Bài giảng Giải tích mạch - Chương 5: Phương pháp tích phân kinh điển

Chương 5: Phương pháp tích phân kinh điển. Sau khi học xong chương này, người học có thể hiểu được một số kiến thức cơ bản về: Phương pháp tích phân kinh điển, đáp ứng mạch RC và RL bậc nhất, đáp ứng ‘natural’ mạch RC, Đáp ứng mạch RLC bậc hai.

Chương 5:Phương pháp tích phân kinh điển

➢ 5.1.Phương pháp tích phân kinh điển

➢ 1.Đáp ứng ‘natural’ mach RLC song song

➢ 2.Đáp ứng ‘step’ mach RLC song song

➢ 3.Đáp ứng ‘natural’ mach RLC nối tiếp

➢ 4.Đáp ứng ‘step’ mach RLC nối tiếp

5.1.phương pháp tích phân kinh điển

Chúng ta sẽ phân tích mạch LTI (tuyến tính bất biến) và nguồn

độc lậpQuan hệ giữa các giá trị tức thời của dòng điện và điện áp trên các phần tử ta đã xét ở các chương trước Mạch bao gồm các phần tử RLCM được mô tả bởi phương trình vi tích phân được thành lập dựa trên các định luật Kirchhoff và Ohm Để tiện việc giải hệ phương trình , người ta thường đưa về một phương trình

vi phân cấp n (m):

*Trong đó y(t)(hoặc x(t)) là nghiệm cần tìm, còn x(t)(hoặc y(t)) là hàm đã cho, các hằng số ak; bk biểu diễn các thông số của mạch

1.Nghiệm của phương trình vi phân hệ số hằng

*Từ ví dụ trên ta thấy rằng dòng điện i(t) hay điện áp e(t) trong mạch là nghiệm của phương trình vi phân tuyến tính hệ số hằng.Giả sử rằng vế phải của phương trình đã xác định do nguồn e(t) cho trước, ta ký hiệu là f(t) còn vế trái là nghiệm cần tìm (là điện

a.Nghiệm của phương trình thuần nhất

R

Ví dụ về tìm thành phần quá độ

Phương trình đặc tính của mạch:

p2 +2αp + ω02 = 0

Có các nghiệm:

*Nếu α2 > ω02 (2 nghiệm thực đơn), thành phần quá độ sẽ là:

*Nếu α2 = ω02 ( nghiệm thực kép = -α), thành phần quá độ sẽ là:

uqđ (t)= (k1 + k2 t)e-αt

*Nếu α2 < ω02 (cặp nghiệm thực liên hiêp),thành phần quá độ là:

uqđ (t)= ke-αt cos(βt +Φ) ; với:

b)Nghiệm của phương trình không thuần nhất

➢ Để tìm thành phần yxl ta dùng phương pháp hệ số không xác định Vấn đề là phải đoán trước dạng của nghiệm ph.trình (5.2)

➢ Ta xét ví dụ: Hãy xác định điện áp u(t) của mạch như hình.Nếu

➢ 1 i(t)=1 A; 2 i(t) = cosωt A; 3 i(t) = e-t cost A; C =1F; R =1/3 Ω

➢ 4 i(t) = e-2t A; C =1F; R =1/2 Ω

➢ Giải:

➢ Điện áp u(t) là nghiệm của phương trình vi phân:

➢ Cdu/dt + u/R = i(t)

➢ Bao gồm 2 thành phần: uqđ là nghiệm của phương trình vi phân thuần nhất và uxl là nghiệm của phương trình không

thuần nhất

i(t)

+u(t)-R

C

b)Nghiệm của phương trình không thuần nhất

Thành phần quá độ không phụ thuộc vào kích thích:

uqđ (t) = ke-t/RC Thành phần cưỡng bức phụ thuộc vào nguồn kích thích nên cần

C(-Aωsinωt + Bωcosωt) + (Acosωt + Bsinωt)/R = cosωt Hay

(A + ωRCB)cosωt + (B - ωRCA)sinωt = Rcosωt

→A = R/[1+(ωRC)2] ; B = ωR2C/[1+(ωRC)2] Ta lại có:

Acosωt + Bsinωt = cos(ωt-φ) ; Với :

Vậy thành phần xác lập sẽ có dạng:

