Bài giảng Giải tích mạch - Chương 7: Hàm truyền

Chương 7: Hàm truyền. Sau khi học xong chương này, người học có thể hiểu được một số kiến thức cơ bản về: Mạch cộng hưởng, định nghĩa hàm truyền, tính tuyến tính và bất biến của hệ thống, ví dụ về hàm truyền, đáp ứng xác lập của tín hiệu điều hòa, giản đồ bode.

Chương7: Hàm truyền

7.1.Mạch cộng hưởng

Mạch cộng hưởng là mạch điện mà trong đó xãy ra hiện tượng cộng hưởng Cộng hưởng xãy ra trong mạch tại tần số mà ở đó tổng điện kháng X(ω) hay tổng điện nạp

B(ω) bằng 0 Như vậy điều kiện cần để xãy ra hiện tượng cộng hưởng là trong mạch có chứa các phần tử

điện kháng là điện cảm và điện dung.

Ta sẽ xét các trường hợp cộng hưởng:

1.Cộng hưởng nối tiếp 2.Cộng hưởng song song

1.Cộng hưởng nối tiếp

 *Xét mạch điện như hình Trong đó: R = R1 + RntL + RntC

 RntL; RntC : Là các điện trở tổn hao trong mô hình nối tiếp của cuộn dây và tụ điện Mạch được kích thích bởi nguồn điều hòa tần số ω Ta xét mạch ở chế độ xác lập

+-

1 (

)

(

C

L R

) /

1 (

1 )

(

C L

Tính chất lọc thông dải



 |Y(ω)| đạt trị giá cực đại là |Y|max =1/R khi đó dòng điện trong

dòng điện lớn được xem như đi qua , ngược lại dòng điện bị chận , ta nói mạch có tính chất lọc thông dải

IY(ω)I IyImax =1/R

Điện áp 2 đầu cuộn dây, tụ điện tại ω0

*Ta có 2 tần số cắt ωc1 và ωc2 tương ứng tại đó |Y(ωc1)| =|Y(ωc2)|

=|Y|max /√2 Ta chứng minh được rằng: ωc2 x ωc1 = ω02 = 1/LC

U U

m Cm

C

L R

L L

R C

L R

L L

R

C C

2



Hệ số phẩm chất của mạch, cuộn dây, tụ điện

*Nếu Q lớn thì ULm và Ucm lớn hơn Em rất nhiều (Q lần)

*Tại tần số cộng hưởng ta chứng minh được rằng:

WE (t) + WM (t) = ½ LIm2 = hằng sốVậy ở tần số cộng hưởng năng lượng tổng chứa trong tụ và cuộn dây không thay đổi theo thời gian, có sự trao đổi năng lượng giữa

2 thành phần L và C Còn công suất của nguồn cung cấp cho

mạch được biến đổi thành nhiệt trên điện trở R

*Nếu: R1 = 0 → R = RntL + RntC

→ hệ số tổn hao của mạch d = 1/Q = dL + dC = 1/QL+ 1/QC; Vậy hệ

số phẩm chất của mạch nhỏ hơn hệ số phẩm chất của cuộn dây

cũng như của tụ

*Sự thay đổi biên độ các điện áp trên R,L,C theo tần số được

khảo sát như sau:

Khảo sát điện áp 2 đầu R, L,C

1

2

C L

1 (

1

2 2

C L

R C

1

2

C L

U R /    / 

E I L j E

U L /     / 

E C

j I E

U C /   (  /  ) / 

ω0 ωL

ωC 0

1 Q

) 1 2

/(

2

; 4

/ 1 1

2 2

0 2

Độ lệch cộng hưởng tuyệt đối, tương đối, tổng quát

*Độ lệch cộng hưởng tuyệt đối: ∆ω = ω – ω0;

*Độ lệch cộng hưởng tương đối: = ω/ω0 – ω0/ ω

*Độ lệch cộng hưởng tổng quát: ξ = X(ω)/R

*Tại tần số cộng hưởng các độ lệch cộng hưởng = 0

*ξ = Q ; ≈ 2∆ω/ ω0; ξ ≈ 2Q∆ω/ ω0 ; (7.2)

) 3 7 (

; 1

) (   R   2   tg 1

Z

) 4 7 (

; 1

1 )

