chuyen de phuong phap toa do trong khong gian nguyen chin em

1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 15 Biểu thức toạ độ của tích vô hướng và một số ứng dụng 2 2 Chứng minh ba vectơ đồng phẳng hoặc không đồng phẳng 5 2.1 Điều kiện để hai mặt phẳng song song,

1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN 1

5 Biểu thức toạ độ của tích vô hướng và một số ứng dụng 2

2 Chứng minh ba vectơ đồng phẳng hoặc không đồng phẳng 5

2.1 Điều kiện để hai mặt phẳng song song, vuông góc 82

3 Viết phương trình mặt phẳng(P)đi quaM và vuông góc với đường thẳngd đi qua hai

8 Viết phương trình mặt phẳng(P)chứa đường thẳng ∆1 và song song với đường thẳng

2 Điều kiện để hai đường thẳng song song, trùng nhau, cắt nhau hoặc chéo nhau 204

3 Điều kiện để một đường thẳng song song, cắt hoặc vuông góc với một mặt phẳng 204

3 Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và vuông góc với hai đường thẳng cho

BÀI 1 HỆ TỌA ĐỘ TRONG KHÔNG GIAN

Hệ trục toạ độ Đề - các vuông góc trong không gian

gồm ba trục x0Ox, y0O y, z0Oz vuông góc với nhau từng

đôi một Gọi #»

i ;#»

j ;#»

k lần lượt là các véc-tơ đơn vị trên

các trụcx0Ox, y0O y, z0Oz.ĐiểmO được gọi là gốc toạ độ

Các mặt phẳng (Ox y), (O yz), (Oxz) được gọi là các mặt

Trong không gian Oxyz cho véc-tơ #»a bất kì Khi đó tồn tại duy nhất bộ số (x; y; z) thoảmãn #»a = x.#»

i + y.#»

j + z.#»

k Ta nói rằng véc-tơ #»a có toạ độ là (x; y; z) và viết là #»a = (x; y; z)

hoặc #»a (x; y; z)

Trong không gianOx yz, cho hai véc-tơ #»a = (x; y; z),#»

5 Cho véc-tơ #»a 6=#»0.Khi đó véc-tơ #»b

cùng phương với véc-tơ #»a khi và chỉ khi tồn tại

AB = k# »

AC

Trong không gianOx yz, cho hai véc-tơ #»a = (x; y; z),#»

´

7 NếuG là trọng tâm của tam giácABC thì toạ độ củaG được xác định bởi công thức:

´

Cho hai véc-tơ #»u = (x1; y1; z1),#»v = (x2; y

2; z2).Khi đó tích có hướng của hai véc-tơ #»u ,#»v kíhiệu là£#»u ,#»v¤

xác định bởi:

Trong không gian Ox yz, phương trình chính tắc của mặt

cầu(S)có tâm I(a; b; c),bán kính R là

1; x2; x3)là tọa độ của vectơ #»x

2 Tọa độ của một điểmM là tọa độ của vectơ # »

OM đối với hệ trụcOx yz, nghĩa là ta biểuthị vectơOM# »

13

n#»c trong đó #»b và #»c không cùng phương.

2 Muốn chứng minh ba vectơ #»a ,#»

b ,#»c đồng phẳng ta dùng phương pháp phản chứng,giả sử chúng đồng phẳng nghĩa là có hệ thức #»a = m#»

b + n#»c trong đó #»b và #»c khôngcùng phương

Sau đó chứng tỏ rằng không tồn tại đẳng thức trên (tồn tại là vô lý)

Ví dụ 4 Trong không gianOx yz cho ba vectơ: #»a = (2;3;1),#»

b = (5;7;0),#»c = (3;−2;4).

1 Hãy chứng tỏ rằng ba vectơ #»a ,#»

b ,#»c không đồng phẳng.

2 Cho vectơ #»

d = (4;12;−3) Hãy phân tích vectơ #»d

theo ba vectơ không đồng phẳng

4.

