a) Tø gi¸c CPKB néi tiÕp.. Qua F dùng tiÕp tuyÕn Fx víi ®êng trßn , qua E dùng Ey vu«ng gãc víi OA. Qua A dùng tiÕp tuyÕn Ax.. Gäi M lµ mét ®iÓm trªn nöa ®êng trßn sao cho C lµ ®iÓm chÝn[r]
Trang 1ôn tập hình học 9 về đờng tròn – góc với đ ờng tròn
A) Đờng tròn:
1, Định nghĩa: Tập hợp các điểm cách điểm 0 cho trớc một khoảng cách R > 0 không đổi
gọi là đờng tròn tâm 0 bán kính R Kí hiệu : ( 0 ; R)
* Của một đờng thẳng với một đờng tròn : xét ( O; R ) và đờng thẳng a bất kì
( với d là khoảng cách từ tâm O đến đờng thẳng a )
* Của hai đờng tròn :xét ( O; R) và (O’; R’) ( với d = O O’ )
Hai đờng tròn tiếp xúc nhau :
+ tiếp xúc ngoài :
+ tiếp xúc trong :
d = R – rHaiđờng tròn không giao nhau :
+ hai đờng tròn ở ngoài nhau :
+ đờng tròn lớn đựng đờng tròn nhỏ :
d < R - r
3 Tiếp tuyến của đ ờng tròn :
a Định nghĩa : đờng thẳng d đợc gọi là tiếp tuyến của một đờng tròn nếu nó chỉ có một
điểm chung với đờng đó
b, Tính chất :
+ Tính chất 1 : Nếu một đờng thẳng là một tiếp tuyến của một đờng tròn thì nó vuônggóc với bán kính đi qua tiếp điểm
Trang 2+ Tính chất 2 : Nếu hai tiếp tuyến của một đờng tròn cắt nhau tại một điểm thì giao điểmnày cách đều hai tiếp điểm và tia kẻ từ giao điểm đó qua tâm đờng tròn là tia phân giáccủa góc tạo bởi hai tiếp tuyến
c, Cách chứng minh :
Cách 1 : chứng minh đờng thẳng đó có một điểm chung với đờng tròn đó
Cách 2 : chứng minh đờng thẳng đó vuông góc với bán kính của đờng tròn đó tạimột điểm và điểm đó thuộc đờng tròn
4 Quan hệ giữa đ ờng kính và dây cung :
* Định lí 1 : Đờng kính vuông góc với một dây cung thì chia dây cung ấy ra thành haiphần bằng nhau
* Định lí 2 : Đờng kính đi qua trung điểm của một dây cung không đi qua tâm thì vuônggóc với dây cung ấy
5 Quan hệ giữa dây cung và khoảng cách đến tâm :
* Định lí 1 : Trong một đờng tròn hai dây cung bằng nhau khi và chỉ khi chúng cách đềutâm
* Định lí 2 : Trong hai dây cung không bằng nhau của một đờng tròn, dây cung lớn hơnkhi và chỉ khi nó gần tâm hơn
- Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung
2, Mối quan hệ giữa cung và dây cung:
* Định lí 1: Đối với hai cung nhỏ trong một đờng tròn:
a, Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau
b, Đảo lại, hai dây bằng nhau trơng hai cung bằng nhau
* Định lí 2: Đối với hai cung nhỏ trong một đờng tròn:
a, Cung lớn hơn căng dây lớn hơn
b, Dây lớn hơn trơng cung lớn hơn
3, Tứ giác nội tiếp:
a, Định nghĩa: Tứ giác nội tiếp một đờng tròn là tứ giác có bốn đỉnh nằm trên một đờng
tròn Đơng tròn đó đợc gọi là đờng tròn ngoại tiếp tứ giác
b, Cách chứng minh :
* Cách 1: chứng minh bốn đỉnh của tứ giác cùng thuộc một đờng tròn
Trang 3* Cách 2: chứng minh tứ giác có tổng hai góc đối diện bằng 1800
* Cách 3: chứng minh tứ giác có 2 đỉnh kề nhau nhìn cạnh đối diện dới cùng một góc
I ) Góc ở tâm – liên hệ giữa cung và dây.
Bài 1
Cho (O) và (O’) cắt nhau tại hai điểm A, B Dây AC của đờng tròn (O) vuông góc với AO’, dây AD của (O’) vuông góc với AO So sánh các góc AOD và AO’D
Bài 2
Trên một đờng tròn (O) có cung AB bằng 140o Gọi A’ B’ lần lợt là đối xứng của
A, B qua O; lấy cung AD nhận B’ làm điểm chính giữa; lấy cung CB nhận A’ làm điểm chính giữa Tính số đo cung nhỏ CD
Bài 3 cho hai đờng tròn bằng nhau (O) , (O’) cắt nhau tại A, B Kẻ các đờng kính AOC và AO’D Gọi E là giao điểm thứ hai của đờng thẳng AC với (O’)
a) So sánh các cung nhỏ CB, BD
b) Chứng minh rằng B là điểm chính giữa cung EBD
Bài 4 cho đờng tròn (O), dây AB Gọi M là điểm chính giữa cung AB Vẽ dây MC cắt
dây AB tại D Vẽ đờng vuông góc với AB tại D, cắt OC tại K KCD là tam giác gì ?
