bsy gui chau Dung BN phan he phuong trinh co cautruc dac biet

Thông thường phép biến đổi xoay quanh việc cộng , trừ hai phương trình hoặc chia các vế phương trình cho một số hạng khác không có sẵn trong các phương trình của hệ để tìm ra những phầ[r]

Bài số 3 HỆ CÓ CẤU TRÚC ĐẶC BIỆT

Trong những năm gần đây , đề thi đại học về Hệ phương trình đại số thường hay ra dạng hệ

có cấu trúc khá đặc biệt Vì vậy cho nên ta phải ngiên cứu cách giải chúng

Thông thường ta có một số phương pháp sau

I PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG

Là phương pháp chủ yếu dùng kỹ năng biến đổi hai phương trình của hệ đưa về các phương trình đơn giản có thể rút x theo y hoặc ngược lại để thế vào phương trình khác của hệ Ta xét một số ví dụ sau

1 Loại 1: Trong hệ có một phương trình bậc nhất theo ẩn x hoặc theo ẩn y Khi đó ta rút

x theo y hoặc y theo x thay vào phương trình còn lại

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình :

 

2





  



Giải

Ta thấy x=0 không phải là nghiệm của phương trình (2) cho nên từ phương trình (2) ta có :

thay vào phương trình (1) ta có :

x x x x  x  x  x x  x  x  x x

x 1 2  x3 2x2 4x 0 x x 1 x2 x 2 0 x 0;x 1;x 2

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình :

x y xy x y xy

x y xy x y xy







Giải

Ta có x=y=0 là một nghiệm của hệ Các cặp số (x;y) với x0,y0;x0,y0 không là nghiệm của hệ

Xét xy 0 chia hai vế phương trình cho xy 0 ta được :

1 1

1 1

x y

x y

x y

x y







 Suy ra : 5 2 x y   4 y 3x x2y1(*) thay vào phương trình thứ hai ta có :

2y-1+y+y(2y-1)(5y-3)=4(2y-1)y

3y 1 y 10y 11y 3 8y 4y 10y 19y 10y 1 0 y 1 10y 9y 1 0

Đáp số : (x;y)=

1;1 , 9 41; 41 1 ; 9 41; 41 1

2 Loại 2 Một phương trình của hệ đưa về dạng tích của hai phương trình bậc nhất hai

ẩn Khi đó ta dưa về giải hai hệ tương đương

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình :

 

 

xy x y x y







Giải

Điều kiện : x0,y1

Phương trình (1)    

x y x y







Ta thay làn lượt từng trường hợp một vào phương trình (2) Giải ra kết quả

Ví dụ 2 ( ĐH-KA-2011) Giải hệ phương trình sau :

2







Hướng dẫn

xy x y    xy  x y 

 xy=1; từ (1) suy ra : y4 2y2  1 0 y1 Vậy hệ có nghiệm (x;y)=(1;1),(-1;-1)

 Với : x2y2  2  1  3y x 2y2 4xy22x y2  2x y  0

1 xy 2y x 0 xy 1 x 2y

Xét : xy=1 Đã giải ở trên

Với : x=2y , thay vào

 

x y   x y       

Vậy hệ có nghiệm : (x;y)=(1;1),(-1;-1),

Ví dụ 3 Giải hệ sau :

 

 







Giải

Điều kiện : x0;y0

(1)  x y 1  x y  1 0

Suy ra hệ trở thành :

     

1; 0 1

0 1

1

1

x y

x

x y

x

  

  

 

     











Ví dụ 4 Giải hệ phương trình :

 

 

3

y

x











Giải

Điều kiện : x>0;y 3

Ta có :

3

x

x y

 Với y=3 ; ta có : 2 x  3 0 x3 ( loại )

 Với y 3 ta có :

3

3





hệ có nghiệm : (x;y)=(1;8 )

* Chú ý : Trong một số bài toán đôi khi ta phải cộng hoặc trừ hai phương trình của hệ sau

đó mới xuất hiện phương trình dạng tích

Ví dụ 5 Giải hệ phương trình sau :  

10

xy x y







Hướng dẫn :

