Nghiên cứu thành lập thuật toán mô hình số địa hình và ứng dụng để giải các bài toán trắc địa công trình

Mục đích nghiên cứu - Khảo sát nguyên lý và quy trình thành lập mô hình số địa hình - Khảo sát các thuật toán thành lập mô hình số địa hình dạng TIN - Khảo sát một số ứng dụng của mô hì

Trần Thị Sinh

Nghiên cứu thuật toán thành lập mô hình

số địa hình và ứng dụng để giảI các bài

Hà nội - 2008

Trần Thị Sinh

Nghiên cứu thuật toán thành lập mô hình số

địa hình và ứng dụng để giảI các

bài toán trắc địa công trình

luận văn thạc sỹ kỹ thuật

Hà nội - 2008

Mục lục

Mục lục 01

Danh mục các thuật ngữ tiếng việt và tiếng anh tương ứng 03

Danh mục các hình vẽ 04

Mở đầu 05

Chương 1- tổng quan về mô hình số địa hình 08

1.1 Mô hình số địa hình 08

1.1.1 Khái niệm 08

1.1.2 Quy trình thành lập mô hình số địa hình 10

1.2 Cơ sở dữ liệu thành lập mô hình số địa hình 10

1.2.1 Phương pháp đo đạc ngoài thực địa 10

1.2.2 Phương pháp đo trên ảnh 11

1.2.3 Phương pháp số hoá bản đồ giấy 11

1.2.4 Các phương pháp khác 12

1.3 Thành lập mô hình số địa hình 12

1.3.1 Các phương pháp biểu diễn mô hình số địa hình 13

1.3.2 Các hàm toán học biểu diễn mô hình số địa hình 17

1.4 Một số phần mềm thành lập mô hình số địa hình 25

1.4.1 Phần mềm Softdesk 25

1.4.2 Phần mềm Topo 26

Chương 2 - khảo sát thuật toán Thành lập mô hình số địa hình dạng tin29 2.1 Mạng lưới tam giác TIN 29

2.1.1 Khái niệm chung 29

2.2.2 Tam giác Delaunay và sơ đồ Voronoi 30

2.2 Phân tích các phương pháp thành lập mạng lưới tam giác 31

2.2.1 Bài toán tìm bao lồi 31

2.2.2 Bài toán tam giác hóa 33

2.3 Khảo sát thuật toán tam giác hoá theo phương pháp Increamental 39

2.3.1 Tư tưởng của thuật toán 39

2.3.2 Sơ đồ thuật toán 41

2.3.3 Lật cạnh 43

2.4 Các bài toán hình học cơ bản trên mô hình số địa hình 43

2.4.1 Điểm nằm trong tam giác 43

2.4.2 Giao của hai đường thẳng 45

2.4.3 Giao của đường thẳng với đa giác 46

2.5 Khảo sát một số ứng dụng cơ bản của mô hình TIN trong trắc địa công Trình 47 2.5.1 Nội suy độ cao điểm 47

2.5.2 Nội suy đường bình độ 48

2.5.3 Thành lập mặt cắt 49

Chương 3 - Thành lập phần mềm Interpolation Soft 51

3.1 Ngôn ngữ lập trình và môi trường đồ họa 51

3.2.1 Ngôn ngữ lập trình 52

3.2.2 Môi trường đồ họa 53

3.3 Tổ chức cơ sở dữ liệu trong phần mêm INTERPOLATION SOFT 53

3.3.1 Cấu trúc dữ liệu điểm 53

3.3.2 Cấu trúc dữ liệu đoạn thẳng 54

3.3.3 Cấu trúc dữ liệu tam giác 55

3.3.4 Giao diện và các chức năng chủ yếu của phần mêm 55

3.4 Các môđun ứng dụng của phần mềm INTERPOLATION SOFT 56

Phần thực nghiệm 69

Kết luận kiến nghị 73

Tài liệu tham khảo 75

Danh mục thuật ngữ

tiếng việt và tiếng anh tương ứng

Hình học tính toán Computation Geometry

Lới tam giác không quy chuẩn Triangulated Irrgular Network (TIN)

Mô hình mắt lưới Grid model

Mô hình số địa hình Digital Terrain Model (DTM)

Mô hình số độ cao Digital Elevation Model (DEM) Mô hình mạng lới tam giác không

Hàm song tuyến tính Linear interpolation

Hàm tuyến tính Bi-linear interpolation

Tam giác hoá Delaunay Delaunay triangulation

DANH mục các hình vẽ và đồ thị

Hình 1.1 Mô hình số địa hình 08

Hình 1.2 Sơ đồ quy trình thành lập mô hình số địa hình 10

Hình 1.3 Công tác đo ngoại nghiệp 10

Hình 1.4 Phương pháp đo trên ảnh 11

Hình 1.5 Máy quét 11

Hình 1.6 Biểu tượng của Nasa 12

Hình 1.7 Mô hình lới tam giác và mô hình lới ô vuông 13

Hình 1.8 Nội suy tuyến tính 18

Hình 1.9 Nội suy song tuyến tính 19

Hình 1.10 Phương pháp trung bình trọng số 21

Hình 1.11 Biểu diễn mặt toán học bề mặt địa hình 23

Hình 1.12 Giao diện phần mềm Softdesk 25

Hình 1.13 Giao diện phần mềm Topo 26

Hình 2.1 Mạng lới tam giác 29

Hình 2.2 Tam giác Delaunay 30

Hình 2.3 Sơ đồ Voronoi 30

Hình 2.4 Bao lồi của tập hợp điểm 31

Hình 2.5 Lật cạnh 34

Hình 2.6 Mối liên hệ gia tam giác Delaunay và sơ đồ Voronoi 36

Hình 2.7 Thuật toán đưòng quét 37

Hình 2.8 Thuật toán chia để trị 38

Hình 2.9 Lưới tam giác Delauay sau khi trộn 2 nửa tam giác 38

Hình 2.10 Tam giác P1P2P3 chứa tập hợp điểm P 40

Hình 2.11 Hai trường hợp xảy ra khi thêm điểm Pr 40

Hình 2.12 Kiểm tra sự hợp lệ của cạnh 42

Hình 2.13 Lật cạnh ép buộc 43

Hình 2.14 Điểm nằm trong tam giác 44

Hình 2.15 Giao của hai đoạn thẳng 45

Hình 2.16 Nội suy đường bình độ trong từng tam giác 48

Hình 2.17 Nội suy mặt cắt 50

Hình 3.1 Giao diện phần mềm Visual Basic 6.0 51

Hình 3.2 Thư viện đồ họa Vecad 52

Hình 3.3 Giao diện phần mềm Interpolation Soft 54

Mở đầu

1 Tính cấp thiết của đề tài

Trong những năm gần đây, việc ứng dụng công nghệ tin học trong trắc

địa đm được triển khai rộng rmi ở nước ta và trên thế giới Công tác thành lập bản đồ địa hình bằng công nghệ số đặc biệt quan trọng và đm được nhiều đơn

vị trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu và đm có một số phần mềm hiệu quả trong việc thành lập bản đồ số: Microstation, Surfer,…

