Bài 1 ĐỊNH NGHĨA và ý NGHĨA của đạo hàm

+ Nếu y f x  liên tục tại Đạo hàm trên một đoạn Hàm số có đạo hàm trên nếu Đạo hàm trên một khoảng Hàm số có đạo hàm trên nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc ĐẠO HÀM Đạo hàm tại một

+ Vận dụng được đạo hàm vào giải bài toán vật lí.

I LÍ THUYẾT TRỌNG TÂM

1 Định nghĩa đạo hàm tại một điểm

Cho hàm số y f x  xác định trên khoảng  a b và ; x0� a b;

Nếu tồn tại giới hạn (hữu hạn)    

0

0 0

   gọi là số gia của đối số x tại x 0

 y f x  f x 0  f x 0  x f x 0 gọi là số gia tương ứng

3 Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn

- Hàm số y f x  có đạo hàm trên  a b nếu nó có đạo hàm tại mọi;

điểm thuộc  a b ;

- Hàm số y f x  có đạo hàm trên  a b nếu ; f x 

+ Có đạo hàm tại mọi x� a b; ;

+ Có đạo hàm trái f b�  ;

+ Có đạo hàm phải f a� 

4 Quan hệ giữa sự tồn tại của đạo hàm và tính liên tục của hàm số

Nếu hàm số y f x  có đạo hàm tại x thì nó liên tục tại 0 x 0

5 Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Chú ý:

+ Nếu y f x  gián đoạntại x thì nó không có đạo hàm0

tại x 0

Đạo hàm của hàm số y f x  tại điểm x là hệ số góc của tiếp0

tuyến M T của đồ thị hàm số tại điểm 0 M x f x0 0;  0 

Phương trình tiếp tuyến

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y f x  tại điểm

+ Cường độ dòng điện tức thời: I t 0 Q t� 0

+ Nếu y f x  liên tục tại

Đạo hàm trên một đoạn

Hàm số có đạo hàm trên nếu

Đạo hàm trên một khoảng

Hàm số có đạo hàm trên

nếu nó có đạo hàm tại mọi

điểm thuộc

ĐẠO HÀM

Đạo hàm tại một điểm

Đạo hàm một bên

Đạo hàm phải Đạo hàm trái

 �   �   

Vậy f � 2 8

Ví dụ 3 Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số ysinx tại 0

2

x

x x

trên khoảng  a; b như hình vẽ.

Dựa vào hình vẽ hãy cho biết tại mỗi điểm

a, Hàm số gián đoạn tại các điểm x x vì đồ thị bị đứt tại các điểm1, 3

đó Hàm số liên tục tại x x vì đồ thị là đường liền nét khi đi qua các2, 4

điểm đó

b, Tại các điểm x x hàm số không có đạo hàm do hàm số gián1, 3

đoạn tại các điểm x x1, 3

Hàm số không có đạo hàm tại x vì đồ thị bị gãy (không có tiếp2

tuyến tại đó)

Hàm số có đạo hàm tại x và 4 f x� 4  vì tại 0 x đồ thị hàm số có4

tiếp tuyến và tiếp tuyến song song với trục hoành (hệ số góc của tiếp

 Hàm số y f x  có đạo hàm trên

 a b nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm;

trên  a b ;

 Hàm số y f x  có đạo hàm trên

 a b nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm;

thuộc  a b đồng thời tồn tại đạo hàm;

trái f b�  và đạo hàm phải f a�  .

Ví dụ mẫu

Ví dụ 1 Dùng định nghĩa tính đạo hàm của hàm số

1

x y x



 trên cáckhoảng � và ;1  � ?1; 

Giả sử x là số gia của đối số x

x x

a b 

thỏa mãn yêu cầu của bài toán

Bài tập tự luyện dạng 1 Câu 1: Số gia của hàm số f x   tại điểm x3 x0  ứng với 1   là x 1

Câu 8: Cho hàm số y f x    Giá trị x x f � bằng 0

x x

 Khẳng định nào sau đây đúng?

A Hàm số f x liên tục và có đạo hàm tại   x  1

B Hàm số f x liên tục tại   x 1 nhưng không có đạo hàm tại x 1

C Hàm số f x không liên tục tại   x  1

x

x x

Ví dụ Viết phương trình tiếp tuyến của đường

cong y2x3 tại điểm 1  1; 1 

y  x � y x

Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số

góc k của tiếp tuyến

+ Gọi M x y là tiếp điểm, ta có 0; 0

  

Vậy hệ số góc là k y� 1  2

Ví dụ 2 Cho hàm số y x Tìm hệ số góc của tiếp tuyến tại giao điểm của đồ thị với đường thẳng 3

Phương trình tiếp tuyến y27 27x3 � y 27x54.