Ta sử dụng hằng đẳng thức : x y 4 x4y44xy x 2y26x y2 2

xy x y



 

 Ta cộng vế với vế hai phương trình ta được :

Hệ đã cho

10

xy x y

     







 

Ví dụ 6 ( ĐH-KD-2008 ) Giải hệ phương trình sau :

xy x y x y







Hướng dẫn

Hệ viết lại :



Học sinh giải tiếp Đáp số : (x;y)=(5;2)

Loại 3: Một phương trình của hệ là phương trình bậc hai theo một ẩn chẳng hạn x là ẩn

Khi đó ta coi y là tham số

Ví dụ 1 Giải hệ sau ;

     

 

2







Hướng dẫn :

Coi phương trình (2) là phương trình theo ẩn y ta có : y2 4x2 y 5x216x16 0 Giải theo y ta có :

4

y x



  

 Thay lần lượt hai trường hợp vào phương trình (1) ta sẽ tìm được nghiệm của hệ

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình sau :

2

2

x xy y

y xy x





Hướng dẫn :

Trừ hai phương trình của hệ cho nhau ta có : 2x2 y2xy y  5x 2 0

1

2

y x











 

 Thay từng trường hợp một vào phương trình (1) ta tìm được nghiệm của hệ

II PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ

* Quan trọng là học sinh phải nhanh trí phát hiện ra ẩn phụ : u=f(x;y) và v=g(x;y) trong hai phương trình của hệ , hoặc sau khi biến đổi để phát hiện ra u và v

Thông thường phép biến đổi xoay quanh việc cộng , trừ hai phương trình hoặc chia các vế phương trình cho một số hạng khác không có sẵn trong các phương trình của hệ để tìm ra những phần chung mà sau đó ta đặt ẩn phụ

Việc phát hiện ẩn phụ nhanh hay chậm phụ thuộc vào kỹ năng biến đổi cũng như kỹ năng nhìn của từng học sinh một

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình sau :

2

2







Hướng dẫn :

Ta thấy : y=0 không là nghiệm của hệ Chia hai vế phương trình (1) và (2) cho y ta có hệ :

2

2

1

4 1

x

x y

y

x

x y

y







  

1

u v x

u v y

 







 Giải hệ trên suy ra u,v sau đó tìm được x,y

Ví dụ 2 ( SPIHN-KA-2000) Giải hệ phương trình

 

 

y xy x

x y x







Hướng dẫn

Nhận xét : x=0 không là nghiệm của hệ ( vì phương trình (2) vô nghiệm )

Chia hai vế của hai phương trình của hệ cho x 2 0 Khi đó hệ đã cho trở thành :

Đặt :

3

1

5



 Học sinh giải tiếp : Đáp số (x;y)=(1;2),(1/2;1)

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình sau :

2

3

1

x y x

x y













Hướng dẫn :

Điều kiện : x y 0

Khi đó hệ trở thảnh :

2

3

1

3

x y

x y











1

;

x y



Hệ khi đó :

3

u v

u v



 

 Học sinh giải tiếp tìm u,v sau đó tìm x,y

Ví dụ 4 Giải hệ phương trình sau :

2







Giải :

Điều kiện : y0;y1

Khi đó :    

Thay vào (2) , ta có : x y4 2 x y2 2 y 6y2 2y12y21 x2 2 x2 3y2 y 1 0

2

2

1

1

3

y

y

y







Ví dụ 5.( AN-98) Giải hệ phương trình sau :

 2 2

2 2

1

1

x y

xy

x y

x y





 Giải :

Hệ đã cho viết lại :

18

208





Đặt :

1 4

14 14

;

56

14 4

1 4

x x u

y

uv

x x v

y y

 

 

 

 

   















 

   

 



2

2

2

2

; 2 3;7 4 3 ; 2 3;7 4 3

x

x y

 

 

 





   

 

Ví dụ 6 Giải hệ phương trình sau :

15 85

x y

x y

y x

x y









Giải :

Điều kiện : x0,y0 Đặt : ; 2

x y

y x

2

2





15

15

2

uv

v u

u







 Học sinh giải tiếp tìm được u,v sau đó suy ra x,y

Ví dụ 7 Giải hệ phương trình sau :

