





































































y

y x

y y

x y

y y

x

y y y

y x x y

x y x x xy y x y

x

y x

y x y

x y x y

x MC MB

MA

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi 1, 1 2 1 2; ;

y

x  y M 

MC MB

MA   nhỏ nhất khi 









 3

2

; 3

1

; 3

2

M và giá trị nhỏ nhất đó bằng  1 Lời giải trên dẫn đến việc tìm GTNN của biểu thức bậc hai 2   2

1

x  y xy Đây là bài toán đơn giải học sinh đã rất thành thạo nên đây cũng là một thế mạnh của lời giải Đại số

BÀI TOÁN 2 Cho mặt phẳng   :xy 2z 0 và A1 ; 2 ;  1 ,B3 ; 1 ;  2,C( 1 ;  2 ; 1 ) Tìm điểm

 



M sao cho MA   MBMC

nhỏ nhất

Lời giải hình học

Gọi G là điểm thoả mãn GAGBGCO Thế thì toạ độ của G là 5 1; ; 2

3 3 3

G  

Ta có MAMBMC MGGA  MGGB  MGGC 3MGGAGBGC 3MG.Do

đó MA   MBMC  3MG  3MG

Vậy MA   MBMC

nhỏ nhất khi và chỉ khi MG nhỏ nhất khi và chỉ khi MG 

Đường thẳng MG đi qua 











 3

2

; 3

1

; 3

5

G và có véc tơ chỉ phương là n  1  ; 1 ; 2, phương trình

MG là

( )

2 3 2 3 1 3 5

R t t z

t y

t x



































Toạ độ của M cần tìm ứng với giá trị t là nghiệm của phương trình































































3

2

; 3

1

; 3

5 0

0 6 0 2 3

2 2 3

1

3

5

M t

t t

t

t

Vậy MA   MBMC

nhỏ nhất khi 











 3

2

; 3

1

; 3

5

Lời giải đại số

Điểm M   nên My 2z;y;z Thế thì

MC MB MA

z y z y MC

z y z y MB

z y z y MA

3 2

; 3 1

; 6 3 5

1

; 2

; 2 1 ,

2

; 1

; 2 3

; 1

; 2

; 2 1























































Do đó

18

30 72 45 ) 1 ( 36 18

3 2 3

1 6 3 5

2 2

2 2

2

2 2

2 2

2





























































z z

y z

z z

z y

y

z z y z y

z y

z y MC

MB

MA

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi





















































3

2

; 3

1

; 3 5 3

2 3 1 0

2 3

0 1

M z

y z

z y

Vậy MA   MBMC

nhỏ nhất khi 











 3

2

; 3

1

; 3

5

M và giá trị nhỏ nhất bằng 0

BÀI TOÁN 3 Cho điểm A1 ; 4 ; 2 và đường thẳng

2 1

2 1

1





Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất

Lời giải hình học

Gọi H K, lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên mặt phẳng(P) và trên

đường thẳng d

Ta có AH AK do đó d A P ; ( )AH lớn nhất bằng AK

Như vậy mặt phẳng (P) cần tìm chính là mặt phẳng đi qua K và nhận AK

làm véc tơ pháp tuyến

Phương trình đường thẳng

1

2

z t

 





  



 



Vì Kd K1   t; 2 t; 2t khi đó AKt t;  6; 2t 2



.Véc tơ chỉ phương của đường thẳng

d là u  1;1; 2

.Ta có   1 6 2 2 2 0 5

3

AK u     t t t   t

 

Ta tìm được 2; 1 10; , 5; 13 4; 1

K   AK   n

trong đó n5;13; 4  

Vậy phương trình của(P) là :5 2 13 1 4 10 0

      hay  P : 5x 13y 4z 21  0

Đây là một lời giải hay vì đã khai thác được bản chất hình học của bài toán cực trị

Lời giải đại số

Gọi na;b;cO là véc tơ phát tuyến của mặt phẳng (P) Vì (P) chứa d nên (P) đi qua

1  ; 2 ; 0 và có phương trình ax 1b(y 2 ) cz 0 a xbycza 2b 0

Đường thẳng d có véc tơ chỉ phương là u 1 ; 1 ; 2 Ta có

c b a c

b

a

u

n     2  0    2

Do đó (P) :b 2cxbyczb 2c 0 và khoảng cách từ A1 ; 4 ; 2 đến (P) bằng

 

5 4 2

2 6 2

2 2

4 2 )

(

;

c bc b

c b c

b c b

c b c b c b P A d



























Nếu b 0 thì   ( 1 )

5

3 ) (

; P 

A d

Nếu b 0 thì   ( )

5 4 2

6 9 2 5 4 2

3 2 5 4 2

3

2 ) (

2

2 2

2

c t t t

t t

b

c b c b c

b

c b

c b

b

c b P

A







































2 4 5

9

2

2























t t

t t

M

26

43 5

1

a t

M    

+)

5

1



M Khi đó  * có nghiệm khi và chỉ khi

     ( )

6

35 0

0 9 2 1 5 3





6

35 2

; 0 6

35

0 M   d A P 

Từ  1 và  2 suy ra    

6

35 2

;

0 d A P 

 

b

c t

P

A

d

169

52 169

52 169

52 6

35 2

;        Khi đó mặt phẳng  P có phương trình là

0 21 4

13

5x y z 

Nếu so sánh lời giải Đại số trên với lời giải hình học thì ta phải tính toán phức tạp hơn.Tuy nhiên lời giải Đại số có định hướng cụ thể hơn và rõ ràng hơn

Trên đây là một số ví dụ chúng tôi đưa ra nhằm mục đích giúp bạn đọc thấy được những điểm mạnh của từng phương pháp Qua đó bạn đọc có thể lựa chọn phương pháp giải cho mình khi tiếp cận với các bài toán cực trị trong hình giải tích

BÀI TẬP LUYỆN TẬP

Bài 1:Cho mặt phẳng   :xy 2z 0 và các điểm A( 1 ; 2 ;  1 ), B( 3 ; 1 ;  2 ),C( 1 ;  2 ; 1 ) Tìm điểm

 



M sao cho MA2 MB2 MC2 đạt giá trị lớn nhất

Bài 2:Viết phương trình đườnh thẳng  đi qua điểm A1;1; 1  ,nằm trong mặt phẳng

  :xy  z 1 0 sao cho khoảng cách giữa  và đường thẳng : 1

d    lớn nhất

Bài 3:Cho điểm A2;3;5 và đường thẳng : 1 2

d     Viết phương trình mặt phẳng )

(P chứa d sao cho khoảng cách từ A đến (P) là lớn nhất