Vận dụng tỉ số thể tích để giải bài toán tính thể tích khối đa diện trong hình học không gian tổng hợp, giúp học sinh lớp 12 hoàn thành tốt đề thi THPT quốc gia năm 2021

Phần hình học không gian là phần học khó với học sinh, ngoài việc tổng quanđược hình vẽ của bài tập, học sinh còn vận dụng nhiều tư duy, nhiều suy luận lôgic,các phương pháp luận để hình

PHẦN 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài.

Phần hình học không gian là phần học khó với học sinh, ngoài việc tổng quanđược hình vẽ của bài tập, học sinh còn vận dụng nhiều tư duy, nhiều suy luận lôgic,các phương pháp luận để hình thành nên cách giải của mỗi bài toán

Trong quá trình dạy học môn toán tôi thấy điều quan trọng là dạy cho học sinhphương pháp tư duy khoa học và logic, học sinh phải có nền tảng kiến thức bộ mônvững vàng và biết vận dụng kiến thức liên môn để giải quyết vấn đề trong học tập

và trong thực tế cuộc sống

Bài thể tích khối đa diện trong môn hình học lớp 12 là một chuyên đề khó đốivới học sinh và thường hay gặp trong kỳ thi quốc gia, kỳ thi tốt nghiệp THPT Đểhọc tốt bài này các em cần có kiến thức vững chắc phần quan hệ song song và quan

hệ vuông góc trong không gian và nắm chắc các hệ thức lượng trong tam giác, cáctính chất của các hình cơ bản

Trước yêu cầu ngặt về thời gian của đề trắc nghiệm, yêu cầu cần được tiếp thucủa học sinh, qua thời gian giảng dạy và tìm hiểu tôi đã lựa chọn đề tài này để hoànthiện hơn kinh nghiệm của mình, là tư liệu để đồng nghiệp có thể tham khảo và trênhết là để học sinh có tài liệu để mở rộng kiến thức, hoàn thành tốt các đề thi THPT

quốc gia Trong khuôn khổ của đề tài Sáng kiến kinh nghiệm, tôi chọn đề tài: “Vận dụng tỉ số thể tích để giải bài toán tính thể tích khối đa diện trong hình học không gian tổng hợp, giúp học sinh lớp 12 hoàn thành tốt đề thi THPT quốc gia năm 2021” Trong quá trình dạy học bài thể tích khối đa diện, tôi đã áp dụng giải

pháp, sau khi áp dụng tôi thấy đây là một giải pháp hay, hiệu quả trong dạy học bài

“Thể tích khối đa diện” trong môn hình học 12 Học sinh hứng thú khi tiếp nhận vàvận dụng thành thạo vào giải bài tập , từ đó kết quả học tập của học sinh ngày càngđược nâng cao Phát triển tư duy logíc trong suốt quá trình học tập, học sinh thấyđược tính đa dạng trong việc tư duy giải toán

1.2 Mục đích nghiên cứu:

Như đã nói ở trên, mục đích nghiên cứu của đề tài nhằm hoàn thiện hơn kinhnghiệm của bản thân, là tư liệu để đồng nghiệp có thể tham khảo và trên hết là đểhọc sinh có tài liệu để mở rộng kiến thức, hoàn thành tốt các đề thi THPT quốc gia

Từ đây, có thể hình thành cho học sinh tư duy liên môn, thấy được các mốiquan hệ liên môn giữa các môn học mà lâu nay học sinh không để ý tới, từ đó giúphọc sinh có kỹ năng tốt hơn để giải quyết tốt các bài toán ở môn khác, ở thực tiễn đời sống sau này

Trên cơ sở nghiên cứu lý luận và thực trạng của việc dạy và học tính thể tíchkhối đa diện giúp giáo viên xây dựng và truyền đạt cho học sinh sơ đồ tư duy từkiến thức cơ bản đến bài toán thường gặp và từ đó học sinh dễ dàng nắm chắc kiếnthức sâu hơn, vận dụng thành thạo hơn trong giải bài tập.

1.3 Đối tượng nghiên cứu của đề tài:

- Học sinh lớp 12A3 trường THPT Hậu Lộc 1, học chương trình Nâng cao

- Mục tiêu đạt được của chuyên đề tính thể tích khối đa diện được giới thiệu trongsách giáo khoa Hình học lớp 12

- Các bài tập, công thức được giới thiệu trong chương trình THPT

1.4 Các phương pháp nghiên cứu của đề tài:

+ Phương pháp thống kê, thu thập số liệu

+ Phương pháp nghiên cứu, xây dựng cơ sở lý thuyết: Vì chưa có một đề tàinghiên cứu hoàn chỉnh, chuẩn kiến thức nên tôi đã tìm hiểu qua nội dung của cácbài toán, tham khảo ở một số ý tưởng của một số tác giả và bằng sự hiểu biết củabản thân để hình thành nên phương pháp luận, xây dựng thành cơ sở lý thuyết đểhọc sinh học tập

Thực hiện dạy tại lớp 12A3 , đối chứng với các phương pháp thường gặp khác Thống kê phân tích, tổng hợp kết quả đạt được sau khi áp dụng

-1.5 Những điểm mới của đề tài:

- Hình thành sơ đồ tư duy từ kiến thức cơ bản đến bài toán thường gặp và từ đóvận dụng thành thạo hơn trong giải bài tập

PHẦN 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm.

