Bài 3 bài 3 một số PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC THƯỜNG gặp

+ Biết áp dụng công thức nghiệm đối với từng phương trình lượng giác cơ bản.+ Vận dụng phương pháp giải phương trình phù hợp vào từng trường hợp... Câu 11: Phương trình nào sau đây vô ng

+ Biết áp dụng công thức nghiệm đối với từng phương trình lượng giác cơ bản.

+ Vận dụng phương pháp giải phương trình phù hợp vào từng trường hợp

Phương pháp giải

a x b x c a b  , \ 0   

Để giải phương trình có dạng trên, ta thực hiện

theo các bước sau

Bước 1 Kiểm tra

- Nếu a2b2 c2 phương trình vô nghiệm

- Nếu a2b2 c2 khi đó phương trình có

nghiệm, ta thực hiện tiếp Bước 2.

Bước 2 Chia hai vế phương trình cho

a b

  

 là phươngtrình lượng giác dạng cơ bản nên dễ dàng giải

Xét phương trình 2sinx2cosx3; có 2222   8  32nên vô nghiệm.

Vậy phương trình có nghiệm 2  

A

2

26

26

 

C 5 6

 

D 5 3

C 2sinx3cosx1 D cot2 x cotx 5 0

Câu 9: Cho phương trình 3 cosxsinx 2 trên đoạn 0;  Chọn câu trả lời đúng.

Câu 11: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

A 3 sin 2x cos 2x2 B 3sinx 4cosx5

Khi đặt ẩn phụ để giải ta phải lưu ý đến điều

kiện của ẩn phụ Nếu đặt

+) tsin ,u tcosu thì điều kiện t 1

+) tsin ,2u tcos2u thì điều kiện 0 t 1

+) tsin ,u tcosu thì điều kiện 0 t 1

Khi tìm được t t thỏa mãn thì phải giải tiếp1; 2

Với t 1 thì sin 1 2 , 

2

x  x  k  k Vậy phương trình đã cho có nghiệm

Câu 4: Xét phương trình 3cos2x 2cosx 4 0 trên đoạn 0;3  Chọn câu trả lời đúng.

A Phương trình có 3 nghiệm B Phương trình có 4 nghiệm.

C Phương trình có 2 nghiệm D Phương trình vô nghiệm.

Câu 5: Nghiệm của phương trình 2sin2x 3sinx  thỏa mãn điều kiện 01 0

Câu 9: Nghiệm của phương trình cot 32 x cot 3x 2 0 là

Câu 12: Xét phương trình 13sin2x 78sinx15 0 trên đoạn 0; 2  Lựa chọn phương án đúng

A Phương trình có 2 nghiệm B Phương trình có 4 nghiệm

C Phương trình vô nghiệm D Cả A, B, C đều sai.

Câu 13: Phương trình 3cosx2 sinx 2 có nghiệm là

x x  trên đoạn 0;3  Chọn câu trả lời đúng?

A Phương trình có 5 nghiệm B Phương trình có 4 nghiệm.

C Phương trình có 6 nghiệm D Phương trình có 3 nghiệm.

Câu 15: Xét phương trình 2

sin x 5sinx  trên đoạn 6 0 0; 2  Chọn câu trả lời đúng?

A Phương trình có 2 nghiệm B Phương trình có 4 nghiệm.

C Cả A, B, D đều sai D Phương trình có 3 nghiệm.

Câu 16: Cho x thỏa mãn phương trình sau tanxcotx2 tanxcotx 2

Giá trị của biểu thức tan 1

Câu 18: Cho arctan 1

 Nếu giải phương trình bằng cách đặt tan x=tthì

phương trình trên sẽ tương đương với phương trình nào dưới đây?

Ta có thể giải phương trình lượng giác đẳng cấp

theo hai cách sau

Cách 1:

Bước 1 Kiểm tra cosx 0 có là nghiệm của

phương trình hay không, nếu có thì nhận nghiệm

này

Bước 2 Nếu cosx 0 thì chia cả hai vế của

phương trình cho cos x đưa về phương trình bậc2

hai theo tan x

 phương trình vô nghiệm

Với cosx 0 Chia cả hai vế của phương trình(1) cho cos x ta được2

Câu 4: Cho x thỏa mãn phương trình 2 1 3 2

sin x 3 cos xsin cosx x 3 sin cos x x Giá trị nguyên của

tan x là

x x

4sin x5sin cosx xcos x0 D Một phương trình khác

Câu 9: Kết quả nào cho dưới đây là đúng? Phương trình sin2 sin 3cos2 0

Câu 10: Khi m 2 thì phương trình

4 6 msin3x3 2 m1 sin x2m 2 sin cos 2 x x 4m 3 cos x0 có bao nhiêu họ nghiệm?

