ÖÙng duïng cuûa phöông trình baäc hai vaøo vieäc giaûi toaùn laø moät söï lieân keát cuï theå nhaát .Trong quaù trình giaûng daïy phaàn naøy toâi nhaän thaáy ña soá hoïc sinh coøn raát y[r]
Trang 1TRƯỜNG THCS ĐÀO DUY TỪ
Kinh nghiệm :
PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ
Người thực hiện : Nguyễn Thị Thuý Tổ : Toán – Lí
Trang 2
A-Phần Mở Đầu
Đảng và nhà nước ta rất quan tâm đến đội ngũ tri thức trẻ Họ là những người lao động có kiến thức cơ bản làm chủ kĩ năng nghề nghiệp , quan tâm và nhạy cảm với cái mới Có thể nói rằng đội ngũ tri thức trẻ là những người nắm trong tay vận mệnh của đất nước ta
Muốn có được kiến thức cơ bản làm chủ kĩ năng nghề nghiệp thì chúng ta phải phát huy được tính tích cực tự giác sáng tạo của người học , chúng ta phải bồi dưỡng phương pháp tự học , rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn tác động đến tình cảm , đem lại niềm vui hứng thú học tập cho học sinh Để đáp ứng được tinh thần trên đòi hỏi người giáo viên phải tìm ra phương pháp dạy học hiệu quả nhất Đặc biệt là đối với môn toán môn học có vị trí quan trọng nhất trong trường học Nó là cầu nối là mối liên hệ cho tất cả các môn học khác phát triển Qua toán học con người sẽ tiếp thu được những tinh hoa của nhân loại , hiểu biết thêm được nhiều cái mới Môn toán là chìa khoá của sự phát triển , là chìa khoá mở cửa kho tàng tri thức nhân loại và những tri thức đó là hành trang vững vàng nhất để bước vào tương lai
Phương trình bậc hai một ẩn số là một phần rất quan trọng trong toán học , nó là cầu nối , là sự liên kết chặt chẽ và logic giữa các phần của toán học Ứng dụng của phương trình bậc hai vào việc giải toán là một sự liên kết cụ thể nhất Trong quá trình giảng dạy phần này tôi nhận thấy đa số học sinh còn rất yếu về nhận biết và giải phương trình bậc hai , phân biệt các hệ số tính biệt số đen ta , công thức nghiệm tổng quát để giải loại bài tập này Đối với các em khá giỏi phần này giúp các em về mặt phương pháp để nhằm kích thích tìm tòi sáng tạo của các em biến đổi để đưa những phương trình về phương trình bậc hai rồi giải Biết đưa những bài toán khó về dạng quen thuộc để giải Do đó tôi mạnh dạn viết kinh nghiệm này nhằm góp một phần nhỏ vào việc giúp các em học sinh ứng dụng phương trình bậc hai để giải quyết những vấn đề khó khăn mà các em thường lúng túng về phương pháp Mặt khác nó cũng giúp các em những kỹ năng cần thiết để giải bài toán và các vấn đề lâu dài về sau
Trong quá trình viết kinh nghiệm này mặc dù đã rất nhiều cố gắng nhưng do thời gian ngắn và kiến thức bản thân còn hạn chế nên khó tránh khỏi những sai sót Vì vậy tôi rất mong sự góp ý chân thành của quý bạn đọc Tôi xin chân thành cảm ơn
Trang 3
B - PHẦN NỘI DUNG
Để giúp học sinh học tốt phần phương trình bậc hai một ẩn số khắc phục những hạn chế trên Giáo viên cần cho học sinh nắm chắc các định nghĩa cách giải phương trình bậc hai chú ý khi tính nghiệm
x1 ; x2 và các trường hợp đặc biệt
I / VÀI NÉT SƠ LỰƠC VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ
1 / Định nghĩa :
Phương trình bậc hai một ẩn số là phương trình có dạng ax2 + bx + c = 0 trong đó x là ẩn số a,b,c là các hệ số đã cho , a0
2 / Cách giaiû :
a / Công thức nghiệm tổng quát
Xét phương trình bậc hai : ax2 + bx + c = 0 ( a0) ( 1 )