b) PA và PB là hai tiếp tuyến của (O; R)
Bài 8 Cho hình thoi ABCD có cạnh AB = 5 cm và đờng chéo AC = 8 cm Đờng tròn tâm A bán kính R = 5 cm tiếp xúc với đờng tròn tâm C tại M thuộc đoạn AC Đờng tròn này cắt CB tại E và cắt CD tại F Tính tỉ số độ dài của cung BD và cung EF
Trang 4a) So sánh hai góc ACB và BOO'.
b) So sánh hai góc CAM và PAN
Bài 11
Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A, B Hai dây AC và BD cắt nhau ở I và cắt
(O’) tại C’, D’ Chứng minh rằng C’D’ // CD.
Bài 12
Cho tam giác ABC nội tiếp (O), các đờng cao AD, BE, CF đồng quy tại H Các tia AD,
BE, CF cắt (O) tại các điểm thứ hai tơng ứng A’, B’, C’
a) CMR: AB, BC, CA là trung trực của các đoạn thẳng tơng ứng HC’, HA’, HB’.b) CMR: H là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác DEF
c) CMR: Tam giác A’B’C’ đồng dạng với tam giác DEF Từ đó so sánh bán kính ờng tròn ngoại tiếp tam giác DEF và bán kính đờng tròn (O)
đ-Bài 13
Cho đờng thẳng d và đoạn thẳng AB cắt nhau tại C Dựng điểm M trên d sao cho
MC là phân giác góc AMB
Bài 14
Cho (O) và (O’) tiếp xúc với nhau tại A Qua A vẽ một cát tuyến cắt (O) tại B, cắt
(O’) tại C Một cát tuyến thứ hai qua A cắt (O) tại D, cắt (O’) tại E Cmr : CE // BD.
Bài 15
Cho nửa đờng tròn đờng kính AB Gọi O là điểm chính giữa cung AB và M là một
điểm bất kì của nửa đờng tròn đó Tia AM cắt đờng tròn (O; OA) tại điểm thứ hai là N Chứng minh rằng : MN = MB
Bài 16
Trang 5Cho (O), đờng kính AB, điểm D thuộc đờng tròn Gọi E là điểm đối xứng với A qua D.
a) Tam giác ABE là tam giác gì ?
b) Gọi K là giao điểm của EB với (O) Chứng minh rằng OD AK
Bài 17
Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau ở A, B, O nằm trên (O’) Dây AC của (O) cắt (O’)
ở D, dây OE của (O’) cắt (O) ở F Chứng minh :
Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và một điểm C chạy trên một nửa đờng tròn
Vẽ đờng tròn (I) tiếp xúc với (O) tại C và tiếp xúc với đờng kính AB tại D, đờng tròn này cắt CA, CB lần lợt tại các điểm thứ hai là M, N CMR:
a) Ba điểm M, I, N thẳng hàng
b) ID MN
c) Đờng thẳng CD đi qua một điểm cố định
d) Suy ra cách dựng đờng tròn (I) nói trên
trên
cung AB của (M) ( cung AB nằm trong đờng tròn (O) ) Tia AC, BC cắt (O) ở P, Q Chứng minh rằng : P và Q đối xứng với nhau qua O
Bài 21
Trên cạnh CD của hình vuông ABCD ta lấy một điểm M khác C, D Các đờng tròn
đờng kính CD và AM cắt nhau tại điểm thứ hai N ( khác D ) Tia DN cắt BC tại P Chứng minh rằng: AC PM
Bài 22
Hai tiếp tuyến tại A và B của đờng tròn (O1) cắt nhau tại C Vẽ đờng tròn (O2) đi qua C, tiếp xúc với đờng thẳng AB tại B và cắt đờng tròn (O1) ở M Chứng minh rằng đ-ờng thẳng AM chia đoạn BC thành hai phần bằng nhau
Bài 23
Trang 6Cho (O; R) và (O’; r) với R > r tiếp xúc trong tại A Dây BC của (O; R) tiếp xúc với(O’; r) tại M (3 điểm O, A, M không thẳng hàng ) Cmr : tia AM là phân giác của BAC
Bài 24
Cho nửa đờng tròn tâm O đờng kính EF Vẽ (O’) tiếp xúc trong với nửa đờng tròn tâm O tại A Kẻ đờng thẳng vuông góc với EF cắt nửa đờng tròn tâm O tại B và tiếp xúc với (O’) tại M Chứng minh rằng tia AM đi qua một đầu của đờng kính EF
cắt AB ở M Vẽ đờng tròn tâm K đờng kính CH, nó cắt AC tại N
a) Tứ giác AMHN là hình gì ?