- Học sinh nắm chắc kiến thức phần quan hệ song song và quan hệ vuông góc trongkhông gian

- Học sinh nắm chắc các hệ thức lượng trong tam giác, các tính chất của các hình

cơ bản

Trong khuôn khổ giới hạn của đề tài, tôi chỉ trình bày những kiến thức liên quanđến đối tượng nghiên cứu của đề tài

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm.

- Khi tính thể tích khối đa diện học sinh thường gặp khó khăn trong việc xác địnhchiều cao và vận dụng các hệ thức lượng giác để tính, học sinh thường áp dụng ởdạng thuần túy Do đó khi gặp một số bài phức tạp cần hướng dẫn cho học sinh vậndụng một cách linh hoạt, đưa về áp dụng các bài toán thường gặp thì mới có hiệu quả

- Tư duy của học sinh còn nhiều hạn chế , các em chưa hiểu rõ mối liên hệ giữa thểtích của các khối đa diện cần phát triển tư duy logic trong vận dụng tỉ số thể tích đểđưa về bài toán thường gặp

3 Giải pháp và tổ chức thực hiện

3.1 Giải pháp

- Nghiên cứu các phương pháp tính thể tích trong tài liệu nghiên cứu trên Internet,sách ôn luyện thi THPT Quốc gia

- Phân dạng các bài tập và phương pháp giải

- Áp dụng vào dạy cho học sinh nắm chắc phương pháp tính thể tích và vận dụngthành thạo

- Hướng dẫn học sinh nhận dạng bài tập áp dụng với phương pháp được trang bị

là chiều cao và B là diện tích đáy

Tôi chia ra làm 3 trường hợp sau :

- Trường hợp 1: Khối chóp có cạnh bên vuông góc với mặt đáy

Phương pháp: Độ dài cạnh bên vuông góc với mặt đáy là chiều cao của khối chóp

- Trường hợp 2: Khối chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông góc với mặt đáy.Phương pháp: Giao tuyến của hai mặt bên cùng vuông góc với mặt đáy chính làđường cao của khối chóp

- Trường hợp 3: Khối chóp có một mặt bên vuông góc với mặt đáy

Phương pháp: Đường cao của mặt bên vuông góc với mặt đáy kẻ từ đỉnh chóp làđường cao của khối chóp

3.2.1.2 Các bài toán thường gặp

Bài 1 Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh 2 2 ,BAD  60.Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SC 4 3 Tính thể tích của khối chóp S ABCD

Phân tích hướng dẫn giải

1 Dạng toán: Đây là dạng toán tính thể tích khối chóp.

Xét tam giác SACcó : AC2.AO 6( Với O là tâm của hình thoi và AO là

đường trung tuyến trong tam giác đều ABD)

Bài 2 Cho hình chóp S ABC có đáy là tam giác vuông cân tại A Hai mặt bên

SAB và  SAC cùng vuông góc với mặt phẳng đáy Biết góc tạo bởi mặt bên

SBC và  ABC bằng  60 và BC a 2.Tính thể tích khối chóp S ABC

Phân tích hướng dẫn giải

1 Dạng toán: Đây là dạng toán tính thể tích khối chóp có hai mặt bên kề nhau

cùng vuông góc với mặt đáy

2 Kiến thức cần nhớ: Thể tích khối chóp 1

3

V  S h

3 Hướng giải:

B1: Tính diện tích đáy (tam giác vuông cân có cạnh huyền bằng BC a 2)

B2: Xác định góc giữa mặt bên SBC và đáy.

B3: Tính chiều cao SA của hình chóp

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Xét tam giác SAI vuông tại A: tan 60 SA

Phân tích hướng dẫn giải

1 Dạng toán: Đây là dạng toán tính thể tích khối chóp có một mặt bên vuông góc

với mặt đáy

A S

Dựng SI BC SI ABC Thể tích khối chóp S ABC là 1

Vì SIABC nên I là hình chiếu của S trên  ABC 

Vậy SC ABC,   SC IC,  SCI 60

Thể tích của khối chóp S ABC là . 1 .