Bên cạnh đó, trong lĩnh vực xây dựng các công trình kỹ thuật cac số liệu khảo sát địa hình đóng một vai trò rất quan trọng, nó quyết định đến kết quả của quá trình thiết kế sau này Trước đây, việc chuyển tiếp khâu khảo sát và thiết kế diễn ra một cách thủ công: kết quả của công tác khảo sát được chuyển sang cho thiết kế trên cơ sở sổ đo, bản đồ hoặc các tập tin bản đồ trên máy thuần tuý về mô tả hình học, rất ít hoặc không có các thông tin về địa hình số Nhằm mục đích bỏ qua giai đoạn nhập dữ liệu trung gian của thiết kế tiết kiệm được công sức và thời gian cũng như việc bảo toàn được dữ liệu ban đầu

và có tính thống nhất trong toàn bộ quy trình từ khảo sát đến thiết kế đm có nhiều hmng sản xuất phần mềm trong và ngoài nước nghiên cứu và đm có các sản phẩm hiệu quả: Sotfdesk, Nova, Topo…

Chính vì vậy, việc nghiên cứu thành lập mô hình số địa hình là cần thiết

và nó trợ giúp cho những người làm trắc địa công trình chủ động, độc lập trong công việc Đó chính là ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

2 Mục đích nghiên cứu

- Khảo sát nguyên lý và quy trình thành lập mô hình số địa hình

- Khảo sát các thuật toán thành lập mô hình số địa hình dạng TIN

- Khảo sát một số ứng dụng của mô hình TIN trong lĩnh vực trắc địa công trình

- Thành lập phần mềm ứng dụng

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng và phạm vi nghiên cứu của luận văn bao gồm các vấn đề liên quan đến công nghệ thành lập mô hình số địa hình TIN và các ứng dụng của

nó trong trắc địa công trình

4 Nội dung

- Nghiên cứu cơ sở lý thuyết quy trình thành lập mô hình số địa hình

- Nghiên cứu, phân tích các thuật toán thành lập mô hình số địa hình

- Xác lập thuật toán thành lập mô hình số địa hình dạng TIN

- Khảo sát các bài toán hình học cơ bản sử dụng trong mô hình TIN và một số ứng dụng của mô hình số trong Trắc địa công trình

- Thành lập phần mềm ứng dụng gồm các chức năng: nội suy độ cao, vẽ

đường đồng mức, thành lập mặt cắt địa hình… , bằng ngôn ngữ lập trình Visual Basic 6.0 và hỗ trợ đồ hoạ bằng thư viện đồ hoạ Vecad

5 Cơ sở khoa học và phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu, phân tích cơ sở lý thuyết từ đó xác lập thuật toán thành lập mô hình TIN và các bài toán ứng dụng liên quan Sau đó tiến hành kiểm chứng bằng số liệu thực nghiệm nhằm khẳng định kết quả nghiên cứu lý thuyết

6 ý nghĩa thực tiễn của đề tài

Đề tài đáp ứng nhu cầu khai thác sử dụng mô hình số địa hình trong thực

tế sản xuất Có ý nghĩa trong nghiên cứu khoa học, giảng dạy và học tập

7 Cấu trúc luận văn

Các nội dung và kết quả nghiên cứu của luận văn được trình bày trong 63 trang, chia làm 3 chương và phần thực nghiệm Luận văn có 36 hình vẽ minh hoạ, 02 bảng biểu

Sau một thời gian nghiên cứu, đến nay luận văn thạc sỹ kỹ thuật, chuyên ngành Kỹ thuật trắc địa của tôi đm hoàn thành Để có được kết quả này ngoài

sự nỗ lực phấn đấu, tìm tòi nghiên cứu tôi đm nhận được rất nhiều sự đóng góp

ý kiến hỗ trợ của các thầy cô giáo trong khoa trắc địa đặc biệt là bộ môn Trắc

địa công trình Bên cạnh đó là sự quan tâm của các bạn bè đồng nghiệp đm hỗ trợ cho tôi trong suốt thời gian học cũng như trong thời gian hoàn thành luận văn

Tôi xin trân trọng biết ơn sự hướng dẫn tận tâm và những định hướng quý báu của PGS.TS Trần Khánh trong suốt thời gian nghiên cứu và hoàn thành luận văn

Với vốn kiến thức còn hạn chế, thời gian nghiên cứu có hạn nên trong luận văn không tránh khỏi những thiếu sót, rất mong nhận được sự góp ý quý báu của các thầy, cô giáo, các bạn đồng nghiệp trong và ngoài trường để bản luận văn được hoàn thiện hơn nữa

Xin trân trọng cảm ơn!

Hình 1.1 Mô hình số địa hình

Mô hình số địa hình có thể được biểu diễn thông qua một hàm toán học hoặc thông qua một tập hợp điểm nối với nhau Tuy nhiên, trong thực tế bề mặt trái đất gồ nghề phức tạp, biến đổi không tuân theo một quy luật nào cả

Do đó không có phương trình toán học nào biểu diễn được chính xác toàn bộ

bề mặt trái đất Vì vậy, việc sử dụng một bề mặt toán học để biểu diễn bề mặt trái đất là không hợp lý Một cách hợp lý hơn đó là coi bề mặt trái đất là một tập hợp các điểm có thể cách đều hoặc không đều, các điểm này được nối với nhau thành một mạng lưới Công tác mô hình hoá bề mặt trái đất thông qua

mạng lưới điểm cho đến thời điểm này được coi là tối ưu nhất trong việc đảm bảo độ chính xác biểu diễn bề mặt

Mô hình số địa hình có một số đặc trưng như sau:

- Mô hình số địa hình được thành lập và quản lý trên máy tính nên các công tác tính toán thiết kế, vẽ mặt cắt, tính dung tích đều thực hiện được một cách dễ dàng và nhanh chóng

- Mô hình số địa hình chính là một phần bề mặt trái đất được biểu diễn và quản lý trên máy tính, vì vậy việc khảo sát thực tế địa hình chính là việc phân tích và xử lý dữ liệu địa hình trên máy tính Đây là cơ sở để hình thành các thuật toán ứng dụng mô hình số địa hình trong trắc địa

- Có thể dễ dàng khai thác và kết hợp với các dữ liệu khác ở dạng raster

- Thuận lợi cho công tác lưu trữ, bổ sung, hiện chỉnh bản đồ đm có

- Mô hình số địa hình được Miller và LaFlame giới thiệu năm 1958[11]

là sự kết hợp giữa các thuật toán với máy tính để thể hiện địa hình và được ứng dụng để giải quyết các bài toán trắc địa Sự phát triển mạnh mẽ của công nghệ thông tin trong những năm gần đây đm đem lại khả năng to lớn cho các phần mềm xử lý bản đồ số và mô hình số: tốc độ xử lý nhanh chóng, khả năng lưu trữ số điểm lớn và giao diện ngày càng thân thiện với người sử dụng

ở nước ta hiện nay, bản đồ số và mô hình số địa hình đm được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khoa học công nghệ, nhưng mới chỉ dừng ở mức khai thác phần mềm theo quy trình công nghệ của nước ngoài mà chưa có chiến lược phát triển cụ thể cho các phần mềm trong nước Một số cơ sở đào tạo và trung tâm nghiên cứu đm và đang tìm tòi về công nghệ phần mềm trong bản đồ

số và mô hình số địa hình Điều này đang mở ra khả năng và triển vọng to lớn nếu được quan tâm đầu tư xứng đáng cho lĩnh vực còn khá mới mẻ này

Dữ liệu đầu vào của mô hình số chủ yếu được thu thập từ các nguồn chính là: số liệu đo đạc trực tiếp ngoài thực địa, từ tư liệu ảnh hàng không, bản đồ số và bản đồ giấy hiện có…

yếu là sử dụng phương pháp đo

trực tiếp thực địa để thu thập số

Thu thập số

liệu hình số địa hình Thành lập mô trên mô hình số Các ứng dụng

Hình 1.3 Công tác đo ngoại nghiệp

liệu địa hình bề mặt đất Độ chính xác của dữ liêu thu thập được theo phương pháp này phụ thuộc chủ yếu vào máy đo và phương pháp đo Hiện nay, với sự hỗ trợ hữu hiệu của máy toàn đạc điện tử làm cho công tác thu thập số liệu thực địa được tiến hành nhanh chóng và chính xác hơn

Tuy nhiên, phương pháp này vẫn đòi hỏi nhiều thời gian và sức lao

động nên thường được dùng trong phạm vi nhỏ hay bổ trợ cho các phương pháp khác

1.2.2 Phương pháp đo trên ảnh

Các phương pháp thường được

sử dụng là đo vẽ lập thể trên các

máy toàn năng, đo giải tích trên các

máy đo toạ độ lập thể hay máy đo vẽ

1.2.3 Phương pháp số hoá bản đồ

Sử dụng bản đồ số hoá hoặc kết hợp quét

và số hoá, theo đó bản đồ cũ được quét và lưu

trữ trên máy tính, sau đó được số hoá bằng các

phần mềm chuyên dụng

Hình 1.4 Phương pháp đo ảnh

Hình 1.5 Máy quét

Phương pháp này cho năng suất lao động cao, tận dụng được tư liệu bản đồ giấy và dễ dàng kết hợp với các phần mềm thành lập mô hình số địa hình

1.2.4 Các phương pháp khác

Ngoài những phương pháp kể trên, cũng có một số phương pháp mới hiện đại nhằm thu thập thông tinh về địa hình như đo GPS, đo khoảng cách bằng sóng ánh sáng, đo khoảng cách bằng siêu âm hay giao thoa vô tuyến Tuy nhiên những phương pháp này đòi hỏi trình độ khoa học kỹ thuật rất cao, hiện chỉ có một vài nước trên thế giới nghiên cứu ở nước ta, với dấu mốc của việc phóng vệ tinh nhân tạo VNA-SAT1 đang mở ra một hướng nghiên cứu triển vọng cho phương pháp này

1.3 THàNH LậP MÔ HìNH Số ĐịA HìNH

Việc thành lập mô hình số địa hình là tái hiện bề mặt địa hình dưới dạng

số Có nhiều phương pháp thành lập mô hình số, tuy nhiên được chia thành hai nhóm chính Nhóm thứ nhất là dùng các thuật toán phù hợp chia nhỏ bề mặt

địa hình thành các miền con sau đó dùng hàm toán học để nội suy độ cao

điểm độc lập trong mỗi miền con đó Nhóm thứ hai là lấy điểm cần nội suy độ cao làm trung trung tâm và xác định hàm nội suy cục bộ để tích hợp các điểm

Hình 1.6 Biểu tượng của Nasa (Mỹ) và máy bay thu phát tín hiêu từ vệ tinh của Nasa

cơ sở ở xung quanh Phần tiếp theo sẽ trình bày cụ thể hơn về các vấn đề liên quan đến việc thành lập mô hình số địa hình

1.3.1 Các phương pháp biểu diễn bề mặt địa hình

Cơ sở dữ liệu để thành lập mô hình số địa hình là các thông tin bề mặt bao gồm các điểm độ cao đo trực tiếp, các đường phân thuỷ, tụ thuỷ, đường bình độ lấy từ bản đồ giấy hay từ ảnh hàng không … Trên cơ sở đó tiến hành mô hình hoá lại bề mặt và biểu diễn trên máy tính

Hiện nay có hai phương pháp được ứng dụng rộng rmi và hữu hiệu để biểu diễn địa hình đó là phương pháp lưới toạ độ ô vuông GRID và lưới tam giác không đều TIN

Dựa vào mô hình TIN và mô hình GRID có thể biểu diễn được hầu hết các dạng địa hình trên bề mặt trái đất Tuy nhiên, có một số dạng địa hình phức tạp như: hàm ếch, các hang động, yên ngựa … thì việc sử dụng hai dạng mô hình trên còn nhiều hạn chế ở đây, chúng ta chỉ tìm hiểu các thuật toán

và kỹ thuật biểu diễn địa hình dạng tuyến tính, nghĩa là tại một vị trí điểm mặt phẳng trên mô hình chỉ tồn tại duy nhất một giá trị độ cao

Dưới đây sẽ đi vào phân tích việc ứng dụng mô hình TIN và GRID để thành lập mô hình số địa hình

Mô hình lưới tam giác (TIN)

Mô hình lưới toạ

độ (GRID)

Hình 1.7 Mô hình lưới tam giác và mô hình lưới ô vuông

1.3.1.1 Lưới toạ độ Grid

Mô hình lưới toạ độ (Grid) là tập hợp các điểm cách đều nhau theo các phương của trục toạ độ x và y Dữ liệu đầu vào thu thập được theo các nguồn như đm nêu ở trên thường phân bố không đều Do đó, chúng phải được biến đổi

để tạo thành các dữ liệu quy chuẩn đúng theo khoảng cách của ô lưới bằng việc sử dụng các thuật toán Với phương pháp thành lập mô hình như vậy có nghĩa là mô hình Grid chỉ lưu lại các giá trị độ cao các điểm nội suy mà không còn lưu giữ được giá trị độ cao ban đầu Như vậy, mô hình Grid đm ít nhiều bị biến dạng so với bề mặt thực của địa hình Do đó, mô hình lưới Grid chỉ phù hợp với các ứng dụng trên bản đồ có tỷ lệ nhỏ, mức độ chi tiết địa hình không yêu cầu cao, khi mà độ chính xác bề mặt địa hình không phải là điều quan trọng nhất Do vậy, mô hình lưới Grid ít khi được ứng dụng để thành lập mô hình số địa hình ứng dụng trong trắc địa công trình Khoảng cách của ô lưới phụ thuộc vào các yêu cầu về độ chính xác, vị trí địa hình và thời gian xử lý trên máy tính Vì vậy, việc lựa chọn các thông số của lưới sao cho vừa thể hiện

