Bài giảng Giải tích mạch - Chương 8: Biến đổi Fourier

Chương 8: Biến đổi Fourier. Sau khi học xong chương này, người học có thể hiểu được một số kiến thức cơ bản về: Phân tích chuổi fourier, các hệ số khai triển fourier, biến đổi dạng lượng lượng giác 3 thành phần, áp dụng chuổi fourier để phân tích mạch, trị hiệu dụng hàm tuần hoàn, công suất trung bình P, chuổi fourier dạng hàm mũ, phổ biên độ và phổ pha rời rạc.

Chương8: Biến đổi Fourier

8.1.Phân tích chuổi Fourierf(t): Hàm tuần hoàn có chu kỳ T có thể được biểu diễn bởi chuỗi

Fourier dạng lượng giác 3 thành phần (dạng chuẩn):

*Với n là các số nguyên 1,2,3, …

*av , an , bn gọi là các hệ số khai triển Fourier

*ω0 = 2л/T: gọi là tần số cơ bản ; các tần số là bội của ω gọi là sóng hài như 2ω là sóng hài bậc 2; 3ω là sóng hài bậc 3 v.v

*Ta có thể phân tích nguồn kích thích tuần hoàn thành chuổi Fourier gồm thành phần một chiều av + tổng các thành phần điều hòa (an và bn ) và dùng nguyên lý xếp chồng để tìm đáp ứng xác

lập

Ta xác định các hệ số khai triển Fourier như sau:

) 1 9 ( sin

cos )

1

n a

a t

8.2 Các hệ số khai triển Fourier

Ta lưu ý các trị giá của các tích phân sau:

) 4 9 ( sin

) ( 2

) 3 9 ( cos

) ( 2

) 2 9 ( )

( 1

t

f T

b

dt t k

t

f T

a

dt t

f T

a

T t

t k

T t

t k

T t

t v

n m

T

n m

dt t n

t m

n m

T

n m

dt t n

t m

dt t n

t m

dt t m

dt t m

; 0 cos

cos

; 2

; 0 sin

sin

0 sin

cos

0 cos

0 sin

0 0

0 0

0 0

Ví dụ tìm chuổi Fourier của dạng sóng cho trước

 Để tính các av; ak; bk ta phải chọn to Trong trường hợp này ta nên chọn t0 = 0 Biểu thức v(t) trong khoảng 0 và T:v(t) = (Vm /T)t

sin cos

1

2 cos

) (

2

2

1 )

( 1

2 0

2 2

0 0

0

0 2

0

2 2

T

V

t k

k

t t

k k

T

V dt

t k

t T

V

T a

V tdt

T

m k

m

T

m v

Chuổi Fourier của v(t) là:

k

V k

k

T T

V

t

k k

t t

k k

T V

dt t k

t T

V T

b

m m

T m

T

m k

2

cos sin

1 2

sin )

( 2

0 2

0 0

0

0 2

0

2 2

0 0

3

sin 2

sin sin

sin

1 2

)

(

0 0

0

0 1

V t

V V

t

n n

V

V t

v

m m

m m

n

m m

 Tính các hệ số khai triển Fourier av; ak; bk của hàm điện áp khi

Các hàm đối xứng

*Hàm chẳn: Nếu f(t) = f(-t ) Các hệ số Fourier rút gọn:

0

cos )

( 4

) ( 2

2 /

0

2 /

T v

b

dt t k

t

f T

a

dt t

f T

a



Các hàm đối xứng

*Hàm lẻ: Nếu f(t) = -f(-t ) Các hệ số Fourier rút gọn:

dt t k

t

f T

b

a

a

T k

k v

0

2 /

0

sin )

( 4

0 0

for tdt

k t

f T

a

T

2 /

0

cos )

for tdt

k t

f T

b

T

2 /

0

sin )

Hàm đối xứng ¼ sóng

*Hàm đối xứng 1/4 sóng: Trong trường hợp này phụ thuộc vào việc ta chọn điểm t = 0 mà hàm có thể là hàm chẳn hoặc lẻ Trong

ví dụ này ta chọn điểm t = 0 để có hàm chẳn Các hệ số Fourier

rút gọn có được trong ví dụ này là:

av = 0 (do cũng đối xứng bán sóng)

ak = 0 với k chẳn (do cũng đối xứng bán sóng)

bk = 0 (vì là hàm chẳn trong ví dụ này)

odd k

for tdt

k t

f T

a

T

4 /

0

cos )

Ví dụ tìm chuổi Fourier của hàm lẻ và đối xứng

 Việc chọn điểm t = 0 theo hình trên , ta có đây là hàm lẻ lại là hàm đối xứng bán sóng và ¼ sóng nên : av = 0 ; ak = 0 (do hàm lẻ) Vì đối xứng bán sóng nên bk = 0 với k chẳn Vì đối xứng ¼ sóng nên biểu thức bk với k lẻ là:

for tdt

k t

i T

b

T

4 /

0

sin )

