Trên cạnh AB của tam giác ABC lấy các điểm M và N sao cho BC=BM;AC=AN.. Chứng minh điểm N nằm trong đoạn thẳng BM2[r]
Trang 1ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO TRƯỜNG THPT CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI
Môn thi: Toán (dành cho thí sinh thi chuyên Toán)
Năm học: 2010 – 2011 Thời gian làm bài: 150 phút
Câu 1
1 a; b là 2 số dương phân biệt thỏa mãn
Chứng minh :
nguyên dương
Câu 2
4 số thực a; b; c; d khác nhau đôi 1 thỏa mãn:
Chứng minh rằng
1
2
Câu 3
m; n là 2 số nguyên dương với n>1 Đặt
Chứng minh rằng :
1 Nếu m > n thì
2 Nếu S là số chính phương thì m = n
Câu 4.
Cho tam giác ABC với AB >AC, AB >BC Trên cạnh AB của tam giác ABC lấy các điểm M
và N sao cho BC=BM;AC=AN
1 Chứng minh điểm N nằm trong đoạn thẳng BM
2 Qua M và N kẻ MP//BC và NQ//CA(P CA;Q CB) CMR CP=CQ
MCN theo a
Câu 5.
Trên 1 bảng đen viết 3 số ta bắt đầu thực hiện 1 trò chơi như sau: Mỗi lần chơi ta xóa 2 số nào đó trong 3 số trên bảng, giả sử là a và b, rồi viết vào 2 vị trí vừa xóa
dù chơi mấy lần thì trên bảng không thể có đồng thời 3 số
xuất hiện trên bảng
Trang 2
-Hết -Lời giải:
Bài 1.
1
Cộng vế với vế của (1) và (2) ta được:
Do dương nên suy ra:
2
là số nguyên dương
Bài 2.
1 Theo định lý Viete ta có:
Từ (1) suy ra
Từ (3) suy ra
2 Nhận xét: vì nếu tồn tại 1 số bằng 0 thì từ các đẳng thức (2) và (4) suy ra tồn tại số thứ hai bằng 0, trái giả thiết đôi một khác nhau
Từ (1); (2); (4) suy ra
Từ (3); (4); (2) suy ra
Mà từ (*):
Trang 3Bài 3.
1
(do
(do
Thật vậy :
(đúng với
(luôn đúng với nguyên dương
S là số chính phương suy ra
(loại vì VT là số chẵn còn VP là số lẻ)
(loại vì VT là số chẵn còn VP là số lẻ)
Vậy nếu S là số chính phương thì m = n
Bài 4.
1 Ta có:
Suy ra điểm N nằm giữa B và M
2 Theo định lý Thales :
H Q
P
B
C
Trang 4NQ//CA
(đpcm)
3 Kẻ
ta có
Vì N nằm giữa M và B nên
Bài 5.
Giả sử có 3 số a, b, c trên bảng
số mới là
Như vậy sau mỗi lượt chơi thì tổng bình phương của bộ số mới nhận được không đổi
Vì
Do đó dù chơi bao nhiêu lần thì cũng không nhận được bộ số
Nguyễn Tạ Duy_Toán 1 K43_THPT Chuyên ĐHSP Hà Nội