Để giải phương trình ( 1 ) ta biến đổi như sau :
Đăït f ( x ) = ax2 + bx + c = 0
= a(x2
+b
c
= a(x2+2 b
2 a x +
4 a2+c
4 a2)
= a[ (x + b
2 a)2− b
2
− 4 ac
4 a2 ]
⇒ f ( x ) = 0 ⇔(x + b
4 a2
Đặt = b2 – 4ac
Xảy ra 3 trường hợp :
– Nếu > 0 ⇒ Phương trình ( 1 ) có 2 nghiệm thực là: x1= −b+√Δ
2 a ; x2 = −b −√Δ
2 a – Nếu = 0 ⇒ Phương trình ( 1 ) có 2 nghiệm kép là: x1= x2 = − 2 a b
– Nếu < 0 ⇒ Phương trình ( 1 ) vô nghiệm trên R
b / Công thức nghiệm thu gọn
Với phương trình ax2 + bx + c = 0
Giả sử có hệ số b = 2b '
⇒ = b2 – 4ac
= (2b ')2 – 4ac
= 4 (
2
¿
¿
– ac )
Gọi Δ '
Khi đó : – Nếu Δ ' > 0 ⇒ Phương trình có 2 nghiệm thực là x1= −b '+√Δ '
a
– Nếu Δ ' = 0 ⇒ Phương trình có 2 nghiệm kép là x1= x2 = − b '
a
– Nếu Δ ' < 0 ⇒ Phương trình vô nghiệm trên R
c/ Các cách giải khác
Trang 4Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 có 2 nghiệm x1, x2 thì :
* Định lí Viét :
¿{
¿
¿
Đảo lại , nếu hai số x1, x2 thoả mãn x1+ x2 = S , x1x2 = P thì x1, x2 là nghiệm của phương
trình : X2 – SX + P = 0
Nếu a + b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = 1 , x2 =c a
Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = –1 , x2 = –c a
* Phân tích tam thức bậc hai ax2 + bx + c ra thừa số :
ax2 + bx + c = a(x − x1) (x − x2)
Phương trình bậc hai một ẩn số có những ứng dụng rất quan trọng trong việc giải các phương trình trong đại số của THCS trong quá trình giải bài tập ta gặp những phương trình chưa có thể thấy ngay ở dạng tổng quát mà phải biến đổi nó để đưa về phương trình bậc hai rồi giải
II / MỘT SỐ ỨNG DỤNG CUẢ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
1 / Dùng để giải phương trình bậc cao
1.1 Phương trình bậc ba
a Phương trình có dạng ax3+ bx2 + cx + d = 0 ( a0) (1)
Cách giải : nhẩm nghiệm x0 sau đó đưa (1) về dạng :
(1) ⇔ ( x – x0 )( ax2 + bx + c ) = 0 (với x0 là nghiệm của (1) )
Chú ý : nếu a+b+c+d=0 thì phương trình có nghiệm là x0 = 1
nếu a− b+c −d=0 thì phương trình có nghiệm là x0 = –1
b Ví dụ : Giải phương trình :
2x3- 7x2 - 3x + 18 = 0 (2)
Giải : ta thấy x0 = 2 là một nghiệm của phương trình (2) vậy ta được :
(2) ⇔ ( x− 2)( 2 x2− 3 x − 9)= 0
⇔ ¿
¿
Giải phươngtrình (3) ta có : = 32 + 4.2.9 = 81 ⇒ √Δ= 9
⇒¿
¿
Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm là :
x1 = 2 ; x2 = 3 và x3 = −32
1.2 Phương Trình Dạng : ax2n + bxn + c = 0
a/ Cách giải : Đặt y = xn sau đó đưa về dạng phương trình bậc hai và giải phương trình bậc hai
b/ Ví dụ : Giải phương trình :
8x6 + 7x3 -1 = 0 (1)
Đặt y = x3 phương trình (1) trở thành
⇔ 8y2 + 7y -1 = 0
Giải phương trình bậc hai theo y ta thấy
Trang 5y1 = -1 là một nghiệm ⇒ y2 = 18
y1 = -1 ⇔ x1
3 = - 1 ⇔ x1 = - 1
y2 = 18 ⇔ x23 = 18 ⇔ x2 = 12
– Chú ý: Nếu n = 2 ta có phương trình trùng phương : ax4 + bx2 + c = 0
nghiệm
X 0 của (1) ( nếu có ) thì phương trình trùng phương có nghiệm là x = ±√X
Ví dụ : Giải phương trình
x4 – 13x2 + 36 = 0 (2)
Giải : Đặt X = x2 với X 0
Phương trình (2) ⇔ X2 – 13X + 36 = 0
Ta có : = (-13)2 - 4.8.6 = 196 – 114 ⇒ √Δ= 5
⇒ ¿
¿
X1 = 9 ⇒ x2 = 9 ⇔x = ± 3
X2 = 4 ⇒ x2 = 4 ⇔x = ± 2
Vâïy: Phương trình (2) có 4 nghiệm là : x1 = 3 x2 = -3 và x3 = 2 x4 = -2
2 / PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA ẨN Ở MẪU SỐ
a Cách giải: Khử mẫu với điều kiện mẫu khác 0 , tức là đưa về phương trình bâïc hai sau đó
