giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình liên quan đến mũ và logari bằng phương pháp sử dụng hàm đặc trưng

Hiện nay trong các đề thi Tốt Nghiệp Trung Học Phổ Thông Quốc Gia vàcác đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn toán của các tỉnh thành rất hay gặp bài toán ở mức độ vận dụng và vận dụng cao v

PHẦN 1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài

Toán học là môn chủ đạo trong các cấp học, ngoài việc cung cấp cho họcsinh hệ thống kiến thức, kĩ năng tính toán Môn Toán còn góp phần phát triểnnhân cách, phẩm chất của người lao động, rèn luyện cho học sinh đức tính cẩnthận, chính xác,kiên trì, có tính kỉ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng

óc thẩm mĩ

Qua nhiều năm công tác giảng dạy ở trường THPT tôi nhận thấy việc họctoán nói chung và việc phụ đạo, bồi dưỡng học sinh nói riêng Muốn học sinhrèn luyện được tư duy phân tích bài toán trong việc học và giải toán thì bản thânmỗi người thầy cần phải có nhiều phương pháp và nhiều cách giải nhất Để cóđược một học sinh giỏi môn toán là một điều khá khó, vì nó còn phụ thuộc vàonhiều nguyên nhân, có cả nguyên nhân khách quan và nguyên nhân chủ quan.Song đòi hỏi người thầy cần phải tìm tòi, nghiên cứu tìm ra nhiều phương pháp

và cách giải qua một bài toán Từ đó rèn luyện cho học sinh năng lực hoạt động

tư duy phân tích một bài toán đi đến lời giải nhanh và chính xác nhất

Trong chương trình môn toán lớp 12, chương học : “ Mũ và Logarit” làchương học rất quan trọng, các bài toán về mũ và logarit luôn xuất hiện trongcác đề thi Tốt Nghiệp Trung Học Phổ Thông Quốc Gia và các đề thi học sinhgiỏi lớp 12 cấp tỉnh của các tỉnh thành trên cả nước

Hiện nay trong các đề thi Tốt Nghiệp Trung Học Phổ Thông Quốc Gia vàcác đề thi học sinh giỏi cấp tỉnh môn toán của các tỉnh thành rất hay gặp bài toán

ở mức độ vận dụng và vận dụng cao về phương trình, bất phương trình, hệphương trình, hệ bất phương liên quan đến bài toán mũ và logarit mà cách giảicủa nó là sử dụng “ Hàm đặc trưng” để giải

mũ và logarit mà còn xuất hiện trong các chủ đề khác như: hàm số, phươngtrình, hệ phương trình Do đó việc rèn luyện kĩ năng sử dụng hàm đặc trưng sẽgiúp ích rất nhiều cho các em trong quá trình chuẩn bị cho kì thi sắp tới

1.2 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu của đề tài rèn luyện kĩ năng sử dụng hàm đặc trưnggiải các bài toán: “Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình liênquan đến mũ và logarit”

1.4 Các phương pháp nghiên cứu

+ Phương pháp nghiên cứu, xây dựng cơ sở lý thuyết

+ Phương pháp điều tra thực tế

+ Phương pháp thống kê, thu thập số liệu

PHẦN 2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM 2.1 Cơ sở lí luận của sáng kiến kinh nghiệm

Trong nhà trường trung học phổ thông nhiệm vụ trọng tâm là hoạt độngdạy của thầy và hoạt động học của trò Đối với người thầy việc giúp học sinhnắm vững các kiến thức phổ thông nói chung và các kiến thức của bộ môn toánnói riêng là một việc làm rất cần thiết Người giáo viên cần phải dạy cho các emnắm vững các phương pháp và các kĩ năng cần thiết để có thể giải tốt các bàitoán đặt ra Đối với hoạt động học của trò muốn học tốt môn toán học sinh cầnphải nắm vững những tri thức khoa học ở môn toán một cách có hệ thống, phảibiết vận dụng lí thuyết một cách linh hoạt vào từng bài toán cụ thể Điều đó thểhiện ở việc học đi đôi với hành, đòi hỏi học sinh phải có tư duy logic, suy nghĩlinh hoạt Vì vậy trong quá trình dạy học giáo viên cần giúp học sinh cách học

và biết sử dụng các kiến thức đã học vào các bài toán cụ thể Mục đích là giúphọc sinh khi đứng trước một bài toán các em cần biết phân tích nhận dạng, biết