Giả sử #»a ,#»

b ,#»c đồng phẳng, nghĩa là #»a = m#»b + n#»c.Thay tọa độ của các vectơ #»a ,#»

b ,#»c vào ta được hệ 3 phương trình với 2 ẩn m, n:

m = −12

Thay các giá trị củam, nvào (1) ta có:2 6=5

2+3

4 Vậy hệ phương

trình vô nghiệm, nghĩa là không tồn tại hệ thức #»a = m#»

b + n#»c Do đó, ba vectơ: #»a ,#»b ,#»ckhông đồng phẳng

m = −65

1 Chứng minh A, B, C thẳng hàng.

2 Tính diện tích tam giác ABC Suy ra độ dài đường cao hạ từ A

3 Tính độ dài đường phân giác trong vẽ từB

104 =

p554p

26 =

p277p13

3 GọiDlà chân đường phân giác trong vẽ từ B, ta có:

D A

DC =B A

BC=

p26p

104=12

! Nhận xét.thường xác định Chúng ta nên né tránh dùng công thức điểmksai, và mất công nhớ công thức. M chia đoạn ABtheo tỷ số k vì

Ví dụ 8 Trong không gianOx yz cho ba điểm A(a; 0; 0), B(0; b; 0), C(0; 0; c)vớiabc > 0

1 Chứng tỏ4ABC không thể là tam giác vuông

2 Tính thể tích hình chópO ABC và diện tích4ABC theo a, b, c?

Ví dụ 9 Trong không gianOx yzcho tứ diện ABCD có A(2; 1; −1), B(3;0;1), C(2;−1;3)và D

nằm trên trục tung Biết thể tíchV của ABC bằng5 Tìm tọa độ điểm D

-Lời giải.

Ví dụ 10 Trong không gianOx yzcho A(2; −1;6),B(−3;−1;−4);C(5; −1;0),D(1; 2; 1).

1 Chứng minh4ABC vuông Tính bán kính đường tròn ngoại nội tiếp4ABC

Ví dụ 11 Trong không gianOx yzcho A(−1;−2;4); B(−4;−2;0); C(3;−2;1); D(1;1;1)

Tính thể tíchV của tứ diện ABCD và độ dài đườn cao hạ từ D

Ví dụ 12 Trong không gianOx yz, cho ba điểm A(1; 2; 4);B(2; −1;0);C(−2;3;−1)

1 Tìm tọa độ điểmD biết rằng ABCD là hình bình hành

2 Suy ra SABCD=p714(đvdt)

ä

4 CHỨNG MINH CÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC

■ Chứng minh ba điểm A, B, Cthẳng hàng

■ Chứng mình hai đường thẳng song song

■ Chứng mình hai đường thẳng vuông góc

2 Muốn chứng minh hai đường thẳnga ∥ b, trên ata lấy vectơ # »AB

và trênb ta lấy vectơ

# »

CD rồi chứng minh # »

AB = k.# »

CD

3 Muốn chứng minh hai đường thẳnga ⊥ b, trênalấy vectơ # »

ABvà trên b lấy vectơ # »

M N =# »

MC +# »

CC0+# »

C0N.Giả sử: # »

n =13

n =23

Vậy: # »

MC = n# »

AC =13

2; 0;

a2

2 +a

22

3a2

2 .

p3a2

=a

2p23a2 =

p2

Ví dụ 17 Chứng minh bất đẳng thức: a + b + c ≤»3¡a2+ b2+ c2¢

, với a, b, c là ba số thựccho trước

1 Phương trình mặt cầu viết dưới dạng:(x − 4)2+ (y − 1)2+ z2= 16

Vậy mặt cầu có tâmI(4; 1; 0), bán kínhR = 4

2 Phương trình mặt cầu đã cho có thể viết lại:

x2+ y2+ z2− 2x +8

3y + 5z − 1 = 0 ⇔ (x − 1)2+

µ

y +43

¶2+

µ

z +52

¶2

=

µ196

¶2

Vậy mặt cầu có tâm:I

µ1; −4

3; −52

¶

, bán kính R =19

6 .

ä

Ví dụ 21 Trong không gianOx yz Viết phương trình mặt cầu trong các trường hợp sau:

1 Có đường kính ABvới A(4; −3;7),B(2; 1; 3)

2 Đi qua điểm A(5; −2;1)và có tâm I(3; −3;1)

Ví dụ 22 Trong không gian Ox yz hãy viết phương trình mặt cầu đi qua bốn điểm

A(1; 0; 0), B(0; −2;0), C(0; 0; 4) và gốc tọa tọa độ O Hãy xác định tâm và bán kính của mặtcầu đó

-Lời giải.