*Từ hai trường hợp trên ta thấy để tính thành phần xác lập ta có thể tính theo phương pháp đã biết ở các chương khác (khi tính không để ý đến việc phân tích quá trình quá độ) và sẽ thu được kết quả nhanh chóng Với mạch có nguồn kích thích 1 chiều (tụ

hở mạch) thì điện áp u = R.1 V Với nguồn điều hòa , ở trạng thái xác lập ta dùng phương pháp biên độ phức Dẩn nạp tương

đương: Y = 1/R + jωC Vậy biên độ phức sẽ là:

Vậy: u(t) = uxl(t) + uqđ(t) = ke-t/RC + cos(ωt-φ)

3 i(t) = e-t cost A; C =1F; R =1/3 Ω

Nguồn kích thích có dạng suy giảm Ta đặt uxl = e-t(Acost + Bsint)

và thay vào phương trình mạch ta sẽ được:

A = 2/5; B = 1/5Vậy điện áp u(t) = uxl(t) + uqđ(t) = ke-1/RC + e-t(2/5cost + 1/5sint)

4 i(t) = e-2t A; C =1F; R =1/2 ΩChú ý trường hợp này thành phần quá độ có cùng hệ số suy giảm

giống nguồn kích thích Ta giả sử uxl = Ae-2t và thế vào phương

2.Điều kiện đầu

Nghiệm của phương trình vi phân cho đến giờ vẫn được viết dưới dạng tổng quát do các hằng số k1; k2; kn vẫn chưa được xác định Do nghiệm y(t) được xét trong khoảng [0 ∞) phải thỏa điều

kiện đầu tại t = 0 là: y(0); y’(0); y’’(0);…yn-1 (0)

*Do năng lượng điện từ trường là liên tục nên tại t = 0 ta có thể

viết:

uC (0-) = uC(0+) = uo

iL (0-) = iL(0+) = io

Ở đây t = 0- là giới hạn bên trái của thời điểm thay đổi năng lượng

t = 0+ là giới hạn bên phải của thời điểm thay đổi năng lượng

*Chú ý rằng các đại lượng khác không nhất thiết phải liên tục tại

t = 0, ví dụ điện áp trên cuộn dây hay dòng qua tụ có thể không liên tục ( có bước nhảy vọt) Từ nay khi nói điều kiện đầu thì hiểu

rằng đó là các giá trị ban đầu của điện áp trên tụ và dòng qua cuộn dây nó sẽ xác định điều kiện đầu của phương trình

Ví dụ về điều kiện đầu

➢ *Ta trở lại ví dụ trước Hãy xác định điện áp u(t) của mạch như hình Giả thiết tại t =0 nguồn được nối vào mạch, còn t < 0 tụ không được nạp điện Ta xét trong 2 trường hợp:

➢ 1 i(t)=1 A; 2 i(t) = cosωt A

C

Ví dụ về điều kiện đầu

C

➢ Ở t > 0, dòng i(t) trong mạch là nghiệm của phương trình:

➢ Ri(t) +Ldi/dt = e(t)

➢ Thành phần quá độ là nghiệm của phương trình thuần nhất:

➢ iqđ (t)= ke-Rt/L = ke-10t

i(t)E

e(t) R

L 1H

10Ω

12

t=0

Để tìm thành phần xác lập ta dùng phương pháp biên độ phức:

Z = 10 + j10 = 10√2ej45 Biên độ phức của nguồn kích thích: = 10ej45

Biên độ phức của thành phần xác lập:

= /Z = 10/450 /(10√2/450 ) =1/√2Thành phần xác lập của dòng điện:

ixl (t) = (1/√2)cos10tDòng điện i(t) trong mạch khi t > 0 là:

i(t) = iqđ (t) + ixl (t) = ke-10t + (1/√2)cos10tDựa vào điều kiện ban đầu: iL (0+) = iL (0-) = 0,5 A

iL (0+) = k + 1/√2 = 0,5

→ k = -0,207

Vậy : i(t) = (1/√2)cos10t – 0,207e-10t

Ví dụ 5

➢ Xét mạch RLC như hình.Biết điều kiện đầu bằng 0: iL(0-) =

➢ uC(0-) = 0 Tại t = 0 kích thích lên mạch nguồn dòng i(t) = 1 A Hãy tìm iL(t); ic(t); u(t) khi t ≥ 0? Biết R2 = L/C

Do i(t) = 1 A →di(t)/dt = 0 và thành phần xác lập của iL = 1

thuần nhất:

