Hướng dẫn học sinh yếu kém một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần khảo sát hàm số

Mong muốn giúp những học sinh yếu kém toán 12giải tốt bài tập về khảo sát hàm số và bài toán liên quan, vì đây là phần kiến thứctrọng tâm tương đối phù hợp với đối tượng học sinh này và

Phần 1 MỞ ĐẦU

1.1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Như chúng ta đã biết môn toán lớp 12 bao gồm nhiều nội dung cơ bản, mỗinội dung đều được sắp xếp vừa phù hợp, vừa logic khoa học, vừa phù hợp vớilogic sư phạm nên có độ dễ, khó tăng dần trong từng nội dung Do đó khi họctập môn toán học sinh gặp phải khó khăn nhất định đòi hỏi giáo viên phải cónhững biện pháp giúp đỡ các em khắc phục, nhất là những em có biểu hiện yếukém khi tiếp cận kiến thức mới Kì thi THPT quốc gia môn Toán là bộ môn bắtbuộc học sinh phải thi và bằng hình thức trắc nghiệm khách quan Chương trìnhmôn toán lớp 12 có rất nhiều nội dung, trong đó phần hàm số và ứng dụng củahàm số nằm trong chương I – Giải tích 12 là phần nội dung kiến thức mà cấutrúc đề thi của bộ giáo dục và đào tạo quy định cấu số lượng câu trắc nghiệmphần này có khoảng 12 câu Mong muốn giúp những học sinh yếu kém toán 12giải tốt bài tập về khảo sát hàm số và bài toán liên quan, vì đây là phần kiến thứctrọng tâm tương đối phù hợp với đối tượng học sinh này và chiếm điểm sốkhông ít trong đề thi tốt nghiệp THPT

Vì những lý do trên tôi mạnh dạn chọn đề tài: “Hướng dẫn học sinh yếu kém một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần khảo sát hàm số”

1.3 NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU

Tim hiểu thực trạng học toán nói chung và thực trạng giải toán của học sinhlớp 12 ở trường THPT Hậu Lộc I, huyện Hậu Lộc, tỉnh Thanh Hóa để phát hiệnhọc sinh yếu kém; từ đó đề xuất các biện pháp giúp đỡ các em khắc phục khókhăn khi giải toán

Thử nghiệm bằng cách soạn và dạy giáo án theo mục tiêu : Hướng dẫn họcsinh yếu kém hình thành kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần khảo sáthàm số, khắc phục khó khăn khi giải toán chương I – Giải tích 12

1.4 PHẠM VI VÀ ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU

1.4.1 Phạm vi nghiên cứu

Do kinh nghiệm giảng dạy lớp 12 chưa nhiều và điều kiện khách quan khác

vì vậy đề tài chỉ nghiên cứu những khó khăn khi học sinh giải toán giải tích 12chương khảo sát và vẽ đồ thị hàm số - bài toán liên quan đến khảo sát

1.4.2 Đối tượng nghiên cứu

Học sinh yếu kém toán khi thực hành giải toán 12 tại trường THPT HậuLộc I, huyện Hậu Lộc, tỉnh Thanh Hóa

1.5.1 Phương pháp phân tích và hệ thống hóa các tài liệu

Nhằm phân tích các tài liệu có liên quan đến biện pháp giúp đõ học sinhyếu kém trong học tập môn toán ở lớp cuối cấp THPT, trong đó chú trọng sáchgiáo khoa, sách giáo viên, chương trình giảm tải toán lớp 12 để nắm chuẩn kiếnthức, kỹ năng trong dạy học môn toán ở khối lớp này

- Khi dạy học theo từng bài cần chú trọng hướng dẫn các em tiếp thu kiếnthức mới,và vận dụng vào giải những bài tập trong sách giáo khoa

- Đưa ra hệ thống các câu hỏi trắc nghiệm cho học sinh làm

- Hệ thống các dạng toán và phương pháp giải bài tập cụ thể cho từng đốitượng học sinh

1.5.2 Phương pháp phỏng vấn

Nhằm phỏng vấn các giáo viên đang dạy lớp 12 để phát hiện những họcsinh học tập yếu kém môn toán và phỏng vấn những học sinh này để nắm đượcmức độ học toán