Phương trình mặt cầu(S)có dạng: x2+ y2+ z2− 2ax − 2b y − 2cz + d = 0

Phương trình mặt cầu có thể viết lại:

µ

x −12

¶2+ (y + 1)2+ (z − 2)2=21

4

Vậy mặt cầu có tâmI

µ1

2; −1;2

¶

, bán kínhR =

p21

Bài 4 Trong không gianOx yz, cho bốn điểm A (1; 1; 0),B (0; 2; 1),C (1; 0; 2),D (1; 1; 1)

1 Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của tứ diện đó? Tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện.Tính thể tích của tứ diện này?

2 Tính góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD?

3 Tính diện tích tam giácBCD? Từ đó suy ra độ dài đường cao của tứ diện vẽ từ A?

4 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc Hcủa điểm Dtrên mặt phẳng(ABC)?

5 Tìm tọa độ điểmM sao cho # »

y0= 1

z0= 1

Suy ra tọa độ điểmG

µ3

6 ⇔ β ≈ 66◦ vàcosγ =

p10

Từ(1),(2) và(3)ta có hệ phương trình

(2z − 2 = 0

− x + 2y + z − 2 = 03x + 2y + z − 5 = 0

y =78

z = 1

thay vào(∗)thỏa mãn Vậy tọa độ điểm H

µ3

((1 − x1) + 2(−x1) − 2(1 − x1) + 3(1 − x1) = 0(−y1) + 2(2 − y1) − 2(−y1) + 3(1 − y1) = 0(−z1) + 2(1 − z1) − 2(2 − z1) + 3(1 − z1) = 0

⇔

(4x1= 2

4 y1= 74z1= 1

y1=74

z1=14

Suy ra tọa độ điểmM

µ1

2;

7

4;

14

¶

Bài 5 Trong không gianOx yz, cho bốn điểm A (1; 0; 0),B (0; 1; 0),C (0; 0; 1),D (−2;1;−1)

1 Chứng minh A, B, C, D là bốn đỉnh của tứ diện đó? Tìm tọa độ trọng tâm của tứ diện.Tính thể tích của tứ diện này?

2 Tính góc tạo bởi các cạnh đối diện của tứ diện ABCD?

3 Tính diện tích tam giácBCD? Từ đó suy ra độ dài đường cao của tứ diện vẽ từ A?

4 Tìm tọa độ hình chiếu vuông góc Hcủa điểm Dtrên mặt phẳng(ABC)?

5 Tìm tọa độ điểmM sao cho # »

y0=12

Vìα ∈ [0◦; 90◦], từcosα =p1

2⇔ α = 45◦.Tương tựcosβ =

p22

11 ⇔ β ≈ 65◦và cosγ =

p10

thay vào(∗)thỏa mãn Vậy tọa độ điểm H (−1;2;0)

5 Giả sử tọa độ điểmM (x1; y1; z1), khi đó # »

M A = (1 − x1; −y1; −z1); # »

MB = (−x1; 1 − y1; −z1); # »

MC =(−x1; −y1; 1 − z1)

y1=54

z1= −54

Suy ra tọa độ điểmM

A. (1; −1;−2) B. (−1;−1;−2) C.

µ1; −1

3; −2

¶

µ1; −1

3; −23

¶

Câu 2 Trong không gian với hệ tọa độOx yz, cho điểm A(3; 0; 0), B(0; 6; 0), C(0; 0; −6) Tìm tọa

độ trọng tâmG của tam giác ABC

AB,BC# »´

=14

p118

AB,BC# »´

= −7

p118

A. I(2; 2; 2) B. I(2; −2;3) C. I(1; 1; 1) D. I(4; −4;6)

Câu 8 Trong không gianOx yz, cho2véc-tơ #»a = (3;−2; m)và #»

Câu 9 Trong không gianOx yz, cho hai điểm A(0; −2;3), B(1;0;−1) Gọi Mlà trung điểm đoạn

AB Khẳng định nào sau đây là đúng?