b) CMR: MN là tiếp tuyến chung của hai đờng tròn (I) và (K)
c) Vẽ tiếp tuyến Ax của đờng tròn ngoại tiếp ABC CMR: Ax // MN
Bài 26
Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại B, C Tiếp tuyến tại C của đờng tròn (O) cắt (O’) tại điểm thứ hai là M Vẽ cát tuyến MBA ( A thuộc đờng tròn tâm O ) Từ M vẽ tiếp tuyến xy của đờng tròn (O’) Chứng minh rằng :
CA Gọi M, N, P lần lợt là giao điểm của (O) với các tia OA, OB, OC Cmr : các điểm M,
N, P lần lợt là tâm của các đờng tròn nội tiếp các tam giác ADF, BDE và CEF
Bài 29 Cho (O) và (O’) cắt nhau ở A, B Một đờng thẳng tiếp xúc với (O) tại C và
Trang 7Bài 31 Cho điểm A cố định trên đờng tròn cố định tâm O Một góc xAy = x
không
đổi quay quanh A, Ax cắt (O) tại B, Ay cắt (O) tại C Các đờng thẳng qua B và C lần lợt vuông góc với Ay và Ax, cắt (O) theo thứ tự tại P và Q
a) Chứng minh P, Q cố định
b) Tìm tập hợp những điểm H là giao của BP và CQ
Bài 32 Cho ABC cân tại A và một dây di động AM của đờng tròn ngoại tiếp tam
giác
ấy Đờng thẳng qua B, vuông góc với AM tại A, cắt CM tại P
a) Chứng tỏ DMB = BMP
b) Chứng minh P thuộc đờng tròn cố định
IV ) góc có đỉnh bên trong - bên ngoài đờng tròn.
Cho (O), đờng kính AB vuông góc với dây CD Qua M thuộc cung AD kẻ tiếp
tuyến với đờng tròn cắt CD tại I Gọi E là giao điểm của BM và CD
Cho ABC cân tại B Qua B kẻ đờng thẳng xy song song với AC Gọi O là một
điểm trên xy Vẽ đờng tròn tâm O tiếp xúc với AC ở D, cắt các cạnh AB và BC ở E và F Chứng minh rằng số đo cung EDF không đổi khi O di chuyển trên xy
Bài 38
Trang 8Cho ABC nội tiếp (O) Gọi CM, AN, BP lần lợt là các phân giác của ABC chúng giao nhau tại I MN cắt AB tại E
a) BNI là tam giác gì ?
Cho hình thang vuông ABCD ( BC // AD ) Trên AB lấy hai điểm M, N sao cho M,
N nhìn CD dới các góc vuông CMR: SABCD = SMCD + SNCD
Bài 40
Cho ABC nội tiếp trong (O) D là điểm chính giữa cung BC Một đờng tròn thay
đổi đi qua A và D cắt các đờng thẳng AB, BD, AC theo thứ tự E, F, G Chứng minh :
a) D là điểm chính giữa cung EG
b) EF song song với một đờng thẳng cố định
Bài 41
Cho góc nhọn xAy, lấy B và C trên Ax và Ay Dựng đờng tròn qua B và C cắt Ax tại
P, Ay tại Q sao cho PQ = m ( m là độ dài cho trớc )
Bài 42
Cho (O) và (O’) tiếp xúc ngoài tại A Gọi TT' là tiếp tuyến chung ngoài của (O) và (O’), T và T’ là các tiếp điểm tơng ứng của (O) và (O’) Đờng thẳng OO’ cắt (O) tại B (khác A) và cắt (O’) tại C (khác A) BT cắt CT’ tại D Cmr : BCD ATT’
Bài 43
Cho ABC nhọn ; các chân đờng cao xuất phát từ A, B, C trên các cạnh BC, CA,
AB là D, E, F Cmr : trực tâm ABC trùng với tâm dờng tròn nội tiếp DEF
Cho ba đờng tròn cùng đi qua điểm P Gọi các giao điểm còn lại của chúng là A, B,
C Từ một điểm D trên đờng tròn (PBC) kẻ các tia DB, DC cắt các đờng tròn (PAB) và (PAC) tại M và N CMR: M, A, N thẳng hàng
Bài 46
Cho nửa (O) đờng kính AB và tiếp tuyến Bx của nửa đờng tròn Trên tia Bx lấy hai
điểm C, D ( C nằm giữa B và D) Các tia AC, AD lần lợt cắt đờng tròn tại E và F Hai dây
Trang 9AE , BF cắt nhau tại M Hai tia AF, BE cắt nhau tại N Chứng minh rằng :
a) Tứ giác FNEM nội tiếp
b) Tứ giác CDFE nội tiếp
Bài 47
Cho ABC Hai đờng cao BE và CF cắt nhau tại H Gọi D là điểm đối xứng của H qua trung điểm M của BC