Phương trình đặc tính: p2 + (2R/L)p + 1/LC = 0Theo giả thiết R2 = L/C →∆’ = (R/L)2 - 1/LC = 0 Ta có nghiệm kép

p1 = p2 = - R/L Thành phần quá độ có dạng:

iLqđ (t) = (k1 + k2 t) e-(R/L)t

Dòng qua cuộn dây: iL (t) = 1 + (k1 + k2 t) e-(R/L)t

Theo điều kiện đầu: iL(0-) = iL(0+) = 0

uC(0-) = uC(0+) = 0 Ta lại có:

i(t) = iL(t) +iC (t) → i(0+) = iL(0+) +iC (0+) = 1

→iC (0+) = 1

u(0+) = RiC (0+) + uC(0+) = iL(0+)R + L diL(0+)/dt

→ diL(0+)/dt = R/LCác hệ số k1; k2 được xác định từ 2 phương trình sau:

iL(0+) = (k1+k2 .0)e-0 +1 = 0

diL(0+)/dt = -(R/L)(k1+ k2.0)e0 + k2 e-0 = R/L

→ k1 = -1; k2 = 0Vậy dòng qua cuộn dây:

iL = 1 – e-Rt/L ; t ≥ 0Dòng qua tụ:

iC = i(t) – iL = e-Rt/L ; t > 0

Điện áp u(t):

u(t) = LdiL/dt + RiL = R; t > 0

•Ta có được phương trình vi phân bậc nhất

•Giải phương trình vi phân để tìm đáp ứng

t = 0

-Với t < 0 khóa điện ở trạng thái đóng

(trong thời gian dài).

•Điện áp 2 đầu tụ tại t = 0- ?

•Năng lượng trử trong tụ tại t = 0- ?

+v-

t = 0

Với t < 0 khóa điện ở trạng thái đóng

(trong thời gian dài).

•Điện áp 2 đầu tụ tại t = 0+ ?

•Năng lượng trử trong tụ tại t = 0+ ?

•Dòng chạy qua tụ tại t = 0+ ?

+v-

t = 0

1.Đáp ứng ‘Natural’ Mạch RC: Điều kiện cuối t → ∞

Với t → ∞ khóa điện ở trạng thái mở

(trong thời gian dài).

•Điện áp 2 đầu tụ tại t → ∞?

•Dòng chạy qua tụ tại t → ∞?

•Năng lượng trử trong tụ tại t → ∞?

•Năng lượng đã đi đâu?

+v-

1.Đáp ứng ‘Natural’ Mạch RC

t = 0

1.Đáp ứng ‘Natural’ Mạch RC: Tóm tắt

Với t > 0.

+v-

Đáp ứng ‘natural’: đáp ứng của mạch không có nguồn kích thích bên ngoài

Điện áp giảm theo thời gian được đo bằng thời hằng

t = 0

1.Đáp ứng ‘Natural’ Mạch RC: Năng lượng

Với t ≥ 0.

Năng lượng trử trong tụ:

Năng lượng tổn hao bởi điện trở:

Năng lượng trử trong tụ ban đầu?

Năng lượng trử trong tụ tại t → ∞?

+v-

vC-

+

v0-

i0

t = 0

➢ a) Ta có : vC (0+ ) = vC (0- ) = 100 V; Điện trở tương đương của mạch nhìn từ 2 đầu tụ là 80 kΩ Hằng số thời gian:

➢ (0,5 x 10-6 )(80 x 103 ) = 40 ms Vậy: vC (t) = 100e-25t (V), t ≥ 0

➢ b) v0 được tính theo vC từ mạch phân áp: v0 (t) = 48 vC (t)/80

➢ v0 (t) = 60e-25t (V), t > 0 ; Biểu thức v0 (t) có giá trị với t > 0 vì

➢ v0 (0- ) = 0

➢ c) i0 (t) được tính từ đ.l.Ohm: i0 (t) = v0 (t)/(60x103 ) = e-25t , t > 0

➢ d) Công suất tổn hao bởi 60 kΩ: P(t) = i02x60x103 =60e-50t (mW)

➢ Năng lượng tổn hao:

100 V

10 kΩ 32 kΩ

240 kΩ 60 kΩ0,5µF

+

vC-

+

v0-

i0

t = 0

Ví dụ về đáp ứng ‘Natural’ mạch RC

➢ Điện áp ban đầu (t = 0- ) của tụ C1 và C2 có giá trị như hình vẽ Khóa điện đóng tại t = 0

➢ a) Tính: v1 (t); v2 (t); v(t) với t ≥ 0; và i(t) với t > 0

➢ b)Tính năng lượng trử tổng cộng ban đầu của tụ C1 và C2 ?

