Tài liệu học tập môn Giải tích 3. Các em vào bằng máy tính sẽ dễ dàng nhận tài liệu hơn nha. Em nào chưa biết truy cập tài liệu thì xem video ad ghim ở đầu trang nhé
Trang 1Giải tích III
TS Bùi Xuân Diệu
Viện Toán Ứng dụng và Tin học, Đại học Bách Khoa Hà Nội
TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 1 / 53
Trang 2Tiêu chuẩn tích phân
Tiêu chuẩn so sánh
Tiêu chuẩn D’Alambert
Tiêu chuẩn Cauchy
3 Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì
Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ
Chuỗi đan dấu
4 Chuỗi hàm số
Chuỗi hàm số hội tụ
Chuỗi hàm số hội tụ đều
5 Chuỗi lũy thừa
Các tính chất của chuỗi lũy thừa
Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa
6 Chuỗi Fourier
Chuỗi lượng giác
TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 2 / 53
Trang 3Đại cương về chuỗi số
Tiêu chuẩn D’Alambert
Tiêu chuẩn Cauchy
3 Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì
Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ
Chuỗi đan dấu
4 Chuỗi hàm số
Chuỗi hàm số hội tụ
Chuỗi hàm số hội tụ đều
5 Chuỗi lũy thừa
Các tính chất của chuỗi lũy thừa
Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa
6 Chuỗi Fourier
Chuỗi lượng giác
TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 3 / 53
Trang 4an Khi đó, an được gọi là
số hạng tổng quát và Sn= a1+ a2+ · · · + an được gọi là tổng riêng thứ n
TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 4 / 53
Trang 5Đại cương về chuỗi số
Đại cương về chuỗi số
an Khi đó, an được gọi là
số hạng tổng quát và Sn= a1+ a2+ · · · + an được gọi là tổng riêng thứ n
Trang 6Ví dụ
Chúng ta bắt đầu với khoảng [0, 1] Sau đó chúng ta chia đôi khoảng này
ra thì ta được hai khoảng là [0, 1/2] và (1/2, 1], mỗi khoảng có độ dàibằng 1/2 Sau đó ta lại tiếp tục chia đôi khoảng [0, 1/2], thì ta sẽ đượchai khoảng, mỗi khoảng có độ dài bằng 1/4 Tiếp tục kéo dài quá trìnhnày ta sẽ được chuỗi số sau:
Trang 7Đại cương về chuỗi số
Đại cương về chuỗi số
Trang 8TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 6 / 53
Trang 9Đại cương về chuỗi số
Đại cương về chuỗi số
Trang 11Đại cương về chuỗi số
Đại cương về chuỗi số
Định lý (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ)
Trang 12tồn tại hoặc lim
n=1
n 2n+1
TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 7 / 53
Trang 13Đại cương về chuỗi số
Đại cương về chuỗi số
Định lý (Điều kiện cần để chuỗi hội tụ)
tồn tại hoặc lim
n=1
n 2n+1.Thay đổi một số số hạng đầu tiên của một chuỗi thì không làm ảnhhưởng đến tính hội tụ hay phân kì của chuỗi số đó
TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 7 / 53
Trang 14Các phép toán trên chuỗi số hội tụ
Trang 15Đại cương về chuỗi số
Đại cương về chuỗi số
Các phép toán trên chuỗi số hội tụ
Trang 16Tiêu chuẩn tích phân
Tiêu chuẩn so sánh
Tiêu chuẩn D’Alambert
Tiêu chuẩn Cauchy
3 Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì
Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ
Chuỗi đan dấu
4 Chuỗi hàm số
Chuỗi hàm số hội tụ
Chuỗi hàm số hội tụ đều
5 Chuỗi lũy thừa
Các tính chất của chuỗi lũy thừa
Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa
6 Chuỗi Fourier
Chuỗi lượng giác
TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 9 / 53
Trang 17Chuỗi số dương Tiêu chuẩn tích phân
Chuỗi số dương
Định nghĩa
n=1
an với an> 0 được gọi là một là chuỗi số dương
n=1
an hội tụ ⇔ Snbị chặn
TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 10 / 53