a) Chứng minh rằng tứ giác ABDC nội tiếp Tìm tâm O của đờng tròn đó
b) Đờng thẳng DH cắt (O) tại điểm thứ hai là I Chứng minh rằng A, I, F, H, E cùngnằm trên một đờng tròn
a) Các tứ giác ABEF, DCEF nội tiếp
b) Tia CA là phân giác của góc BCF
c)* Tứ giác BCMF nội tiếp
Bài 51
Cho (O) và (O’) cắt nhau tại M và P Kẻ dây MA của (O) tiếp xúc với (O’) tại M
Kẻ dây MB của (O’) tiếp xúc với (O) ở M Trên tia MP lấy H sao cho PH = PM
CMR: Tứ giác MAHB nội tiếp
Bài 52 cho hình thang ABCD nội tiếp trong (O) Các đờng chéo AC, BD cắt nhau
tại
E, các cạnh AD, BC kéo dài cắt nhau tại F CMR:
a) A, D, O, E cùng nằm trên một đờng tròn
b) Tứ giác AOCF nội tiếp
minh rằng : CI là phân giác của góc tạo bởi AC và BC
Bài 54
Hai cạnh AB và DC của tứ giác ABCD kéo dài cắt nhau tại E, AD và BC kéo dài cắtnhau tại F Chứng minh các đờng tròn ngoại tiếp các tam giác AED, EBC, ABF và CDF cùng đi qua một điểm
Trang 10Bài 55
Hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Một cát tuyến qua A cắt các đờng tròn này tại M, N Các tiếp tuyến tại A của (O), (O’) theo thứ tự cắt BN và BM ở P và Q Chứng minh PQ // MN
Bài 56
Cho ABC đều Một nửa đờng tròn có tâm O trên cạnh AB, tiếp xúc với AC, BC tại K và I Kẻ một tiếp tuyến với nửa đờng tròn cắt các cạnh BC và AC tại M và N Đoạn thẳng KI cắt OM và ON tại P, Q CMR: MN = 2PQ
Bài 57
Cho ABC vuông tại A Trên đoạn AB lấy D Đờng tròn đờng kính BD cắt BC tại
E và CD tại F Chứng minh rằng :
a) Tứ giác ACBF nội tiếp
b) D là tâm đờng tròn nội tiếp AEF
c) B là tâm đờng tròn bàng tiếp của AEF
Bài 58
Cho hai đờng tròn (O) và (O’) cắt nhau tại B và C A là điểm trên (O) AB cắt (O’) tại D,
AC cắt (O’) tại E AO cắt DE tại H I là trung điểm của BC
a) Chứng minh tứ giác OIDH nội tiếp Suy ra AH DE
b) Gọi (d) là tiếp tuyến của (O) tại A Chứng minh (d) // DE
Trang 11VI ) bài tập tổng hợp về đờng tròn
Cho ABC vuụng tại A(AB < AC), đường cao AH Trờn đoạn thẳng HC lấy điểm
D sao cho HD = HB Kẻ CE vuụng gúc với AD (E thuộc đường thẳng AD)
a) Chứng minh tứ giỏc AHEC nội tiếp
b) Chứng minh rằng CH là tia phõn giỏc của gúc ACE
c) Tớnh diện tớch hỡnh giới hạn bởi cỏc đoạn thẳng CA, CH và cung nhỏ AH của ờng trũn ngoại tiếp tứ giỏc AHEC Biết AC = 6cm, gúc ACB bằng 300
Cho (O ; R) và một dõy cung AB cố định khụng đi qua tõm M là một điểm trờn cung lớn AB (M khỏc A và B) Cỏc đường cao AC và BD của AMB cắt nhau tại H.a) Chứng minh tứ giỏc ABCD nội tiếp
b) Chứng minh : MA.MD = MB.MC
c) Cho điểm M di động trờn cung lớn AB Xỏc định vị trớ của điểm M sao cho diện tớch tam giỏc AMB lớn nhất
Cho (O), từ một điểm M tựy ý trờn nửa đường trũn (M khỏc A, B) vẽ tiếp tuyến thứ
ba với nửa đường trũn cắt cỏc tiếp tuyến tại A, B theo thứ tự là H, K
a) Chứng minh: Tứ giỏc AHMO nội tiếp.
b) Chứng minh: AH + BK = HK.
c) Chứng minh: HAO AMB và HO.MB = 2R2
d) Cho MOB 1200, R = 3cm Tớnh diện tớch phần mặt phẳng giới hạn bởi hai tiếp tuyến MK, MB và cung BM
Bài 65 Cho ABC cõn cú đỏy BC và 200 Trờn nửa nặt phẳng bờ AB khụng
Cho ABC cõn tại A cú cạnh đỏy nhỏ hơn cạnh bờn nội tiếp (O) Tiếp tuyến tại B
và C của đường trũn cắt tia AC và AB ở D và E Chứng minh:
a) Tứ giỏc BCDE là tứ giỏc nội tiếp.