1.5.3 Phương pháp thực nghiệm

Nhằm khẳng định các biện pháp giúp học sinh yếu kém hình thành kỹ nănggiải nhanh bài toán trắc nghiệm khi thực hành giải toán

Phần 2 NỘI DUNG

2.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN

Một học sinh bình thường về mặt tâm lý không có bệnh tật đều có khả năngtiếp thu môn toán theo yêu cầu phổ cập của chương trình toán THPT

Những học sinh từ trung bình trở xuống: Các em có thể học đạt yêu cầu củachương trình nếu được hướng dẫn một cách thích hợp

Qua thực tế giảng dạy, tôi nhận thấy:

Với môn toán, hầu hết các học sinh yếu đều có một nguyên nhân chung là:kiến thức ở các lớp dưới bị hổng; không có phương pháp học tập; tự ti rụt rè,thiếu hào hứng trong học tập

Thi trắc nghiệm là một hình thức thi mới nên học sinh mới tiếp cận sẽ gặpkhó khăn do cần nhanh nhạy trong giải toán

2.2 THỰC TRẠNG

Ở mỗi học sinh yếu bộ môn toán đều có nguyên nhân riêng, rất đa dạng Cóthể chia ra một số loại thường gặp là:

- Do quên kiến thức cơ bản, kỹ năng tính toán yếu

- Do chưa nắm được phương pháp học môn toán, năng lực tư duy bị hạnchế Nhiều học sinh thể lực vẫn phát triển bình thường nhưng năng lực tư duytoán học kém phát triển

- Những học sinh trung bình và yếu kém đa phần kiến thức ở các lớp dưới

bị hổng, kỹ năng tính toán yếu, chưa nắm được phương pháp học môn toán,năng lực tư duy bị hạn chế, tự ti, rụt rè, thiếu hào hứng trong học tập dẫn đếngiải bài tập trắc nghiệm các em sẽ lúng túng không nhận biết và phân được cácdạng bài tập, tốn rất nhiều thời gian khi làm một bài thi trắc nghiệm

-Xác định rõ một trong những nguyên nhân trên đối với mỗi học sinh làđiều quan trọng Công việc tiếp theo là giáo viên có biện pháp để xoá bỏ dần cácnguyên nhân đó, nhen nhóm lại lòng tự tin và niềm hứng thú của học sinh đốivới việc học môn Toán Đồng thời giúp học sinh yếu kém hình thành kỹ nănggiải nhanh bài toán trắc nghiệm, các em sẽ có hứng thú hơn với việc làm bài táptheo hình thức trắc nghiệm

2.3 NỘI DUNG GIẢI PHÁP ĐỀ XUẤT : “Hướng dẫn học sinh yếu

kém một số kỹ năng giải nhanh bài toán trắc nghiệm phần khảo sát hàm số”

2.3.1 Kỹ năng 1: Nhận dạng đồ thị hàm số, bảng biến thiên

Đề nhận dạng đồ thị hàm số học sinh cần nắm rõ các dạng đồ thị và cácbảng biến thiên

nghiệm của y’ = 0.

a > 0 : Tính từ trái qua phải

a > 0 : Tính từ trái qua phải đồ

đồ thị hàm số có đườngtiệm cận ngang :

ad – bc > 0 : Tính từ trái

qua phải đồ thị hàm số đilên.(Đồ thị hàm số nằm ởcác góc phần tư lẻ)

đều loại Đáp án đúng là A.

Ví dụ 2 : Đường cong ở hình dưới đây của một đồ thị hàm số.

Hỏi hàm số đó là hàm số nào trong các hàm số sau đây:

A yx3  4 B y x 3  3x2  4 C yx3  3x 2 D yx3  3x2  4

Phân tích bài toán: Nhìn vào đồ thị ta thấy hàm số có hai cực trị và hệ số củax3

âm, loại A và B Đồ thị hàm số cắt trục tung tại A0; 4   loại C

Đáp án đúng là D

Ví dụ 3 : Đường cong trong hình vẽ là đồ thị của hàm số nào dưới đây?

A y x 4  3x2  1 B y x 3  3x2  1 C y x3  3x2  1 D yx4  3x2  1.Phân tích bài toán: Quan sát đồ thị, ta nhận thấy đây là đồ thị hàm số bậc 4 trùngphương tức là phương án B, C (loại), Tiếp đến đồ thị hàm số có 3 cực trị 2 cựcđại, 1 cực tiểu nên có hệ số a < 0 vậy loại phương án A (loại),và chỉ có đáp án là

Phân tích bài toán: Đường cong trên đi qua điểm 0;0 và 1;3 và có bề lõm

hướng lên nên a 0 Vậy đồ thị của hàm số 4 2





 ?

A Đồ thị 1 B Đồ thị 2 C Đồ thị 3 D Đồ thị 4

Phân tích bài toán: Dựa vào hàm số, ta nhận thấy rằng đồ thị có tiệm cận đứng

x = 1 và tiệm cận ngang y = 1 nên phương án D, B (loại), tiếp đến đồ thị giao với

0y tại điềm (0;-1) và 0x tại điểm (-1;0) Do đó phương án A (loại)

Vậy đáp án là C

→ Qua ví dụ 4, ta thấy rằng : Nếu không biết nhìn từ đồ thị đọc ra các yếu tố của

hàm số thì học sinh sẽ phải đi khảo sát và vẽ đồ thị hàm số trên làm mất thời

gian Nhưng nếu học sinh nắm được kiến thức về đồ thị hàm ax b

sinh sẽ nhanh chọn được đáp án đúng

Ví dụ 6 : Biết rằng bảng biến thiên sau là bảng biến thiên của một hàm số trong

các hàm số được liệt kê ở các phương án A, B, C, D dưới đây Hỏi hàm

2.3.2 Kỹ năng 2: Tìm khoảng đơn điệu của hàm số

Loại 1: Hàm số y = f(x) (không chứa tham số m) đồng biến( nghịch biến) trên

khoảng nào?

Phương pháp : Bằng cách đọc khoảng đơn điệu qua bảng biến thiên hoặc đồ thị

- Các khoảng của x mà dấu y’ > 0, mũi tên đi lên từ trái qua phải, hoặc dáng đồ thị hàm số đi lên từ trái qua phải thì hàm số đồng biến trên khoảng đó

- Các khoảng của x mà dấu y’ < 0, mũi tên đi xuống từ trái qua phải, hoặc dáng

đồ thị hàm số đi xuống từ trái qua phải thì hàm số nghịch biến trên khoảng đó

Ví dụ 7: Cho hàm số f x( ) có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đồng biến trên khoảng nào dưới đây?

A ( 2;2) B (0; 2) C ( 2;0) D (2;)

Phân tích bài toán: Dựa vào bảng biến thiên của f x( ) ta nhận thấy hàm số đồngbiến là những khoảng mà tại đó y’ mang dấu (+) Vậy ta thấy khoảng (  ; 2)

và (0; 2).Vậy ta chọn đáp án đúng là B

→ Qua ví dụ 7, ta thấy rằng : Ta chỉ cần nhớ được hàm số đồng biến, nghịch biến

là như thế nào là dựa vào bảng biến thiên có thể đọc được ra các khoảng đơn điệumột cách chính xác

Ví dụ 8: Tìm tất cả các khoảng nghịch biến của hàm số: 2 2 2

2 1

Bảng biến thiên:

Hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng 2; 1  và 1;0

Đáp án đúng là C

Loại 2: Tìm giá trị của tham số m để hàm số y = f(x,m) đồng biến (nghịch biến)

trên khoảng hoặc trên R?

Hàm số y = f(x) có đạo hàm trên K mà chỉ tại một số hữu hạn điểm và

y x mx  x m đồng biến trên khoảng    ;  là

A 2;+ B  2;2 C   ; 2  D  2; 2 

Phân tích bài toán: Ta có y x2  2mx 4 có hệ số a  1 0

Hàm số đồng biến trên khoảng    ;   y 0,    x  ; 

Hàm đã cho đồng biến trên 0;  khi m y 00



0 0

m

x m m

m m

m

Đáp án đúng là B

2.3.3 Kỹ năng 3: Tìm cực trị của hàm số

a Đọc bảng biến thiên tìm cực trị của hàm số không chứa tham số

* Nếu hàm số đã cho không chứa tham số thì phương pháp tóm tắt là tìm

TXĐ, tính y’ và lập bảng biến thiên xét dấu y’, sau đó kết luận

+ Giả sử hàm số y = f (x) liên tục trên (a;b) chứa điểm x0 và có đạo hàmtrên a b;  \ { }x :0

- Nếu f’(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua x0 thì f (x) đạt cực đại tại0

x

- Nếu f’(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua x0 thì f (x) đạt cực tiểutạix0

+ Giả sử hàm số có đạo hàm trên khoảng (a;b) chứa điểm x0, f’(x) = 0 và

có đạo hàm cấp 2 khác 0 tại điểm x0:

- Nếu f”(x) > 0 thì f (x) đạt cực tiểu tại x0.

- Nếu f”(x) < 0 thì f (x) đạt cực đại tại x0.

* Có thể dựa vào dáng của đồ thị hàm số để kết luận điểm cực trị của hàmsố

Giả sử hàm số y = f (x) liên tục trên (a;b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên

Ví dụ 12: Cho hàm số f x  có bảng biến thiên như sau:

Hàm số đã cho đạt cực tiểu tại

A x 2 B x 1 C x 1 D x 3

Phân tích bài toán: Nhìn vào bảng biến thiên ta thấy hàm số đạt cực tiểu bằng -3

tại giá trị x = -1.vậy đáp án đúng là C

→ Qua ví dụ 12 ta thấy rằng : Chỉ cần đọc được bảng biến thiên của hàm số các

em có thể tìm ngay được ra tọa độ các điểm cực trị mà không mất nhiều thời gian

Ví dụ 13: Cho hàm số yf x( ) xác định và liên tục trên 2;2 và có đồ thị là

đường cong trong hình vẽ bên

x

y

4

2 1 -1

-2

2

O

.Hàm số f x( ) đạt cực tiểu tại điểm nào sau đây ?

A x 1 B x 2 C x 2 D x 1

Phân tích bài toán:

Dựa vào đồ thị ta thấy f x( ) đạt cực tiểu tại điểm x 1và đạt cực đại tại điểm x 1 Đáp án đúng là C

Ví dụ 14: Điểm cực đại của đồ thị hàm số y x 3  3x là?

A 1;0 B  1;0 C 1; 2   D  1; 2.Phân tích bài toán: y  3x2  3

Ví dụ 15: Giá trị cực tiểu của hàm số y x 3  3x2  9x 2 là

Vậy giá trị cực tiểu là y  CT 25 Đáp án đúng là C

b Nếu hàm số đã cho chứa tham số

* Đối với hàm số y ax3bx2cx d ,(a  0)

Tình huống 1: Điều kiện để hàm số đạt cực trị tại một điểm

 Điều kiện để hàm số có cực trị tại

0

x là: 0

0

( ) ( )

" 0

x x

y y

" 0

x x

y y

" 0

x x

y y

* Đối với hàm số y ax4bx2c (a 0) .

 Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho có 3 cực trị là a và b trái dấu tức là: ab  0

 Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho có 1 cực trị là: ab  0

 Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho có 3 cực trị mà trong đó gồm 2 cực đại và 1 cực tiểu là: 0

0

a b

 Dấu hiệu nhận biết đồ thị hàm số đã cho chỉ có 1 cực tiểu là: 0

0

a b

Phân tích bài toán: Trước hết, ta tính y'x2 2mx m 2 4; " 2y  x 2m Sau

đó, giải điều kiện:        

Ví dụ 17:Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho đồ thị của

hàm sốy x 42mx2 có ba điểm cực trị tạo thành một tam giác vuông1cân

m  D m 1

Phân tích bài toán: Là bài toán trắc nghiệm làm nhanh nên căn cứ vào dấu hiệu là

a và b trái dấu, tức là: m 0 Khi đó ta giải tiếp là: Vì m  0 nên đáp án có thể

là A hay B, ta lấy B m 1 thế vào bài toán và kiểm tra điều kiện còn lại, nếuđúng thì B là đáp án, ngược lại thì A Bài này đáp án là B