C Phương trình vô số nghiệm D Đáp án khác.

Câu 13: Phương trình sin 22 x 3 sin 4x3cos 22 x có nghiệm là0

C Phương trình vô số nghiệm D Đáp án khác.

Câu 15: Cho x thỏa mãn phương trình sin 2x2 tanx3 Giá trị của biểu thức

tanx1 2 tan  2 x tanx3 là

A Phương trình có 1 họ nghiệm B Phương trình vô nghiệm.

C Phương trình có 2 họ nghiệm D Cả A, B, C đều sai.

Câu 18: Cho x thỏa mãn phương trình sin3 2 sin

  Giá trị của biểu thức

2 tan2 x tanx3 tan x là

Câu 19: Cho phương trình 1 tan 1 sin 2 ,

1 tan

x

x x



 

A Phương trình có 2 họ nghiệm B Phương trình vô nghiệm.

C Phương trình có 1 họ nghiệm D Cả A, B, C đều sai.

Câu 20: Cho phương trình sin2x2m 2 sin cos x x m1 cos 2x m 0. Giá trị của m để phương

Chú ý: Cách giải trên áp dụng cho phương trình

sin cos  sin cos 0

t t

Kết hợp với điều kiện  2 t 2 ta được

2

.2

Câu 1: Cho phương trình 2 sin xcosx2sin cosx x 1 0 Đặt t sinxcos ,x ta được phươngtrình nào dưới đây?

Câu 8: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

A 3 sin 2x cos 2x2 B sin 2x sinxcosx1

A 0 B 2.

1

Câu 10: Số họ nghiệm của phương trình sin 2x sinxcosx1 0 là

Câu 11: Phương trình nào sau đây vô nghiệm?

A 4 sin x cosxsin 2x 5 0. B 2cos2x cosx1 0.

C 2 sin x cosx sin 2x 2 0 D 3sinx  2 0.

Câu 12: Nghiệm âm lớn nhất của phương trình sin cos 1 1sin 2

C 2 2 sin xcosxsin 2x 3 0 D cot2x cotx 5 0

Câu 15: Điều kiện để phương trình 2 sin xcosxm 2 0 có nghiệm là

Câu 19: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để phương trình sin cosx x sinx cosx m 0 cónghiệm?

Câu 20: Giá trị của m để phương trình msinxcosxsin 2x0 có nghiệm là

A Không có giá trị nào của m. B m

Phương trình 3 sinx cosx có nghĩa 1  x  D

Phương trình sinx 3 cosx có nghĩa 0  x  D

Phương trình sinxcosx1 có nghĩa  x  D

Phương trình sinxcosx1 có nghĩa  x  D

4

x x  x x  x

Phương trình 3sinx m cosx5 có nghĩa  x  D.

Điều kiện để phương trình có nghiệm 32 2 52 2 16 4

Câu 6.

Phương trình m.sinx 3cosx5 có nghĩa  x  D

Điều kiện để phương trình có nghiệm 2  32 52 2 16 4

Phương trình 3 sin 3xcos3x có nghĩa 1  x  D

x x  x x   x

Câu 8.

Phương trình 2sinx3cosx1 có nghĩa  x  D Ta có 223212 12 0.

Vậy phương trình 2sinx3cosx1 có nghiệm

Câu 9

Phương trình 3 cosxsinx 2 có nghĩa  x  D

Phương trình sin 8x cos 6x 3 sin 6 xcos8x có nghĩa x  D

Ta có sin 8x cos 6x 3 sin 6 xcos8x sin 8x 3 cos8xcos 6x 3 sin 6x

Phương trình 3 sinx cosx có nghĩa3  x  D.

Để phương trình có nghiệm thì  3 2  12   32  4 9 (vô lí)

Vậy phương trình 3 sinx cosx vô nghiệm.3

Câu 12.

Phương trình sin 2x 2cosx0 có nghĩa x  D

Ta có sin 2x 2 cosx 0 2sin cosx x 2cosx0

Câu 13.