Trang 12b) BC song song DE.
Bµi 67 Cho ABC cân tại C và nội tiếp (O), = 370; Vẽ BD //AC (D (O)) Tính DC , D , D C và C
2R, ta
kẻ hai tiếp tuyến MA và MB (A và B là tiếp điểm) Một cát tuyến bất kỳ qua M cắt
đường trịn tại C và D Kẻ tia phân giác của CAD cắt dây CD tại E và đường trịn tại N.Chứng minh tứ giác OAMB nội tiếp được
Chứng minh MA = ME
Tính tích số MC.MD theo R
< AC
D là trung điểm của OC, từ D kẻ đường thẳng vuơng gĩc với BC cắt AC tại E
a) Chứng minh tứ giác ABDE nội tiếp được đường trịn, xác định tâm
b) Chứng minh BAD BED
c) Chứng minh CE.CA = CD.CB
vuơng gĩc với DE, đường thẳng này cắt các đường thẳng DE, DC tại H và K
a) Chứng minh tứ giác BHCD nội tiếp
Lấy điểm C trên tia Ax rồi vẽ tiếp tuyến CE (E là tiếp điểm) cắt By tại D
a) C/minh : tứ giác OACE nội tiếp
b) C/minh : COD = 1v
c) C/m COD và AEB đồng dạng
d) Cho AE = R C/minh DEB đều Tính phần d.tích DEB nằm ngoài (O)
Bµi 72 ( 3, 25đ) Cho (O; R ) Từ S ở ngoài đường tròn vẽ 2 tiếp tuyến SA và SB
(A ,
Trang 13B là 2 tiếp điểm ) và đường kính AC của (O)
a./ Chứng minh tứ giác SAOB nội tiếp
b./ Chứng minh SO song song với BC
c./ Cho SO = 2R Tính diện tích hình quạt tròn AOB ( ứng với cung nhỏ AB)
1 Chứng minh TAB đều
2 Cho OT cắt cung AB nhỏ tại D Tính diện tích phần giới hạn bởi nửa đường tròn đường kính BC và 3 dây cung CA, AD, DB theo R
Bµi 74
Cho (O) và cát tuyến (d) cố định không qua O cắt (O) tại 2 điểm E , F Lấy A bấtkỳ trên (d) (E nằm giữa A, F) vẽ tiếp tuyến AB, AC (B, C là tiếp điểm ) Gọi H là trung điểm EF
b./ C/m: A , B, O, H , C thuộc 1 đ.tròn
c./ BC cắt OA , OH lần lượt tại I và K C/minh OI.OA = OH.OK = R2
d./ C/minh KE OE KEOF nội tiếp
Bµi 75
Cho (O; R ) 2 đường kính AB và CD vuông góc nhau.M thuộc cung AC nhỏ.Từ
D hạ DE MA và DF MB ; MD cắt EF tại I
a./ C/minh MD là phân giác của gĩc AMB
b./ C/minh O, I, E thẳng hàng
c./ Khi M chạy trên cung ACB thì I chạy trên đường nào ?
d./ Khi MC là cạnh lục giác đều nội tiếp Tính d.tích tứ giác MEDF
Bµi 76 Cho nửa (O; R) đường kính AB và một dây CD Qua C vẽ đường thẳng vuông góc với CD cắt AB tại I Các tiếp tuyến tại A và B của nửa đ.tròn cắt CD theo thứ tự tại E và F
Trang 14a./ C/minh tửự giaực AECI vaứ BFCI noọi tieỏp
b./ Chửựng minh CIE CBA
c./ C/minh IEF vuoõng
d./ Khi CD = R 2 Tieỏp tuyeỏn taùi C vaứ D cuỷa (O) caột nhau taùi S ODSC laứ hỡnh gỡ ? Tớnh chu vi vaứ dieọn tớch ủửụứng troứn ngoaùi tieỏp SC OD
Bài 77
Cho ABC coự AÂ = 1v Veừ ủường cao AH vaứ trung tuyeỏn AM ẹường troứn taõm
H baựn kớnh HA caột AB taùi D vaứ AC taùi E
a./ C/minh D , H , E thaỳng haứng
b./ C/minh AM DE
c./ C/m tửự giaực DBEC noọi tieỏp Taõm O? C/minh OHAM laứ h.bỡnh haứnh
d./ cho C = 300 , AH = a Tớnh dieọn tớch HEC theo a
Bài 78
Treõn nửa ( O; R ) ủ.kớnh AD laỏy ủieồm B vaứ ủieồm C sao cho AB = BC = CD Qua C veừ ủửụứng thaỳng vuụng gúc vụựi AD taùi H Keựo daứi AB caột tia HC taùi T BD caột
CH taùi E
a./ C/m tửự giaực HDTB noọi tieỏp
b./ Tieỏp tuyeỏn cuỷa nửỷa ( O; R ) taùi B caột tia HC taùi F C/m FBE = FEB c./ Tieỏp tuyeỏn taùi D caột BF taùi M C/minh MBD ủeàu vaứ M , C , O thaỳng haứng d./ Tớnh theo R dieọn tớch TAH
Bài 79
Cho ABC ủeàu noọi tieỏp trong (O ; R ) Veừ ủửụứng kớnh AOI Laỏy M baỏt kyứ treõn cung nhoỷ AB , treõn daõy MC laỏy N sao cho MN = MA ; MC caột AB taùi D
a./ C/minh BI CI
b./ C/minh tam giaực AMN ủeàu
c./ C/minh AMB = ANC Tỡm vũ trớ M treõn ABnhoỷ ủeồ MA + MB lụựn nhaỏtd./ Treõn tia ủoỏi cuỷa tia CA laỏy ủieồm F sao cho CF = BD ; DF caột BC ụỷ K
C/minh ADIF noọi tieỏp vaứ IK DF
Bài 80
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp trong đờng tròn ( O; R), hai đờng cao AD
và BE cắt nhau tại H ( D BC; EAC; AB < AC )
Trang 15a) Chứng minh các tứ giác AEDB và CDHE là tứ giác nội tiếp.