được sự biến đổi của địa hình đồng thời phải giảm được lượng thông tin dư thừa Tương tự mô hình TIN, ở những vùng có địa hình phức tạp thì nên lựa chọn mật độ điểm dày hơn và như vậy khoảng cách ô lưới sẽ nhỏ hơn Ngược lại, ở những vùng địa hình ít có sự thay đổi về độ cao thì mật độ điểm mắt lưới thưa ra có nghĩa là kích thước ô lưới sẽ lớn hơn

Ưu điểm của lưới Grid là khả năng phân tích độ dốc địa hình và bề mặt Tuy nhiên, phần địa hình nằm trong ô lưới được khống chế bởi độ cao của bốn

điểm là đỉnh của ô vuông Giả sử độ cao của bốn điểm này là không đổi, thì phần địa hình này trên thực tế có thể biến đổi phi tuyến tính ở nhiều dạng khác nhau Như vậy, việc xác định độ cao của một điểm nằm trong ô lưới dựa vào bốn điểm mắt lưới sẽ không sát thực với thực tế địa hình Do đó, độ chính xác xác định độ cao một điểm trên DTM dạng lưới ô vuông Grid là có giới hạn nên việc ứng dụng thực tế cũng bị hạn chế

1.3.1.2 Mạng lưới tam giác TIN (Triangulated Irregular Network

Mạng lưới tam giác không đều (TIN) biểu diễn bề mặt vật lý của Trái đất dưới dạng véctơ TIN gồm một mạng lưới với các đỉnh tam giác là giá trị toạ

độ (X, Y, H) Mô hình TIN phân chia bề mặt địa hình thành các tam giác liên tục, không chồng chéo lên nhau và bề mặt địa hình trong tam giác này được coi là phẳng

Dữ liệu đầu vào của TIN là độ cao các điểm Lợi thế của mô hình TIN là các điểm được phân bố khác nhau và dựa vào thuật toán để xác định những

điểm nào là cần thiết nhất để biểu diễn địa hình ở những nơi có sự khác biệt lớn về độ cao thì mật độ điểm dày hơn và ngược lại, tại những vùng ít có sự khác biệt về độ cao thì khoảng cách giữa các điểm sẽ xa ra Vì thế, dữ liệu đầu vào sẽ phải linh hoạt: những điểm tốt nhất sẽ nằm ở vị trí giúp ta nắm bắt được những thay đổi quan trọng của bề mặt địa hình như: những điểm cao nhất, vị trí dốc, rặng núi, thung lũng, hầm mỏ và đèo

Khi sử dụng mô hình lưới tam giác không đều TIN thì việc xác định thêm vào bề mặt địa hình các đối tượng phá vỡ cấu trúc thông thường của địa hình như đường sá, ao hồ, sông ngòi… khá đơn giản Các thao tác này được thực hiện bởi việc loại bỏ các tam giác của lưới có giao cắt với đối tượng, và hình thành các đa giác mới, các đa giác này sẽ tiếp tục được tam giác hoá để hình thành nên mạng tam giác mới thoả mmn điều kiện của mạng tam giác Delaunay trong phạm vi các đa giác đó Các tam giác này được gắn với lưới tam giác tổng thể để tạo thành một mạng lưới mới mô tả địa hình chính xác hơn với những địa vật đặc biệt

Vì ba điểm trong một tam giác sẽ tạo thành một mặt phẳng duy nhất, tuyến tính, áp sát bề mặt thực của địa hình và đặc tả phần địa hình bên trong

ba điểm đó Do đó việc xác định độ cao của một vị trí bất kỳ bên trong tam giác phẳng có thể sẽ đơn giản hơn

1.3.1.3 So sánh mô hình GRID và lưới tam giác TIN

Từ các phân tích trên, có thể rút ra được một số kết luận về ưu nhược

điểm của mô hình TIN và mô hình Grid theo bảng thống kê sau:

Bảng 1.1 So sánh mô hình lưới tam giác và lưới ô vuông

1 Lưu giữ các mẫu đơn giản

2 Dễ dàng thu thập, lưu trữ và

3 Trong một số trường hợp, quá

trình thành lập đòi hỏi có sự can

thiệp thủ công để kiểm tra và

4 Không linh động trong việc

sử dụng nhiều loại mắt lưới khác nhau để biểu diễn địa hình

5 Các đối tượng tuyến tính không được biểu diễn một cách chính xác

Trên cơ sở phân tích và so sánh ưu nhược điểm của hai dạng mô hình trên ta nhận thấy: mô hình lưới toạ độ Grid được xây dựng dựa trên cơ sở các phép toán nội suy, đầu vào của các phép toán nội suy là các điểm đo thực địa Sau khi nội suy, mô hình lưới Grid không còn giữ được dữ liệu độ cao ban đầu mà chỉ lưu giá trị độ cao nội suy Còn đối với mạng lưới tam giác không đều TIN được xây dựng dựa trên cơ sở là các điểm đo thực địa Như vậy, với dữ liệu đầu vào được lấy trực tiếp từ các điểm đo thì mô hình TIN giữ được các đặc tính của địa hình hơn lưới Grid

Mô hình lưới Grid phù hợp với các ứng dụng dựa trên bản đồ có tỷ lệ nhỏ, mức độ chi tiết bề mặt địa hình không yêu cầu cao Trong khi đó, mô hình lưới tam giác không đều TIN lại phù hợp với các ứng dụng dựa trên bản đồ tỷ lệ lớn, độ chi tiết và độ chính xác của bề mặt địa hình và các đặc trưng bề mặt đặt lên hàng đầu

Như vậy, cả hai dạng mô hình đều có các ưu – nhược điểm riêng Tuy nhiên, mô hình lưới tam giác không đều TIN có ưu điểm rất lớn là biểu diễn

được các đặc trưng địa hình sát thực hơn các mô hình khác Mặc dù mô hình TIN cũng có một số nhược điểm, tuy nhiên có thể khắc phục được nhờ việc vận dụng hợp lý các thuật toán ứng dụng được nghiên cứu, tối ưu hoá cho phù hợp với đặc điểm của mô hình này

Vì vậy, trong nội dung của luận văn tôi đm chọn hướng nghiên cứu là thành lập mô hình số địa hình và các ứng dụng dựa trên cơ sở là mô hình lưới tam giác không đều TIN

1.3.2 Các hàm toán học biểu diễn mô hình số địa hình

Để xác định độ cao điểm bất kỳ trên mô hình người ta dùng các thuật toán nội suy dựa trên cơ sở độ cao các điểm đm biết (điểm đo) Thực chất của phương pháp nội suy là dựa vào tọa độ và độ cao điểm lân cận cùng với một hàm toán học thích hợp để nội suy độ cao của điểm cần xác định