Bài 5 Cho hình chóp .S ABC có AB5 ,a BC 6 ,a CA7a các mặt bên SAB,

SBC, SCA tạo với đáy một góc 60 Tính thể tích của khối chóp đó

Lời giải

Dựng SO ABC và từ O dựng OM AB ON, AC OP, BC Từ định lý bađường vuông góc suy ra SM AB SN, AC SP, BC, do đó

SMO SNO SPO    Vậy SOM SONSOP OM ON OP

Suy ra O là tâm đường tròn nội tiếp tam giác ABC

P

N M

I

B C

A S

Diện tích tam giác ABC là S ABC  p p a p b p c         6a2 6

2

a b c

p     a là nửa chu vi của tam giác

Vậy bán kính đường tròn nội tiếp tam giác là 2 6

Tôi chia ra làm 3 trường hợp sau :

- Trường hợp 1: Hai khối chóp có cùng diện tích mặt đáy

Phương pháp: Khi đó tỉ số thể tích bằng tỉ số chiều cao

- Trường hợp 2: Hai khối chóp có cùng chiều cao

Phương pháp: Khi đó tỉ số thể tích bằng tỉ số diện tích mặt đáy

- Trường hợp 3: Hai khối chóp tam giác có chung đỉnh Khi đó ta sử dụng công

Hướng dẫn cho học sinh phát hiện khối chóp có đặc điểm như vậy, từ đó đưa ra cách tính thể tích của khối chóp đó

3.2.1.2 Bài tập mẫu (THPT Thăng Long – Hà Nội – Lần 1 – 2018) Cho tứ diện

ABCD có thể tích V , gọi M N P Q, , , lần lượt là trọng tâm tam giác ABC, ACD,

ABD và BCD Thể tích khối tứ diện MNPQ bằng

Phân tích hướng dẫn giải

1 Dạng toán: Đây là dạng toán sử dụng tỉ số thể tích để tính thể tích khối chóp.

2 Kiến thức cần nhớ: Công thức tỉ số thể tích sau: .

Quy việc tính thể tích khối chóp S ABC về việc tính thể tích khối chóp S AMN.

bằng cách lấy thêm các điểm M N, trên các đoạn SB SC, sao cho:

SA SM SN  nên hình chiếu vuông góc của S lên AMN trùng với tâm  O

của đường tròn ngoại tiếp tam giác AMN Ta có: AM 1 vì tam giác SAM đều(cân tại S và có một góc bằng 60 )0

N O

phẳng MNE chia khối tứ diện  ABCD thành hai khối đa diện, trong đó khối đadiện chứa đỉnh A có thể tích V Tính V

Phân tích hướng dẫn giải

Ở bài toán này, ta dễ dàng tính được thể tích khối tứ diện đều ABCD Nếugọi P Q T, , lần lượt là giao điểm của MNE với các cạnh  AD AC AB, , thì ta sẽ

tính được tỉ số thể tích của hai khối ATPQ và ABCD, từ đó tính được thể tích khối

đa diện chứa đỉnh A chính là khối tứ diện ATPQ

Từ đó, ta có thể giải bài toán cụ thể như sau:

Chọn D

Thể tích khối tứ diện đều cạnh a là: 3 2

12

a .

Gọi P ME AD; T MEAB Trong mặt phẳng  ABC đường thẳng  TN cắt

AC,BC lần lượt tại Q,F Khi đó mặt phẳng MNE chia khối tứ diện đã cho

phần chứa đỉnh A là tứ diện ATPQ

Gọi I là trung điểm BD Xét AID ta có: ED MI PA 1

TB TA

S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với đáy ABCD ,

góc giữa hai mặt phẳng SBD và   ABCD bằng  60 Gọi M , N lần lượt là trungđiểm của SB, SC Tính thể tích khối chóp S ADMN

a

V 

Lời giải Chọn A

O

N M

D

C B

A S

Gọi O là tâm của hình vuông ABCD Khi đó ta có SOA là góc giữa hai mặt phẳng

SBD và  ABCD nên  SOA   Khi đó: tan 6060 SA

1

8V S ABCD



3 2

SB tại E và cắt SD tại F Tính thể tích V khối chóp S AEMF .

Phân tích hướng dẫn giải

Ở bài toán này ta chia khối chóp S AEMF thành hai khối chóp tam giác S AEM

và S AFM , tương tự khối chóp S ABCD chia thành hai khối chóp tam giác

S AEM S AFM S AEMF

S ABC S ADC S ABCD

2

a

SO BO  ;

3

618

S AEMF

a

Bài 5: Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung

điểm của SA, N là điểm trên đoạn SB sao cho SN 2NB Mặt phẳng  R chứa

MN cắt đoạn SD tại Q và cắt đoạn SC tại P Tỉ số .

