Bài giảng Giải tích mạch - Chương 9: Mạch lọc

Chương 9: Mạch lọc. Sau khi học xong chương này, người học có thể hiểu được một số kiến thức cơ bản về: Định nghĩa mạch lọc, mạch lọc lý tưởng, mạch lọc thấp qua, mạch lọc cao qua, mạch lọc thông dải, mạch lọc chắn dải, mạch lọc hình thang.

9.1.Định nghĩa

 x(t) = Acos(ωt + Ф)

 yxl (t) = |H(jω)|Acos(ωt + Ф + /H(jω))

 *Tổng quát H(jω) thay đổi với ω

 *Mạch lọc là mạng 2 cửa có tính lựa chọn tần số, nó cho truyền

qua các tín hiệu dòng áp thuộc dãi tần nào đó gọi là dãi thông

và làm tắt (suy giảm ) các tín hiệu thuộc dãi tần khác gọi là dãi chắn Một mạch lọc lý tưởng có biên độ hàm truyền bằng 1

trong dải thông

Thông cao

Thông

dải

Chắn dải

ωc1 ωc2 ωc1 ωc2

9.2.Mạch lọc lý tưởng

 * ωc gọi là tần số cắt (cutoff frequency)

 *Trên thực tế không thể thực hiện các bộ lọc lý tưởng

 *Các bộ lọc thực tế chỉ gần giống với bộ lọc lý tưởng

 *Hầu hết các hệ thống LTI có thể nghĩ đó là các bộ lọc không lý tưởng

Thông thấp

Thông cao

Thông

dải

Chắn dải

ωc1 ωc2 ωc1 ωc2

 *Bộ lọc tích cực (active filter) ngoài phần tử thụ động R,C còn

có phần tử tích cực như transistor hay Op-amp

 *Trong chương này ta chỉ xét mạch lọc thụ động

Thông thấp

Thông cao

Thông

dải

Chắn dải

ωc1 ωc2 ωc1 ωc2

9.3.Mạch lọc thấp qua (Low-pass filter)

 1.Mạch lọc thấp qua loại RL nối tiếp

 *Tần số cắt ωc được xác định bởi:|H(jωc )| = Hmax /√2; trong đó

Hmax là biên độ cực đại của hàm truyền Ta có: ωc = R/L

 *Dải thông là dảy tần số trong đó biên độ của tín hiệu áp ngõ ra

= (1/√2)V0max = 70,7%V0max (V0max : Biên độ tín hiệu áp ngõ ra cực đại).Tại tần số ω = ωc công suất của mạch cung cấp cho tải chỉ bằng một nữa công suất cực đại (tương ứng biên độ cực đại của hàm truyền)

+

v0 -

+

v0 -

Mạch lọc RL

thấp qua Mạch tương đương tại ω = 0

Mạch tương đương

tại ω = ∞

Ví dụ về mạch lọc thấp qua RL nối tiếp

*Máy ghi điện tim ghi lại tín hiệu điện tạo ra từ nhịp đâp của tim

khoảng 1 Hz (nhịp đập của tim bình thường khoảng 72 lần /1phút)

hiệu nhiễu do nguồn điên nhà đèn tần số 50 Hz Hãy thiết kế

mạch lọc RL nối tiếp dùng cho máy ghi điện tim này để lọc bỏ các

tín hiệu có tần số > 10 Hz và cho qua các tín hiệu có tần số

Ví dụ về mạch lọc thấp qua RL nối tiếp

Hàm truyền H(jω)

i

V L

R

L

R V

2 2

2 2

0

400

20 )

/ (

/ )

R

L R

L j

R

R j

2.Mạch lọc thấp qua loại RC nối tiếp

 Mạch lọc thấp qua RC nối tiếp như hình

 * Khi ω = 0, trở kháng của tụ vô cùng lớn và tụ tương đương

hở mạch Điện áp ra và điện áp vào bằng nhau

 * Khi ω tăng dần , trở kháng của tụ giảm dần Điện áp ngõ ra

có được từ mạch phân áp với nguồn cấp là vi cho 2 thành phần điện trở và tụ Như vậy điện áp ngõ ra nhỏ hơn điện áp ngõ vào

 *Khi ω = ∞ , trở kháng của tụ bằng 0 Điện áp ngõ ra bằng 0

+

v0 -

R

C

vi

Ví dụ về mạch lọc thấp qua loại RC nối tiếp

 A)Tìm hàm truyền của mạch?