Cho đến thời điểm này, đm có rất nhiều hàm toán học được sử dụng để nội suy độ cao điểm trên mô hình số Tuỳ theo cách phân chia bề mặt địa hình

và lựa chọn điểm lân cận để lựa chọn hàm toán học phù hợp Phần tiếp theo sẽ trình bày một số hàm toán học điển hình để nội suy độ cao điểm trên mô hình

xếp theo mạng lưới tam giác (như mô

hình TIN), do vậy nó còn có tên gọi là

phương pháp nội suy theo cấu trúc lưới

tam giác không quy chuẩn Việc áp

dụng hàm tuyến tính chỉ đúng khi các

điểm số liệu tạo thành lưới tam giác và mặt đất được giới hạn trong mỗi tam giác được coi là phẳng Mặt phẳng này có góc nghiêng thay đổi, các tam giác liền kề nhau phủ kín bề mặt địa hình

ý tưởng của bài toán là dựa trên cơ sở là điều kiện đồng phẳng của các véctơ, nhằm mục đích thành lập phương trình mặt phẳng với mối liên hệ giữa

điểm P cần nội suy độ cao với ba điểm A, B và C là ba đỉnh của tam giác chứa

Khi dùng toạ độ của ba điểm đm biết toạ độ (xi, yi, zi) của tam giác để nội suy độ cao điểm P; trước hết chúng ta viết được hệ phương trình

Z1 = a1X1 + a2Y2 + a3

Z2 = a1X2 + a2Y2 + a3 ( 1.2 )

Z3 = a1X3 + a2Y3 + a3Hoặc viết dưới dạng ma trận:

3 3

2 2

1 1

3 2

1

1 1 1

a a a

Y X

Y X

Y X

Z Z

3 3

2 2

1 1

3 2

1

1 1 1

Z Z Z

Y X

Y X

Y X

a a

tuyến tính theo hai hướng song song với trục X và trục Y, được xác định theo công thức sau[3]:

ZP = a0 + a1X + a2X + a3XY ( 1.5 ) Các tham số a0, a1, a2 và a3 được xác định trên cơ sở bốn điểm số liệu A,

B, C và D

Qua điểm P vẽ EG //////// AB, FH////////AD, độ cao của các điểm E, F, G và H có

thể nội suy tuyến tính từ độ cao của các điểm A, B, C, D còn độ cao của điểm

P được nội suy từ EG hoặc FH

Sau khi đơn giản hoá, độ cao điểm P được tính theo công thức:

D Y X C

Y X B X Y A

Y X

L

Y L

X Z

L

Y L

X Z L

X L

Y Z

L

Y L

Y X

A

L L

Y L X L S

L L

Y L S

S

Y X

C

L L

XY S

S

L L

X L S

S

Y X

X

Với:

S là diện tích hình chữ nhật ABCD; SA là diện tích hình chữ nhật PGCH;

SB là diện tích hình chữ nhật FBGP; SC diện tích hình chữ nhật AFPE;

SD diện tích hình chữ nhật EPHD

1.3.2.3 Phương pháp trung bình trọng số

Khác với hai phương phương pháp nội suy tuyến tính và nội suy theo hàm song tuyến tính, khi bề mặt địa hình được phân chia thành các đơn vị độc lập Thì phương phương pháp trung bình trọng số lấy điểm cần xác định độ cao làm trung tâm và xác định hàm nội suy cục bộ để tích hợp các điểm cơ sở

ở xung quanh và được gọi là phương pháp nội suy từng điểm Phương pháp nội suy từng điểm rất linh hoạt, thường có độ chính xác cao, không đòi hỏi máy tính có bộ nhớ lớn nhưng nhược điểm là tính toán chậm

Phương pháp trung bình trọng số dựa trên giả thiết:

- Độ cao các điểm được phân bố một cách liên tục, không có những thay

đổi đột ngột giữa các điểm liền kề

- ảnh hưởng của một điểm đm biết độ cao tới một điểm chưa biết độ cao tăng lên khi khoảng cách giữa chúng giảm đi

- Theo phương pháp này, đối với mỗi điểm cần nội suy độ cao sẽ chọn ra

n điểm chi tiết xung quanh điểm đó

i

k i i

P

d

d Z Z

1

1

1 ( 1.8 )

Trong đó:

Zi : độ cao của điểm chi tiết thứ i, i = 1, 2, …, n

K : hằng số (trên thực tế thường nhận giá trị 1 hoặc 2)

k

i

d

1

: trọng số của điểm chi tiết thứ i

di : là khoảng cách từ điểm chi tiết thứ i đến điểm cần nội suy

1.3.2.4 Phương pháp hình tròn động (phương pháp đa thức)

Trong phương pháp này, người ta hướng tới việc tìm một hàm toán học phù hợp với bề mặt địa hình xung quanh điểm cần nội suy độ cao, hàm toán học này thường là hàm đa thức Bề mặt toán học dùng để mô phỏng bề mặt địa hình phải thoả mmn nguyên lý số bình phương nhỏ nhất: “ Tổng bình phương

độ lệch của các điểm trên bề mặt toán học so với các điểm tương ứng trên bề mặt tự nhiện là nhỏ nhất”, tức là:

Trong đó:

I = 1,2, … , n: các điểm chi tiết

ϕ(x,y,z) : các điểm trên bề mặt toán học

ϕ0(x,y,z) : các điểm tương ứng trên bề mặt địa hình

Hình 1.11 Biểu diễn toán học bề mặt địa hình

Để xác định bề mặt toán học theo công thức trên cần xác định các tham

số của hàm toán học mô phỏng địa hình thông qua các điểm đo trên thực địa Khi số lượng điểm đo trực tiếp nhiều hơn số lượng tham số thì bài toán xác

định các tham số được giải theo nguyên lý số bình phương nhỏ nhất

Tuy nhiên một vấn đề đặt ra là: hàm toán học này nên biểu diễn đến bậc bao nhiêu thì hợp lý? Thực tế rất khó có câu trả lời xác đáng cho câu hỏi này, vì bề mặt địa hình lồi lõm phức tạp Do đó, việc xác định hàm toán học phù hợp chỉ mang tính tương đối

Thực nghiệm đm cho thấy, đối với những vùng bằng phẳng có thể dùng đa thức bậc thấp để biểu diễn bề mặt địa hình, nếu địa hình phức tạp thì cần chọn

đa thức bậc cao Với đa thức có bậc từ một đến bốn thì độ chính xác xấp xỉ bề mặt toán học so với bề mặt địa hình tỷ lệ thuận với số bậc đa thức Khi bậc đa thức lớn hơn bốn thì độ chính xác xấp xỉ không tăng tỷ lệ thuận với số bậc mà tăng chậm hơn, thậm chí khi số bậc lớn hơn hoặc bằng bảy thì độ chính xác không ổn định, kém tin cậy[4] Do vậy trên thực tế quá trình sản xuất, người ta nhận thấy chỉ khi cần lấy đến đa thức bậc ba hoặc bốn là đủ

Mặt toán học

Mặt địa hình

Trong cả hai phương pháp nội suy trung bình trọng số và đa thức, với mục đích tăng tốc độ việc lựa chọn các điểm lân cận nhằm thiết lập hàm toán học để nội suy độ cao điểm đm có rất nhiều thuật toán hỗ trợ Trong số đó có hai thuật toán được ứng dụng rộng rmi và hiệu quả là:

1 Thuật toán n láng giềng gần nhất

Thuật toán này chọn ra n điểm gần với điểm cần nội suy độ cao nhất để

đưa vào tính toán nội suy Việc chọn số điểm n tuỳ thuộc vào từng trường hợp

địa hình cụ thể nhưng nếu chọn n quá nhỏ hoặc quá lớn sẽ làm giảm độ chính xác của mô hình

Thuật toán n láng giềng gần nhất cũng bộc lộ yếu điểm khi áp dụng cho

những vùng có mật độ điểm thưa thớt, khi đó sẽ có nhiều điểm ở xa điểm cần nội suy cũng tham gia vào công thức tính để cho đủ số điểm, như vậy sẽ làm giảm độ chính xác nội suy độ cao

2 Thuật toán bán kính cố định

Cải tiến từ thuật toán n láng giềng gần nhất, thuật toán bán kính cố định chọn ra tất cả các điểm lân cận với điểm cần nội suy trong một vòng tròn có bán kính R cho trước Cách làm này khắc phục được yếu điểm nói trên của phương pháp n láng giềng gần nhất Việc lựa chọn bán kính R cũng tuỳ thuộc vào từng trường hợp cụ thể

Qua việc tìm hiểu phân tích các phương pháp thành lập mô hình số địa hình nêu trên cho thấy, ở mỗi phương pháp có những ưu và nhược điểm riêng Trong luận văn này chúng tôi đm lựa chọn cách thành lập mô hình số dựa trên cơ sở là mô hình tam giác không đều TIN nên lựa chọn hàm tuyến tính để nội suy độ cao điểm là phù hợp nhất Nội dung chi tiết sẽ được trình bày cụ thể ở phần sau

1.4 một số phần mềm thành lập mô hình số địa hình

Mô hình số địa hình được ứng dụng trong nhiều lĩnh vực khác nhau như: quản lý tài nguyên, trong lĩnh vực bảo vệ môi trường, trong các ngành khoa học quân sự và dân sự, các nghành khoa học về trái đất: trắc địa ảnh, hệ thống thông tin địa lý (GIS), trắc địa công trình… Chính vì vậy mà việc nghiên cứu thành lập mô hình số địa hình được nhiều công ty trong nước cũng như trên thế giới nghiên cứu Hiện nay, trên thị trường đm có nhiều phần mềm thành lập mô hình số địa hình được ứng dụng trong lĩnh vực trắc địa công trình và thành lập bản đồ như : Softdesk, Microstation, Topo, Surfer … Sau đây, sẽ giới thiệu hai phần mềm điển hình trong số các phần mềm đm được ứng dụng hiệu quả trong lĩnh vực trắc địa công trình ở nước ta

1.4.1 Phần mềm Sotfdesk

Phần mềm Softdesk do hmng Autodesk – Softdesk (Mỹ) sản xuất và giới thiệu với mục đích ứng dụng để thiết kế tuyến đường, tính toán địa hình và địa chất thuỷ văn

Dữ liệu đầu tiên mà người thiết kế cần để thiết kế được tuyến công trình

đó là các yếu tố địa hình, địa vật trên khu vực tuyến Các yếu tố khảo sát địa hình cơ bản này gồm: bình đồ, mặt cắt dọc và mặt cắt ngang của tuyến Chính vì vậy, trong phần mềm Softdesk có thiết kế một môđun chuyên dụng để xử lý các số liệu khảo sát đó là mô đun kiến tạo địa hình: Softdesk DTM

Hình 1.12 Giao diện của phần mềm Sotfdesk

Softdesk 8

Mô đun kiến tạo địa hình cho phép người sử dụng tạo mô hình số địa hình với dữ liệu đầu vào là tập hợp điểm đo có toạ độ (x, y, z) Môđun Softdesk DTM sử dụng các dữ liệu này để tạo ra một mô hình mặt bằng dưới dạng lưới tam giác không đều cạnh TIN

Người sử dụng có thể tạo ra từ mô hình TIN các đường đồng mức, các trắc đồ, các mặt cắt ngang, các điểm của cấp độ và các loại mô hình mặt bằng

có không gian ba chiều (x, y, z)

Cơ sở dữ liệu Softdesk DTM của mặt bằng tạo ra nguồn duy nhất các dữ liệu địa hình để tiến hành thiết kế bằng các môđun Softdesk khác

1.4.2 Phần mềm Topo

Hình 1.13 Giao diện của phần mềm Topo

Nhằm phục vụ công tác thiết kế (thiết kế đường, kênh, đê đập, san nền ) Cần tiến hành khảo sát và thành lập bản đồ địa hình Đây là bước hết sức quan trọng, quyết định rất nhiều đến kết quả của quá trình thiết kế sau này Trước đây quá trình khảo sát và thiết kế gần như tách biệt nhau (xét trên phương diện một hệ thống thông tin), việc giao tiếp giữa 2 quá trình được thực

hiện thủ công: kết quả của công tác khảo sát được chuyển sang công tác thiết

kế trên cơ sở các sổ đo, bản đồ giấy hoặc các tập tin bản đồ trên máy thuần tuý về mô tả hình học, rất ít hoặc không có các thông tin về địa hình số Người thiết kế gần như phải thực hiện lại một số công đoạn về nhập dữ liệu địa hình, gây lmng phí về thời gian và công sức

Để tự động hoá việc giao tiếp giữa hai quá trình khảo sát và thiết kế, công ty Hài Hoà đm nghiên cứu thiết kế và cho ra đời phầm mềm Topo là một chương trình phần mềm trợ giúp quá trình khảo sát và lập bản đồ địa hình số Các bản đồ địa hình do Topo lập ra chứa đựng đầy đủ các thông tin về địa hình, trên cơ sở đó, người thiết kế tiến hành được công việc của mình luôn, bỏ qua giai đoạn nhập dữ liệu trung gian, tiết kiệm thời gian, công sức và đảm bảo tính chính xác, thống nhất của dữ liệu

Phầm mềm Topo chạy trong môi trường AutoCAD 14 hoặc AutoCAD

2000 với hệ thống menu, hộp thoại bằng tiếng Việt, có hệ thống trợ giúp trực tuyến rất thuận tiện cho người sử dụng khi cần tra cứu cách sử dụng

Để thể hiện chiều thứ 3 của địa hình (độ cao) cần xây dựng mô hình địa hình số Tuỳ theo các yêu cầu cụ thể của bài toán khảo sát địa hình, sẽ có các mô hình địa hình tương ứng với mục đích nhằm phản ánh chính xác nhất địa hình tự nhiên

* Trong trường hợp khảo sát theo diện (các điểm đo phân bố tương đối

đều trên một vùng xác định) Mô hình địa hình số tốt nhất là mô hình địa hình

số dạng lưới tam giác (TIN : Triangle Information Network)

* Trong trường hợp khảo sát theo tuyến (các điểm đo được bố trí trên các trắc ngang theo tuyến khảo sát) Sử dụng Mô hình địa hình số dạng tuyến sẽ mô tả địa hình tốt nhất