áp dụng các phương pháp đã được học để giải bài toán hoặc biết cách chuyểnbài toán về dạng quen thuộc để từ đó có các phương pháp giải thích hợp Đối vớicác bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình liên quan đến

mũ và logarit có một số bài toán giải bằng phương pháp dùng hàm đặc trưng thìtrước tiên ta cần nắm vững phương pháp, biết cách phân tích, chuyển đổi bàitoán về dạng có thể sử dụng hàm đặc trưng để giải

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Xuất phát từ việc dạy các phân môn mũ và logarit trong chương trình lớp

12 sách giáo khoa hiện hành Trong quá trình giảng dạy trực tiếp các lớp 12cũng như trong quá trình ôn thi đội tuyển học sinh giỏi lớp 12 cấp tỉnh Tôi nhậnthấy các em học sinh còn khá khó khăn khi giải các bài toán sử dụng hàm đặctrưng để giải các bài toán phương trình, bất phương trình, hệ phương trình liênquan đến mũ và logarit

2.3 Giải pháp và cách thức thực hiện

Để giải tốt bài toán giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trìnhliên quan đến mũ và logari bằng phương pháp sử dụng hàm đặc trưng, trước hết

ta cần nắm vững phương pháp, sau đó vận dụng linh hoạt các phương pháp biếnđổi để biến đổi các bài toán về dạng toán có thể sử dụng hàm đặc trưng để giải

2.3.1 Cơ sở lí thuyết:

Tính đơn điệu của hàm số

1 Định nghĩa

Cho hàm số yf x( ) xác định trên K với K là một khoảng

+ Hàm số yf x( ) đồng biến ( tăng ) trên K nếu x x1 , 2 K mà x1 x2 thì

Cho hàm số yf x( ) có đạo hàm trên khoảng K.

+ Nếu f x ( ) 0,   x K và f x ( ) 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm thì hàm số( )

yf x đồng biến trên khoảng K

+ Nếu f x ( ) 0,   x K và f x ( ) 0 xảy ra tại một số hữu hạn điểm thì hàm số( )

yf x nghịch biến trên khoảng K

Nắm vững phương pháp: “ Nếu hàm số yf x  xác định và liên tục trên

K ( K là một đoạn, một khoảng, hoặc một nửa khoảng ) thì x x1 , 2 K thì

 1  2 1 2

Biến đổi phương trình về dạng f x 1 f x 2 , hoặc bất phương trình vềdạng: f x 1  f x 2 với yf x  là hàm số đơn điệu, từ đó suy ra x1 x2( Ởđây x x1 , 2 có thể là các biểu thức có giá trị thuộc K)

2.3.2 1 Dạng 1: Sử dụng hàm đặc trưng giải phương trình, bất phương trình mũ và logarit

Bài 1. Giải phương trình: 2x2 x2  2x x

Lời giải

Xét hàm số f x  2xx hàm số xác định và liên tục trên 

Ta có:   2 ln 2 1 0x

f x      x  f x  đồng biến trên 

Vậy tập nghiệm của phương trình là S 0;1

Bài 2.( HSG Quãng Ngãi năm 2021) Giải phương trình:

x x

Suy ra hàm số f t( ) đồng biến trên khoảng 0;.





  

 ( thỏa mãn)

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm là S 1;3

Bài 4 ( HSG Quãng Nam năm 2021) Biết bất phương trình:

2 3 4 5

a b

Bài 6 (Đề tham BGD&ĐT năm 2019-2020 LẦN 01)Có bao nhiêu cặp số

nguyên ( ; )x y thỏa mãn 0  x 2020 và log (3 3 3) 2 9y

a b   nên phương trình  * vô nghiệm Suy ra: a b  3.