R

C

vi

RC s

RC s

V

s

V s

H

/ 1 )

(

)

( )







Ví dụ về mạch lọc thấp qua loại RC nối tiếp

 B)Biên độ của hàm truyền:

 Tại tần số cắt ωc |H(jωc )| = Hmax /√2 mà Hmax = H(j0) = 1; Nên:

 → ωc = 1/RC

 C) Chọn trước C = 1μF; → R = 1/(ωc C)

 = 1/[2л(3x103 )(1x10-6 )] = 53,05 Ω

2 2

) /

1 (

/

1 )

(

RC

RC j

) /

1 (

/

1 )

1

( 2

1 )

(

RC

RC j

Ví dụ về mạch lọc thấp qua loại RL và RC nối tiếp

*Một mạch lọc thấp qua loại RC nối tiếp có tần số cắt là 8 KHz

9.4.Mạch lọc cao qua (high-pass filter)

 1.Mạch lọc cao qua RC nối tiếp như hình

 *Khi ω = 0, tụ tương đương hở mạch, không có dòng chạy qua

R, không có điện áp ngõ ra

 * Khi ω tăng dần , trở kháng của tụ giảm dần Điện áp ngõ ra

có được từ mạch phân áp với nguồn cấp là vi cho 2 thành

phần điện trở và tụ Như vậy điện áp ngõ ra nhỏ hơn điện áp ngõ vào

 *Khi ω = ∞ , trở kháng tụ bằng 0.Điện áp ngõ ra bằng ngõ vào

+

v0 -

+

v0 -

Mạch lọc cao qua RC nối tiếp

*Hàm truyền của mạch:

*Biên độ và góc pha của hàm truyền:

*Tần số cắt ωc = 1/RC

RC s

s s

V

s

V s

H

i ( ) 1 /

)

( )

j

RC

j H

2 2

90 )

(

/ 1

) (

Ví dụ về mạch lọc cao qua RL nối tiếp

 2.Xét mạch lọc cao qua RL nối tiếp như hình

 A)Tính hàm truyền của mạch?

s

s s

V

s

V s

H

)

( )







Ví dụ về mạch lọc cao qua RL nối tiếp

B) Biên độ của hàm truyền:

Tại tần số cắt ωc: |H(jωc )| = Hmax /√2 = |H(j∞ )|/√2 = 1/√2 Nên:

1

L R

L R

Ví dụ về mạch lọc cao qua RL nối tiếp có gắn tải

 Tính hàm truyền của mạch trong trường hợp này?

R

R k

s ks

L

R R

R

R s

s R

R R

sL R

sL

R R

sL R

sL R

s

H

c L

L

c L

L L L

L L L

L

/

;

) (

-Ví dụ về mạch lọc cao qua RL và RC nối tiếp

*Một mạch lọc cao qua RL nối tiếp có R = 5 kΩ và L = 3,5 mH

Tính tần số cắt?

Trả lời: 1,43 Mrad/s

nếu R có các trị giá sau:

•Trả lời:

•A) 10 krad/s; B) 200 rad/s; C) 33,33 rad/s

R k

kRC s

RC s

1

1

)(

9.5.Mạch lọc thông dải (bandpass filter)

*Mạch lọc thông dải có 2 tần số cắt ωc1 và ωc2 nó xác định dải thông của mạch lọc Các tần số cắt cũng được định nghĩa là tần

số mà hàm truyền của mạch là 1 số thực , còn được gọi là tần số

cộng hưởng Tần số trung tâm

Với mạch lọc thông dải , biên độ hàm truyền cực đại tại tần số

trung tâm

*Độ rộng dải thông (bandwidth) β chính là hiệu số của 2 tần số cắt

*Hệ số phẩm chất Q chính là tỉ số giữa tần số trung tâm và β

*Có 5 thông số đặc trưng cho mạch lọc thông dải: ωc1 ; ωc2 ; ω0 ;