Câu 13 Trong không gian với hệ trục tọa độOx yz, cho tam giác ABC vớiA(1; 0; 0), B(0; 0; 1)và

C(2; 1; 1) Tính diện tích S của tam giác ABC

p6

Câu 14 Trong không gianOx yz, cho điểm A(1; 2; 0), B(3; −2;2) Viết phương trình mặt cầu(S)

tâm Avà đi quaB

Câu 16 Trong không gian Ox yz, viết phương trình mặt cầu (S) có tâm I (1; 2; −3) và đi qua

A. I(2; −1;0), R = 81 B. I(−2;1;0), R = 9 C. I(2; −1;0), R = 9 D. I(−2;1;0), R = 81

Câu 19 Trong không gianOx yz, cho mặt cầu(S) : (x +1)2+(y−1)2+(z −3)2= 3 Tìm tọa độ tâm

Câu 21 Trong không gian tọa độOx yz, tìm tọa độ điểmH là hình chiếu vuông góc của điểm

A(2; 1; −1)lên trục tung

C D

Câu 23 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho ba véc-tơ #»a = (1;2;3), #»

b = (2;2;−1), #»c =(4; 0 − 4) Tọa độ véc-tơ #»

VìG là trọng tâm của4ABC nên

Câu 31 Trong không gian với hệ tọa độOx yz, cho hai điểm A(−1;5;3)và M(2; 1; −2) Tìm tọa

độ điểmBbiết M là trung điểm của đoạn AB

Câu 36 Trong không gian Ox yz, cho điểm A(1; 2; 3) Hình chiếu vuông góc của điểm A trênmặt phẳng(Ox y)là điểm

A. P(1; 0; 0) B. N(1; 2; 0) C. Q(0; 2; 0) D. M(0; 0; 3)

-Lời giải.

Hình chiếu vuông góc của điểm A(1; 2; 3)trên mặt phẳng(Ox y)là điểm N(1; 2; 0)

Câu 37 Mặt cầu(S) : (x − 1)2+ (y − 2)2+ (z + 3)2= 4 có tâmI và bán kính R là

A. I(1; −2;−3); R = 4 B. I(1; 2; −3); R = 2 C. I(−1;−2;3); R = 2 D. I(−1;−2;3); R = 4

Ta có: các điểm thuộc trụcOzcó tọa độ(0; 0; a)

Vậy hình chiếu vuông góc của Atrên trụcOz là điểmP(0; 0; 3)

Câu 46 Trong không gian với hệ tọa độOx yz, cho bốn điểm A(1; 0; 2), B(−2;1;3), C(3; 2; 4) và

D(6; 9; −5) Tọa độ trọng tâm của tứ diện ABCD là

ĐiểmM (x0, y0, z0)có hình chiếu vuông góc trên mặt phẳngO yz là(0; y0; z0)

Do đó, hình chiếu vuông góc của A(−3;−1;0)lên(O yz)có tọa độ là(0; −1;0)

3;

43

3;

43

¶

Vậy trọng tâmG của tam giácO AB có toạ độ là

µ0;2

3;

43

¶

Câu 50 Trong không gian toạ độ Ox yz, mặt cầu (S) : x2+ y2+ z2+ 2x + 4y − 2z − 3 = 0 có bánkính bằng

Câu 57 Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox yz, cho ba điểm A(5; −2;0), B(−2;3;0) và

C(0; 2; 3) Trọng tâmG của tam giác ABC có tọa độ là

-Lời giải.

Dựa vào công thức tính tọa độ trọng tâm ta có

2; 3

¶

Câu 61 Trong không gian hệ tọa độOx yz, cho mặt cầu(S):(x − 2)2+ (y − 3)2+ (z + 1)2= 25 Tọa

độ tâm I và bán kínhR của mặt cầu(S) là

A. I(2; 3; −1),R = 25 B. I(−2;−3;1),R = 25 C. I(2; 3; −1),R = 5 D. I(−2;−3;1),R = 5

-Lời giải.

Câu 70 Trong không gian với hệ tọa độOx yz, cho hai điểm A(0; 1; −2) và B(3; −1;1) Tìm tọa

độ điểm Msao cho # »

AM = 3# »AB

Câu 72 Trong không gianOx yz, cho mặt cầu(S) : (x + 3)2+ (y + 1)2+ (z − 1)2= 2 Xác định tọa

độ tâm I của mặt cầu(S)

A. I(−3;1;−1) B. I(3; 1; −1) C. I(−3;−1;1) D. I(3; −1;1)

-Lời giải.