b) Chứng minh CE.CA = CD CB và DB.DC = DH.DA
c) Chứng minh OC vuông góc với DE
d) Đờng phân giác trong AN của BAC cắt BC tại N và đờng tròng ( O ) tại K ( K
khác A) Gọi I là tâm đờng tròn ngoại tiếp CAN Cmr : KO và CI cắt nhau tạimột điểm thuộc đờng tròn (O)
Cho ABC noọi tieỏp (O) Goùi D laứ ủieồm chớnh giửừa cung nhoỷ BC ( ủieồm A thuoọc cung nhoỷ BD) Hai tieỏp tuyeỏn taùi C vaứ D cuỷa (O) caột nhau taùi E Goùi P laứ giao ủieồm cuỷa 2 ủường thaỳng AB vaứ CD ; Q laứ giao ủieồm cuỷa 2 ủ.thaỳng AD vaứ CE
a./ C/m tửự giaực CODE vaứ APQC noọi tieỏp
b./ C/minh QP // BC
Bài 82
Trên đờng tròn (O; R) đờng kính AB lấy hai điểm M, E theo thứ tự A, M, E, B AM cắt BE tại C; AE cắt MB tại D
a) Chứng minh MCED là tứ giác nội tiếp và CD vuông góc với AB
b) Gọi H là giao điểm cảu CD và AB Chứng minh rằng BE BC = BH BA
c) Cmr : tiếp tuyến tại M và E của (O) cắt nhau tại 1 điểm nằm trên đờng thẳng CD
Bài 83
Cho đờng tròn (O; R) và một điểm S ở ngoài đờng tròn Vẽ tiếp tuyến SA và SB Vẽ
đờng thẳng a đi qua S và cắt (O) tại M; N với M nằm giữa S và N (O a)
a) Chứng minh SO AB
b) Gọi H là giao điểm của SO và AB; I là trung điểm của MN Hai đờng thẳng OI và
AB cắt nhau tại E Chứng minh :L ISHE nội tiếp
1 Chứng minh : AB là đờng kính của Đờng tròn đờng kính MH
2 Chứng minh tứ giác NABP là tứ giác nội tiếp
3 Từ M kẻ đờng thẳng vuông góc với AB cắt cạnh NP tại I Cmr : IN = IP
Bài 85
Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng (theo thứ tự ấy) Gọi (O) là đờng tròn đi qua B và
C Từ A vẽ các tiếp tuyến AE và AF với đờng tròn(O) (E và F là các tiếp điểm) Gọi I là trung điểm của BC
Trang 16a) Chứng minh 5 điểm A, E, O, I, F năm trên một đờng thẳng.
b) Đờng thẳng FI cắt đờng tròn (O) tại G Chứng minh : EG//AB
c) Nối EF cắt AC tại K Chứng minh : AK.AI = AB.AC
Bài 86
Cho tam giác nhọn ABC, đờng cao kẻ từ đỉnh B và đỉnh C cắt nhau tại H và cắt ờng tròn ngoại tiếp ABC lần lợt tại E và F
đ-1 Chứng minh AE = AF
2 Chứng minh A là tâm đờng tròn ngoại tiếp EFH
3 Kẻ đờng kính BD Chứng minh ADCH là hình bình
1 Chứng minh tứ giác PQDR là hình chữ nhật
2 Gọi M và N thứ tự là hình chiếu vuông góc của Q, R trên PD PH là đờng cao củatam giác ( H trên cạnh QR ) Chứng minh HM vuông góc với cạnh PR
