Gäi M lµ trung ®iÓm cña AC.[r]
Trang 1TRƯỜNG THCS LIấN MẠC
- ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO THPT NĂM HỌC 2012-2013 Mụn thi: Toỏn
Thời gian: 120 phỳt (khụng kể giao đề) Ngày thi: 11 thỏng 3 năm 2012
-(Đề thi gồm cú 1 trang)
Câu I:(1,5 điểm) Cho biểu thức A =
x 1
x 1 x 1 1) Nêu điều kiện xác định và rút gọn biểu thức A
2) Tính giá trị của biểu thức A khi x = 9
3) Khi x thoả mãn điều kiện xác định Hãy tìm giá trị nhỏ nhất cuả biểu thức B, với B
= A(x-1)
Câu II: (3 điểm)
1) Cho hai đờng thẳng (d) và (d’) có phơng trình lần lợt là:
(d): y = ax + a – 1 (với a là tham số) (d’): y = x + 1
a) Tìm các giá trị của a để hàm số y = ax + a – 1 đồng biến, nghịch biến
b) Tìm giá trị của a để d // d’; d d’
2) Cho phơng trình bậc hai sau, với tham số m :
x2 - (m + 1)x + 2m - 2 = 0 (1) a) Giải phơng trình (1) khi m = 2
b) Tìm giá trị của tham số m để x = -2 là một nghiệm của phơng trình (1)
3) Cho hệ phơng trình, với tham số a:
ax y 3
x y 6
a) Giải hệ phơng trình khi a = 2;
b) Tìm các giá trị của a để hệ phơng trình trên có nghiệm duy nhất
Câu III: (1 điểm) Hai ngời cùng làm chung một công việc thì sau 4 giờ 30 phút họ
làm xong công việc Nếu một mình ngời thứ nhất làm trong 4 giờ, sau đó một mình ngời thứ hai làm trong 3 giờ thì cả hai ngời làm đợc 75% công việc Hỏi nếu mỗi ngời làm một mình thì sau bao lâu sẽ xong công việc? (Biết rằng năng suất làm việc của mỗi ngời là không thay
đổi)
Câu IV: (3,5 điểm ) Cho tam giác ABC vuông tại A Gọi M là trung điểm của AC
Đ-ờng tròn đĐ-ờng kính CM cắt BC ở điểm thứ hai là N BM kéo dài gặp đĐ-ờng tròn tại D
1) Chứng minh 4 điểm B, A, D, C nằm trên một dờng tròn
2) Chứng minh MN.BC = AB.MC
3) Chứng minh rằng tiếp tuyến tại M của đờng tròn đờng kính MC đi qua tâm của đờng tròn ngoại tiếp tứ giác BADC
Cõu V: (1 điểm)
Chứng minh a3 b3ab a b( ) với mọi a b , 0 Áp dụng kết quả trờn, chứng minh bất
1
a b b c c a với mọi a, b, c là cỏc số dương thỏa món
1
abc .
Hết HƯỚNG DẪN CHẤM TOÁN 9
Cõu I:
a) ĐKXĐ: x ≥ 0 ; x ≠ 1 0,25 điểm
ĐỀ THI THỬ LẦN 1
Trang 2Ta cú: A = √x
√x − 1 −
2
√x+1 −
2
x −1
= √x(√x +1)
(√x −1)(√x+1) −
2(√x −1)
(√x +1)(√x −1) −
2 (√x −1)(√x +1) = (x+√x )− 2(√x −1)− 2
(√x − 1)(√x +1)
= x +√x − 2√x +2− 2
(√x −1)(√x+1) = x −√x
(√x −1)(√x+1) = √x (√x − 1)
(√x −1)(√x+1) = √x
√x +1 0,75 điểm b) Thay x = 9 vào biểu thức rỳt gọn của A ta được: A = √9
√9+1=
3 3+1=
3 4
Vậy khi x = 9 thỡ A = 34 0,25 điểm
c) Ta cú: B = A (x − 1)
¿ √x
√x +1(x −1) ¿√x (√x −1) ¿x −√x √
x¿2−2 √x 1
2+(12)2−1
4
¿ ¿
√x −1
2¿
2
+(−1
4)
¿ ¿
Vỡ: √x −12¿2≥ 0
¿
Với mọi giỏ trị của x 0 và x 1
⇒ √x −12¿2+(−1
4)≥(−1
4)
¿
Với mọi giỏ trị của x 0 và x 1
Dấu bằng xóy ra khi √x −12¿2=0⇔√x −12=0⇔ x =14
¿
Vậy giỏ trị nhỏ nhất của biểu thức B là (−1
4) đạt được khi x=1
4 0,25 điểm
Câu II:
1)y = ax + a – 1 đồng biến khi a > 0, nghịch biến khi a < 0; 0,25 điểm
b) d // d’ khi
a 1
d d’ khi a.1 = -1 a = -1 0,25 điểm
2) a) Khi m = 2 thỡ phương trỡnh (1) trở thành: x2 – 3x + 2 = 0
pt cú hai nghiệm là x1 = 1 v à x2 = 2 0,5 điểm
b) Giả sử x = - 2 là một nghiệm của phương trỡnh (1) Thay x = - 2 vào phương trỡnh (1) ta được: −2¿2−(m+1) (−2)+2m −2=0
¿
⇔ 4+2 m+2+2 m−2=0 ⇔ 4 m+4=0 ⇔ 4 m=− 4 ⇔m=− 1 /
Vậy với m = -1 thỡ phương trỡnh(1) cú một nghiệm là x = -2 0,5 điểm
3)a) Giải hệ phơng trình:
2x y 3
x y 6
b) Tìm các giá trị của a để hệ phơng trình:
ax y 3
x y 6
có nghiệm duy nhất.
