AM theo thứ tự lần lượt tại P và Q. Tìm giá trị nhỏ nhất của A.[r]
Trang 1ĐỀ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN NĂM HỌC 2012-2013
MÔN TOÁN
Câu 1: Xét biểu thức P =
2
a) Rút gọn biểu thức P.
b)Tìm giá trị lớn nhất của P.
Câu 2: Cho Parabol (P): y = x2 và đường thẳng (d) có phương trình: y = 5x - m + 2.
a) Khi m = - 4, tìm tọa độ các giao điểm của (P) và đường thẳng (d).
b) Tìm m để đường thẳng (d) cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt A, B có hoành độ x1; x2
thoả mãn hệ thức: 1 2
Câu 3: Một người đi xe máy từ A đến B cách nhau 120 km với vận tốc và thời gian dự định trước.
Sau khi đi được
1
3 quãng đường AB, người đó tăng vận tốc thêm 10 km/giờ trên quãng đường còn
lại nên đến B sớm hơn dự định 24 phút Tìm vận tốc dự định và thời gian dự định đi từ A đến B lúc
đầu
Câu 4: Cho hình vuông ABCD, M là điểm thay đổi trên cạnh BC (M không trùng B, C) và N là điểm
thay đổi trên cạnh CD (N không trùng C, D) sao cho: MAN MAB NAD BD cắt AN và
AM theo thứ tự lần lượt tại P và Q.
a) Tính góc MAN?
b) Chứng minh 5 điểm P, Q, M, C, N cùng nằm trên một đường tròn.
c) Chứng minh đường thẳng MN luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định khi M và N thay
đổi
Câu 5: Cho biểu thức A = x2 x y x y y1 Tìm giá trị nhỏ nhất của A.
HƯỚNG DẪN GIẢI ĐỀ Câu 1: Điều kiện x 0; x 1
2
2 1
2
x
2
2
=
x
= x(1 x)
b) P =
2
x x x
Giá trị lớn nhất của P là
1
4 khi
1 2
x
hay
1 4
x
Trang 2Yêu cầu bài tập phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt, thỏa mãn hệ thức:
+ Phương trình (1) có hai nghiệm dương phân biệt
1 2
1 2
0 0
x x
2
5 0 1
2 0
m
m
2
m m
33
33 2
4
4 2
m
m m
Với
33
2
4
m
(*)
3 2
2
4
9
4
Đặt t m 2t0
ta được phương trình ẩn t : 9t 2 – 8t – 20 = 0 Giải phương trình này ta được: t1
= 2 > 0 (nhận), t2 =
10 0 9
(loại)
Ta có m 2 2 m = 6 (thỏa mãn điều kiện *) Vậy m = 6 là giá trị m cần tìm
Câu 3: Gọi vận tốc dự định là x (km/giờ) (điều kiện x > 0), thời gian dự định đi từ A đến B là:
120
x
(giờ); một phần ba quãng đường AB là 40km, thời gian đi quãng đường này với vận tốc dự định là:
40
x (giờ); Hai phần ba quãng đường AB còn lại là 80km, thời gian đi quãng đường này với vận tốc
(x+10) km/giờ là:
80 10
x (giờ) Theo đầu bài ta có phương trình:
x x x x210x 2000 0 (1)
Giải phương trình (1) với điều kiện x >0, ta được nghiệm x = 40
Vậy: Vận tốc dự định ban đầu là 40 km/giờ; Thời gian dự định đi từ A đến B là
120
40 3 giờ
Câu 4:
Trang 3H P
Q
C
B A
D
M
N
a) Ta có MAN MAB NAD (gt), mà MAN MAB NAD900 2MAN 900
0 45
MAN
b) Tứ giác ABMP có PBM PAM 450 nên là tứ giác nội tiếp Suy ra MPA900
0
90
MPN
Tương tự, tứ giác ADNQ nội tiếp và có NQA900 NQM 900(2)
Từ (1) và (2) suy ra, tứ giác PQMN nội tiếp đường tròn đường kính MN (3)
Mặt khác: tứ giác PMCN có MCN MPN 900 nên tứ giác PMCN nội tiếp đường tròn đường kính MN (4)
Từ (3) và (4) suy ra năm điểm P, Q, M, C, N nằm trên đường tròn đường kính MN.
c) Ta có AMN APBAMB Kẻ AH MN Dễ thấy: AHM ABM AH AB
Vậy: đường thẳng MN luôn tiếp xúc với đường tròn tâm A bán kính AB cố định.
Câu 5: Điều kiện: x 0; A
- 1 3 1 9
x y
Vậy: giá trị nhỏ nhất của A là
2
3 khi
1 3
x
và
1 9
y