1 4

x y

xy xy

xy





Hướng dẫn :

Điều kiện : xy 0 Đặt :

2 3 5

;

2

u v

u v

uv

v

 







 





 



 

 Học sinh giải tiếp

Ví dụ 8 Giải hệ :

2

2

3

x y y x xy

x

x xy y









Hướng dẫn :

Điều kiện : x0,y0 Chia hai vế phương trình (1) cho xy , thêm 1 vào hai vế của phương

trình (2) và nhóm chuyển về dạng tích

1 1 1

4

4

x

x x y x

x x y







 



Đặt :

4

4

u v

uv

 





Ví dụ 9 Giải hệ phương trình sau :

2







Hướng dẫn

Hệ viết lại :

2 2

;

;

x y

x y

  





 

 







 



Ví dụ 10 Giải hệ phương trình sau :

3 2 3 9 2 2 10 3  0

1

3

x y

x y











Hướng dẫn

Điều kiện : 3x y  0 y3x Chia hai vế phương trình (1) cho 3x y 0 Khi đó

Phương trình (1) của hệ trở thành :

2

Khi đó

* Trường hợp 1:

3

3

3

3

x y

x y

x y





 









Trường hợp 2:

3 3 11

1 2

3 11

3

x y

x y

x y



 

Ví dụ 11 (ĐH-KD-2009 ) Giải hệ :

5

1 0

x x y

x y

x











Hướng dẫn :

Điều kiện : x 0 Chia hai vế phương trình (1) cho x 0 , thì (1) trở thành :

Thế vào phương trình (2) của hệ thì (2) trở thành :

   

2

1

1; 1

2 2

x

x

x







Ví dụ 12 ( ĐH-KB-2009 ) Giải hệ sau : 2 2 2

1 7

1 13

  







Hướng dẫn

Nhận xét : y=0 không là nghiệm vì (1) vô lý , cho nên ta chia hai vế phương trình (1) và (2) của hệ cho y0;y2 0 Khi đó hệ trở thành :

 

 

2

2 2

2

1

20 0

x



   

2

2

12

1

; 1; , 3;1 3

3

x y

 



Ví dụ 13 ( ĐH-KA-2008 ) Giải hệ :  

5 4 5

1 2

4

x y x y x y xy









Hướng dẫn :

Hệ viết lại :

2 2

u x y v xy

Học sinh giải tiếp ta được :

 

2

2

x y









Ví dụ 14 ( ĐH-KB-2008 ) Giải hệ :

2







Hướng dẫn :

Hệ viết lại :

2 2

2 2

2 9(3)

2







 Thay (4) vào (3) rút gọn ta có :

3

0

4

x

x







Học sinh giải tiếp Đáp số nghiệm hệ : (x;y)=

17 4;

4

Ví dụ 15 ( ĐH-KA-2003 ) Giải hệ : 3

y x



  







Hướng dẫn

Điều kiện : x y , 0

0

1

x y

xy



 Nếu : x=y , thay vào (2) của hệ :  x2 2x  1 0 x 1 x y;  1;1

 Nếu xy=-1 , thay vào (2) của hệ :

x    x x   x   

trình này vô nghiệm Do đó hệ vô nghiệm

III PHƯƠNG PHÁP HÀM SỐ

Loại 1 Một phương trình của hệ có dạng : f(x)=f(y) Một phương trình cho ta biết tập giá

trị của x hoặc y Từ đó suy ra hàm số f(x) đơn điệu suy ra x=y

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình sau :

 

 

1 2

x y







Hướng dẫn :

Từ (2) suy ra : x y , 1

Từ (1) ta xét hàm số : f(t)=t3 5t f t'( ) 3 t2 5 0   t  1;1

Do vậy f(t) là một hàm số nghịch biến Vậy để có (1) chỉ xảy ra khi x=y

8

x   x  x y       

Ví dụ 2.( Ngoại thương -2000) Giải hệ phương trình :

1

x y







Hướng dẫn :

Học hinh giải ví dụ 1 , từ đó suy ra cách giải ví dụ 2

Loại 2 Hệ đối xứng mà sau khi biến đổi thường đưa về dạng f(x)=f(y) hoặc f(x)=o Trong