→ Qua ví dụ 15 ta thấy rằng : Đối hàm số chứa tham số để tìm cực trị nhanh

thì cần nhớ được các điều kiện nêu trên của hàm số bậc 3 và hàm số bậc 4 để ápdụng

2.3.4 Kỹ năng 4: Tìm Tiệm cận của đồ thị hàm số

-x a

l imf(x) thì đồ thị hàm số y f x( ) có tiệm cận đứng là x a2) Nếu có   

y c

 và tiệm cận đứng là d

x

c

 ,(c 0)

Ví dụ 18:Phương trình đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số  



1

x y

 và tiệmcận đứng là d

 



A x 2 B y 2 C y 2 D x 2.Phân tích và giải bài toán:

2 lim

Suy ra hàm số có tiệm cận đứng là x 2 Vậy đáp án A

Ví dụ 21 : Trong các hàm số được cho bởi các phương án A, B, C, D dưới đây,

đồ thị của hàm số nào không có đường tiệm cận?



 D y x 4  3x2  2.Phân tích và giải bài toán:

Ta có đồ thị hàm số y x 4  3x2  2 không có tiệm cận vì hàm số là hàm

đa thức xác định trên tập  và xlim y, xlim  y  Vậy đáp án D

2.3.5 Kỹ năng 5: Giải một số bài toán tương giao.

1) Biện luận số nghiệm của phương trình ( , )f x m  , m: tham số.0

Dựa vào đồ thị (gồm một đường cong và một đường thẳng song song hoặc trùngvới trục hoành) biện luận theo tham số số nghiệm của phương trình: ( , )f x m 0, m: tham số.

Phương pháp: Viết lại phương trình g x( )h m Với  ( )( ) y g x có đồ thị (C) đã

vẽ

 ( )

y h m có đồ thị là đường thẳng d song song hoặc trùng với trục hoành.

B1: Biến đổi phương trình hoành độ giao điểm của d và (C)

B2: Số nghiệm của phương trình chính bằng số giao điểm của hai đồ thị

B3: Dựa vào đồ thị tịnh tiến d song song hoặc trùng với ox  số giao điểm 

Ví dụ 23: Cho hàm số y f x( ) có đồ thị như hình bên Tập tất cả các giá trị

của tham số m để phương trình f x( ) m2 0 có bốn nghiệm phân biệt là:

Ví dụ 24: Cho hàm số yf x  có bảng biến thiên như sau:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình f x  m có ba nghiệmphân biệt

A m  2 B   2 m 4 C   2 m 4 D m 4.Phân tích và giải bài toán:Ta có số nghiệm của phương trình f x  m bằng sốgiao điểm của đồ thị hàm số yf x  và đường thẳng y m

Do đó, dựa vào bảng biến thiên ta thấy, phương trình f x m có ba nghiệmphân biệt khi và chỉ khi   2 m 4 Vậy đáp án đúng là B

2) Sử dụng phương trình để xét bài toán về sự tương giao giữa hai đồ thị hàm số

Cho yf x   C1 và y g x   C2 Để tìm giao điểm của  C1 và C2, ta làmnhư sau:

+ Bước 1: Tìm hoành độ giao điểm Hoành độ giao điểm của  C1 và C2 lànghiệm của phương trình: f x g x   *

Phương trình  * được gọi là phương trình hoành độ giao điểm của  C1 và C2

+ Bước 2: Tìm giao điểm Nếu x0 là một hoành độ giao điểm thì

 

x f x0 ; 0  = (x g x0 ;  0 ) là một tọa độ giao điểm của  C1 và C2

Chú ý Để giải các bài toán loại này, ta rất hay sử dụng định lý Vi-ét đảo:

Nếu x1, x2 là các nghiệm của phương trình bậc hai ax2 bx c  0 (a 0) thì

Phân tích và giải bài toán:Tập xác định: D .

x x

Dựa vào bảng biến thiên ta có: số giao điểm của đồ thị hàm số

Phân tích và giải bài toán:

Số giao điểm của 2 đồ thị là số nghiệm của phương trình hoành độ giao điểm

2 3 1 3 1

x  x x   x3 x2 3x 0  x3 x2 3x 0  x3 x2 3x 0 0