) 5 7 ( 1

1

; 1

Y Y

Ví dụ về cộng hưởng nối tiếp

*Mạch cộng hưởng nối tiếp có R = 20 Ω; C = 60 nF; tần số cộng hưởng f0 = 3 Mhz được kích thích bởi tín hiệu điều hòa có biên

độ 1V tần số f với độ lệch cộng hưởng tuyệt đối ∆f = f – f0 = 6 Khz Hãy xác định: Biên độ dòng điện trong mạch, điện kháng của

mạch, biên độ điện áp trên tụ, góc lệch pha giữa dòng điện và

Ta có: Im / Imch = |Y| / |Ych | Từ (7.5) suy ra:

mA

I Y

Y I

Ví dụ về cộng hưởng nối tiếp

*Điện kháng của mạch:

X = Lω – 1/Cω = ξR = 3,537Ω

Biên độ điện áp trên tụ:

*Góc lệch pha φ giữa sức điện động e(t) và dòng điện i(t) chính là

góc pha của trở kháng Z Theo (7.3) ta có:

φ = tg-1ξ ≈ 100

V QE

RC E

C

I C

I C

I U

m m

mch m

m Cm

5 , 43 1

1

1

2 2

0

2 0

2.Mạch cộng hưởng song song

 *Tại ω = ω0 mô-đun trở kháng đạt trị giá cực đại |Z|max = R

,ứng với điện áp có biên độ lớn nhất bằng Jm R

chung quanh ω0 và chặn lại dải tần còn lại Hai tần số cắt

Tương ứng |Z(ωC1)| = |Z(ωC1)| = |Z(ω )|max /√2

*Trở kháng đặc tính của mạch ρ = ω0L = 1/ ω0C = √L/√C

*Tại tần số cộng hưởng ω0 , u(t) cùng pha với j(t) ; biên độ dòng

điện → toàn bộ dòng điện chảy qua điện trở

*Để tiện lợi, người ta cũng định nghĩa độ lệch cộng hưởng tuyệt

đối, tương đối giống như cộng hưởng nối tiếp

* Độ lệch cộng hưởng tổng quát được định nghĩa: ξ = B(ω)/G

*Ta có: ξ = Q ; ξ ≈ 2Q∆ω/ω0 ; ≈ 2∆ω/ω0 ; Y = G(1 +jξ)

L

C G

C C

G L

C G

C C

G

C C

U G

J  

b)Mạch cộng hưởng song song 2 nhánh

hình Các mạch này gọi là mạch cộng hưởng song song phức tạp.Để phân tích các mạch cộng hưởng này, người ta thường chuyển các mạch trên về dạng song song 3 nhánh để có thể áp dụng các kết quả mà ta đã biết Mạch cộng hưởng 2 nhánh là

mô hình đúng của các mạch thực tế thường dùng với điều kiện tổn hao của các phần tử nhỏ

ta hãy so sánh dẩn nạp của chúng:

*Với mạch // 3 nhánh: Y = G + 1/jωL + jωC (7.7)

*Với mạch // 2 nhánh (H.a): Y’ = 1/(R1 + jωL1) + 1/(R2+ 1/jωC2)

Với các giả thiết: R1 << ωL1; R2 << 1/ωC2

So sánh (7.7) và (7.8) ta được :

G = RC2 /L1; C = C2; L = L1

Đó là điều kiện để 2 mạch tương đương với nhau

Gọi Rtđ = 1/G = L1/RC2 = ρ2/R Trong đó ρ = √L1 /√C2 là trở kháng đặc tính của mạch

Hệ số phẩm chất Q = R /ρ ; → R = Q2R

2 1

1

2 1

2

2 1

2 1

2 1

2 2

1 1

2 1

2 1

'

) 8 7 (

; 1

/

/ 1 )

/ 1 )(

(

/ 1

R R

R L

j C

j L

RC

C L

C j

L j

R R

C j

R L

j R

C j

L j

R

R Y

LC

Re(t)

7.2.Định nghĩa hàm truyền

*Các điều kiện đầu bằng 0, x(t): nguồn kích thích; y(t): đáp ứng

H(s): Hàm truyền của mạch

) ( )

( )

( )

(

) ( )

(

) ( )

(

) ( )