Mặt cầu(x − a)2+ (y − b)2+ (z − c)2= R2 có tâmI(a; b; c)

Do đó mặt cầu đã cho có tâmI(−3;−1;1)

Câu 73 Trong không gianOx yz, cho điểm M(1; −2;3) Gọi I là hình chiếu vuông góc của M

trên trụcOx Phương trình nào sau đây là phương trình của mặt cầu tâmIbán kính I M?

A. (x − 1)2+ y2+ z2=p13 B. (x − 1)2+ y2+ z2= 13

C. (x + 1)2+ y2+ z2= 13 D. (x + 1)2+ y2+ z2= 17

-Lời giải.

Do I là hình chiếu củaM(1; −2;3) trênOxnên I(1; 0; 0)

Vậy mặt cầu tâm I bán kính I M =p(1 − 1)2+ (−2 − 0)2+ (3 − 0)2=p13có phương trình là

¶

= (1; 2; 0)

Chọn đáp án A ä

Câu 77 Trong không gian với hệ trục tọa độOx yz, cho hai véc-tơ #»a = (−3;4;0), #»

b = (5;0;12).Tính cô-sin góc giữa hai véc-tơ #»a và #»

Câu 79 Trong không gianOx yz, cho #»a = (2;1;3), #»

b = (4;−3;5)và #»c = (−2;4;6) Tọa độ của vectơ

Câu 84 Trong không gianOx yz, cho điểm A(1; 2; −1) Tọa độ hình chiếu vuông góc của điểm

GọiM là hình chiếu của điểm Alên trụcO y ⇒ M(0;1;0)

Ta có A0đối xứng với điểm A qua trụcO ynên Mlà trung điểm của A A0

Câu 87 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, phương trình nào sau đây không phải là

phương trình của một mặt cầu?

Dễ thấy cả bốn mặt cầu đều có tâm I(2; −1;−1).

Câu 99 Trong không gian với hệ tọa độOx yz, cho hai điểm A(3; −2;3) và B(−1;2;5) Tìm tọa

độ trung điểm I của đoạn thẳngAB

Câu 102 Trong không gianOx yz, cho tam giácABC Biết A(1; 0; −3),B(2; 4; −1),C(2; −2;0), tọa

độ trọng tâmG của4ABC là

3;

2

3;

43

¶

µ5

3;

2

3; −43

yG=23

Câu 106 Trong không gian với hệ trục tọa độOx yz mặt cầu(S) : (x − 1)2+ (y + 2)2+ (z − 3)2= 4

có tâm và bán kính là

A Tâm I(−1;2;−3), bán kínhR = 2 B Tâm I(−1;2;−3), bán kính R = 4

C Tâm I(1; −2;3), bán kính R = 2 D Tâm I(1; −2;3), bán kính R = 4

Câu 111 Trong không gianOx yz, cho hai véc-tơ #»a = (4;−2;−4), #»

b = (6;−3;2) Giá trị của biểuthức¯¯

⇒ G(1; 0; 1)

Câu 119 Trong không gian Ox yz cho hai điểm A(1; −1;2) và B(2; 1; −4) Véc-tơ # »

AB có tọa độlà

Câu 124 Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox yz, cho mặt cầu có phương trình

x2+ y2+ z2+ 2x − 6y − 6 = 0 Tìm tọa độ tâmI và bán kính R của mặt cầu đó

A. I(1; −3;0);R = 4 B. I(−1;3;0);R = 4 C. I(−1;3;0);R = 16 D. I(1; −3;0); R = 16

Câu 129 Trong không gian Ox yz, cho 4 điểm A(2; 0; 0), B(0; 2; 0), C(0; 0; 2), D(2; 2; 2) Gọi M, N

lần lượt là trung điểm của ABvà CD Tọa độ trung điểm của đoạn M N là

µ1

VìM,N lần lượt là trung điểm của ABvàCD nên M(1; 1; 0); N(1; 1; 2)

Khi đó trung điểm của M N làI(1; 1; 1)

Câu 130 Trong không gian với hệ trục tọa độOx yz, cho hai véc-tơ #»a = (−4;5−3), #»

b = (2;−2;1).Tìm tọa độ của véc-tơ #»x = #»a + 2#»b.

Câu 133 Trong không gian với hệ tọa độOx yz, tìm tâm và bán kính của mặt cầu có phươngtrình(x − 1)2+ (y + 4)2+ (z − 3)2= 18.

A. m = 2hoặc m = 3 B. m = 1hoặcm = 4 C. m = 1hoặcm = 2 D. m = 3 hoặcm = 4.

1 · 2 = −

p3

p5

p5

3; 0; −23

¶2+ 02+

µ

−23

¶2

=2

p5

3 .

Câu 148 Trong không gianOx yz, cho hai điểmA(−1;2;3),B(−3;2;−1) Tọa độ trung điểm củađoạn thẳng ABlà

Phương trình mặt cầu viết lại như sau(S) : (x − 1)2+ [y − (−1)]2+ (z − 2)2= 32 Vậy tọa độ tâm I

và bán kínhR của(S)lần lượt làI(1; −1;2),R = 3

Câu 156 Tích vô hướng của hai véc-tơ #»a = (−2;2;5), #»

b = (0;1;2)trong không gian bằng

3;

13

Câu 160 Trong không gianOx yz, cho điểm M(1; 0; 2) Mệnh đề nào sau đây là đúng?

Câu 162 Trong không gianOx yz, hình chiếu vuông góc của điểm A(2; 3; 1)lên trụcx0Oxlà

Câu 164 Trong không gianOx yz, tọa độ tâm của mặt cầu(S) : x2+ y2+ z2−2x−4y−6 = 0là

A. I(2; 4; 0) B. I(1; 2; 0) C. I(1; 2; 3) D. I(2; 4; 6)

Câu 166 Trong không gianOx yz, cho điểm A(1; −2;4) Hình chiếu vuông góc của Atrên trục

O ylà điểm nào dưới đây?

Câu 171 Trong không gianOx yz, cho mặt cầu(S) : (x + 1)2+ (y − 2)2+ (z − 1)2= 9 Tọa độ tâm I

GọiI là trung điểm AB ⇒ I(1;1;1), AB = 6

Mặt cầu(S) đường kính AB có tâm I(1; 1; 1), bán kính R = AB

2 = 3 có phương trình là:(S) : (x −1)2+ (y − 1)2+ (z − 1)2= 9

-Lời giải.

2; 2; −1

¶

-Lời giải.

Tọa độ trung điểm I của ABthỏa

Điểm đối xứng của điểm A(x; y; z)qua trục hoành là điểm có dạng A0(x; −y;−z)

Suy ra điểm đối xứng của điểm A(−2;3;−1)qua trục hoành là điểm A0(−2;−3;1)

Câu 189 Trong không gian với hệ tọa độOx yz, cho ba véc-tơ #»a = (1;−1;2), #»

b = (3;0;−1), #»c =(−2;5;1), đặt #»m =#»a +#»b −#»c Tìm tọa độ của #»m.

Câu 193 Trong không gian với hệ tọa độOx yz, cho mặt cầu(S) : (x + 1)2+ (y − 2)2+ (z − 1)2= 9.Tìm tọa độ tâm I và bán kínhR của mặt cầu(S).

A #»u = (−7;6;−10) B #»u = (−7;−6;10) C #»u = (7;6;10) D #»u = (−7;6;10)

-Lời giải.

Do #»u = −2#»a + 3#»b suy ra #»u = (−7;6;10).

Câu 201 Trong không gianOx yz, cho #»a = −#»

−2

¶2+

µ2b

−2

¶2+

µ2c

Câu 206 Trong không gian với hệ trục tọa độ Ox yz, cho mặt cầu

(S) : (x + 1)2+ (y − 3)2+ (z − 2)2= 9 Tìm tọa độ tâm và bán kính của mặt cầu(S)

Câu 212 Trong không gian với hệ tọa độ Ox yz, cho tam giác ABC với A (−2;4;1), B (1; 1; −6),

C (0; −2;3) Tìm tọa độ trọng tâmG của tam giác ABC