β; Q

2 1

0  c  c

9.5.Mạch lọc thông dải RLC nối tiếp

 *Khi ω = 0, tụ tương đương hở mạch, cuộn dây xem nhu ngắn mạch hệ quả điện áp ra bằng 0

 *Khi ω = ∞ , trở kháng tụ bằng 0, cuộn dây xem như hở mạch

 hệ quả điện áp ra bằng 0

 *Với ω có giá trị trong khoảng 0 và ∞ các trở kháng của tụ và cuộn dây có giá trị hữu hạn Tại ω = ω0 cảm kháng và dung kháng có độ lớn bằng nhau nhưng ngược dấu chúng khử nhau

hệ quả điện áp ra bằng điện áp nguồn Với ω ≠ ω0 điện áp ra nhỏ hơn điện áp nguồn

Mạch lọc thông dải RLC nối tiếp

*Tần số ω0 được xác định bởi: jω0L + 1/(jω0C) = 0

Vậy:

)/(

1)

/(

)/

()

(

2

RC s

L R

s

s L

R s

2 2

2

)/

1(

)/

(90

)(

)]/

([

])

/(

1[

)/

()

j

L R

RC

L

R j

Mạch lọc thông dải RLC nối tiếp

*β = ωc2 - ωc1 = R/L

LC

LC L

R L

R

LC L

R L

R

c c

c

c

1

12

2

12

2

2 1

0

2 2

2 1

Ví dụ về mạch lọc thông dải RLC nối tiếp

*Một mạch thông dải RLC nối tiếp Hãy tính các trị giá R; L; C để

có thông dải từ 1 đến 10 KHz

Giải:

Có nhiều cách để giải bài toán, nhưng bằng cách nào đi nữa ta chỉ thu được 2 phương trình độc lập không đủ để giải 3 ẩn số Như vậy ta cần chọn trước 1 trong 3 thành phần R; L; C Ở đây ta

chọn trước C = 1μF Ta tính tần số trung tâm:

Sau đó ta suy ra trị giá L:

Hz f

f

f 0  c1 c 2  (1000 )(10000 )  3162 ,28

Ví dụ về mạch lọc thông dải RLC nối tiếp

Tiếp theo ta tính Q để suy ra R:

mH

)10

()]

28,3162(

2[

11

6 2

2 0

0)(

10(

0025,

0

3514,

01000

10000

28,3162

2 6

2

1 2

0

CQ

L R

f f

f Q

c c

Ví dụ về mạch lọc thông dải RLC song song

 Cho mạch thông dải như hình

 A) Tìm hàm truyền?

 B) Tính tần số trung tâm ω0 ?

 C) Tính tần số ngắt ωc1 ; ωc2; bề rộng dải thông β; hệ số phẩm chất Q

 D)Tính R; L để có tần số trung tâm là 5 khz; bề rộng dải thông

a)Trở kháng tương đương của tụ mắc // cuộn dây

b) Tần số trung tâm là tần số mà biên độ hàm truyền cực đại

)/(

1)

/(

)

/(

)(

/1

/)

(

2

RC RC

s s

RC

s s

H

sC sL

C

L s

2 2

/

1 1

1 1

)

/(

) (

RC RC

LC

RC j

hằng số này vào vế bên trái biểu thức biên độ, ta có:

1)

(

;

1

0 max

LC

LC RC

RC

LC RC

RC

R L

RC

c

c

c c

1 2

1 2

1

1 2

1 2

1

1 /

) (

10 5

)(

200 )(

2 (

1 /

1

6



 C R

5 ( )

5000 )(

2 (

1 /

1

6 2

Ví dụ về mạch lọc thông dải RLC nối tiếp

 Cho mạch lọc thông dải RLC nối tiếp Nguồn vi có nội trở Ri

1

/)

(

2

LC

s L

R

R s

L

Rs s

Tại tần số trung tâm biên độ hàm truyền cực đại:

2 2

2

1

/ )

LC

L

R j

R j

R R

L

R R

LC L

R R

L

R R

i i

c

i i

c

12

2

12

2

2 2

2 1





L Q





2 0 2

s

k s

H

i

R R

R k





Ví dụ về mạch lọc thông dải RLC

*Mạch lọc thông dải RLC nối tiếp có nguồn cung cấp lý tưởng Tính R và L để có tần số trung tâm 12 kHz và hệ số phẩm chất

bằng 6 Biết C = 0,1 μFTrả lời: L = 1,76 mH; R = 22,10 Ω

*Mạch lọc thông dải RLC song song có nguồn cung cấp lý tưởng Tính C và L để có tần số trung tâm 2 kHz và bề rộng dải thông

bằng 500 Hz Biết R = 250ΩTrả lời: L = 4,97 mH; C = 1,27 μF

9.6.Mạch lọc chắn dải (bandreject filter)

 Ta có mạch lọc chắn dải RLC nối tiếp như hình

 * Tại ω = 0 , cuộn dây ngắn mạch, tụ điện hở mạch Ngược lại tại ω = ∞, cuộn dây hở mạch, tụ điện ngắn mạch Trong cả 2 trường hợp này điện áp ngõ ra bằng điện áp ngõ vào Mạch lọc chắn dải có 2 dải thông tương ứng với 2 tần số cắt trên và dưới

 *Khi tần số ở khoảng giữa 2 tần số cắt, trở kháng cuộn dây và

tụ có trị giá hữu hạn Tại tần số mà trở kháng cuộn dây bằng trở kháng tụ điện nhưng trái dấu, điện áp ngõ ra bằng 0, đó

9.6.Mạch lọc chắn dải RLC nối tiếp

)/(

1)

/(

)/

1

()

(

2

2

RC s

L R

s

LC

s s

2 2

2

2

)/(

1

/)

()

(

]/

[]

)/(

1[

1

)(

j

L R

RC

LC j

9.6.Mạch lọc chắn dải RLC nối tiếp

*Độ rộng dải chắn β = ωc2 - ωc1 = R/L

LC

LC L

R L

R

LC L

R L

R

c c

c c

1

12

2

12

2

2 1

0

2 2

2 1

9.6.Mạch lọc chắn dải RLC nối tiếp

2

0 1

2 0

2 2

2 0

2 1

2

1 1

2 1

2

1 1

2 1

2 2

2 2

Q Q

Q Q

c

c c c

Ví dụ về mạch lọc chắn dải RLC nối tiếp

*Mạch lọc chắn dải RLC nối tiếp có độ rộng dải chắn là 250 Hz; tần số trung tâm 750 Hz Cho C= 100 nF Tính R; L; ωc1 ; ωc1 ; Q?

Giải:

mH C

)10

100(

)]

750(

2[

11

9 2

2 0

s rad

c

c

/ 8

,

5562 2

2

/

3992 2

2

2 0

2 2

2 0

2 1

Mạch lọc chắn dải RLC nối tiếp và song song

LC

RC s

L R

s

LC

s s

H

/

;/

1

)/(

1)

/(

)/

1

()

RC RC

s s

LC

s s

H

/1

;/

1

)/(

1)

/(

)/

1

()

Ví dụ về mạch lọc chắn dải RLC

*Hãy tính các trị giá RLC của mạch lọc chắn dải loại nối tiếp có tần số trung tâm là 4 KHz; hệ số phẩm chất Q = 5 Sử dụng C =

500 nFTrả lời: L = 3,17 mH; R = 15,92 Ω

**Hãy tính các trị giá RLC của mạch lọc chắn dải loại nối tiếp có tần số trung tâm là 20 KHz; hệ số phẩm chất Q = 5 Sử dụng R =

100 ΩTrả lòi: L = 3,98 mH; C = 15,92 nF

9.7.Mạch lọc hình thang

 Ta xét mạch lọc có cấu trúc hình cái thang như hình trên Cấu trúc này có thể biểu diễn dưới dạng nối dây chuyền các mắc xích hình và Г như hình dưới

