Bài giảng Giải tích mạch - Chương 2: Mạch xác lập điều hòa

Chương 2: Mạch xác lập điều hòa. Sau khi học xong chương này, người học có thể hiểu được một số kiến thức cơ bản về: Phân tích mạch tuyến tính ở trạng thái xác lập; phương pháp ảnh phức; quan hệ dòng áp trên các phần tử R,L,C - Định luật Ohm dạng phức; trở kháng và dẩn nạp; định luật Kirchhoff dạng phức; đồ thị véc tơ; công suất xoay chiều (AC); phối hợp trở kháng giữa tải và nguồn.

Chương 2: Mạch xác lập điều hòa

 2.1.Phân tích mạch tuyến tính ở trạng thái xác lập.

 2.2.Phương pháp ảnh phức

 2.3.Quan hệ dòng áp trên các phần tử R,L,C Định luật Ohm dạng phức

 2.4.Trở kháng và dẩn nạp

 2.5.Định luật Kirchhoff dạng phức

 2.6.Đồ thị véc tơ

 2.7.Công suất xoay chiều (AC).

 2.8.Phối hợp trở kháng giữa tải và nguồn

2.1.Phân tích mạch tuyến tính ở trạng thái xác lập

 Xét mạch như hình Tại t = 0 khóa đóng, đáp ứng ngõ ra v0

gồm 2 thành phần:

 *Thành phần xác lập vẫn được duy trì khi t → ∞

 *Thành phần quá độ tiến tới 0 khi t → ∞

 Trong chương này ta xét các phương pháp phân tích mạch

tuyến tính, thông số tập trung ở trạng thái xác lập Các kích

thích là các nguồn áp, nguồn dòng biến thiên hình sin theo thời gian với cùng tần số góc ω Các đáp ứng là dòng điện, điện áp

Asin(ωt)

tuyến tính

+

v0 -

2.2.phương pháp ảnh phức

*Đối với mạch kích thích điều hòa, các dòng điện, các điện áp trên các nhánh, trên các phần tử đều biến thiên hình sin cùng tần số ω với nguồn kích thích và chúng

chỉ khác nhau về biên độ và góc pha ban đầu.

*Khi phân tích mạch tuyến tính xác lập điều hòa, có thể tránh việc giải hệ phương trình vi phân bằng cách dùng phương pháp ảnh phức Theo phương pháp này, mỗi đại lượng điều hòa sẽ được biểu diễn bằng một số phức

(gọi là ảnh phức của nó) có mô-đun bằng biên độ và argumen bằng góc pha ban đầu của đại lượng điều hòa,

như vậy việc giải hệ phương trình vi phân sẽ được qui

về giải hệ phương trình đại số tuyến tính đối với các ảnh

phức của các biến tức thời

) , (

;

2 2

y x angle

y x



re z

r z

jy x

e e

e

2

1 cos

cos 2

Mặt phẳng phức

Trục o (y)

Trục thực (x)y

r z

jy x

0 270

0 0

90

90 1

180 1

180 1

45 1

135 1

1.Cho c1 = 2 + j; c2 = - 2 + j3 nh:

a) c1 + c2 b) c1 - c2 c) c1c2 d) c1 / c2

sau:

a) z2 = 1 + jb)

c) z = (1+2j)3

j

z  4

Biến đổi ảnh phức (phasor)

Cho hàm điều hòa: v(t) = Acos(ωt + Ф)

*Biến đổi ảnh phức của hàm điều hòa được cho bởi:

j j

j

jAe

j Ae

e Ae

Ae A

sin 2

(cos

) 90 (

0 0

90

) 90 (

0

Ví dụ dùng ảnh phức tìm tổng của các hàm điều hòa

60 40

Y    

Y

Y

Ví dụ tìm ảnh phức các hàm điều hòa

Tìm ảnh phức các hàm điều hòa sau:

a)v = 170cos(377t – 400 ) Vb) i = 10sin(1000t + 200 ) Ac) i = [5cos(ωt +36,870 )+ 10cos(ωt – 53,130 )] Ad) v = [300cos(20000Лt + 450 ) – 100sin (20000Лt + 300 )] mV

biến đổi ngược của 1 ảnh phức

4 , 0

) V e j

3 , 0 4

/

3 2

2.3.Quan hệ giữa điện áp và dòng điện

Quan hệ ảnh phức trong trường hợp cuộn dây

Giả sử: i(t) = Acos(ωt + Ф); v(t)?

Quan hệ ảnh phức trong trường hợp điện trở

Giả sử: i(t) = Acos(ωt + Ф); v(t)?