* Khi cần tính toán san lấp, Mô hình địa hình số dạng lưới chữ nhật sẽ

được sử dụng (để phù hợp với các phương pháp truyền thống)

Trong các dạng Mô hình địa hình số trên, Mô hình địa hình số dạng lưới tam giác là cơ bản nhất, từ mô hình này, có thể suy được các mô hình còn lại Thuật toán xây dựng mô hình địa hình số dạng lưới tam giác là nối các

điểm gần nhau theo nguyên tắc các tam giác là tam giác Delaunay

Chương 2

Khảo sát thuật toán thành lập mô hình số địa hình dạng tin

2.1 Mạng lưới tam giác TIN (Triangulated Irregular Network)

2.1.1 Khái niệm chung

Mạng lưới tam giác không đều được thành lập từ tập hợp điểm đo đạc thực địa Mô hình TIN phân chia bề mặt địa hình thành các tam giác liên tục, không chồng chéo lên nhau và các điểm đo chính là các đỉnh của lưới tam giác Bề mặt địa hình trong phạm vi mỗi tam giác được coi là phẳng

Hình 2.1 Mạng lưới tam giác

Dựa trên tập hợp dữ liệu điểm đo ban đầu có vô số cách để nối các điểm với nhau và như vậy sẽ có vô số cách để phân chia bề mặt địa hình thành một mạng lưới tam giác Tuy nhiên, việc lựa chọn phương pháp nào thành lập mạng lưới tam giác lột tả được bề mặt địa hình một cách sát thực nhất

Đm có nhiều phương pháp được đề xuất nhằm thành lập lưới tam giác, trong số đó thì hiện nay phương pháp tam giác hoá Delaunay đang được đánh giá là cho kết quả tốt nhất

2.1.2 Lưới tam giác Delaunay và sơ đồ Voronoi

2.1.2.1 Tam giác Delaunay

Theo định nghĩa của Delaunay [12], “một đường tròn ngoại tiếp của một tam giác được tạo bởi ba điểm từ tập hợp điểm đo ban đầu sẽ rỗng nếu nó không chứa ba đỉnh tạo nên nó” Điều này có nghĩa là: các điểm khác chỉ

được phép nằm trên đường chu vi của đường tròn chứ không được nằm trong

Đây là định nghĩa khởi nguồn cho không gian hai chiều

Phương pháp tam giác Delaunay làm cực đại góc nhỏ nhất trong các tam giác thuộc mạng, chúng tránh các tam giác nhỏ[8,12] Mạng tam giác Delaunay được Boris Delaunay phát minh vào năm 1934

2.1.2.2 Sơ đồ Voronoi

Hình 2.2 Tam giác Delaunay

Hình 2.3 Sơ đồ voronoi

Cho P là một tập hợp gồm n điểm trên mặt phẳng, biểu đồ Voronoi của P

chứa một điểm pi ∈P và thoả mmn với mọi điểm q nằm trong vùng đó thì khoảng cách từ q đến điểm pi luôn nhỏ hơn khoảng cách từ q đến các điểm

pj ∈P (với i ≠ j) V(p i ) được tạo bởi các cạnh Voronoi và các đỉnh Voronoi.

Đồ thị của biểu đồ Voronoi (ký hiệu G) là đồ thị gồm các điểm pi ∈P và các đường cong nối hai điểm nút có chung cạnh Voronoi

2.2 Phân tích các phương pháp thành lập mạng lưới tam

giác

2.2.1 Bài toán tìm bao lồi

Từ tập hợp điểm dữ liệu với các toạ độ X, Y và H, để tam giác hoá tập hợp điểm này thì phải xác định được những cặp điểm nào sẽ nối với nhau để tạo nên cạnh của lưới tam giác Dễ dàng nhận thấy rằng các cạnh nằm trên biên của đa giác bao quanh tập hợp điểm cũng chính là các cạnh phải tìm, và

đa giác bao quanh tập hợp điểm đó gọi là bao lồi Do đó, bài toán tam giác hoá Delaunay của tập hợp điểm trên mặt phẳng có thể chuyển về bài toán tìm bao lồi của tập hợp điểm

Bao lồi của tập hợp điểm trên

mặt phẳng là đa giác lồi nhỏ nhất

chứa tất cả tập hợp điểm đó ở đây

ta hiểu đa giác lồi là một đường gấp

khúc khép kín không tự cắt, và với

mọi cặp điểm bất kỳ thuộc đa giác,

đoạn thẳng nối chúng nằm hoàn toàn trong đa giác

Việc tìm bao lồi cho một tập hợp điểm bao giờ cũng dựa vào một số điểm

đặc biệt chắc chắn nằm trên bao lồi, đó chính là bốn điểm co tung độ và hoành

độ cực trị min hoặc max Ngoài ra các điểm có (X+Y)max và (X-Y)min cũng nằm trên bao lồi và đôi khi còn được chọn thêm

Bài toán tìm bao lồi được tiến hành theo các bước như sau:

1 Tạo bao lồi

2 Tam giác hoá cho các điểm trên bao lồi

3 Chèn điểm (đối với các điểm còn lại):

- Tìm tam giác chứa điểm

- Tam giác mới có đỉnh là điểm xét

4 Kiểm tra với tam giác kế cận, nếu cần thì hoán đổi tam giác

Các thuật toán tìm bao lồi điển hình được tổng kết và so sánh ở bảng 2.1:

Bảng 2.1 Tóm tắt các thuật toán tìm bao lồi

Tên thuật

toán

Tóm tắt nội dung

Độ phức tạp

Tác giả

Một cạnh sẽ nằm trên bao lồi nếu như tất cả

các điểm còn lại đều nằm ở trên hoặc ở cùng một bên của đường thẳng tạo bởi cạnh đó

O(n3)

bao lồi và “bao bọc” một đường gấp khúc

2)

Chand

& Kapur,

điểm xem xét giữ hay loại bỏ điểm hiện tại

O(nlogn)

Graha

m 1972

tập con, tìm bao lồi cho từng tập con rồi trộn các kết quả lại

O(nlogn)

Prepara

ta

&Hong,

1977

Do việc kiểm tra và hoán đổi tam giác sẽ kết thúc nhanh, nên độ phức tạp của thuật toán sẽ phụ thuộc chủ yếu vào độ phức tạp của thao tác tìm tam giác chứa điểm Điểm yếu của phương pháp này là khi tất cả các điểm nằm trên bao lồi Tuy nhiên, các bước trong thao tác chèn điểm có thể được sử dụng cho mục đích biên tập trên mô hình[1]

2.2.2 Bài toán tam giác hoá

Dựa trên tập hợp dữ liệu điểm đo ban đầu có vô số cách để nối các điểm với nhau và như vậy sẽ có vô số cách để phân chia bề mặt địa hình thành một mạng lưới tam giác Tuy nhiên, việc lựa chọn phương pháp nào thành lập mạng lưới tam giác lột tả được bề mặt địa hình một cách sát thực nhất

Đm có nhiều phương pháp được đề xuất nhằm thành lập lưới tam giác, trong số đó thì hiện nay phương pháp tam giác hoá Delaunay đang được đánh giá là cho kết quả tốt nhất