Phương trình cos 7x 3 sin 7x 2 có nghĩa x  D

Ta có cos 7 3 sin 7 2 1cos 7 3sin 7 2

Phương trình sinx 3 cosx có nghĩa 0  x  D

Ta có tan sin 2 cos 2 2 2cos 1 0 sin sin 2 cos 2 4cos 2 0

Ta có sin cos 1 1 sin 1 cos 1 sin 1

Phương trình 2sin2x sin cosx x cos2x m có nghĩa  x  D

Ta có 2sin2 sin cos cos2 1 cos 2  1sin 2 11 cos 2 

Phương trình cos 2xsinx1 0 có nghĩa  x  D

Ta có cos 2xsinx1 0  1 2sin2xsinx1 0

Ta có tan sin 2 cos 2 2 2cos 1 0 sin sin 2 cos 2 4cos 2 0

sin 3 cos  sin 3 cos  4sin cos sin 3 cos  sin 3 cos 0

sin 3 cos 4sin cos

Phương trình cos2 x2cosx 3 0 có nghĩa  x  D

Đặt tcos ,x t 1 Ta có cos2 2cos 3 0 2 2 3 0 1 1

26

Ta có 2 2

1 13

1 133

3

1 133

26

Đặt tsin ,x t 1 Ta có sin2 2sin 0 2 2 0 0 0

Phương trình 2cos 2x2cosx 2 0 có nghĩa  x  D

Ta có 2cos 2x2cosx 2 0 4cos2x 2 2cos x 2 0  4cos2 x2cosx 2 2 0.

Đặt tcos ,x t 1

2

22

2

2 36 16 28

Phương trình 3cosx2 sinx 2 có nghĩa  x  D

Ta có 3cosx2 sinx  2 3cosx2 1 cos 2x 2

Đặt tcos ,x t 1 Ta có 3cosx2 sinx  2 3t2 1 t2   2 t 0.

Câu 16.

Phương trình tanxcotx2 tanxcotx 2 có nghĩa cos 0 2

2sin 0

Phương trình 3sin2x sin 2x cos2 x có nghĩa 0  x  D.

Ta có 3sin2x sin 2x cos2 x 0 3sin2x 2sin cosx x cos2x0 1 

Vì cosx 0 không là nghiệm của phương trình (1) nên ta chia cả hai vế của phương trình cho cos x 2

Ta có 3sin2x 2sin cosx x cos2x 0 3tan2 x 2 tanx1 0.

cos 2sin cos sin cos

x  x   k k phương trình vô nghiệm

Với cosx 0 Chia cả hai vế của phương trình cho cos x ta được2

Phương trình 3 sin cos 1

x  x   k phương trình vô nghiệm

Với cos 4x 0 Chia cả hai vế của phương trình cho cos 4x ta được2

x  x   k k phương trình vô nghiệm

Với cosx 0 Chia cả hai vế của phương trình cho cos x ta được2

x  x   k k phương trình vô nghiệm

Với cosx 0 Chia cả hai vế của phương trình cho cos x ta được2

x  x   k k phương trình vô nghiệm

Với cosx 0 Chia cả hai vế của phương trình cho cos x ta được2

sin x 2 3 sin cosx x 1 2 tan x 2 3 tanx 1 tan x

x  x   k k phương trình vô nghiệm.

Với cosx 0 Chia cả hai vế của phương trình cho 3

2sin x 5sin cosx x cos x2 có nghĩa  x  D

Ta có 2sin2x 5sin cosx x cos2x2 4sin2x 5.2sin cosx x 2cos2x4

4

3 2sin

x  x   k k phương trình vô nghiệm

Với cosx 0 Chia cả hai vế của phương trình cho cos x ta có3

Vậy phương trình có 1 họ nghiệm.

x  x   k k phương trình vô nghiệm

Với cosx 0 Chia cả hai vế của phương trình cho 3

2sin xsin 2x  có nghĩa 1 0  x  D

Ta có 2sin2xsin 2x  1 0 2sin2 x2sin cosx x 1 0

2

x  x   k k phương trình vô nghiệm

Với cosx 0 Chia cả hai vế của phương trình cho cos x ta có2

2sin x2sin cosx x  1 0 2 tan x2 tanx 1 tan x 0 3tan x2 tanx  (vô nghiệm).1 0

Câu 13.

Phương trình sin 22 x 3 sin 4x3cos 22 x có nghĩa 0  x  D

Ta có sin 22 x 3 sin 4x3cos 22 x 0 sin 22 x2 3 sin 2 cos 2x x3cos 22 x0

k

x  x   k phương trình vô nghiệm

Với cos 2x 0 Chia cả hai vế của phương trình cho cos 2x ta có2

x  x   k phương trình vô nghiệm

Với cos 4x 0 Chia cả hai vế của phương trình cho cos 4x ta có2

sin 4x3cos 4x 0 tan 4x  (Vô lí).3 0

Vậy phương trình vô nghiệm

Câu 15.