Trong khoảng: 0 ≤ t ≤ T/4; Biểu thức dòng i(t) là:

i(t) = (4Im/T)t Nên:

1 8

sin 2

sin

1

8 )

(

2 sin

8

cos sin

32

sin

4 8

0

5 , 3 , 1

2 2

2 2

4 / 0 0

0 2

0 2

0 2

0

4 /

0

I

t n

n n

I t

i

k k

I

k

t k

t k

t k

T

I

odd k

for tdt

k

t T

I T

b

m

n m m

T m

T

m k

Ví dụ tìm chuổi Fourier của dạng sóng cho trước

n

V t

2

12 )

8.3.Dạng sóng hài

Trong phân tích mạch ứng dụng chuổi Fourier , chúng ta gom các thành sine và cosine lại thành 1 thành phần duy nhất là cosine Việc làm như thế cho phép ta biểu diển mỗi sóng hài của v(t) hoặc i(t) bởi 1 ảnh phức duy nhất trong việc tìm đáp ứng xác

lập Như vây chuổi Fourier dạng lương giác trở nên như sau

(dạng sóng hài):

Với An và θn được xác định như sau:

) 6 9 ( )

cos(

) (





n n

n n

n n

Ví dụ về dạng sóng hài của chuổi Fourier

 A) Tính ak ; bk của hàm tuần hoàn cho như hình?

 B) Viết 4 thành phần đàu tiên của chuồi Fourier của v(t) dưới dạng chỉ có thành phần cosine?

0

B)Ta tính trị trung bình: av = Vm (T/4)/T = Vm /4

) 2

cos 1

(

) cos

(

2 sin

2

2 sin

sin

2 cos

2

4 /

0 0

0 0

4 /

0

4 /

0 0

0 4

V

k

t k

T

V dt

t k

V T

b

k k

V

k

t k

T

V dt

t k

V T

a

m

T m

T

m k

m

T m

T

m k

) 45 cos(

2 4

)

(

0 0

0 0

t

V t

V

V t

v

m

m o

m m

Ví dụ về biến đổi dạng lượng giác chuổi Fourier

 A)Tính: A1 đến A5 và θ1 đến θ5 ? Biết Vm = 9л V

 B) Viết chuổi Fourier của v(t) (dạng chỉ có thành phần cosine) đến sóng hài bậc 5 Biết T = 125,66ms

 Trả lời: A) 10,4; 5,2; 0; 2,6; 2,1; V và -1200 ; -600 ; không xác định; -1200 ; -600 ;

8.4.Áp dụng chuổi Fourier để phân tích mạch

 *Ta đi tìm đáp ứng xác lập do nguồn kích thích tuần hoàn được phân tích Fourier Hàm kích thích là hàm lẻ, đối xứng bán sóng

và ¼ sóng, như vậy chỉ có thành phần bk với k là số lẻ

v0 -

t

n n

V v

k

V tdt

k

V T

b

m g

m T

m k

0

0

4 /

0

sin

1 4

4 sin

Đáp ứng ngõ ra ứng với sóng hài bậc k trong miền ảnh phức:

= /(1+jkω0RC)Đáp ứng ngõ ra tương ứng với thành phần tần số cơ bản:

Đáp ứng ngõ ra tương ứng với thành phần họa tần bậc 3:

) sin(

1 4

; 1

) 4

(

1 0

2 2

2 0 01

0

1 1

2 2

2 0

1 01

R

V v

RC tg

C R

V V

m

m



) 3

sin(

4

3

; 9

1 3

) 4

(

0

1 3

3 2

2 2

0 03

RC tg

C R

V V

Đáp ứng ngõ ra tương ứng với thành phần bậc k:

*Đáp ứng ngõ ra tương ứng với hàm kích thích vg:

)sin(

1

4

;1

)4

(

0 2

2 2

0

2 0

0

1

2 2

2 0

2 0

k

m k

k k

m k

t k

C R

k k

V v

RC k

tg C

R k

k

V V

2 0

0 0

) (

1

) sin(

4 )

(

n

n m

RC n

n

t n

V t

Ví dụ áp dụng chuổi Fourier để phân tích mạch

 *Sóng vuông được cung cấp cho mạch như hình Hãy viết 4 thành phần đầu tiên của chuổi Fourier đáp ứng ngõ ra v0 xác lập? Biết Vm = 210л V; T = 0,2л ms

 Trả lời: 17,5cos(10000t+ 88,810 ) + 26,14cos(30000-95,360 )