Trang 18Chuỗi số P∞
n=1
an với an> 0 được gọi là một là chuỗi số dương
n=1
an hội tụ ⇔ Snbị chặn
Định lý (Tiêu chuẩn tích phân)
Cho f (x) là một hàm số liên tục, dương, giảm trên đoạn [1, ∞) và
n=1
cùng tính chất hội tụ hoặc phân kỳ
TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 10 / 53
Trang 19Chuỗi số dương Tiêu chuẩn tích phân
Chuỗi số dương
Định nghĩa
n=1
an với an> 0 được gọi là một là chuỗi số dương
n=1
an hội tụ ⇔ Snbị chặn
Định lý (Tiêu chuẩn tích phân)
Cho f (x) là một hàm số liên tục, dương, giảm trên đoạn [1, ∞) và
Trang 20Xét sự hội tụ của các chuỗi a) P∞
n=1
1 1+n 2 b) P∞
Trang 21Chuỗi số dương Tiêu chuẩn tích phân
Tiêu chuẩn tích phân
Ví dụ
n=1
1 1+n 2 b) P∞
Trang 22Xét sự hội tụ của các chuỗi a) P∞
n=1
1 1+n 2 b) P∞
Trang 23Chuỗi số dương Tiêu chuẩn tích phân
Tiêu chuẩn tích phân
Ví dụ
n=1
1 1+n 2 b) P∞
n=4
1 (n−1)2 bằng R∞
4
1 (x−1)2dx
TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 11 / 53
Trang 24Ví dụ
n=2 1 n(ln n) p là hội tụ khi và chỉ khi p > 1
TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 12 / 53
Trang 25Chuỗi số dương Tiêu chuẩn tích phân
Ví dụ
n=2 1 n(ln n) p là hội tụ khi và chỉ khi p > 1
TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 12 / 53
Trang 26Cho hai chuỗi số dương P∞
Trang 27Chuỗi số dương Tiêu chuẩn so sánh
Trang 28Cho hai chuỗi số dương P∞
TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 14 / 53
Trang 29Chuỗi số dương Tiêu chuẩn so sánh
Trang 30Cho hai chuỗi số dương P∞
Trang 31Chuỗi số dương Tiêu chuẩn so sánh
Chuỗi số dương
Khi nào dùng tiêu chuẩn so sánh
số đều là các đa thức của n Chẳng hạn
Trang 32Khi nào dùng tiêu chuẩn so sánh
số đều là các đa thức của n Chẳng hạn
số đều là tổng của các lũy thừa với số mũ là n Chẳng hạn
TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 15 / 53
Trang 33Chuỗi số dương Tiêu chuẩn so sánh
Trang 34Định lý (Tiêu chuẩn D’Alambert)
Giả sử tồn tại lim
n→+∞
an+1
TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 17 / 53
Trang 35Chuỗi số dương Tiêu chuẩn D’Alambert
Tiêu chuẩn D’Alambert
Định lý (Tiêu chuẩn D’Alambert)
Giả sử tồn tại lim
n→+∞
an+1
Trang 36Định lý (Tiêu chuẩn Cauchy)
Giả sử tồn tại lim
n→+∞
n
TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 18 / 53
Trang 37Chuỗi số dương Tiêu chuẩn Cauchy
Tiêu chuẩn Cauchy
Định lý (Tiêu chuẩn Cauchy)
Giả sử tồn tại lim
n→+∞
n
Trang 38Tiêu chuẩn tích phân
Tiêu chuẩn so sánh
Tiêu chuẩn D’Alambert
Tiêu chuẩn Cauchy
3 Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì
Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ
Chuỗi đan dấu
4 Chuỗi hàm số
Chuỗi hàm số hội tụ
Chuỗi hàm số hội tụ đều
5 Chuỗi lũy thừa
Các tính chất của chuỗi lũy thừa
Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa
6 Chuỗi Fourier
Chuỗi lượng giác
TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 19 / 53
Trang 39Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ
Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ
Trang 41Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ
Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ
Trang 42TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 21 / 53
Trang 43Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ
Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ
Định lý (Tiêu chuẩn D’Alambert, Cauchy)
Giả sử tồn tại lim
n→+∞
an+1 an
Trang 45
Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì Chuỗi đan dấu