đó f là một hàm số đơn điệu

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình sau :

y x











Hướng dẫn giải

Đặt u=x-1;v=y-1 khi đó hệ có dạng :

2

2

1 3

1 3

v u





 Trừ hai phương trình vế với vế ta có phương trình : u u2 1 3u  v v2 1 3v(*)

Xét hàm số :

2

2

1

u

Để có (*) thì chỉ xảy ra khi u=v.Thay vào (1)

2

1

1 1

u u





lại có f(0)=0 vì vậy phương trình có nghiệm u=0 và v=0 Do đó hệ có nghiệm duy nhất : x=y=0

Ví dụ 2 ( ĐH-KA-2010 ) Giải hệ phương trình sau :

 2   







Hướng dẫn

Điều kiện :

,

x y

2

t   y y  t

, thay vào (1)của hệ ta có :

2

2

t

Xét hàm số : f x( )x3 x f x'( ) 3 x2  1 0 x f x( )đồng biến cho nên vế trái chẳng

qua là khi t=2x Do đó :

2

5 4

2

x

Thay vào phương trình (2) của hệ ta

được :

2 2

x

g x  x      x  x 

Dễ thấy x=0 và x=3/4 không là nghiệm

với :

g   x y

là nghiệm của hệ

Ví dụ 3 Giải hệ phương trình sau :

 

 

2

1







Hướng dẫn

Điều kiện :

4 5

x 

Chia cả hai vế của phương trình (1) cho y 5 0

5

5

y y

   

     

    Hàm số : f t( ) t5 t f t; '( ) 5 t4   1 0 t R

Chứng tỏ f(t) đồng biến Cho nên để có (*) thì chỉ xảy ra khi

2

x

y   

Thay vào phương trình (2) ta được : 4x 5 x  8 6 x1

Vậy hệ có nghiệm là : (x;y)=(1;-1)

IV PHƯƠNG PHÁP ĐÁNH GIÁ

Với phương pháp này học sinh cần quan sát nắm chắc các biểu thức không âm trong hệ để

có thể vận dụng các bất đẳng thức Cô si để đánh giá

Ví dụ 1 Giải hệ phương trình sau :

2

2 2

3

2

2

xy

xy











Hướng dẫn

Cộng hai vế phương trình của hệ vế với vế ta có :

2 2

x y

x  x  y  y   Ta có : x=y=0 là một nghiệm của hệ

2

3 x2 2x93 x1   8 2 VT xy xy 2xy

Khi đó : VP x 2y2 2xy Cho nên dấu bằng chỉ xảy ra khi : x=y=1 Vậy hệ có hai nghiệm : (x;y)=(o;0);(1;1)

Ví dụ 2 Giải hệ phương trình sau :

3

3







Hướng dẫn

Hệ đã cho

2

2



 

 Nếu y>2 từ (1)suy ra x<2 Vô lý vì (2) vô nghiệm

Nếu y<2 từ (2) suy ra x<2 Vô lý vì (1) vô nghiệm

Vậy hệ có nghiệm duy nhất : (x;y)=(x;2)

Ví dụ 3.Giải hệ phương trình sau :







Hướng dẫn

Dễ thấy : x=y=0 hoặc x=y=-1 là nghiệm của hệ

Xét : x>0

Vậy hệ vô nghiệm Tương tự khi y>0 hệ cũng vô nghiệm

Xét : x<-1  1 x7  0 y 1

Ta có : 1+x x 2  x3x4  x5x6x7  1 x7 y x

Tương tự khi y<-1 ta có x>y

Hệ cũng vô nghiệm

Xét trường hợp -1<x<0 Hệ cũng vô nghiệm

Kết luận : Hệ có nghiệm : (x;y)=(0;0);(-1;-1)

BÀI TẬP TỰ LUYỆN Bài 1 Giải các hệ phương trình sau

a

2

2

2000 19

x y y

x y





98 10







c

2

19

2001 7

HH







2

2

3 2

2001 3

2

x y

x TL

y x

y











Bài 2 Giải các hệ phương trình sau :