Ví dụ áp dụng chuổi Fourier để phân tích mạch

 *Sóng tam giác được cung cấp cho mạch như hình Hãy viết 3 thành phần đầu tiên khác không của chuổi Fourier đáp ứng ngõ

100kΩ100nF

-8.5.Trị hiệu dụng hàm tuần hoàn

) 8 9

( 2

2

) cos(

1

) ( 1

2 2

2 2

n v

rms

T t

t

n

n n

v rms

T t t rms

A a

A a

F

dt t

n A

a T

F

dt t

f T

F





Ví dụ tính trị hiệu dụng hàm tuần hoàn

*Giả sử tín hiệu tuần hoàn gồm các thành phần:

F rms

2

40,52

92

10,192

01,

2715

2 2

2 2

8.6.Công suất trung bình P của hàm tuần hoàn

Gọi v và i là áp và dòng ở 2 đầu của 1 phần tử ; giả sử v và i là

những hàm tuần hoàn Công suất P của phần tử sẽ là:

)cos(

)(

)cos(

)(

0 1

0 1

in n

n dc

vn n

n dc

t n

I I

t i

t n

V V

t v

)()(

T t

t

T t t

I

V I

V P

dt t

i t

v T

pdt T

Ví dụ về công suất P của các hàm tuần hoàn

 Giả sử tín hiệu áp như hình cung cấp 2 đầu 1 điện trở 15Ω

Biết Vm = 60V và T = 5ms

 A) Viết 5 thành phần đầu khác không của chuổi Fourier của v(t)

 B) Tính công suất trung bình ứng với mỗi thành phần?

 C) Tính công suất P tổng cộng của điện trở

 D) Công suất do 5 thành phần đầu tiên bằng bao nhiêu phần trăm công suất tổng cộng?

0

*Theo kết quả của ví dụ trước ta có:

C) Ta đi tính trị hiệu dụng của tín hiệu:

Công suất PT của điện trở:

PT = 302 /15 = 60 WD) Công suất của 5 thành phần đầu khác không là:

P = Pdc +P1 + P2 + P3 + P4 = 55,15 W

→ (55,15/60) x 100 = 91,92%

V T

Công suất phản kháng, công suất biểu kiến, công

suất méo dạng của các hàm tuần hoàn

*Công suất biểu kiến: Là tích của trị hiệu dụng của điện áp và

dòng điện S = Vrms Irsm

•Công suất phản kháng của hài thứ k: Qk = Vrmsk Irmsk sin φk

•*Công suất phản kháng toàn bộ:

•*Công suất méo dạng T: S 2 = P2 + Q2 +T2

•Ta chứng minh được rằng muốn cho công suất méo dạng bằng không thì trổ kháng của mạch không phụ thuộc vào ω nghĩa là trở

kháng tương đương của mạch thuần trở

Hàm lượng sóng hài, hệ số sóng hài,hệ

số công suất, hệ số méo dạng

*Hàm lượng sóng hài: Là tỉ số giữa biên độ của thành phần thứ

k>1 và thành phần tần số cơ bản: hk = Ak /A1 (k > 1)

•Hệ số sóng hài:

*Hệ số công suất cosφ = P/S

*Trên thực tế thường là nguồn kích thích là điều hòa còn dòng

trong mạch bị méo dạng nên :Cosφ = V1rms I1rms cos φ1/Vrms Irms ;

f T

C e

C t

f

T t

t

t jn n

t jn n

) (

1

; )

n

n n

n n

a dt

t

f T

C

n

A jb

a C

0

0

) ( 1

3 , 2 , 1

; 2

)

( 2 1

2 /

2 / 0

0 0

0 0

e jV

jn

e T

V dt

e

V T

C

m jn

jn m

t jn m

T t

t

t jn m

n

Ví dụ về chuổi Fourier dạng hàm mũ

dạng (sin x)/x khi ta viết lại như sau:

2 /

2 / sin

V

t jn m

t jn n

m

e n

n T

V

e n

n T

V t

v

0

0

2 /

2 / sin

2 /

2 /

sin )

(

0

0 0

8.8.Phổ biên độ và phổ pha rời rạc

 *Biên độ của hệ số triển khai Fourier là hàm của n và gọi là phổ biên độ rời rạc của tín hiệu tuần hoàn

 *Pha của hệ số triển khai Fourier cũng là hàm của n và gọi là phổ pha rời rạc

 Hình trên cho ta phổ biên độ và phổ pha của hệ số Fourier

trong thí dụ trên với Vm = 5V; ∆= T/5 Phổ biên độ có dạng

sinx/x ; trong khi phổ pha thì bằng 0 tại n = -1;-2;-3;-4;1;2;3;4;

0,2 0,8

0