Từ BBT ta có 1  

;1 6

3max

Bài 6: (THPT Chuyên Tiền Giang - Lần 1 - 2017 - 2018) Cho tứ diện đều

ABCD có cạnh bằng a Gọi M N, lần lượt là trung điểm của các cạnh AB BC, và

E là điểm đối xứng với B qua D Mặt phẳng (MNE) chia khối tứ diện ABCD

thành hai khối đa diện, trong đó khối chứa điểm A có thể tích V Tính V

N M

D

C

B A

Áp dụng công thức giải nhanh thể tích tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a có

a

Bài 7: (THPT HÀM RỒNG - THANH HÓA - LẦN 1 - 2017 - 2018) Cho hình

chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA a và SAABCD.Gọi M là trung điểm SB, N là điểm thuộc cạnh SD sao cho SN 2ND Tính thểtích V của tứ diện ACMN

a

V  C

38

a

V  D

336

a

V 

Lời giải Chọn A

O N

3

C'

D

C B

S

B' A'

Trên SA, SB, SC lần lượt lấy các điểm A, B, C sao cho

a .

Bài 2: Cho hình chóp tam giác đều S ABC có cạnh đáy bằng a 3 Gọi M N; là

trung điểm SB BC, Tính thể tích khối chóp A BCNM Biết mặt phẳng AMN 

Bài 5: (THPT Chuyên Hùng Vương-Phú Thọ-lần 1-NH2017-2018) Cho hình

chóp S ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA a và SA vuông góc vớiđáy Gọi M là trung điểm SB , N là điểm thuộc cạnh SD sao cho SN 2ND.Tính thể tích V của khối tứ diện ACMN

Bài 6: (THI-THỬ- NGUYỄN HUY HIỆU-QN-1-NĂM-2020-2021) Cho hình

hộp đứng ABCD A B C D     có AA2, đáy ABCD là hình thoi với ABC là tam

giác đều cạnh 4 Gọi M N P, , lần lượt là trung điểm của B C C D DD   , ,  và Qthuộc cạnh BC sao cho QC 3QB Tính thể tích tứ diện MNPQ.

A 20

15

9

20.9

Bài 8: Cho lăng trụ tam giác ABC MNP có thể tích V Gọi G G G G lần lượt1, 2, ,3 4

là trọng tâm của các tam giác ABC ACM AMB BCM ; , , , V là thể tích khối tứ diện1

III KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1 Kết luận:

Việc vận dụng giải pháp “Vận dụng tỉ số thể tích để giải bài toán tính thể tích khối đa diện trong hình học không gian tổng hợp, giúp học sinh lớp 12 hoàn thành tốt đề thi THPT quốc gia năm 2021” giải quyết được khó khăn trong

bài toán tính thể tích, tạo hứng thú và làm tăng hiệu quả học tập của học sinh Pháttriển tư duy toán học, giúp học sinh hình thành phương pháp tư duy đa dạng vàchặt chẽ

Trên đây là một giải pháp trong phần tính thể tích khối đa diện ở chương trình hìnhhọc lớp 12, phần này còn phải sử dụng kiến thức liên môn để giải quyết Trongquá trình giảng dạy, cần luôn sử dụng linh hoạt kiến thức khác để giải quyết vấn đềtriệt để và hiệu quả nhất

2 Kiến nghị:

- Đối với giáo viên: cần phân biệt rõ giữa các phương pháp, kĩ thuật dạy học đểtránh nhầm lẫn Đồng thời không ngừng tìm tòi tài liệu và học hỏi đồng nghiệp vềphương pháp để hoàn thiện mình Đặc biệt là các giáo viên trẻ

- Khi vận dụng mỗi phương pháp cần phải xem tính phù hợp của nó với: nội dungkiến thức bài học, đối tượng học sinh, cơ sở vật chất Kinh nghiệm cho thấy nếu chỉvận dụng đơn thuần một phương pháp thì hiệu quả khó có thể viên mãn Chúng tanên kết hợp giữa các phương pháp một cách linh hoạt cùng với vận dụng kiến thứcliên môn và sử dụng tốt đồ dùng dạy học sẽ là chìa khóa của một tiết dạy tốt gópphần nâng cao chất lượng giảng dạy

Trong một thời gian không dài, áp dụng trong đơn vị kiến thức không lớn trongchương trình Toán THPT chắc chắn không tránh khỏi thiếu sót Rất mong các đồngnghiệp đóng góp ý kiến để việc nghiên cứu, triển khai các đề tài sau mang lại hiệuquả cao hơn

Xin chân thành cảm ơn!

XÁC NHẬN CỦA Thanh Hóa, ngày 15 tháng 05 năm 2021.

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác

Người viết sáng kiến

Trần Thị Hiếu