5

5

1 2

4

x y x y xy xy

KA









1 7

08

1 13

KB

  









Bài 3 Giải các hệ phương trình sau :

a

1 1

x x y x y

x y x xy





2

08

CD KB







c

1

2x y 2x

x y





2 2

1

2

3

2

x

y













Bài 4 Giải các hệ phương trình sau :

a

6





y x







c



 2 2

2 2

1

1

x y

xy

x y

x y

   







Bài 5 Giải các hệ phương trình sau :

ln 1 ln 1





2

x





2





x

y











Bài 6 Giải các hệ phương trình sau

a

2

2 1

xy

x y

x y





48 24

y x y







xy x y





2 2

y

x y

x

xy y x









Bài 7 Giải các hệ phương trình sau

a

2





2

1 3 2





 



c

2

2

2 1

3

x y y

x







3 3

3

y

x











Bài 8 Giải các hệ phương trình sau :

a

1 1





2

3

1

x y x

x y













c

2

2

3

x y y x xy

x

x xy y







2

2 2

3

2

2

xy

xy











Bài 9 Giải các hệ phương trình sau :

a

x y xy x y xy

x y xy x y xy





10

xy x y







1 4











Bài 10 Giải các hệ phương trình sau :

a

1 2

1

x x y xy y xy





2

x xy y x







c

3

x xy y











Bài 11 Giải các hệ phương trình sau :

a

3 31 7

x y xy

x y

x y



 







2 2

2

1 8

2

y x

x y

x y















1 4





2

x y y x x







Bài 12 Giải các hệ phương trình sau :

sinx

4

x y

e

x









5

x y







c

1

1

x

x y

y

x y





 2   







Bài 13 Giải các hệ phương trình sau

a

3

3





x

x y

y









c





xy x y







Bài 14 Giải các hệ phương trình sau

a 2 2

10

x y





3

2







c





 2







Bài 15 Giải các hệ phương trình sau

a

35

x y











c

 2





2

1 3 (1 )







Bài 16 Giải các hệ phương trình sau

a





2

1 5 57

25

x y









c

x xy





x y y







Bài 17 Giải các hệ phương trình sau

a

2 2





2

3

x xy y







c

2

x xy y x





x y xy x y

x y







Bài 18 Giải các hệ phương trình sau

a





91

x y











1 4







Bài 19 Giải các hệ phương trình sau

a

1

x xy y y xy





2







c

x y x y





10







Bài 20 Giải các hệ phương trình sau

a

x y





13 25

x y x y

x y x y







xy x y x y





1

x









Bài 21 Giải các hệ phương trình sau

a

2

2

4 2

y

x y x

x y









x

y











c





  

2

2 1

xy

x y

x y







Bài 22 Giải các hệ phương trình sau

a 2

1 6





12

y

x









c

2

2 2











Bài 23 Giải các hệ phương trình sau

a

2

1





  

2







2 4











Bài 24 Giải các hệ phương trình sau

a

2 1











c





3

y xy

x y y







Bài 25 Giải các hệ phương trình sau

a

2

2

1

y

x y

x









4







c

y x x

y x x y





2

2











Bài 26 Giải các hệ phương trình sau

a  





5 4 5

1 2

4

x y x y xy xy









c

1 2

xy x y









  

7

2







Bài 27 Giải các hệ phương trình sau

a

x y x y





 4 4 6 4

2

1







c

2 12

y x y











Bài 28 Giải các hệ phương trình sau

a

3

2

2





x y







c

2

x xy x y





1

x y x y







Bài 29 Giải các hệ phương trình sau

a











240

x y





 

2

2 2

1 1

1

x

y x y x

x



  







Bài 30 Giải các hệ phương trình sau











c







d







Bài 31 Giải các hệ phương trình sau

a

2

3











c





2

2

3

x y y x xy

x

x xy y









Bài 32 Giải các hệ phương trình sau

x y x y xy











2

2

1

2

3

2

x

y

















e

2

x





Trong bài viết này có sử dụng một số tư liệu của các thày : Nguyễn Trung Kiên , thày: Phạm văn Hùng Tôi xin chân thành cảm ơn các thày