Phương trình sin 2x2 tanx3 có nghĩa cos 0 ,

2

x  x   k k 

Ta có sin 2x2 tanx 3 2sin cosx x2 tanx3.

Với cosx 0 Chia cả hai vế của phương trình cho cos x ta có2

Phương trình 2 3 cos2 x sin 2x có nghĩa 0  x  D

Ta có 2 3 cos2x sin 2x 0 3 1 cos 2  x sin 2x 0 sin 2x 3 cos 2x 3 0

Với cosx 0 Chia cả hai vế của phương trình cho cos x ta có3

 1  tan3x 3tan2x3tanx1 4 tan 1 tan x  2x

Phương trình 1 tan 1 sin 2

1 tan

x

x x

k x

Do tan2xtanx  vô nghiệm nên 2 0  *  tanx 0 x k k 

Vậy phương trình có 1 họ nghiệm

Với cosx 0 Chia cả hai vế của phương trình cho cos x ta có2

 1  tan2x2m 2 tan x m1 m1 tan 2x 0 1 mtan2 x2m1 tan x 2m10

Phương trình 1 sin x 1 cos x 2 có nghĩa  x  D

Ta có 1 sin x 1 cos x  2 cosxsinxsin cosx x1

t t

Phương trình sinx cosx2sin 2x 1 0 có nghĩa  x  D.

Ta có sinx cosx2sin 2x  1 0 sinx cosx4sin cosx x 1 0  1

Đặt tsinx cos ,x t  2 

11

2

2

t t

Phương trình sin 2x 2 sin x cosx 2 0 có nghĩa  x  D

Ta có sin 2x 2 sin x cosx 2 0  2 sin x cosx 2sin cosx x 2 0 1 

Đặt tsinx cos ,x t  2  Ta có

2

1sin cos

Phương trình sin 2x2 cos x sinx1 0 có nghĩa  x  D

Ta có sin 2x2 cos x sinx1 0  2sin cosx x 2 sin x cosx1 0 1  

Đặt tsinx cos ,x t  2  Ta có

2

1sin cos

Phương trình sin 2x4 sin x cosx 5 0 có nghĩa  x  D.

Ta có sin 2x4 sin x cosx 5 0  4 sin x cosx2sin cosx x 5 0.  1

Đặt tsinx cos ,x t  2  Ta có

2

1sin cos

Phương trình sin 2xsinx cosx1 có nghĩa  x  D

Ta có sin 2xsinx cosx 1 sinx cosx2sin cosx x1 0 1  

Đặt tsinx cos ,x t  2  Ta có

2

1sin cos

Ta có sin 2x sinxcosx1 0  sinx cosx 2sin cosx x 1 0  1

Đặt tsinx cos ,x t  2  Ta có

2

1sin cos

Phương trình 4 sin x cosxsin 2x 5 0 có nghĩa  x  D

Ta có 4 sin x cosxsin 2x 5 0  4 sin x cosx2sin cosx x 5 0. (1)

Đặt tsinx cos ,x t  2  Ta có

2

1sin cos

t t

Phương trình 2 2 sin xcosx sin 2x 3 0 có nghĩa  x  D.

Ta có 2 2 sin xcosx sin 2x 3 0  2 2 sin xcosx 2sin cosx x 3 0 1  

4 x 2 x   Phương trình vô nghiệm.

Ta có    12 4.1.519 0  Phương trình cot2 x cotx  vô nghiệm.5 0

Câu 15.

Phương trình 2 sin xcosxm 2 0 có nghĩa  x  D

Ta có 2 sin xcosxm 2 0  m 2 sin xcosx2

Có  2 sin xcosx 2 2 2 sin xcosx 2

Phương trình 2 sin xcosxsin 2x 1 0 có nghĩa  x  D

Ta có 2 sin xcosxsin 2x  1 0 2 sin xcosx2sin cosx x 1 0 1 

t t

Phương trình msinxcosxsin 2x0 có nghĩa  x  D

Ta có msinxcosxsin 2x 0 msinxcosx2sin cosx x0 (1)

Suy ra luôn có ít nhất một nghiệm thỏa mãn  2 t 2.

Vậy phương trình luôn có nghiệm