(

0 0

0 0

0 0

s X

s H s

X s

a

s

b s

Y

s b s

X s

a s

Y

s X

s b s

Y s a

dt

t x

d b

dt

t y

d a

N k

k k

M k

k k

M

k

k k k

k k

k

k M

k

k N

Điều kiện đầu

*Các điều kiện đầu bằng 0

*Các nguồn kích thích (x(t)) điện áp và dòng điện là những nguồn

) ( )

(

) ( )

(

0 0

s X s

b s

Y s a

dt

t x

d b

dt

t y

d a

k k

k

k M

k

k N

*Việc phân tích hàm truyền được áp dụng cho bất kỳ hệ thống

nào có tính tuyến tính và bất biến (LTI)

*Một hệ thống bất biến nếu tín hiệu vào dịch đi 1 khoảng thời gian

thì tín hiệu ra cũng dịch đi cùng1 khoảng

*Mạch điện mà năng lượng trử trong tụ hay trong cuộn dây khác 0

tại t = 0 là hệ thống không bất biến

*Mạch điện mà năng lượng trử trong mạch bằng 0 tại t = 0 là hệ

thống bất biến

Mạch tuyến tính và bất biến (LTI)

tụ điện

hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra được xác định bởi 1 phương trình vi phân hệ số hằng

 *Trong miền t sự liên hệ giữa y(t) và x(t) có thể phức tạp

được gọi là hàm truyền

) x(t) ) h(t) ) y(t) ) X(s) ) H(s) ) Y(s)

Hàm truyền và đáp ứng xung đơn vị

*Giả sử:

-Mạch có hàm truyền là H(s)-Ta kích thích mạch với tín hiệu xung đơn vị (unit impulse),

x(t) = δ(t) → X(s) = 1Y(s) = H(s)X(s) = H(s)

Hay: y(t) = h(t)

*Vậy hàm truyền của 1 hệ thống chính là biến đổi Laplace của

đáp ứng xung đơn vị của hệ thống

*Đối với hệ thống LTI, khi ta biết H(s) hay h(t) ta sẽ tính được tín

hiệu ra tương ứng với tín hiệu vào

*Như vậy ta có 2 cách khác nhau để tìm đáp ứng của LTI:

1.Tính H(s), X(s) rồi → y(t) = L – 1{H(s)X(s)}

2.Phân tích mạch trong miền s để tìm đáp ứng

7.4.Ví dụ về hàm truyền

 Tín hiệu vg cung cấp cho mạch, tín hiệu ra v0 như hình

+

v0 -

0 10

05 , 0 250

0 0

v0 -

6 2

0

6 2

0

10 25

6000

) 5000 (

1000 )

(

10 25

6000

) 5000 (

s V

V s

H

s s

V

s V

g

g

Ví dụ về hàm truyền

 Tín hiệu vào vg = 50t u(t) tín hiệu ra v0 như hình

 A)Dùng biểu thức hàm truyền đã biết ở ví dụ trước tính v0

+

v0 -

6 2

10 25

6000

) 5000 (

1000 )

s s

H

C)Thành phần xác lập: [10t – 4x10-4 ]u(t)

s

k s

k j

s

k j

s

k

s s

s

s s

V

3 2

2

* 1 1

2 6

2 0

4000 3000

4000 3000

50 10

25 6000

) 5000 (

1000 )

Ví dụ về hàm truyền

 Tín hiệu ig cung cấp cho mạch, tín hiệu ra v0 như hình

 A)Tính biểu thức hàm truyền V0 /Ig của mạch

Ví dụ về hàm truyền

*Biết hàm truyền của mạch là H(s) = 10(s+2)/(s2+2s +10);

a)Tìm đáp ứng của hàm đơn vị u(t)?

b)Tìm đáp ứng của hàm xung đơn vị δ(t)?

3 1

1 10 2

) 2 (

10 )

(

)

* 1 1

0 2

0

j s

k j

s

k s

k s

s s

s s

3 1

1 10 2

) 2 (

10 )

( )

* 2 2

2 0

j s

k j

s

k s

s

s s

Ví dụ về hàm truyền

Biết đáp ứng xung đơn vị của mạch là :

v0 (t) = 10000e-70t cos(240t + θ) V; với tgθ = 7/24

a)Tìm hàm truyền của mạch? b) Tìm đáp ứng hàm đơn vị ?