Trang 3ax y 3
x y 6
(a 1)x 9(*)
x y 6
HÖ ph¬ng tr×nh cã nghiÖm duy nhÊt khi ph¬ng tr×nh (*) cã nghiÖm duy nhÊt, khi a+1 0 a1 0,5 điểm
Câu III Đổi: 4 giờ 30 phút = 92 giờ
Gọi x(h) là thời gian để người thứ nhất làm một mình xong công việc (ĐK: x > 92 )
Gọi y(h) là thời gian để người thứ hai làm một mình xong công việc (ĐK: y > 92 )
0,25 điểm
Khi đó: Mỗi giờ người thứ nhất làm được 1x (công việc)
Mỗi giờ người thứ hai làm được 1y (công việc)
Mỗi giờ cả hai người làm được 29 (công việc)
Trong 4 giờ người thứ nhất làm được 4x (công việc)
Trong 3 giờ người thứ hai làm được 3y (công việc)
Theo bài ra ta có hệ phương trình:
¿ 1
x+
1
y=
2 9 4
x+
3
y=
75
100=
3 4
¿ {
¿
(*) 0,5 điểm
Đặt 1x = a và 1y = b Khi đó hệ phương trình (*) trở thành
¿
a+b=2
9
4 a+3 b=3
4
¿ {
¿
Trang 4
⇔
9 a+9 b=2
16 a+12 b=3
⇔
¿a= 1
12
b= 5
36
⇔
¿ 1
x=
1 12 1
y=
5 36
⇔
¿x=12 y=36
5
¿ {
(TM) (TM)
Vậy: Người thứ nhất làm một mỡnh xong cụng việc sau 12 giờ. 0,25 điểm
Người thứ hai làm một mỡnh xong cụng việc sau 365 giờ, hay 7 giờ 12
Câu IV
Vẽ hỡnh đỳng 0,5 điểm
1) Hai điểm A và D nhìn đoạn BC dới cùng một góc vuông
nên ABCD là tứ giác nội tiếp đờng tròn đờng kính BC
Hay 4 điểm B, A, D, C nằm trên một đờng tròn 1 điểm
2) Xét hai tam giác NMC và ABC có:
C chung; MNC BAC (cùng bằng 900)
nên NMC ABC (g-g)
suy ra
AB BC MN.BC = AB.MC 1 điểm
3) Gọi O’ là tâm đờng tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD ta có O’ là trung điểm BC
Kẻ tiếp tuyến của (O) tại M là Mx ta có Mx// AB (cùng vuông góc với AC)
M là trung điểm của AC nên Mx phải đi qua trung điểm (O’) của BC
Vậy tiếp tuyến tại M của đờng tròn đờng kính MC đi qua tâm O’ của đờng tròn ngoại tiếp tứ
Câu V:
a b ab a b a a b b b a
(a b a)( b ) 0 (a b) (a b) 0
, đỳng a b, 0 0,5 điểm
a b ab a b a b abc ab a b abc
a b ab a b c
a b ab a b c
(Do cỏc vế đều dương) Tương tự, cộng lại ta được
a b b c c a
o'
o d
n
m //
//
c b
a
Trang 51 1 1
1
ab a b c bc a b c ca a b c