-?R

Quan hệ ảnh phức trong trường hợp tụ điện

Giả sử: v(t) = Acos(ωt + Ф); i(t)?

-?C

Cuộn dây: ωL gọi là cảm kháng

Tụ điện: -1/Cω gọi là dung kháng

2.4.Trở kháng và dẩn nạpTrong miền ảnh phức liên hệ giữa áp và dòng của phần tử 2 cực thì tuyến tính: = Z hay = Y đấy cũng chính là định luật OHM

dạng phức; Z gọi là trở kháng (impedance) đơn vị (Ω)

Y gọi là dẩn nạp (admittance) đơn vị siemens (S)Một cách tổng quát trở kháng, dẩn nạp có dạng phức:

Z = R + jX; Y = G + jB

R gọi là điện trở đơn vị (Ω)

X gọi là điện kháng (reactance) đơn vị (Ω); Nếu X > 0 hai cực có tính cảm; Nếu X < 0 hai cực có tính dung; Nếu X = 0 hai cực có

tính thuần trở

G gọi là điện dẩn (conductance) đơn vị (S)

B gọi là điện nạp (susceptance) đơn vị (S); Nếu B > 0 hai cực có tính dung; Nếu B < 0 hai cực có tính cảm; Nếu B = 0 hai cực có

tính thuần trở

V I I V

2.5.Định luật Kirchhoff dạng phức

*Các định luật KCL và KVL vẫn được áp dụng như trong

miền thời gian:

•KCL: Tổng đại số các ảnh phức của các dòng điện vào

hoặc ra 1 nút hoặc 1 mặt kín bất kỳ thì bằng 0.

•KVL: Tổng đại số các ảnh phức của các điện áp trên các phần tử dọc theo các nhánh trong 1 vòng bất kỳ thì

bằng 0

*Phương pháp ảnh phức về cơ bản gồm 4 bước:

•1.Biến đổi ra ảnh phức các nguồn độc lập

•2.Tính trở kháng các phần tử 2 cực thụ động

•3.Áp dụng các phương pháp phân tích mạch đã biết

•4.Biến đổi ngược ảnh phức để có được biểu thức dòng

 Viết K2 cho mắt lưới (I) và (II):

 Từ (1);(2);(3)→ = 0,8+ j0,6 =1/36087 A →i(t) = cos(3t+36087)A

i(t)

i1(t)

i2(t) + uR1-+ + -

uR2-

+ -

+

uC-

+ -

5cos3t

uL-

3 3

0

) 2 ( 5

3 3

1 5

2 1

1 2

1 1

2 1

j I

U U

U

I j I

I U

U U

C L

R

L R

+ -

+

uC-

+ -

5cos3t

uL-

 Viết K2 cho mắt lưới (I): -j2 +1/2 - 4 = 0 (2)

 Ta lại có: = 4 ; Thay vào (2) ta được: j + = 0 (3)

+ -

+ -

x

U

0

U

+ -

+ -

+ -

+ -

I I2 I3

1

U

2.Nếu ω = 800 rads/s, viết biểu thức ia (t); ic (t); vg(t)?

Ví dụ về biến đổi nguồn

 Dùng phương pháp biến đổi nguồn tìm ?

 Giải: Ta biến đổi nguồn áp ra nguồn dòng :

 Trở kháng (1 + j3) mắc // với (9 – j3) tương đương với trở

kháng (1,8 + j2,4) Ta lại biến đổi nguồn dòng = 4 – j12 mắc // với trở kháng (1,8 + j2,4) ra nguồn áp = (4 – j12) (1,8 + j2,4) = (36 – j12) V Ta tính :

1,8Ω j2,4Ω 0,2Ω j0,6Ω

10Ω -j19Ω +

-A j

j

j

16 12

12 36

20 Ω

30 Ω

Ví dụ về biến đổi nguồn

Dùng phương pháp biến đổi nguồn tìm thành phần

xác lập của v0 (t)? Biết:

v1(t) = 240cos(4000t + 53,130 ) V

v2 (t) = 96sin(4000t) V Trả lời: 48cos(4000t + 36,870 ) V

các điện áp thành phần

Đồ thị véc tơ dòng và áp mạch RLC nối tiếp

 *Chọn véc tơ dòng làm véc tơ gốc pha, véc tơ có suất bằng

Đồ thị véc tơ dòng và áp mạch RLC song song

 *Chọn véc tơ áp làm véc tơ gốc pha, véc tơ có suất bằng

Ví dụ về đồ thị véc tơ

 Cho mạch như hình Biết I = 2A; Uac = 100V; Uab = 173V; Ubc

= 100V (rms) Vẽ đồ thị véc tơ biễu diễn các đại lượng :

