DE THI VAO CAP 3 NAM HOC 20122013 TINH QUANG BINH

[r]

ĐỀ THI TUYỂN VÀO LỚP 10 THPT NĂM HỌC 2012 - 2013 Khóa ngày 04-7-2012

MÔN: TOÁN

Thời gian làm bài: 120 phút (Không kể thời gian giao đề)

Câu 1: (2.0điểm): Cho biểu thức A= 2

1

xx x  x

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm tất cả các giá trị nguyên của x để biểu thức A có giá trị nguyên

Câu 2: (1.5điểm): Giải hệ phương trình sau: x + 3y =3

-x + 2y =7

Câu 3: (2.0điểm):

a) Giải phương trình: x2 – 2x – 3 = 0

b) Cho phương trình bậc hai : x2 – 2x + m = 0 (m là tham số)

Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1, x2 và thỏa mãn: x12 x22  8

Câu 4: (1.0điểm): Cho các số thực a,b thỏa mãn: a + b = 2

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức : P = a3 + b3 + a2 + b2

Câu 5: (3.5điểm): Cho tam giác ABC đều có AH là đường cao, M là điểm bất kì trên cạnh

BC (M khác B, C) Từ vẽ MP vuông góc AB, MQ vuông góc AC (P thuộc AB, Q thuộc AC

a) Chứng minh : A, P, M, H, Q cùng nawmg trên một đường tròn

b) Gọi O là trung điểm của AM Chứng minh các tam giác OPH và OQH là tam giác đều, từ đó suy ra OH PQ

c) Tìm giá trị nhỏ nhất của đoạn thẳng PQ khi M chạy trên cạnh BC, biết độ dài cạnh của tam giác ABC là a

HƯỚNG DẪN VÀ ĐÁP ÁN CHẤM

1a

1

xx x  x

A=

1 2 1 ( 1)

x x

  

A=

3 ( 1)

x

SỞ GD-ĐT QUẢNG BÌNH

ĐỀ CHÍNH THỨC

A=

3

x - 1 = -3  x = -2

 x – 1 = -1 x = 0 (loại)

x – 1 = 1  x = 2

x – 1 =3  x =4

0,25

Vậy biểu thức A có giá trị nguyên khi x = -2; x = 2 và x = 4 0,25 2

x + 3y =3 (I)

-x + 2y =7

Cộng từng vế hai phương trình của (I) ta được:

Do đó, ta có (I)  x + 3y = 3  x = -3

y = 2 y = 2 0,5

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất: (x;y) = (-3;2)

3

3a

Phương trình: x2 – 2x – 3 = 0

3b

Để phương trình: x2 – 2x + m = 0 có hai nghiệm x1, x2 khi và chỉ khi:

x x   (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 8

 22 -2m =8

 m = -2 (thỏa mãn)

0,25

0,25

Vậy với m = -2 phương trình có hai nghiệm x1, x2 và thỏa mãn:

x x 

4

Ta có P = (a+b)3 – 3ab(a+b) +(a+b)2 -2ab

= 12 -8ab ( do a + b = 2)

= 12 -8a (2 – a)

= 8a2 – 16a +12

0,25

0,25

P= 4 khi và chỉ khi (a- 1)2 = 0

a +b = 2  a = b = 1

Vậy giá trị nhỏ nhất của P là 4 khi a = b = 1

0,25

0,5

5a

Nên P, H, Q cùng nhìn đoạn thẳng AM dưới một góc vuông 0,5

Vậy A, P, M, H, Q cùng nằm trên một đường tròn đường kính AM 0,25

5b

Xét đường tròn đường kính AM, tâm O

5c

Gọi I là giao điểm của OH và PQ

 PQ = 2PI = 2

3

2 OP = 3OA =

3

2 AM

0,25

Mà AM AH=

3 2

a

0,25

Vậy giá trị nhỏ nhất PQ là

3 4

a