➢ c)Tính năng lượng trử tổng cộng trong các tụ khi t → ∞?

➢ d) Chứng tỏ năng lượng cung cấp cho điện trở 250 kΩ thì bằng với sự sai biệt kết quả câu b và c

4V + + 24V

-+

v1(t) - +

v2(t) -

+ v(t) -

C1(5µF)

C2(20µF)

250 kΩ i(t)

t = 0

v2(t) -

+ v(t) -

➢ a)Ta thay 2 tụ nối tiếp C1; C2 bằng tụ tương đương như hình Điện áp v(t) có giá trị ban đầu v(0+) = v(0- ) = 20 V.Hằng số thời gian của mạch: (4)(250)x10-3 =1s Vậy: v(t) = 20e-t (V); t ≥ 0 Dòng điện i(t) sẽ là: i(t) = v(t)/250000 = 80e-t (µA); t > 0

➢ Biết i(t) ta tính v1(t); v2(t) như sau:

4 µF

i(t)250kΩ

t = 0

+v(t)-Mạch tương đương

➢ b) Năng lượng trử ban đầu trong tụ C1 :

Ví dụ về đáp ứng ‘Natural’ mạch RC

➢ (A.P.7.3).Khóa ở vị trí đóng trong thời gian dài, tại t = 0 khóa

mở ra.Tính:

➢ a) v(t) với t ≥ 0

➢ b) Năng lượng trử ban đầu của tụ

➢ c) Thời gian để năng lượng trong tụ tổn hao mất 75% năng lượng ban đầu

20 kΩ

t = 0 t = 0

I0

+v-

i

-Với t < 0, các khóa điện không thay đổi vị trí trong thời gian dài.

t = 0 t = 0

I0

+v-

i

Với t < 0, các khóa điện không thay đổi vị trí trong thời gian dài.

t = 0 t = 0

I0

+v-

i

2.Đáp ứng ‘Natural’ mạch RL: Điều kiện cuối t → ∞

Với t → ∞ , các khóa điện không thay đổi vị trí trong thời gian dài.

Dòng điện chạy qua cuộn dây tại t → ∞ ?

Điện áp 2 đầu cuộn dây tại t → ∞ ?

Năng lượng trử trong cuộn dây tại t → ∞ ?

Năng lượng đã đi đâu?

t = 0 t = 0

I0

+v-

i

2.Đáp ứng ‘Natural’ mạch RL: phương trình vi phân

Tính i(t) Ta có: t < 0; i(t) = I0 Với t > 0:

v(t) + Ri(t) = 0

2.Đáp ứng ‘Natural’ mạch RL: phương trình vi phân

t = 0 t = 0

I0

+v-

i2.Đáp ứng ‘Natural’ mạch RL: Tóm tắt

Với t > 0:

t = 0 t = 0

I0

+v-

i2.Đáp ứng ‘Natural’ mạch RL: năng lượng

Với t ≥ 0:

Năng lượng trử trong cuộn dây:

Năng lượng tổn hao bởi điện trở:

Năng lượng trử trong cuộn dây ban đầu?

Năng lượng trử trong cuộn dây tại t → ∞?

2 Ω

➢ a) Ta có: iL (0+ ) = iL (0- ) = 20A Điện trở tương đương của

mạch nhìn từ 2 đầu cuộn dây: Rtđ = 2 + (10//40) = 10 Ω

➢ Thời hằng : L/Rtđ = 2/10 = 0,2s Vậy i(t) = 20e-5t (A); t ≥ 0

➢ b) i0 (t)= - (10 iL )/(10 + 40) = -4e-5t (A); t > 0 Chú ý biểu thức

2 Ω

➢ Năng lương trử ban đầu trong cuộn dây 2H:

2 Ω

Ví dụ về đáp ứng ‘Natural’ mạch RL

➢ Dòng điện ban đầu t = (0- ) trong các cuộn dây L1 , L2 lần lượt

là 8A, 4A Khóa điện mở ra tại t = 0 Tính:

➢ a) i1 ; i2 ; i3 với t ≥ 0

➢ b) Năng lượng trử ban đầu trong các cuộn dây

➢ c) Năng lượng trử trong các cuộn dây tại t → ∞

➢ D) Chứng tỏ rằng năng lượng tổn hao bởi các điện trở trong mạch bằng với sự sai biệt kết quả (b) và (c)

- Mach tương đương

12A4H

i8Ω

+v(t)-

a) Hai cuộn dây mắc song song ta có mạch tương đương như

hình ( t ≥ 0) ; điện trở tương đương bằng 8 Ω ; dòng điện ban đầu i(0+) = i(0-) = 12A; thời hằng = 4/8 = 0,5s Vậy i(t) = 12e-2t (A), t ≥ 0 ; v(t) = 8 x 12e-2t = 96e-2t (V), t > 0 (Do v(0- ) = 0 nên biểu thức v(t) chỉ có giá trị với t > 0)

➢ Biểu thức i3 chỉ có giá trị với t > 0

➢ b) Năng lượng trử ban đầu trong 2 cuộn dây:

➢ w = (5)(8)2 /2 + (20)(4)2 /2 = 320 J

➢ c) Khi t → ∞, i1 → 1,6 A; i2 → -1,6 A Năng lượng trử trong 2 cuộn dây lúc đó là: w = (5)(1,6)2 /2 + (20)(-1,6)2 /2 = 32 J

➢ d) Năng lượng tổn hao bởi các điện trở trong mạch:

➢ Ta nhận thấy kết quả này chính là sự sai biệt giữa năng lượng trử ban đầu và năng lượng tại t → ∞ của 2 cuộn dây :

➢ 288 = (320 - 32)

Ví dụ về đáp ứng ‘Natural’ mạch RL

➢ (A.P.7.1).Khóa điện ở vị trí đóng trong thời gian dài.Tại t = 0 khóa mở ra.Tính:

➢ a) Dòng điện i(t) với t ≥ 0

➢ b) Năng lượng trử ban đầu trong cuộn dây

➢ c) Năng lượng tổn hao trên điện trở 2Ω sau khi khóa mở được

5 ms bằng bao nhiêu phần trăm năng lượng trử ban đầu của cuộn dây?

➢ Trả lời: a) -12,5e-250t (A); b) 625 mJ; c) 91,8%

t = 0

100 Ω 200 Ω

3 Ω

9 Ω4,5 Ω

Vs V0

i(t )+

v(t )-

R

-Với t < 0, các khóa điện không thay đổi trong thời gian dài.

*Điện áp 2 đầu tụ tại t = 0- ?

*Năng lượng trử trong tụ tại t = 0- ?

Vs V0

i(t )+

v(t )-

R

Với t < 0, các khóa điện không thay đổi trong thời gian dài.

*Dòng chạy qua tụ tại t = 0+ ?

*Điện áp 2 đầu tụ tại t = 0+ ?

*Năng lượng trử trong tụ tại t = 0+ ?

Vs V0

i(t )+

v(t )-

R

3.Đáp ứng ‘step’ mạch RC: Điều kiện cuối t → ∞

Với t → ∞, các khóa điện không thay đổi trong thời gian dài.

*Dòng chạy qua tụ tại t → ∞?

*Điện áp 2 đầu tụ tại t → ∞?

*Năng lượng trử trong tụ tại t → ∞?

Vs V0

i(t )+

v(t )-

R

3.Đáp ứng ‘step’ mạch RC: Phương trình vi phân

Tính v(t) Với t ≤ 0; v(t) = V0 Với t > 0; ta có:

Vs - v(t) = Ri(t)

3.Đáp ứng ‘step’ mạch RC: Phương trình vi phân

Vs V0

i(t )+

v(t )-

R

3.Đáp ứng ‘step’ mạch RC: Phương trình vi phân

Tính v(t) Với t ≤ 0; v(t) = V0 Với t > 0; ta có:

*Thành phần tự do thay đổi theo thời gian và

cũng được gọi là thành phần quá độ.

Đáp ứng ‘Step’ mạch RC : Đồ thị

Vs

V0 V(t)

Time (s)1

Forced Natural Total

60kΩ

8kΩ 40kΩ

160kΩ

➢ a) Ta có: v0 (0+ ) = v0 (0- ) = 40(60/80) = 30 V Để tính v0 (t) với t ≥ 0 ta tìm mạch tương đương tại 2 đầu của tụ khi hở mạch vTh = (- 75 V) x 160/(40 + 160) = - 60V

20kΩ60kΩ

8kΩ 40kΩ

-40kΩ1,5mA

4.Đáp ứng ‘Step’ mạch RL: Điều kiện đầu t = 0

+V -

Với t < 0 , các khóa điện không thay đổi vị trí trong thời gian dài.

