Dap an va de thi HSG Toan huyen Que Son nam 20082009

Gọi G và H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EBC và EDFb. Đường thẳng qua N song song với BC cắt AM tại Q.[r]

Trang 1

UBND HUYỆN QUẾ SƠN

PHÒNG GD&ĐT

KỲ THI HỌC SINH GIỎI LỚP 9 CẤP HUYỆN

NĂM HỌC 2008-2009 Môn: Toán Thời gian làm bài: 150 phút (Không kể thời gian giao đề)

ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG I

Câu 1: (2.0 điểm)

Cho hàm số y = x2 có đồ thị (P) Hai điểm A, B thuộc (P) có hoành độ lần lượt

là -1 và 2

a Viết phương trình đường thẳng AB

b Tìm điểm M thuộc cung AB của đồ thị (P) sao cho tam giác MAB có diện tích lớn nhất

Giải các phương trình

a x(x −2)1 − 1

¿ ¿

b √x+2+ 3√2 x −5+√x −2 −√2 x −5=3√2

Cho ba số y, z, t Đặt a = y + z + t; b = yz + zt + ty; c = yzt Chứng minh các phương trình ẩn x sau đều có nghiệm

x2 + 2ax + 3b = 0

ax2 - 2bx + 3c = 0

Cho đường tròn tâm O Từ điểm M ở ngoài đường tròn vẽ các tiếp tuyến

MC, MD với (O) (C, D là các tiếp điểm) Vẽ cát tuyến MAB không đi qua tâm O,

A nằm giữa M và B Tia phân giác của góc ACB cắt AB tại E

a Chứng minh MC = ME

b Chứng minh DE là phân giác của góc ADB

c Gọi I là trung điểm của AB Chứng minh IM là phân giác của CID

Cho A(n) = 5n(5n+1) - 6n(3n + 2n) Chứng minh rằng: A(n) chia hết cho 91 với mọi số n nguyên dương

Trang 2

PHÒNG GD&ĐT

HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG I

Câu 1: (2.0 điểm)

- A, B thuộc đồ thị hàm số y = x2 nên có toạ độ A(-1;1), B(2;4)

- Phương trình đường thẳng AB có dạng y = ax + b (*)

- Thay toạ độ của A, B vào (*) được: {−a+b=1 2a+ b=4 ⇔{a=1 b=2 Vậy phương trình đường thẳng AB là y = x + 2

- Gọi m là hoành độ của điểm M Có M(m;m2)

và m [-1, 2] Gọi C, D, N lần lượt là hình

chiếu của A, B, M lên trục hoành ta có:

NC = m+1; ND = 2-m; CD = 3

- SAMB = SABCD - (SAMNC + SMBDC)

- Tính được:

SABCD = AC+BD2 CD=1+ 4

2 3=

15 2

SAMNC = AC+MN

2 CN=

1+m2

2 (m+1)

SMBDN = MN+BD

2 ND=

m2+4

2 (2− m)

- SAMB = 152 − 1+ m2

2 (m+1)−

m2+ 4

2 (2− m) ¿15 −m −m3− 1− m2−2 m2− 8+m3+4 m

2 ¿6+3 m− 3 m2

2 =−

3

2(m

2

− m− 2)

¿−3

2¿

27

8 Dấu “=” xảy ra khi m=1

2

- Do 12∈[-1;2] nên SAMB lớn nhất là278 (đvdt)

(Mỗi ý cho 0,25 điểm)

Câu 2: (2.0 điểm)

a (1.0 điểm)

Trang 3

- ⇔ 1

x2− 2 x −

1

x2− 2 x +1=

1 20

- Đặt y = x2

− 2 x(y ≠ 0; y ≠ −1) được:

1

y −

1

y +1=

1

20 ⇔20( y+1− y)= y ( y+1)⇔ y2

+y −20=0

- Giải được: y1 = 4; y2 = -5

- Tìm x với y1 và y2 vừa tìm được:

x2 - 2x = - 5  x2 - 2x + 5 = 0 Phương trình vô nghiệm

x2 - 2x = 4  x2 - 2x - 4 = 0 Phương trình có hai nghiệm x1 =1+√5; x2 =1 −√5

b (1.0 điểm)

- Nhân hai vế với √2được: √2 x +4+3 2.√2 x −5+√2 x − 4 −2√2 x −5=3

-  √2 x −5+9+ 3 2 √2 x −5+√2 x − 5+1− 2√2 x − 5=3

 √ ¿ ¿

-  |√2 x −5+3|+|1 −√2 x −5|=3

- Có |√2 x −5+3|+|1 −√2 x −5|≥|√2 x −5+3+1 −√2 x −5|= 4 Vậy phương trình vô nghiệm ( Trong trường hợp này không cần thử lại hoặc đặt điều kiện)