 Từ đó suy ra trị giá R và XL ? Giải:

 Ta chọn làm véc tơ góc pha Vẽ véc tơ Ubc thẳng góc với véc

tơ I Ba véc tơ Uac ; Ubc ; Uab làm thành 3 cạnh của tam giác có

độ dài biết trước và góc α được xác định:

+

c

2

U U

U U

U

bc ab

ab bc

Ví dụ về đồ thị véc tơ

 Cho mạch như hình Biết I = I1 = 1,41A; I2 = 2A; Uab = Ubc = 100V (rms) Vẽ đồ thị véc tơ biễu diễn các đại lượng :

 .Từ đó suy ra trị giá R; R1 ; C1 ; L? Giải:

 Ta chọn làm véc tơ góc pha Vẽ véc tơ I2 thẳng góc với véc

tơ Ubc Ba véc tơ I2; I1 ; I làm thành 3 cạnh của tam giác vuông

cân có độ dài biết trước

I I

I

ab

; 45 2

; 45 2

; 90 2

0 0

0 0

1

0 2

I

P = (½)AvAi cos(θv – θi ): Công suất trung bình

Q = (½)AvAi sin(θv – θi ): Công suất phản kháng

1 T t

t

dt t

p T

P

Công suất trung bình P

P = (½)AvAi cos(θv – θi )

v

j v v

A

i i

i v

j i

j v

j i

v

e A e

A

e A

A P

2 / 1

Công suất trung bình P của các phần tử

 Nếu Z là điện trở, (θv – θi ) = 0 , P = (½)AvAi

 Nếu Z là điện cảm (θv – θi ) = 900 , P = 0, dòng điện chậm pha so với điện áp

 Nếu Z là điện dung (θv – θi ) = - 900 , P = 0, dòng điện

P = (½)AvAi cos(θv – θi )

Z

+-

Re)2/1

I

Công suất trung bình P: Biểu thức tương đương

P = (½)AvAi cos(θv – θi )

Z

+-

2

2 Re{ } 2

1

Z

Z V

Re)2/1

Re)2/1

Trị hiệu dụng (RMS)

Trị hiệu dụng (RMS) của tín hiệu xoay chiều x(t) có

chu kỳ T được định nghĩa:

1 T t

t

T A

A

Ae

2 1



Trị hiệu dụng tín hiệu sin

 Khi tải thuần trở Z = R ta có:

) cos(

) cos(

2 2

i v

e e i

v

i v

I V

I

Công suất biểu kiến

 v(t) = Av cos(ωt +θv ); i(t) = Ai cos(ωt+θi )

 Công suất tức thời p(t) = Av Aicos(ωt +θv – θi ) cos(ωt)

 p(t) = P + Pcos(2ωt) – Qsin(2ωt)

 P = VeIe cos(θv – θi ) = |S| cos(θv – θi ) : Công suất trung bình

 Q = VeIe sin(θv – θi ) = |S| sin(θv – θi ) : Công suất phản kháng

 P còn gọi là công suất thực hay công suất tác dụng

 cos(θv – θi ): gọi là hệ số công suất

 sin(θv – θi ): gọi là hệ số phản kháng

Z

+-

I

Tam giác công suất phức

 S: Công suất phức tính bằng (VA)

 P: Công suất trung bình tính bằng (W)

 Q: Công suất phản kháng tính bằng (VAR)

e I

jV e

I

V

e I V I

V S

i v i

v

i v

j e

e

j e

e

j e e e

}

) (

Công suất phức của các phần tử mạch

I

2 2

( )

(

Z Z

V S

I Z

S

Z V

V I

I Z

I V S

I V

S

e e

e e

e e

e e e

S I

R

2 2





2 2





Ví dụ về công suất phức

Biết điện áp 2 đầu tải là 240 V (RMS) , công suất hấp thu của tải

là 8 kW với hệ số công suất là 0,8 (chậm pha)

a)Tính công suất phức của tải? b) Tính trở kháng của tải?

Giải:

a)Ta có: P = |S| cosθ → |S| = 8 kW/0,8 = 10 KVA

Q = |S|sinθ = 10 sinθ = 6 KVAR Vậy:

S = 8 + j6 KVAb) P = Ve Ie cos(θv - θi ) = (240) Ie (0,8) = 8000 W

Ví dụ về công suất phức

 Cho mạch như hình A) Tính dòng và áp của tải?

 B) Tính công suất trung bình và phản kháng của tải?

 C) Tính công suất trung bình và phản kháng của đường dây?

 D) Tính công suất trung bình và phản kháng phát ra bởi nguồn?