• Điện áp tại 2 đầu cuộn dây tại t = 0- ?

4.Đáp ứng ‘Step’ mạch RL: Điều kiện đầu t = 0+

+V -

Với t < 0 , các khóa điện không thay đổi vị trí trong thời gian dài.

• Điện áp tại 2 đầu cuộn dây tại t = 0+ ?

Đáp ứng ‘Step’ mạch RL: Điều kiện cuối t →∞

+V -

Với t → ∞ , các khóa điện không thay đổi vị trí

trong thời gian dài.

• Dòng điện chạy qua cuộn dây tại t → ∞ ?

• Điện áp tại 2 đầu cuộn dây tại t → ∞ ?

• Năng lượng trử trong cuộn dây tại t → ∞ ?

4.Đáp ứng ‘Step’ mạch RL: Phương trình vi phân

+V -

Tính i(t) Với t ≤ 0; i(t) = I0 Với t > 0 ta có:

Vs - Ri(t) = v(t)

4.Đáp ứng ‘Step’ mạch RL: Phương trình vi phân

4.Đáp ứng ‘Step’ mạch RL:Tóm tắt

200 mHi

+v-

2 Ω

10 Ω

➢ a).Ta có : i(0+ ) = i(0- ) = - 8 A Khi khóa ở vị trí b, i có giá trị sau cùng là 24/2 = 12 A Hằng số thời gian: 200x10-3 /2 = 100 ms Vậy: i(t) = 12 + (- 8 -12)e-t/0,1 = 12 – 20e-10t (A), t ≥ 0

➢ b) Điện áp 2 đầu cuộn dây: v = L di/dt = 0,2(200e-10t )

➢ = 40e-10t (V), t > 0 Điện áp ban đầu cuộn dây: v(0+) = 40 V

➢ c) Thời gian để điện áp cuộn dây bằng 24 V sau khi khóa ở vị trí b: 24 = 40e-10t → t = 51,08 ms

8A

24 V

t = 0

ab

200 mHi

+v-

2 Ω

10 Ω

200 mHi

+v-

2 Ω

10 Ω

5.Nghiệm tổng quát đáp ứng mạch RC và RL

Nghiệm tổng quát đáp ứng (điện áp, dòng điện) có dạng:

Gồm các bước sau:

1.Ghép các cuộn dây (tụ điện) trong mạch thành 1 cuộn dây (tụ

điện ) tương đương

2.Phân tích mạch DC để tìm dòng điện (điện áp) chạy qua cuộn

dây(2 đầu tụ điên) tại t = 0- 3.Phân tích mạch DC để tìm giá trị ban đầu của biến mà ta quan

tâm tại t= 0+

4 Phân tích mạch DC để tìm giá trị xác lập của biến mà ta quan

tâm tại t → ∞5.Tìm điện trở tương đương của mạch nhìn từ cuộn dây (tụ điện)

6.Tính thời hằng7.Áp dụng công thức tổng quát ở trên

300 µA Vậy: i(t) = 0 + (300 – 0)e-5t = 300e-5t (µA), t > 0

➢ c) thời gian khóa ở vị trí b để điện áp 2 đầu tụ bằng 0:

+

vC -

60Ωa

20 kΩ 30 kΩ

➢ a) Do điện áp ban đầu tụ bằng 0, nên i(0+) = (7,5 x 20)/(20+30)

= 3 mA Dòng i có giá trị sau cùng bằng 0 vì tụ hở mạch đối

với tín hiệu DC Thời hằng: (20+30)x103 x (0,1)x10-6 = 5 ms

➢ Vậy i(t) = 0 + (3 – 0) e-1000t/5 = 3e-200t (mA), t > 0

➢ b) v(t) bằng điện áp 2 đầu tụ vC cộng với điện áp 2 đầu điện trở

30 kΩ

➢ Ta có: vC (0+ ) = vC (0- ) = 0 Giá trị sau cùng của vC = (7,5)(20)

= 150 V Vậy: vC (t) = 150 + (0 – 150)e-200t = 150 -150e-200t (V) ,t ≥ 0 Nên: v(t) = 150 – 150e-200t + (30)(3)e-200t

20 kΩ 30 kΩ