giải tìm nghiệm
b Ví dụ: Giải phương trình :
5 x −2
x2− 1 - x+2 x+1 = 1 (1)
Giải : Điều kiện
x+1≠ 0
¿{
¿
¿
⇔
x ≠ ± 1
x ≠ −1
¿{
¿
¿
⇔ x ± 1
(1) ⇔(5x -1 ) –( x + 2 ) ( x – 1 ) = x2 – 1
⇔5x -1 – ( x2 + x – 2 ) = x2 – 1 ⇔ 5x – 1 – x2 – x +2 = x2 – 1 ⇔ 2x2 – 4x – 2 = 0
⇔x2 – 2x – 1 = 0 (2)
Ta có Δ '= 12 + 1 = 2 ⇒ √Δ ' = √2
Vậy: Nghiệm của (2) là : ⇒ ¿
¿ ( thoả mãn điều kiện ) Vậy: Nghiệm của (1) là x1 = 1 + √2 ; x2 = 1 - √2
3/ PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ
3.1 Phương trình vô tỷ dạng √A = B
Ta có √A = B ⇔
¿{
¿
¿
a / Cách giải : Để giải phương trình vô tỷ dạng √A = B ta giải hệ phương trình tương (1) và (2) b/
Ví dụ : Giải phương trình √x+1 = x – 1 (1)
Trang 6Giải : (1) ⇔ x − 1≥ 0 x +1=¿
¿
⇔
x ≥1
¿{
¿
¿
⇔
x ≥1
¿{
¿
¿
⇔
x ≥ 1
x1=0 , x2=3
¿{
¿
¿
x1 = 0 ( loại )
Vâïy: Nghiệm của phương trình đã cho là x = 3
4/ PHƯƠNG TRÌNH CÓ GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI
a/ Giải phương trình |A| = B (1)
Cách giải : + Điều kiện : B 0 (2)
+ Bình phương hai vế : A2 = B2 (3)
Giải (3) chọn nghiệm thoả (2) suy ra nghiệm của (1) sơ đồ cách giải
|A| = B ⇔
B ≥ 0
=B2
¿{
¿
¿
giải : (1) ⇔ 2 x+1 ≥ 0¿
¿ ⇔
2
+4 x +1
¿{
¿
¿
⇔
2
3 x2
+8 x −3=0
¿{
¿
¿
⇔
2
3; x2=−3
¿{
¿
¿
⇔x = 13
Vậy: Nghiệm của hệ (1) là x= 13
5 GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH HAI ẨN BẰNG CÁCH ĐƯA VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN SỐ :
a/ Dùng phương pháp thế sau đó suy ra phương trình bậc hai theo x hoặc y
b/ Ví dụ : Giải hệ :
+y2=2❑(2)
¿{
¿
¿
Giải : (1) ⇔ x = 1 + 2y (3) thế vào (2) ta được phương trình bậc hai theo y là :
(1+ 2y )2 + y2 = 2 ⇔5y2+ 4y – 1 = 0 ⇔
5
¿{
¿
¿
+ y1 = –1 thay vào (3) suy ra x1 = – 1
Trang 7+ y2 = 15 thay vào (3) suy ra x2 = 75
Vậy nghiệm của hệ là :
x=−1 y=− 1
¿{
¿
¿
và
5
5
¿{
¿
¿
MỘT SỐ BÀI TOÁN TƯƠNG TỰ
1 Giải phương trình :
a, x3 – 6x2 + 3x+ 10 = 0 b,2x3 + 3x2 – 9x + 4 = 0
2 Giải phương trình :
a , x6 – 19x3 – 216 = 0 b, x4 – 8x2 – 9 = 0 c, 3x4 – 11x2 – 14 = 0
2 Giải phương trình
a, 2 x
1
x +1=2 b, 5 x +7 x − 2 − 2 x +21
26
3 c, √x2−2 x − 3=2 x+8
3 Giải phương trình
a |2 x+ 5|=x −1 b, |2 x+ 1|=x − 2
C - KẾT LUẬN
Qua thời gian giảng dạy tôi đã vận dụng những kinh nghiệm trên để rèn luyện cho học sinh , tôi thấy rằng học sinh có phần tiến bộ hơn Các em học sinh yếu kém đã giảm đi và học sinh khá giỏi cũng tăng lên rõ rệt Đa số các em cảm thấy hứng thú , say mê trong việc học môn toán Từ đó các
em tạo được lòng tin vào khả năng của mình , nhiệt tình đam mê học chất lượng học tập bộ môn toán tiến bộ rõ rệt Có nhiều học sinh khá giỏi
Qua thực tế giảng dạy tôi nhận thấy rằng muốn đạt được chất lượng cao trong việc học toán thì không thể sao nhãng vai trò của người thầy Người thầy phải nắm vững kiến thức Bên cạnh đó phải đổi mới phương pháp giảng dạy để truyền tải lượng thông tin tới học sinh một cách khoa học nhất Để đạt được diều đó đòi hỏi người giáo viên không ngừng học tập để tự hoàn thiện mình Đối với trò cần có ý thức học tập tốt , tính cần cù , chịu khó ham học hỏi yêu thích môn học Trên đây là những kinh nghiện nhỏ mà bản thân trong quá trình giảng dạy đã vận dụng và có hiệu quả Rất mong bạn bè và đồng nghiệp góp ý để chất lương giảng dạy môn đại số bậc trung học cơ sở kết quả học tập ngày càng tốt hơn
Người viết
Nguyễn Thị Thuý