Mà a b, là các số nguyên dương nên

b b

Vậy có hai cặp số a b;  thỏa mãn yêu cầu bài toán

Bài 8.Có bao nhiêu cặp số thực x y,  thỏa mãn y nguyên dương và thỏa mãn:

Điều kiện  1 luôn được thỏa mãn do  2

Vì vậy để tồn tại x y,  thỏa mãn yêu cầu thì  ** có nghiệm Khi đó tađược 4  y  0 y 4

Do y nguyên dương nên y 1;2;3;4 Ta có 4 cặp x y,  thỏa mãn yêucầu bài toán

Bài 9.Có bao nhiêu cặp số nguyên x y;  thỏa mãn 0  x 2020 và thỏa mãn:

 1 2 1

x

y x





  

+ Với y 2  x2  2x  2 10 4  x2 2x 9998 0  (không có giá trị x

nguyên nào thỏa mãn)

+ Với y 3  x2  2x  2 10 9  x2 2x 999999998 0  (không có giá trị

x nguyên nào thỏa mãn)

Vậy có một cặp nguyên dương x y ;  4;1 thỏa mãn yêu cầu bài toán

2.3.2 3 Dạng 3: Sử dụng hàm đặc trưng trong bài toán tìm các giá trị lớn nhất , giá trị nhỏ nhất của bài toán có liên quan đến mũ và logarit

Bài 11 (Mã đề 101-BGD&ĐT NĂM 2016-2017) Xét các số thực dương x, y

0

11 2

0;3 3

x P

Xét hàm số yf t   log 2t t trên khoảng 0;

Xét hàm đặc trưng f t   log 5t t với t 0, nhận thấy   1 1

2

1

t P t

1 0,

Bài 15.Cho số thực x,ythoả mãn log 3 2 2  3  3 .

1  t log 1  t  log t  t 1  t  log 1 3  t3  2

+ Với t   0 VT 2  0,VP 2  log 1 0 3  nên  2 vô nghiệm

+ Với t   0 VT 2  0,VP 2  log 1 0 3  nên  2 vô nghiệm

Và dễ thấy hai Parabol tiếp xúc nhau tại điểm A1;2.

Vậy: (1) có 3 nghiệm phân biệt  (2) có 3 nghiệm phân biệt

 Đường thẳng nằm ngang y 2m hoặc đi qua I10;1, hoặc đi qua

Vậy có 19 giá trị nguyên của m thỏa ycbt

Bài 20 (MĐ 102 BGD&ĐT NĂM 2017-2018)Cho phương trình

Xét hàm số g x   3x  x, với x   Có ( ) 3 ln 3 1x

g' x   , g' x ( ) 0

3

1 log

m   để phương trình đã cho có nghiệm là:14

2.3.2.5 Dạng 5: Sử dụng hàm đặc trưng trong bài toán giải hệ phương trình mũ và logarit

Bài 21 ( HSG tỉnh Thanh Hóa 2020-2021)

x y y

 

     xln x 2  x 2 ln x  0Đặt t  x t,  0 ta được phương trình tlnt 2  t 2 ln t  0

Dễ thấy g 2  0 nên phương trình có nghiệm duy nhất t 2 hay x 4 từ

đó ta được hệ đã cho có nghiệm duy nhất là 4;2

y  x ( thỏa mãn điều kiện)

Vậy nghiệm của hệ là 10;1

x y

x y

2(2 ) 5 4 0 (2)

y x

Đối với học sinh: Trong quá trình dạy học tôi luôn nhắc nhở học sinh phải

nắm chắc các phương pháp giải toán, từ đó hình thành nên hệ thống kĩ năng Trong các toán sử dụng hàm đặc trưng cần nắm vững kiến thức về tính đơn điệucủa hàm số Phải rèn luyện kĩ năng biến đổi phương trình một cách thuần thụcbởi muốn sử dụng hàm đặc trưng các em phải biến đổi phương trình về dạng

 1  2

f x f x với hàm số yf x  là hàm số đơn điệu Những bài toán sử dụnghàm đặc trưng đa phần là những bài toán khó, do đó muốn đạt được kết quả caocác em cần phải tích cực rèn luyện, hăng say nghiên cứu tìm tòi học hỏi

Trong các bài kiểm tra và các bài thi thử Tốt Nghiệp Trung Học PhổThông Quốc Gia đa số các em học các lớp tôi dạy đều giải quyết tốt bài toán sửdụng hàm đặc trưng đơn giản Một số em đã giải tốt các bài toán ở mức độ vậndụng, vận dụng cao Các em có học lực khá giỏi đã vận dụng rất tốt phươngpháp để giải quyết các bài toán khó Thể hiện rõ nét ở kết quả thi thử Tốt Nghiệp

Trung Học Phổ Thông Quốc Gia do nhà trường hoặc do Sở Giáo dục tổ chứccác em học sinh lớp 12A3 đạt được rất nhiều điểm giỏi Hơn nữa là trong kì thihọc sinh giỏi văn hóa cấp tỉnh của trường trong năm học 2020- 2021 Trong 5

em học sinh đi dự thi đã có 3 em giải được bài toán vận dụng cao sử dụng hàm

số đặc trưng

- Đối với bản thân: Đã có sự tích lũy về kiến thức cũng như phương pháp

dạy học Tùy các đối tượng học sinh, mỗi đối tượng có một phương pháp khácnhau Qua đó có phương pháp giảng dạy đạt hiệu quả rõ rệt

- Đối với đồng nghiệp: Đề tài cũng là một nguồn tham khảo hữu ích, về cả

nội dung, ý tưởng và một số ý kiến phân tích, lập luận của tác giả trong quá trìnhtrình bày ở mỗi ví dụ để hoàn thiện ý tưởng, giáo án giảng dạy của mình

PHẦN 3 KẾT LUẬN VÀ ĐỀ XUẤT

3.1 Kết luận:

Như vậy, qua các nội dung ta nhận thấy rằng đề tài sáng kiến kinhnghiệm này hoàn toàn áp dụng được vào thực tiễn giảng dạy ở trường THPT Đối với các em học sinh có học lực trung bình, ta nên giới thiệu phương pháp vàđưa ra hệ thống bài tập thật đơn giản để các em có thể dễ dàng nhận ra hàm đặctrưng từ đó nắm và vận dụng phương pháp tốt hơn

Đối với các em có học lực khá giỏi, phương pháp giải này thường xuất hiệnnhững bài toán khó Đối với đối tượng học sinh này ta nên rèn luyện cho các emthành thục các kĩ năng biến đổi phương trình, chuyển từ phương trình phức tạp

về phương trình có thể sử dụng hàm đặc trưng một cách linh hoạt nhất Quátrình này đòi hỏi người giáo viên phải kiên trì, nẫn nại hướng dẫn các em Khicác em thuần thục kĩ năng biến đổi thì các em sẽ rất đam mê và thích tìm tòinghiên cứu, khám phá các bài toán sử dụng hàm đặc trưng

Trên đây là một số kinh nghiệm của bản thân tôi rút ra được trong quátrình dạy học, rất mong được sự góp ý của các đồng nghệp để Sáng Kiến KinhNghiệm của tôi có thể hoàn chỉnh hơn nữa

3.2 Kiến nghị.

+ Kiến nghị với nhà trường: Sau khi hoàn thành, tác giả rất muốn sáng kiếnkinh nghiệm được lưu trong thư viện của nhà trường để đồng nghiệp, học sinhtham khảo và học tập

+ Kiến nghị với Sở Giáo dục và Đào tạo: Sau mỗi năm, nhiều đề tài sángkiến kinh nghiệm có chất lượng cần được triển khai rộng rãi để cán bộ giáo viêntham khảo Vì vậy trong mục Quản lý SKKN của Trang điện tử của Sở cần cóthêm phần tổng hợp tất cả các SKKN để cán bộ giáo viên có thể tải về thamkhảo

Trong khuôn khổ hạn hẹp của đề tài, với năng lực có hạn của bản thânkhông tránh khỏi những thiếu sót, rất mong được sự góp ý, chia sẻ của đồngnghiệp và học sinh

Tôi xin cam đoan với Hội đồng khoa học nhà trường THPT Hậu Lộc I, Hộiđồng khoa học Sở GD&ĐT Thanh Hóa, Sáng kiến kinh nghiệm này do chính tôi

viết từ chính kinh nghiệm giảng dạy của bản thân, không sao chép từ bất cứ tàiliệu nào Tôi xin chịu hoàn toàn trách nhiệm với lời cam đoan của mình.