Điều kiện để trở thành mạch lọc

Mạch lọc hình T hay hình л được cấu tạo từ 2 mắc xích nguyên tố

và Г ghép lại thường được gọi là mắc lọc cơ bản, còn các mắc xích nguyên tố hình và Г được gọi là nữa mắc lọc

*Ta chứng minh được rằng điều kiện để mạch có cấu trúc hình thang là mạch lọc là X1 và X2 phải khác dấu (X1 và X2 là điện

kháng của Z1 và Z2 )

*Khi đó dải thông ứng với :

* Dải chắn ứng với :

04

42

1  

X X

1.Mạch lọc loại k

*Đó là mạch lọc hình thang có đặc tính:

Z1 Z2 = k2 > 0 →|X1 ||X2 | = k2Trong đó k là hằng số dương nên gọi là mạch lọc loại k

*Điều kiện dải thông sẽ trở thành:

*Điều kiện dải chắn sẽ trở thành:

12

0:

12

00

4

2

1 2

k

X X

X

12

k X

a)Mạch lọc thông thấp loại k

 *H.a và H.b là các nữa mắc lọc thông thấp hình và hình Г

2 1

2 2

2

kC L

k C

L



b)Mạch lọc thông cao loại k

*Trên hình giới thiệu các nữa mắc lọc và các mắc lọc cơ bản của

mạch lọc thông cao loại k

1

1 2

2

1

kC L

k C

L



c)Mạch lọc thông dải loại k

 Hình trên cho ta mạch lọc thông dải loại k

1 2

2

1Z L / C L / C Z

2 2

1 1 0

1 1

C L C

L







c)Mạch lọc thông dải loại k

1 2

1 2

1 1 2

1 2

1 1

1 1

1

1 1

1

C L C

L C

L

C L C

L C

1 2

2

1Z L / C L / C Z

2 2

1 1 0

1 1

C L C

L







1 1

4

1 16

1 1

2 2 1

2 1

2 2

2 2 1

2 1

2 1

L C

L

C L C

L C

2.Mạch lọc loại m

Để nâng cao chất lượng bộ lọc (đến gần bộ lọc lý tưởng) người ta cần thay đổi các thành phần của nữa mắc lọc cơ bản loại k Mắc

lọc bị thay đổi như vậy gọi là bộ lọc loại m

*Có 2 cách tạo mạch lọc loại m từ mạch loại k:

-Tạo mạch lọc m loại nối tiếp-Tạo mạch lọc m loại song songa)Tạo mạch lọc m loại nối tiếp:

Chọn Z1m = mZ1 với 0 ≤ m ≤ 1Suy ra: Z2m = Z2 /m + [ Z1(1- m2)]/4m

*Vậy Z2m gồm 2 trở kháng Z2 /m và [ Z1(1- m2)]/4m nối tiếp, vì vậy

ta gọi mạch lọc m loại nối tiếp

*Ứng với 1 mạch thông thấp, thông cao, thông dải, chắn dải loại k

ta sẽ có 1 mạch thông thấp, thông cao, thông dải, chắn dải loại m

nối tiếp tương ứng

Tạo mạch lọc m loại nối tiếp

Ví dụ mạch thông thấp hình loại m nối tiếp

 Với mạch thông thấp loại k :

m j

mC j

b)Tạo mạch lọc m loại song song

*Chọn trước Z2m = Z2 /m ; với 0 ≤ m ≤ 1

Suy ra:

*Ta thấy Z1m gồm 2 trở kháng mZ1 và 4mZ2 /(1 – m2 ) mắc song

song nên ta gọi là mạch lọc m loại song song

*Ứng với 1 mạch thông thấp, thông cao, thông dải, chắn dải loại k

ta sẽ có 1 mạch thông thấp, thông cao, thông dải, chắn dải loại m

song song tương ứng

2 2

1 1

1 4

1 1

1

Z m

m mZ

Z m







Tạo mạch lọc m loại song song

Ví dụ mạch thông thấp hình loại m song song

 Với mạch thông thấp loại k :

 Z1 = jωL1 (điện cảm L1); Z2 = 1/jωC2 (điện dung C2)

2

1 1

4 1 1

1 1

1 4

1 1

1

C m

m j

mL j

Z m

m mZ