Giải:

a)H(s) = L{h(t)} = L{v0 (t)}

v0 (t) = 10000cosθe-70t cos240t – 10000sinθe-70t sin240t

= 9600e-70t cos240t – 2800e-70t sin240t

62500 140

9600

) 240 (

) 70 (

) 240 (

2800 )

240 (

) 70 (

) 70 (

9600 )

(

2

2 2

2 2

s

s s

s s

H

Ví dụ về hàm truyền

Biết đáp ứng xung đơn vị của mạch là :

v0 (t) = 10000e-70t cos(240t + θ) V; với tgθ = 7/24

a)Tìm hàm truyền của mạch? b) Tìm đáp ứng hàm đơn vị ?

Giải:

→K1 = 9600/j480 = -j20 = 20 /-900 Nên:

v0 (t) = [40e-70t cos(240t - 900)]u(t) V

= [40e-70t sin240t ]u(t) V

240 70

240 70

62500 140

9600

1 ) ( )

( )

* 1 1

2 0

j s

k j

s

k

s s

s s

s H s

V b

vs (t)

R

C

RC

C

7.5.Đáp ứng xác lập của tín hiệu điều hòa

 yxl (t) = |H(jω)|Acos(ωt + Ф + /H(jω))

 *Tín hiệu vào x(t) là tín hiệu điều hòa

 *Đáp ứng xác lập của tín hiệu ra yxl (t) cũng là tín hiệu điều hòa

của bất kỳ tín hiệu điều hòa ở ngõ vào

) x(t) ) H(s) ) y(t)

Ví dụ tìm đáp ứng xác lập của tín hiệu điều hòa

6 2

0

10 25

6000

) 5000 (

1000 )

s V

V s

H

g

6 6

45 6

2 6

1 1

6

1 1

10 25

) 6000 (

5000 10

25

) 5000 5000

(

1000 )

5000 (

j

j

j j

H

Ví dụ tìm đáp ứng xác lập của tín hiệu điều hòa

Ví dụ tìm đáp ứng xác lập của tín hiệu điều hòa

vg

+

v0 -

Ví dụ tìm đáp ứng xác lập của tín hiệu điều hòa

 Tìm đáp ứng (xác lập) v0 (t) khi tín hiệu vào vs (t) = cos(ωt)?

+

v0(t)-

vs (t)

R

C

7.6.Giản đồ Bode

hàm truyền H(s) theo tần số góc ω

đo logarit ở trục x (trục hoành)

 |HdB(jω)| = 20log10 |H(jω)|

) x(t) ) H(s) ) y(t)

*Ngày nay các kỷ sư chủ yếu dùng MATLAB để vẽ

*Tại sao ta tìm hiểu cách vẽ bằng tay?

-Điều này giúp ta hiểu được các điểm cực, điểm không, độ lợi

ảnh hưởng đến giản đồ Bode như thế nào-Các kiến thức này được dùng trong việc thiết kế mạch analog và

hệ thống điều khiển

*Chúng ta sẽ tìm hiểu phương pháp đơn giản để vẽ giản đồ Bode

*Đó là phương pháp dựa trên việc vẽ đường tiệm cận của các

đặc tuyến

Biến đổi biểu thức hàm truyền

*Biểu thức cuối cùng được gọi là dạng chuẩn của H(s)

*Bước đầu để vẽ giản đồ Bode ta phải đổi H(s) ra dạng chuẩn

) 1

) (

1 )(

1 (

) 1

) (

1 )(

1 (

) ) (

)(

(

) ) (

)

( )

(

2 1

2 1

2 1

2 1

0 1

1 1

0 1

1 1

n

m l

n

m l

n m

n n

n n

m m

m m

p

s p

s p

s

z

s z

s z

s ks

p s

p s

p s

z s

z s

z

s s

a b

a s

a s

a s

a

b s

b s

b s

b s

D

s

N s

Thành phần biên độ

Xét biểu thức biên độ của hàm truyền:

m

j s n

m l

dB

j j

z

j z

j

l k

p

s p

s p

s

z

s z

s z

s ks

j H

j H

1 log 20

1 log 20

1 log 20

log 20

log 20

) 1

) (

1 )(

1 (

) 1

) (

1 )(

1 ( log

20

( log

20 )