3 Xác định tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác MHN
4 Gọi bán kính đờng tròn nội, ngoại tiếp PQR là r và R Cmr : r + R
√PQ PR
Bài 88
Cho ABC vuông tại C O là trung điểm của AB và D AB ( D A, O, B ) Gọi
I và J thứ tự là tâm đờng tròn ngoại tiếp ACD và BCD
1 Chứng minh OI // BC
2 Chứng minh 4 điểm I, J, O, D nằm trên một đờng tròn
3 Chứng minh rằng CD là phân giác của góc ACB khi và chỉ khi OI = OJ.
Bài 89
Cho đờng tròn tâm O và M là điểm ở ngoài đờng tròn Qua M kẻ tiếp tuyến MA, MB (
A, B là tiếp điểm ) và một cát tuyến cắt đờng tròn tại C, D
1 Gọi I là trung điểm của CD Cmr : 4 điểm A, B, O, I nằm trên một đờng tròn
1 Chứng minh:
a MECF nội tiếp
b MF HK
Trang 172 Tìm vị trí của điểm M trên cung nhỏ BC để tích MD.ME lớn nhất.
Bài 91
Cho hình vuôngABCD, M là một điểm trên đờng chéo BD, gọi H, I và K lần lợt là hình chiếu vuông góc của M trên AB, BC, AD
1 Chứng minh tam giác MIC bằng tam giác HMK.
2 Chứng minh CM vuông góc với HK.
3 Xác định vị trí của M để diện tích của tam giác CHK đạt giá trị nhỏ nhất.
1 Chứng minh IM vuông góc với CD.
2 Chứng minh tứ giác IANB là tứ giác nội tiếp.
3 Chứng minh đờng thẳng MNđi qua trung điểm của AB.
Bài 93
Cho ba điểm A, B, C thẳng hàng theo thứ tự đó Dựng đờng tròn đờng kính AB, BC,gọi D và E thứ tự là hai tiếp điểm của tiếp tuyến chung với đờng tròn đờng kính AB và
BC, và M là giao điểm của AD với CE
1 Chứng minh tứ giác ADEC là tứ giác nội tiếp
2 Chứng minh MB là tiếp tuyến của hai đờng tròn đờng kính AB và BC
3 Kẻ đờng kính DK của đờng tròn đờng kính AB Chứng minh K, B, E thẳnghàng
Bài 94
Cho tam giác vuông MNP (góc M = 900) Từ N dựng đoạn thẳng NQ về phía tamgiác MNP sao cho NP = NQ và góc MNP = góc PNQ, và gọi I là trung điểm của PQ, MIcắt NP tại E
1.Chứng minh góc PMI và góc QNP bằng nhau
2 Chứng minh tam giác MNE là tam giác cân
3 Chứng minh MN.PQ = NP.ME
Bài 95
Cho nửa đờng tròn đờng kính AB Lấy điểm D tuỳ ý trên nửa đờng tròn (D ≠ A và
D ≠ B) Dựng hình bình hành ABCD Từ D kẻ DM vuông góc với đờng thẳng AC tại M và
từ B kẻ BN vuông góc với đờng thẳng AC tại N
a) Chứng minh bốn điểm D, M, B, C nằm trên một đờng tròn
b) Chứng minh AD.ND = BN.DC
c) Tìm vị trí của D trên nửa đờng tròn sao cho BN.AC lớn nhất
Bài 96
Trang 18Cho ABCD nội tiếp đờng tròn đờng kính AD Hai đờng chéo AC, BD cắt nhau tại
E Hình chiếu vuông góc của E trên AD là F Đờng thẳng CF cắt đờng tròn tại điểm thứhai là M Giao điểm của BD và CF là N Chứng minh:
a) CEFD nội tiếp
b) Tia FA là tia phân giác của góc BFM
c) BE.DN = EN.BD
Bài 97
Cho đờng tròn (O) đờng kính AB Một dây CD cắt AB tại H Tiếp tuyến tại B của ờng tròn (O) cắt các tia AC, AD lần lợt tại M và N
đ-1 Chứng minh tam giác ACB đồng dạng với tam giác ABM
2 Các tiếp tuyến tại C và D của đờng tròn (O) cắt MN lần lợt tại E và F Chứngminh EF = MN/2
3 Xác định vị trí của dây CD để tam giác AMN là tam giác đều
Bài 98
Cho đờng tròn (O) và một đờng thẳng a không có điểm chung với (O) Từ một điểm
A thuộc đờng thẳng a, kẻ hai tiếp tuyến AB và AC với đờng tròn (O) (B, C (O)) Từ O
kẻ OH a tại H Dây BC cắt OA tại D và cắt OH tại E
1 Chứng minh từ giác ABOC nội tiếp đợc trong một đờng tròn
2 Gọi R là bán kính đờng tròn (O) Chứng minh OH.OE = R2
3 Khi A di chuyển trên đờng thẳng a, Cmr : BC luôn đi qua một điểm cố định
a BE song song với DM
b DCKI là tứ giác nội tiếp
2 Không dùng máy tính hoặc bảng lợng giác, hãy tính theo R thể tích của hình dotam giác ACD quay một vòng quanh cạnh AC sinh ra
C
Gọi K là điểm tuỳ ý trên cung nhỏ BM, H là giao điểm của AK và MN
1 Chứng minh BCHK nội tiếp
Trang 193 Khi hình thoi ABCD cố định Chứng minh rằng điểm E năm trên cung tròn cố
định khi điểm M thay đổi trên cạnh BC
Bài 102
Cho đờng tròn ( 0 ), AB là dây cố định của đờng tròn không đi qua tâm M là một
điểm trên cung lớn AB sao cho MAB là tam giác nhọn Gọi D và C thứ tự là điểm chínhgiữa của cung nhỏ MA, MB, đờng thẳng AC cắt đờng thẳng BD tại I, đờng thẳng CD cắt cạnh MA và MB thứ tự tại P, Q
1 Chứng minh tam giác BCI là tam giác cân
2 Chứng minh tứ giác BCQI là tứ giác nội tiếp
3 Chứng minh QI = MP
4 Đờng thẳng MI cắt đờng tròn tại N, khi M chuyển động trên cung lớn AB thì trung
điểm của MN chuyển động trên đờng nào ?