Chuỗi đan dấu
Trang 47Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì Chuỗi đan dấu
Trang 49Tiêu chuẩn D’Alambert
Tiêu chuẩn Cauchy
3 Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì
Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ
Chuỗi đan dấu
4 Chuỗi hàm số
Chuỗi hàm số hội tụ
Chuỗi hàm số hội tụ đều
5 Chuỗi lũy thừa
Các tính chất của chuỗi lũy thừa
Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa
6 Chuỗi Fourier
Chuỗi lượng giác
TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 26 / 53
Trang 50Cho dãy các hàm số {an(x)} Chuỗi hàm số được định nghĩa như sau:
Trang 51Chuỗi hàm số Chuỗi hàm số hội tụ
Trang 52Cho dãy các hàm số {an(x)} Chuỗi hàm số được định nghĩa như sau:
un(x) được gọi là miền hội tụ
TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 27 / 53
Trang 53Chuỗi hàm số Chuỗi hàm số hội tụ
TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 28 / 53
Trang 55Chuỗi hàm số Chuỗi hàm số hội tụ đều
Chuỗi hàm số hội tụ đều
Trang 57Chuỗi hàm số Chuỗi hàm số hội tụ đều
Chuỗi hàm số hội tụ đều
Tiêu chuẩn Weierstrass
un(x) hội tụ tuyệt đối và đều trên X
TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 30 / 53
Trang 58, x ∈ [−1, 1]
TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 30 / 53
Trang 59Chuỗi hàm số Chuỗi hàm số hội tụ đều
Các tính chất của chuỗi hàm số hội tụ đều
thì S(x) liên tục trên X , i.e.,
Trang 60thì S(x) liên tục trên X , i.e.,
Trang 61Chuỗi hàm số Chuỗi hàm số hội tụ đều
Các tính chất của chuỗi hàm số hội tụ đều
TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 32 / 53
Trang 63Chuỗi hàm số Chuỗi hàm số hội tụ đều
Các tính chất của chuỗi hàm số hội tụ đều
Trang 64TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 33 / 53
Trang 65Chuỗi lũy thừa
Tiêu chuẩn D’Alambert
Tiêu chuẩn Cauchy
3 Chuỗi số với số hạng có dấu bất kì
Chuỗi hội tụ tuyệt đối, bán hội tụ
Chuỗi đan dấu
4 Chuỗi hàm số
Chuỗi hàm số hội tụ
Chuỗi hàm số hội tụ đều
5 Chuỗi lũy thừa
Các tính chất của chuỗi lũy thừa
Khai triển một hàm số thành chuỗi lũy thừa
6 Chuỗi Fourier
Chuỗi lượng giác
TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 34 / 53
Trang 66TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 35 / 53
Trang 67Chuỗi lũy thừa
Chuỗi lũy thừa
sẽ hội tụ nếu −1 < x < 1 và phân kỳ nếu |x| ≥ 1
TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 35 / 53
Trang 69Chuỗi lũy thừa
Chuỗi lũy thừa
Trang 71Chuỗi lũy thừa
Chuỗi lũy thừa
Trang 72Với mỗi chuỗi lũy thừa P∞
n=0
xảy ra
|x| < R và phân kỳ nếu |x| > R
TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 38 / 53
Trang 73Chuỗi lũy thừa
Chuỗi lũy thừa
|x| < R và phân kỳ nếu |x| > R
Định nghĩa
Bán kính hội tụ của một chuỗi lũy thừa được định nghĩa bằng
0 trong trường hợp i)
bằng ∞ trong trường hợp ii)
bằng số thực dương R trong trường hợp iii)
TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 38 / 53
Trang 74Cách tìm bán kính hội tụ
Nếu ρ = lim
n→+∞
an+1 an
...
TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 34 / 53< /small>
Trang 66TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 35 ... class="page_container" data-page="64">
TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 33 / 53< /small>
Trang 65Chuỗi... class="page_container" data-page="61">
Chuỗi hàm số Chuỗi hàm số hội tụ đều
Các tính chất chuỗi hàm số hội tụ đều
TS Bùi Xuân Diệu Giải tích III 32 / 53< /small>