(

1

2 1

2 1

Thành phần biên độ

Vậy |HdB(jω)| có thể phân tích bằng tổng các thành phần đơn giản

*Vậy ta có thể vẽ đặc tuyến biên độ bằng tổng các thành phần

tuyến tính (thành phần tiếp tuyến)

*Có 4 loại thành phần trong biên độ: Hằng số; tuyến tính; thành

phần điểm 0; thành phần điểm cực

n m dB

p

j p

j

z

j z

j

l k

j H

1 log 20

1 log 20

1 log 20

log 20

log 20

) (

1 1

Thành phần biên độ: chứa điểm 0 thực

Xét thành phần biên biên độ chứa điểm 0 thực:

20log|1-jω/z|

*Nếu; ω << |z|; (ω/z→0) → lim 20log|1-jω/z| = 0

Vậy nếu ω << |z| thì 20log|1-jω/z| ≈ 0

*Nếu ω >> |z|; (ω/z→ ∞)

→lim 20log|1-jω/z| = 20log|-jω/z| = 20log|ω| - 20log|z| Vậy nếu ω >> |z| thì thành phần 20log|1-jω/z| là đoạn thẳng có độ dốc 20 dB/1decad và cắt trục x tại ω = |z|

Thành phần biên độ:chứa điểm 0 thực

thẳng nối với nhau tại điểm góc ω = |z|

Thành phần biên độ:chứa điểm 0 thực

z = ±1.Sai số lớn nhất của phương pháp vẽ tiệm cận xãy ra tại tần số góc (corner frequency) ω = |z| là 3 dB (biên độ thực lớn

-1001020304050

Thành phần biên độ:chứa điểm cực thực

Thành phần biên độ:chứa điểm cực thực

với p = -1.Sai số lớn nhất của phương pháp vẽ tiệm cận xãy ra tại tần số góc (corner frequency) ω = |p| là 3 dB (biên độ thực

ω(rad/s)-50

-40-30-20-10010

*Thành phần hằng số k làm cho biên độ dịch theo thang đo dB

*Thành phần tuyến tính tương ứng với đoạn thẳng có độ dốc

±l20db/decade

) 1

) (

1 )(

1 (

) 1

) (

1 )(

1 (

) (

)

( )

(

2 1

2 1

n

m l

D

s

N s

Ví dụ vẽ đặc tuyến biên độ giản đồ Bode

giản đồ Bode của hàm truyền:

10

) 100 )(

10

( )

s

s s

H

) 1000

1 (

) 100

1

)(

10

1 ( 10

) 1000 (

10

) 100 )(

10

( )

(

2 2

s s

s

s s

Thành phần góc pha

Mỗi thành phần được viết dưới dạng tọa độ cực ; Chú ý :

(jω)l = ωl jl = ωl(ejл/2 )l = ωl ejлl/2

) 1

) (

1 )(

1 (

) 1

) (

1 )(

1 ( ) (

) (

2 1

2 1

n

m l

k j

(

1 1

1

1

2 /

1

1

n

m l

j n j

j m

j jl

l j

D D

N

N k

e D e

D

e N

e N

e e

k j

H

n

m k

Thành phần góc pha

Với ηk = 0 khi k > 0 và ηk = 1 khi k < 0

*Góc pha của H(jω) là tổng các góc pha của các thành phần

*Có 4 loại thành phần trong góc pha: Hằng số; tuyến tính; thành

phần điểm 0; thành phần điểm cực

) 1

(

) 1

(

) 1

(

) 1

( 2

2 / )

(

1

1

1 1

n

m k

n n

k

p

j

p j

z

j

z

j l

l j

-90018090

Thành phần góc pha: Tuyến tính

 *Thành phần tuyến tính /(jω)I = /jl = l x 900 có góc pha bằng bội số của 900

 *Vẽ giản đồ Bode góc pha của H(s) = s; 1/s; s2 ; 1/s2

/H (jω)(độ)

ω(rad/s)-180

-90018090

Thành phần góc pha: chứa điểm 0 thực

Xét thành phần /1 – jω/z với z là số thực Ta có 3 trường hợp:

*Trường hợp 1: ω << |z|; ω/z → 0

→lim /1 – jω/z = 0Vậy nếu ω << |z| thì /1 – jω/z ≈ 0

Thành phần góc pha: chứa điểm 0 thực < 0

nhau tại 2 điểm ω = 10-1|z| và ω = 10|z|

phức (Re{z} < 0)

/H (jω)(độ)

ω(rad/s)-180

-90018090

Thành phần góc pha: chứa điểm 0 thực ở

nữa trái mặt phẳng

 Đồ thị có sai số lớn nhất tại ω = 10-1|z| và ω = 10|z|

/H (jω)(độ)

ω(rad/s)0

20

456090

10-1|z|

10-2|z|

Thành phần góc pha: chứa điểm 0 thực

-90018090

Thành phần góc pha: chứa điểm 0 thực ở nữa

Thành phần góc pha: chứa điểm cực thực

*Trường hợp điểm cực ở nữa trái mặt phẳng thì giống như trường hợp điểm 0 ở nữa phải mặt phẳng Ta không xét trường hợp điểm

cực ở nữa phải mặt phẳng vì như thế hệ thống không ổn định

*Xét thành phần - /1 – jω/p với p là số thực < 0 Ta có 3 trường

hợp:

*Trường hợp 1: ω << |p|; ω/p → 0

→lim - /1 – jω/p = - 0Vậy nếu ω << |p| thì - /1 – jω/p ≈ 0

Thành phần góc pha: chứa điểm cực thực âm

với nhau tại 2 điểm ω = 10-1|z| và ω = 10|z|

phức (Re{p} < 0)

/H (jω)(độ)

ω(rad/s)-180

-90018090

Thành phần góc pha: chứa điểm cực thực ở nữa

Ví dụ vẽ giản đồ Bode góc pha

) 100 )(

10

( )

s

s s

H

) 1

(

) 100

1

)(

10

1 ( 10

) 1000 (

10

) 100 )(

10

( )

(

2 2

s s

s

s s

Tóm tắt các thành phần góc pha

*Mỗi thành phần chứa điểm 0 làm góc pha lệch đi ±900

-Bắt đầu trước điểm 0 một decade và kết thúc sau 1 decade-Điểm 0 ở nữa trái mặt phẳng làm góc pha tăng lên 900

-Điểm 0 ở nữa phải mặt phẳng làm góc pha giảm xuống 900

*Mỗi thành phần chứa điểm cực làm góc pha giảm đi -900

-Bắt đầu trước điểm cực một decade và kết thúc sau 1 decade

*Hằng số k làm góc pha lệch 00 (k>0) hoặc 1800 (k<0)

) 1

(

) 1

(

) 1

(

) 1

( 2

) (

1

1

n

m k

p

j p

j

z

j z

j l

j H

Cực phức

Xét hàm truyền bậc hai C(s) được biểu diễn dưới dạng sau:

*ωn : Gọi là tần số không đệm (undamped natural frequency)

*ς (zeta): Tỷ số đệm (damping ratio)

2

2

) (

2 1

1 2

) (

n n

n n

n

s s

s s

s C

) (

1

1

) (

2 1

1 )

(

n n

n n

s Q

s s

s

s C

(

Biên độ thành phần chứa cực phức

*Với: ω << ωn : 20log |C(jω)| ≈ - 20log|1| = 0 dB

*Với: ω >> ωn : 20log |C(jω)| ≈ - 20log(ω2 /ωn2 )

= - 40log(ω/ωn ) dB

*Với ω = ωn : 20log |C(jω)| = - 20log(1 /Q )

= Q dB

2 2

2 2

1 2

1 log

20

1 log 20

) (

n n

Q

Q

j j

(

Góc pha thành phần chứa điểm 0 phức

*Trường hợp điểm 0 phức ở nữa trái mặt phẳng:

-Biên độ thay đổi nghịch lại so với trường hợp cực phức

-Góc pha thay đổi nghịch lại so với trường hợp cực phức

*Trường hợp điểm 0 phức ở nữa phải mặt phẳng:

-Biên độ thay đổi nghịch lại so với trường hợp cực phức

-Góc pha thay đổi giống với trường hợp cực phức

*Sự liên hệ về biên độ và góc pha giống như trường hợp giữa thành phần chứa điểm 0 thực và thành phần chứa cực thực

mà ta đã biết