Bài 103 Cho tam giác vuông cân ABC ( AB = AC ), trên cạnh BC lấy điểm M Gọi
(O1)
là tâm đờng tròn tâm 01qua M và tiếp xúc với AB tại B, gọi ( O2 ) là tâm đờng tròn tâm O2
đi qua M và tiếp xúc với AC tại C Đờng tròn ( O1) và ( O2 ) cắt nhau tại D ( D M )
1 CMR tam giác BDC là tam giác vuông
2 Chứng ming 01D là tiếp tuyến của đờng tròn tâm ( O2 )
3 B01 cắt C02 tại E Chứng minh 5 điểm A, B, D, E, C năm trên một đờng tròn
4 Xác định vị trí của M sao cho đoạn thẳng O102 là ngắn nhất
Bài 104 Cho ABC ( AC > AB,
tiếp điểm của đờng tròn nội tiếp với các cạnh AB, BC, AC lần lợt tại M, N, P
1 Chứng minh tứ giác AMIP là hình vuông
2 Đờng thẳng AI cắt PN tại D Chứng minh 5 điểm M, B, N, D, I nằm trên một đờngtròn
3 Cho BI và CI kéo dài cắt AC, AB lần lợt tại E và F Cmr : BE CF = 2 BI CI
Bài 105 Từ A nằm ngoài (O) vẽ hai tiếp tuyến AB, AC và cỏt tuyến ANM đến (O)
Gọi E
là trung điểm của MN Đường thẳng CE cắt (O) tại I
a) Chứng minh: 5 điểm A, B, O, E, C cựng thuộc một đường trũn cú tõm là S
b) Chứng minh: gúc AOC = gúc BIC
c) Xỏc định vị trớ cỏt tuyến ANM sao cho tổng AM + AN lớn nhất ?
Bài 106
Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB Trên đờng tròn (O) lấy điểm C (C không trùngvới A, B và CA > CB) Các tiếp tuyến của đờng tròn (O) tại A, tại C cắt nhau ở điểm D, kẻ
CH vuông góc với AB ( H thuộc AB), DO cắt AC tại E
1) Chứng minh tứ giác OECH nội tiếp
Trang 202) Đờng thẳng CD cắt đờng thẳng AB tại F Chứng minh 2BCF CFB 90 0.
3) BD cắt CH tại M Chứng minh EM//AB
Bài 107
Cho cỏc đường cao hạ từ A và B của Δ ABC cắt nhau tại H ( gúc ACB 900 )
và cắt đường trũn ngoại tiếp Δ ABC lần lượt tại D và E
Cho Δ ABC ( AB < AC) nội tiếp trong (O; R), đường cao AD kộo dài cắt (O) tại
E Trờn đoạn DA lấy H sao cho DH = DE Tia BH cắt AC tại K; cắt (O) tại F
a) Chứng minh : Tứ giỏc CDHK và ABDK nội tiếp được đường trũn
b) Chứng minh: KD // EF và H là trực tõm của Δ ABC
c) Chứng minh: BM.AB + CK.AC = BC2
d) Cho biết DK = 12AB Tớnh DK theo R
Bài 109 Cho (O; R) đường kớnh AB Trờn tia đối của tia AB lấy điểm E Từ E vẽ
tiếp
tuyến EM với (O) ( M là tiếp điểm) Vẽ cỏc tiếp tuyến tại A ; B cắt EM lần lượt tại C; D.a) Chứng minh : AC + BD = CD và gúc COD = 900
b) Chứng minh: AC.BD = R2
c) Vẽ MH AB và đường kớnh MON của (O) EN cắt (O) tại F
Cmr: MHFE nội tiếp
d) Cho AD cắt BF tại K Tớnh AK.AN + BK.BF theo R