Đường dây

-) (

87 , 36 5

3 4

30 40

j j

V I

 B)Công suất phức của tải:

 S = = (234 – j13)(4 + j3) = (975 + j650) VA Vậy:

 P = 975 W; Q = 650 VAR

 C) Công suất trung bình P = (5)2 (1) = 25 W

 Công suất phản kháng Q = (5)2 (4) = 100 VAR

 D) Công suất phức của nguồn bằng công suất phức của tải

cộng với công suất phức của đường dây:

Đường dây

 (A.P.10.4).Cho mạch như hình Trong đó tải được mắc shunt với 1 tụ điện có dung kháng bằng - 52 Ω.

 a) Tính công suất trung bình và công suất phản kháng hấp thu bởi tải (39 + j26) Ω

 b) Tính công suất trung bình và công suất phản kháng hấp thu bởi đường dây (1 + j4) Ω

 c) Tính công suất P và công suất Q phát ra bởi nguồn

 d) Tính công suất phản kháng phát ra bởi tụ

 Trả lời: a)1129,09W; 752,73VAR; b) 23,52W ; 94,09VAR;

j4 Ω

1 Ω

j26 Ω

39 Ω+

Đường dây

-250/00 V

L

I

Ví dụ về công suất phức

Điện áp 2 đầu tải là 250 V(rms), tải hấp thu công suất P = 40 KW

và phát ra công suất Q = 30 KVAR Hãy tìm trở kháng tương

đương của tải (2 trường hợp)

Ví dụ về công suất phức (A.P.10.6)

 Cho mạch như hình Biết tải 1 có công suất biểu kiến 15 kVA,

hệ số công suất 0,6 (trể pha) Tải 2 công suất biểu kiến 6 KVA,

hệ số công suất 0,8 (sớm pha) Điện áp của tải 200 /00 V (rms)

Ví dụ về điều chỉnh hệ số công suất

 Cho mạch như hình Biết tải 1 có công suất 8 kW, hệ số công suất 0,8 (sớm pha) Tải 2 công suất biểu kiến 20 KVA, hệ số công suất 0,6 (trể pha) Điện áp của tải 250/00 V (rms)

 a)Tính hệ số công suất tương đương của 2 tải?

 b) Tính công suất biểu kiến cung cấp cho 2 tải , cường độ dòng điện và công suất mất trên đường dây?

 c) Cho f = 60Hz, tính trị giá điện dung C của tụ mắc // với tải để

có hệ số công suất hệ thống bằng 1? Tính lại các trị giá câu (b)

j0,50 Ω0,05 Ω

Ví dụ về điều chỉnh hệ số công suất

Ví dụ về điều chỉnh hệ số công suất

c) Muốn có hệ số cộng suất bằng 1, tụ điện phải cung cấp

công suất phản kháng Q = 10 KVAR, như vậy:

Xc = -1/(Cω) = /Q = (250)2 / (-10000) = - 6,25 Ω

→ C = -1/(ωXc ) = -1/[(2Л x 60)(- 6,25)] = 424,4 µF

Khi hệ số công suất bằng 1, công suất biểu kiến và công

suất trung bình bằng nhau:

|S| = P = 20 KVACường độ dòng điện lúc này:

= 20000/250 = 80 ACông suất mất trên đường dây lúc này:

Ví dụ về điều chỉnh hệ số công suất (P.10.30)

 1.Tính công suất trung bình mất trên đường dây?

 2.Tính trị giá dung kháng (XC ) của tụ mắc song song với tải để

2.8.Phối hợp trở kháng giữa tải và nguồn

S V e

Ví dụ về phối hợp trở kháng giữa tải và nguồn

 Cho mạch như hình

 A) Tính trị giá ZL để ZL có công suất P cực đại? Tính trị giá

công suất cực đại này?

 B) Giả sử điện trở tải thay đổi từ 0 đến 4000Ω; dung kháng của tải thay đổi từ 0 đến -2000Ω Hỏi phải chỉnh RL và XL trị giá

bao nhiêu để ZL có công suất lớn nhất? Tính trị giá công suất lớn nhất trong trường hợp này?

 Công suất P cực đại: P = (10)2 /(4 x 3000) = 8,33 mW

 B) Vì RL và XL có trị giá bị hạn chế nên đầu tiên ta chỉnh XL đến gần trị giá - 4000Ω như vậy chọn XL = -2000Ω, kế đến ta chọn RL đến gần trị giá:

 Vậy chọn RL = 3605,55Ω→ = 10/00 /(6605,55 + j20000) = 1,4489/-16,850 mA Công suất P của tải sẽ là:

)

(

S L