2.2.2.1 Các tính chất của tam giác Delaunay

Những tam giác thoả mmn điều kiện 2.1.2.1 thường được gọi là lưới tam giác Delaunay và mô hình TIN tương ứng cũng được gọi là mô hình Delaunay

So với các phương pháp tam giác hoá khác thì phương pháp của Delaunay có nhiều ưu điểm[8].:

- Mạng lưới tam giác được coi là tối ưu nếu trong mạng không xuất hiện các tam giác có góc tù lớn hơn 1200 và góc nhọn nhỏ hơn 300 Ngoài ra, chiều dài của các cạnh tam giác cũng không được chênh nhau quá nhiều

- Các tam giác trong mạng càng giống với tam giác đều càng tốt vì nó

đảm bảo mức độ ảnh hưởng của độ cao ba đỉnh tam giác đến độ cao phần địa hình bên trong tam giác là tương đối đều nhau

- Trường hợp hai tam giác liền kề nhau có chung cạnh tạo thành một tứ giác, nảy sinh một vấn đề quan trọng là việc lựa chọn đường chéo nào trong

hai đường chéo của tứ giác để đạt mục đích là làm cực đại góc nhỏ nhất trong tam giác [8,12]

- Quá trình tam giác hoá độc lập với trình tự xử lý điểm

Bằng việc sử dụng điều kiện vòng tròn ngoại tiếp tam giác, việc thành lập lưới tam giác theo phương pháp này được tiến hành như sau:

- Tìm hai điểm gần nhau nhất và đoạn thẳng nối hai điểm này sẽ là một cạnh trong lươi tam giác Delaunay

- Tìm điểm thứ ba của tam giác này sao cho các điểm còn lại không nằm trong vòng tròn ngoại tiếp tam giác này Sẽ có thêm hai cạnh trong lưới tam giác được nối

- Dựa vào các cạnh này của tam giác, tiếp tục tìm kiếm các điểm thứ ba của tam giác thoả mmn điều kiện vòng tròn ngoại tiếp cho đến khi duyệt qua tất cả các điểm

Tuy nhiên, lưới tam giác Delaunay cũng có một số nhược điểm:

- Các tam giác sắp xếp không có trật tự, và do đó chúng không thể hợp lại để tạo thành tam giác lớn hơn

- Nếu những tam giác này bị chia thành các tam giác nhỏ hơn, đồ hình của các tam giác này thường rất tồi

Mọi thuật toán dùng để tính toán mạng tam giác Delaunay phụ thuộc vào việc khi nào thì một điểm nằm trong hình tròn ngoại tiếp tam giác và cấu trúc dữ liệu thích hợp để lưu trữ các đỉnh và các cạnh của tam giác Trong không giai hai chiều cách để phát hiện liệu điểm D có nằm trong đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là đánh giá định thức[12]:

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

) (

) (

) (

) (

) (

) (

1 1 1 1

>

ư +

ư

ư

ư

ư +

ư

ư

ư

ư +

y y x

x y y x x

y y x

x y y x x

y y x

x y y x x

y x y

x

y x y

x

y x y

x

y x y

x

D C D

C D C D C

D B D

B D B D B

D A D

A D A D A

D D

D

D

C C

C

C

B B

B

B

A A

2.2.2.2 Các tính chất của sơ đồ Voronoi

Dựa trên cơ sở khái niệm sơ đồ Voronoi ở mục 2.1.2.2 thì sơ đồ Voronoi

có một số tính chất như sau[8].:

- Số đỉnh Voronoi ≤ 2n-5

- Số cạnh Voronoi ≤ 3n-6

- Mỗi ô Voronoi là một đa giác lồi

- V(pi) là đa giác không khép kín khi và chỉ khi điểm pi nằm trên bao lồi của tập hợp điểm

- Nếu v là một đỉnh Voronoi tại giao điểm của V(p1), V(p2) và V(p3) thì v

là tâm đường tròn ngoại tiếp p1, p2 và p3

- Đường tròn ngọai tiếp C(v) không chứa bất kỳ một đỉnh nào khác thuộc Vor(p)

- Mỗi điểm nằm trên một cạnh Voronoi là tâm đường tròn đi qua hai

điểm pi, pj gần nhất

- Trên thực tế, sơ đồ Voronoi và tam giác Delaunay có mối quan hệ mật thiết với nhau, từ sơ đồ Voronoi có thể suy ra được tam giác Delaunay và ngược lại, cụ thể như sau:

- Lưới tam giác Delaunay là một tập hợp các tam giác ghép lại với nhau

có đỉnh là các điểm pi∈P và cạnh là các đường thẳng nối giữa hai điểm mà trong đồ thị Voronoi được nối với nhau bằng đường cong

- Ba điểm pi, pj và pk ∈P cùng là một đỉnh của tam giác Delaunay nếu

đường tròn đi qua ba điểm này không chứa bất kỳ điểm pl ∈P (l ≠ i ≠j ≠ k) thì tâm đường tròn là một đỉnh của biểu đồ Voronoi

- Hai điểm pi, pj ∈P tạo nên một cạnh của tam giác Delaunay nếu một vòng tròn nhỏ nhất khép kín chứa pi, pj thì trên biên và trong vòng tròn đó không chứa bất kỳ một điểm nào khác thuộc P

Kích thước của các tam giác Delaunay phụ thuộc vào mật độ và sự phân

bố điểm trong khi mật độ này lại được suy ra trực tiếp từ sơ đồ Voronoi

Hình 2.6 Mối liên hệ giữa biểu đồ Voronoi và

tam giác Delaunay

Để thành lập lưới tam giác hoá từ sơ đồ Voronoi, bước đầu tiên cần thành lập sơ đồ Voronoi rồi nối các điểm đo của các ô Voronoi có chung cạnh sẽ tạo nên lưới tam giác Delaunay

2.2.2.3 Phân tích các thuật toán tam giác hoá

1 Thuật toán đường quét (Sweep line)

Thuật toán này sử dụng một đường nằm ngang tưởng tượng quét dọc theo trục tung, ghi nhớ những điểm đm đi qua Bên cạnh đó, thuật toán cũng sử dụng các đường parabol vì đối với mỗi điểm pi luôn tồn tại một parabol nhận

đường quét làm đường chuẩn mà mỗi điểm trên parabol cách đều pi và đường quét Như vậy, khi đường quét gặp điểm mới pj có thể tính được điểm giữa pi

và pj Thuật toán này thường sử dụng cấu trúc dữ liệu dạng cây nhị phân tìm kiếm Hiện nay đây là thuật toán tối ưu nhất cho việc tam giác hoá với độ phức tạp O(nlogn)

2 Thuật toán chia để trị (Divide and Conquer)

Phương pháp chia để trị được đề xuất bởi Shamos va Hoey (1975), Lee và Schachter (1980) sau đó lại được cải tiến bởi Gubas và Stolfi, và cuối cùng là Dwyer (1987) Trong thuật toán này, người ta sử dụng một đường chia tập hợp

Hình 2.7 Thuật toán đường quét