Câu 3: (2.0 điểm)

- ’=a2 - 3b = (y + z + t)2 - 3(yz + zt + ty) = y2 + z2 + t2 -yz - zt - ty

- = 12[(y-z)2 + (z-t)2 + (t-y)2]

- ’≥ 0 nên (1) luôn có nghiệm

Xét a = 0:

- Nếu b = 0  a2 - 3b = 0  12[(y-z)2 + (z-t)2 + (t-y)2] = 0

 y = z = t = 0  c = 0 Lúc đó phương trình (2) có vô số nghiệm

- Nếu b ≠ 0  Phương trình (2) có nghiệm duy nhất

Xét a ≠ 0:

- ’= b2 -3ac = (yz + zt + ty)2 - 3(y + z + t)yzt

= (yz)2 + (zt)2 + (ty)2 +2z2yt + 2y2zt + 2t2zy - 3y2zt- 3z2yt - 3t2zy

= (yz)2 + (zt)2 + (ty)2 - y2zt- z2yt - t2zy

- =12[(yz-zt)2+(zt-ty)2+(ty-yz)2]

- ’≥ 0 nên (2) luôn có nghiệm

a.(1.0 điểm)

- Gọi F là giao điểm của CE với (O) Có AF =

BF

- sđ AEC = sđ AC+BF2 =sđ AC+AF2

= sđCF2 = sđ MCF

M

C

D

B A

O I E

F G

Trang 4

-   MCE cân tại M nên MC = ME.

(Mỗi ý cho 0,25 điểm- Riêng ý 2 cho 0,50 điểm)

b.(1.0 điểm)

Gọi G là giao điểm của DE với (O)

- MD = MC = ME  MDE cân tại M   MDE = MED

- sđ MDE = sđ DG2 = sđAD2 + sđAG2

- sđ MED = sđAD2 + sđGB2

-  sđGB2 = sđAG2   ADG =  GDB hay DE là phân giác của góc ADB

c.(1.0 điểm)

- I là trung điểm của dây AB  OI IM

- MC, MD là tiếp tuyến của (O) nên OC  CM; ODDM

-  Các điểm M, C, I, O, D nằm trên đường tròn đường kính MO

- MC = MD MC = MD   CIM =  DIM Hay IM là phân giác của góc CID

(Mỗi ý của b,c cho 0,25 điểm)

Câu 5: (1.0 điểm)

- A(n) = 25n + 5n - 18n - 12n

= (25n - 18n) - (12n - 5n)

- (25n - 18n); (12n - 5n) đều chia hết cho 7 nên A(n) chia hết cho 7

- A(n) = (25n - 12n) - ( 18n - 5n )

- (25n - 12n); ( 18n - 5n ) đều chia hết cho 13 nên A(n) chia hết cho 13

- (13,7) = 1 nên A(n) chia hết cho 13.7 = 91

PHÒNG GD&ĐT

ĐỀ CHÍNH THỨC - VÒNG II

a Cho a, b là các số thực không âm tuỳ ý Chứng tỏ rằng:

√a+b ≤√a+√b ≤√2(a+b) Dấu đẳng thức xảy ra khi nào?

b Cho x, y, u, v là các số thực không âm thay đổi và có tổng bằng 1

- Chứng minh √x+√y +√u+√v ≥ 1

Trang 5

- Hãy tìm giá trị lớn nhất của S = √x+√y +√u+√v

Giải các hệ phương trình sau:

a {x2−3 xy+2 y2 =0

2 x2−3 xy+5=0 b {y3

+y2x+3 x −6 y=0 xy=3 − x2

Cho hình vuông ABCD Trên cạnh AD lấy điểm M, trên cạnh DC lấy điểm

N sao cho góc MBN bằng 450 Đường chéo AC cắt BM tại E và cắt BN tại F

a Tính số đo góc ENB

b Gọi G và H lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp các tam giác EBC và EDF Chứng minh GH song song với MB

Cho tam giác ABC Trên các cạnh BC, CA, AB lần lượt lấy các điểm M, N,

P sao choMBMC= NC

NA=

PA

PB=

1

2 Gọi A’ là giao điểm của BN và CP, B’ là giao điểm của CP và AM, C’ là giao điểm của AM và BN Đường thẳng qua N song song với

BC cắt AM tại Q Đường thẳng qua A song song với BC cắt đường thẳng CP tại D

a Tính các tỉ số: MCAD ; AB'

AM ;

C'M C'Q

b Chứng minh: B'A =B'C'

c Gọi S là diện tích tam giác ABC Tính diện tích tam giác A’B’C’ theo S

Chứng minh rằng:

Không tồn tại các số nguyên x, y, z để x3 + y3 + z3 = 2008 + x + y + z

PHÒNG GD&ĐT

HƯỚNG DẪN CHẤM - VÒNG II

Câu 1: (2.0 điểm)

a (1.0 điểm)

- √a+b ≤√a+√b ⇔ a+b ≤ a+b+2√ab⇔ 2√ab ≥ 0

- Dấu “=” xảy ra khi a = 0 hoặc b = 0

- √a+√b ≤√2(a+b) ⇔ a+b+2√ab ≤2(a+b) ⇔a+b −2√ab≥ 0 ⇔¿

- Dấu “=” xảy ra khi a = b

b (1.0 điểm)

- S =√x+√y +√u+√v ≥√x + y +√u+v ≥√x+ y +u+v=√1=1

Trang 6

- S = √x+√y +√u+√v ≤√2( x+ y )+√2(u+v)

√2(2(x + y )+ 2(u+v ))=√4 (x+ y+u +v )=√4=2

- Dấu “=” xảy ra khi x = y và u = v và x + y = u + v và x + y + u + v = 1

- x= y =u=v=1

4thoả Vậy Max S= 2

Câu 2: (2.0 điểm)

a (1.0 điểm)

- Xem (1) là phương trình bậc hai ẩn x Giải phương trình này được x1=2 y ; x2=y

- Với x = 2y Thay vào (2) được:

2(2y)2 - 3.(2y).y + 5 = 0  8y2 - 6y2 + 5 = 0  2y2 + 5 = 0 PT vô nghiệm

- Với x = y Thay vào (2) được:

2x2 - 3x2 + 5 = 0  x2 = 5  x1 =√5 ;x2=−√5

- Hệ có nghiệm: {x=√5

y=√5 và {x=−√5

y=−√5

b.(1.0 điểm)

- Thay xy từ (2) vào (1) được:

{y3+y (3 − x2)+3 x −6 y =0

xy=3 − x2  {y3+3 y − yx2+3 x − 6 y=0

xy=3 − x2

-  {xy=3 − x y ( y − x )( y +x)−3 ( y − x)=02 {(y − x)( y2+xy − 3)=0

xy=3 − x2

- Tiếp tục thay, được:{(y − x)( y2− x2 )=0

xy=3 − x2 ¿

-  ¿ ¿{2 x x= y2=3{x=± x= y√32

Câu 3:(2.0 điểm)

-  EBN = 450 (gt);

-  ECN = 450(AC là đường chéo hình vuông)

-  tứ giác BCNE nội tiếp

-  ENB = ECB = 450

-  EBCN nội tiếp đường tròn đường kính BN 

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ECB là trung

điểm G của BN và EM  EN

- Tương tự chứng minh được ABFM nội tiếp  MF

 BN

- D, M, E, F, N cùng thuộc đường tròn đường kính

MN  tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác DEF là

Trang 7

trung điểm H của MN

- HG là đường trung bình của tam giác MNB nên HG

song song với BM

Câu 4:(3.0 điểm)

- BCAD= PA

PB=

1

2⇒ AD=BC

2

- MCBC = 2

3⇒MC=2 BC

3 ⇒AD

MC=

3 4

- B ' M B ' A= AD

MC=

3

4⇒ AB'

AM =

3

7 (1)

- QNMC= AN

AC=

2

3⇒ QN=2 MC

3

- BMMC= 1

2⇒BM=MC

2

- C ' M C ' Q= BM

QN =

MC

2 :

2 MC

3 =

3 4

- C ' M C ' Q= 3

4⇒ C ' M=3

7MQ Do MQ = AM3 nên C’M =17AM

- Từ (1) có AB’ = 37AM⇒ B ' C '=AM−1

7AM−

3

7AM=

3

7AM

- Vậy B’A =B’C’

- MC=23BC  SAMC = 23S B’M = 47AM SCMB’=47SAMC = 47.23S

- A’B’=12B’C  SA’MB’ =12SCMB’ =12.47.23S

- C’B’ = 34B’M  SA’B’C’= 34.SA’MB’ =34 12.47.23S =17S

Câu 5: (1.0 điểm)

- x3 + y3 + z3 = 2008 + x + y + z  x3 -x + y3 - y + z3 - z = 2008

- Có x3 - x= x(x2 - 1) = (x-1)x(x+1) chia hết cho 3 (Tích của ba số tự nhiên liên tiếp) Tương tự + y3 - y ; z3 - z chia hết cho 3

-  x3 -x + y3 - y + z3 - z chia hết cho 3

- 2008 không chia hết cho 3 nên không tồn tại x, y, z nguyên thoả x3 + y3 + z3 =

2008 + x + y + z

A

N P

D

Q

B’

C

Định dạng
Số trang	7
Dung lượng	24,13 KB