Ví dụ 4 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số

1

x y x

y  , phương trình tiếp tuyến tại 4;4

y  , phương trình tiếp tuyến tại 2;2

Ví dụ 5 Chứng minh rằng để đường thẳng  d :y ax b  là tiếp tuyến của đồ thị hàm số

 G y:  f x  tại điểm x f x0;  0  thì điều kiện cần và đủ là  

  d và  G cùng đi qua điểm x f x0;  0  tức là ax0 b f x 0

 Hệ số góc của  d bằng đạo hàm của f tại x , tức là 0 a f x� 0

Từ đó suy ra điều cần chứng minh

Bài tập tự luyện dạng 2

Câu 1: Cho đồ thị của hàm số f x trên khoảng    a b Biết rằng tại các điểm ; M M M đồ thị hàm1; 2; 3,

số có tiếp tuyến được thể hiện như hình vẽ Dựa vào hình vẽ hãy xét dấu của f x�     1 , f x�2 , f x�3

Câu 8: Phương trình tiếp tuyến của đường cong 3

y x tại điểm có tung độ bằng 8 là

Câu 9: Phương trình tiếp tuyến của đường cong y 1

Cường độ tức thời tại thời điểm t của một0

dòng điện với điện lượng Q Q t   là

a, Tính vận tốc trung bình của chuyển động trong

khoảng thời gian từ t đến t t trong trường hợp0,1

Ví dụ 2 Cho biết điện lượng trong một dây dẫn

theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q   (t6t 5

được tính bằng giây, Q được tính bằng

Coulomb) Tính cường độ của dòng điện trong

dây dẫn tại thời điểm t 10.

Ví dụ 2 Cho chuyển động xác định bởi phương trình S t 3 3t2  , trong đó t được 9t 1

tính bằng giây và S được tính bằng mét Tính gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu.

Q t   (t được tính bằng giây, Q được tính bằng Coulomb) Tính thời điểm t

cường độ của dòng điện trong dây dẫn I 50A

� � trong đó t được tính bằng giây, và s

được tính bằng mét Vận tốc tức thời tại thời điểm t của chuyển động là

s t  t  t t  t, trong đó t 0 với t được tính bằng giây (s) và s được tính bằng mét

(m) Hỏi tại thời điểm gia tốc của vật đạt giá trị nhỏ nhất thì vận tốc của vật bằng bao nhiêu?

Câu 4: Một chất điểm chuyển động có phương trình   3 9 2

62

Câu 6: Một chất điểm chuyển động theo quy luật s t    t3 6t2với t là thời gian tính từ lúc bắt đầu

chuyển động , s t là quãng đường đi được trong khoảng thời gian t Thời điểm t tại đó đạt giá trị 

Câu 8: Cho biết điện lượng của một dây dẫn theo thời gian biểu thị bởi hàm số Q3t2  (t6t 5

được tính bằng giây, Q được tính bằng Coulomb) Cường độ của dòng điện trong dây dẫn tại thời

điểm t  bằng 2

Câu 9: Tomahawk là tên lửa hành trình có khả năng mang đầu đạn hạt nhân, được phóng đi từ các hệ

thống phóng mặt đất Giả sử rằng Tomahawk (không gắn với động cơ) được bắn lên cao theo phươngtrình s t  196t4,9t2 trong đó t là thời gian ( t , đơn vị giây) và 0 s t là khoảng cách của tên 

lửa so với mặt đất được tính bằng kilomet Khoảng cách của tên lửa so với mặt đất tại thời điểm vậntốc bằng 0 bằng bao nhiêu?

Vậy y�  1 2

 �   �   



Hàm số có đạo hàm tại điểm x nên2

Dựa vào đồ thị ta thấy:

+) Tiếp tuyến tại điểm M là một đường thẳng song song với trục hoành nên hệ số góc của1

tiếp tuyến bằng 0 Suy ra f x� 1  0

+) Tiếp tuyến tại điểm M là một đường thẳng đi từ trái sang phải nên hệ số góc của tiếp2

tuyến là một số dương Suy ra f x� 2  0

+) Tiếp tuyến tại điểm M là một đường thẳng đi xuống từ trái sang phải nên hệ số góc của3

tiếp tuyến là một số âm Suy ra f x� 3  0

Phương trình tiếp tuyến: y  x 2.

ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI BẢI TẬP TỰ LUYỆN DẠNG 3

Gia tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp hai của quãng đường:

Bằng định nghĩa tính được a t  3t2 6t 5

a t  t   t t  � với mọi t Dấu “=” xảy ra khi t1

Khi đó, vận tốc của chuyển động là v 1 13m/s

Gia tốc triệt tiêu khi S�0�t1

Khi đó vận tốc của chuyển động là S� 1 12m/s

Câu 7.

Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường:

Bằng định nghĩa tính được v s �Asin t  � A t �cos t   Acos t 

Vận tốc của chuyển động chính là đạo hàm cấp một của quãng đường: