Dùng mathematica để thiết kế phần mềm trợ giúp cho việc giảng dạy và học tập

L ỜI CẢM ƠN Lu ận văn này là kết quả của sau hai năm học tập và nghiên cứu tại Trường Đại h ọc Bách Khoa Hà Nội, bản thân tôi đã được tiếp cận với những kiến thức chuyên sâu v ề các mô

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC BÁCH KHOA HÀ NỘI

-

Đề tài:

Dùng Mathematica để thiết kế phần mềm trợ giúp

cho vi ệc giảng dạy và học tập

CHUYÊN NGÀNH TOÁN TIN

GS – TSKH : LÊ HÙNG SƠN

Hà N ội, năm 2013

L ỜI CẢM ƠN

Lu ận văn này là kết quả của sau hai năm học tập và nghiên cứu tại Trường Đại

h ọc Bách Khoa Hà Nội, bản thân tôi đã được tiếp cận với những kiến thức chuyên sâu v ề các môn học trong toán ứng dụng, đặc biệt là biết được cách áp dụng công ngh ệ thông tin để giải quyết các bài toán liên quan, từ đó đưa vào ứng dụng trong

th ực tiễn

V ới tình cảm chân thành, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn đến quý thầy cô giáo đã tham gia gi ảng dạy lớp cao học khoá 11A Toán- Tin Hà Tĩnh Các phòng ban liên quan c ủa Viện Đào tạo sau đại học Bách Khoa Hà Nội, các đồng nghiệp, bạn bè và gia đình đã tận tình giúp đỡ, tạo điều kiện cho tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành đề tài luận văn này

Đặc biệt tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS-TSKH Lê Hùng Sơn, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ tác giả nghiên cứu đề tài và hoàn chỉnh luận văn

M ặc dù bản thân đã rất cố gắng nhưng chắc chắn luận văn không tránh khỏi

nh ững thiếu sót, rất mong được nhận những ý kiến đóng góp bổ sung của quý thầy

cô giáo , ý ki ến trao đổi của các đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn

Xin chân thành c ảm ơn!

Hà N ội, ngày 25 tháng 03 năm 2013 Tác gi ả luận văn

Tr ịnh Đức Hữu

M ỤC LỤC

Trang

L ỜI CẢM ƠN 1

M Ở ĐẦU 1

I Lý do ch ọn đề tài 1

II M ục đích, đối tượng, phạm vi nghiên cứu của luận văn: 2

III Các lu ận điểm cơ bản và đóng góp mới của tác giả 3

IV Phương pháp nghiên cứu 3

CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ PHẦN MỀM MATHEMATICA 4

1.1 Gi ới thiệu phần mềm Mathematica 4

1.2 Các ph ếp tính toán học đối với số, biểu thức và hàm 5

1.2.1 Tính toán s ố: 5

1.2.2 Tính toán v ới biểu thức 7

1.2.3 Tính toán v ới hàm 9

1.3 V ẽ đồ thị các hàm , các biểu thức 14

CHƯƠNG II MỘT SỐ ỨNG DỤNG MATHEMATICA TRONG ĐẠI SỐ VÀ HÌNH H ỌC 16

2.1 Gi ải phương trình và hệ phương trình 16

2.1.1 Gi ải phương trình 16

2.1.2 Gi ải hệ phương trình 19

2.2 Phép tính vi tích phân 21

2.2.1 Tính gi ới hạn 21

2.2.2 Phép tính vi phân 23

2.2.2.1 Đạo hàm của hàm và biểu thức 23

2.2.2.2 Ti ếp tuyến 25

2.2.2.3 Dùng đạo hàm để vẽ đồ thị hàm số 26

2.2.3 Phép tính tích phân 28

2.2.3.1 Tích phân b ất định 28

2.2.3.2 Tích phân xác định 29

2.3 V ẽ đồ thị 31

2.3.1 V ẽ đồ thị trên mặt phẳng 31

2.3.1.1 V ẽ đồ thị hàm xác định từng khúc 33

2.3.1.2 Đồ thị các hàm cho theo tham số trong mặt phẳng 34

2.3.2 V ẽ đồ thị trong không gian 3 chiều 35

2.3.2.1 V ẽ đồ thị hàm số dạng f(x,y) = 0 và f(x,y,z) = 0 36

2.3.2.2 V ẽ miền đúng của bất đẳng thức 40

CHƯƠNG III: LÝ THUYẾT DANH SÁCH , LẬP TRÌNH CẤU TRÚC VÀ XÂY D ỰNG CÁC CHƯƠNG TRÌNH HỖ TRỢ DẠY VÀ HỌC 43

3.1 Danh sách và danh sách l ồng 43

3.1.1 Danh sách 43

3.1.1.1 Định nghĩa và khai báo danh sách 43

3.1.1.2 Làm vi ệc với danh sách 44

3.1.2 Danh sách l ồng 51

3.1.2.1 Cách cho m ột ma trận 51

3.1.2.2 Trích các ph ần tử của ma trận 52

3.1.2.3 Các phép toán, các hàm v ới ma trận 53

3.1.2.4 T ạo một ma trận với tính chất cho trước: 54

3.2 Áp d ụng lý thuyết danh sách để vẽ tiếp tuyến, cát tuyến với đường cong và xây dung đồ thị linh hoạt 55

3.2.1 V ẽ cát tuyến của đồ thị và xây dựng đồ thị linh hoạt của nó 55

3.2.2 V ẽ tiếp tuyến với đồ thị và xây dựng đồ thị linh hoạt 58

3.3 L ập trình cấu trúc với Mathematica 59

3.3.1 Nh ập/ xuất 59

3.3.2 Gán 59

3.3.4 Kh ối (lệnh) và biến cục bộ 60

3.3.5 C ấu trúc chọn 61

3.3.6 C ấu trúc điều kiện 61

3.3.7 C ấu trúc lặp 62

3.4 Xây d ựng các gói chương trình trợ giúp dạy và học 63

3.4.1 M ột số gói chương trình cơ bản: 63

3.4.2 Xây d ựng chương trình cho bài giảng khảo sát hàm số 64

K ẾT LUẬN 79

TÀI LI ỆU THAM KHẢO 81

Hiện nay ngoài khai thác các ứng dụng trong soạn thảo văn bản và một số

phần mềm ứng dụng trong quản lý của ngành thì việc sử dụng các phần mềm để hỗ

trợ giải quyết các bài toán thường gặp chưa được đầu tư nghiên cứu và sử dụng đúng

mức, chính vì thế nên tôi quyết định chọn nghiên cứu về phần mềm hỗ trợ cho giảng

dạy và học tập Trong rất nhiều các phần mềm được sử dụng nhiều hiện nay như lập trình với Pascal, lập trình C,Visua Basic Foxpro,…đều được đưa vào giảng dạy trong các nhà trường, mỗi phần mềm đều có những ưu điểm riêng của nó Tuy nhiên

có một phần mềm mà nó có trợ giúp giải quyết rất nhiều các bài toán trong nhiều lĩnh vực khác nhau nhưng lại chưa được phổ biến nhiều hiện nay, đó là phần mềm Mathematica

Trong các môn học ứng dụng cần giải quyết các bài toán tính toán cụ thể với

thời gian nhanh nhất là yêu cầu cấp thiết Mathematica là một công cụ lập trình

mạnh với hơn 700 hàm có sẵn trong thư viện hàm

Hiện nay Mathematica là một phần mềm được sử dụng và giảng dạy tại nhiều trường đại học, là công cụ hỗ trợ trong việc đổi mới phương pháp giảng dạy ở nhiều môn học: Toán học đại cương, Vật lý đại cương, Vật lý lượng tử, Toán kinh

tế, Tối ưu hóa, Bảo mật thông tin,

Một khó khăn đối với nghiên cứu phần mềm này là số đầu sách viết bằng

Tiếng Việt về Mathematica còn hạn chế, chưa phổ biến trên thị trường,nên để có được một lượng kiến thức phong phú trình bày trong luận văn thì phải gặp rất nhiều khó khăn và vất vả

II M ục đích, đối tượng, phạm vi nghiên cứu của luận văn:

Luận văn sẽ tập trung giới thiệu, nghiên cứu các khái niệm cơ bản và ứng

dụng của Mathematica để giải quyết những bài toán cơ bản mà ở chương trình học

phổ thông thường gặp

Những khái niệm trong toán học cơ bản như các phép tính số học đối với

biếu thức và hàm số, giải phương trình, hệ phương trình, các bài toán vi tích phân, nghe rất quen thuộc nhưng trong thực tế có những trường hợp ta mất rất nhiều thời gian để giải quyết, thậm chí tìm ra được kết quả là cả một vấn đề Tuy nhiên Mathematica cho ta đáp án nhanh nhất và chính xác nhất có thể

Luận văn sẽ trình bày ứng dụng của phần mềm trong dạy học và học tập

những bài toán về giải phương trình , hệ phương trình, các bài toán vi tích phân, vẽ các đồ thị trong không gian hai chiều và ba chiều, bên cạnh đó sẽ là những kiến

thức cơ bản về lý thuyết danh sách, ứng dụng của nó để giải quyết một số bài toán lien quan

Từ những khái niệm cơ bản tìm hiếu đó thì tác giả sẽ xây dựng một số chương trình để giải quyết các bài toán, trong đó có chương trình được xây dựng để

giải các bài toán khảo sát hàm số , vẽ đồ thị tiếp tuyến trong chương trình THPT ,

một trong những dạng toán thường xuyên gặp nhất trong toán học Với ứng dụng này thì các học sinh phổ thông có thể sử dụng để tìm được kết quả một cách nhanh

nhất, trợ giúp giải đề thi cho các thầy cô giáo trong công tác giảng dạy và luyện thi

III Các lu ận điểm cơ bản và đóng góp mới của tác giả

Về mặt lý thuyết thì luận văn chỉ trình bày các dạng bài toán quen thuộc và ứng

dụng giải quyết các bài toán đó, nhưng cũng chính nhờ những khái niệm cơ bản đó

mà tác giả đã chỉ ra được thêm các phương pháp để xử lý nhanh các bài toán liên quan, bên cạnh đó thì các gói chương trình được tác giả xây dựng sẽ cho kết quả nhanh nhất, chính xác nhất khi gặp các bài toán về khảo sát hàm số, vẽ các đồ thị cơ

bản

- Tham khảo và dịch các tài liệu tiếng Anh

- Tìm hiểu qua giáo trình cơ bản được học

- Tổng hợp và trình bày

CHƯƠNG I: TỔNG QUAN VỀ PHẦN MỀM MATHEMATICA

Phần mềm tính toán Mathematica, phiên bản đầu tiên được viết vào năm 1988 bởi hãng Wolfram Đây là một hệ thống phần mềm làm toán nhờ máy tính,

nó bao gồm tínhtoán kí hiệu, tính số, xử lý đồ thị và lập trình Bản thân Mathematica được coi là một hệ thống đại số máy tính tiện lợi cho nhiều đối tượng sử dụng khác nhau.Mathematica có nhiều version do liên tục được cải tiến và hoàn thiện:1.2, 2.0, 2.2,3.0, 4.0 …và đến nay thì phiên bản 9.0.1 được sử dụng nhiều

Một số quy tắc cơ bản khi sử dụng phần mềm Mathematica:

- Mathematica phân biệt giữa chữ hoa và chữ thường Do đó, chữ cái nào viết hoa

cần phải viết hoa chữ cái đó

- Những lệnh, hàm, các ký hiệu, các biến có sẵn trong Mathematica luôn đợc bắt đầu bằng chữ in hoa

- Để thực hiện một lệnh trong Mathematica, ấn đồng thời hai phím Shift + Enter

- Các hàm, các biến tự khai báo không cần viết hoa chữ cái đầu tiên nhưng khai báo

thế nào khi dùng phải dùng đúng như vậy

- Các chữ cái không được dùng để đặt tên: C, D, E, I, N

- Vai trò của 3 cặp ngoặc ( ), [ ], { }

+ Cặp ngoặc ( ) dùng để ngoặc các biểu thức toán học

+ Cặp ngoặc [ ] dùng để chứa các đối số, biến số của lệnh, của hàm

+ Cặp ngoặc { } dùng để liệt kê các miền cho đối số, liệt kê các công việc, dùng cho các mảng hoặc ma trận

- Tên của các biến, các hàm tự khai báo bao gồm các chữ cái và chữ số, bắt đầu

bằng một chữ cái, có thể là chữ thường hoặc hoa Tên này phải khác với tên các

lệnh, các hàm đã có sẵn trong chương trình

- Phân biệt giữa các ký hiệu := , = và ==

x=1 là lệnh gán giá trị 1 cho biến x (x có thể thay đổi giá trị trong khi thực

hiện chương trình)

x==1 là so sánh giữa giá trị vế trái x có bằng giá trị vế phải là 1 hay không

1.2 Các phếp tính toán học đối với số, biểu thức và hàm

1.2.1 Tính toán số:

a S ố học: Ta có thể làm phép tính với Mathematica giống như làm trên một

máy tính điện tử C¸c phÐp to¸n sè häc c¬ b¶n ®-îc thùc hiÖn mét c¸ch tù nhiªn trong Mathematica

- Cho kết quả chính xác nếu dùng dấu ngoặc đơn để biểu diễn biểu thức số học

In[4]:= (3 + 4) ^ 2 - 2 (3 + 1)

Out[4]= 41

b Kết quả gần đúng và chính xác

Khi làm việc với số nguyờn, Mathematica luụn hiển thị kết quả chớnh xỏc

và đầy đủ trờn màn hỡnh, ngay cả khi tớnh toỏn với những số lớn

Vớ dụ

Đối với phộp toỏn thực hiện với số hữu tỷ thỡ thụng thường khi sử dụng mỏy tớnh hay cỏc phần mềm khỏc ta chỉ nhận được kết quả xấp xỉ, chẳng hạn khi tớnh 10/3 ta sẽ nhận được kết quả là:3.3333333333333

Đối với Mathematica, khi núi về số hữu tỷ là núi về phõn số Do đú, kết quả sau cỏc phộp tớnh trong Mathematica vẫn là số hữu tỷ

10/3

310

Nếu ta sử dụng N[…] hay //N để tớnh toỏn thỡ sẽ cho kết quả gọn ở dạng khoa học

Còn nếu dung lệnh (-5)^(1/3)//N thì sẽ được kết quả là giá trị phức:

0.854988 +1.48088 i

1.2.2 Tính toán với biểu thức

Một điểm mạnh của Mathematica là thực hiện biểu diễn các phép tính đại số đối với các biểu thức, chẳng hạn như: khai triển, phân tích…

a Các phép tính đại số trên các biểu thức

/ Hoặc // Thế giá trị

ExPand[bi ểu thức]: Khai triển biểu thức

ExpandAll[bi ểu thức]: Khai triển tất cả các biểu thức con trong biểu

thức

ExpandDenominator[bi ểu thức]: Khai triển mẫu thức

ExpandNumerator[bi ểu thức]: Khai triển tử thức

Denominator[bi ểu thức]: Cho giá trị của mẫu thức

Numerator[bi ểu thức]: Cho giá trị của tử thức

Apart[bi ểu thức]: Cho phân thức đơn giản của biểu thức hữu tỷ

Cancel[bi ểu thức]: Giản ước thừa số chung trong biểu thức

Collect[bi ểu thức, x]: Cho đa thức theo biến x

Factor[Đa thức]: Phân tích đa thức thành nhân tử trên trường số hữu tỷ Short[Đa thức]: Hình thức viết gọn của đa thức

Simplify [Đa thức]: Rút gọn expr đa thức

Together[ bi ểu thức]: Viết biểu thức dưới dạng một phân thức

In[4]:= 𝐅𝐅𝐄𝐄𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐒𝐒[𝟐𝟐^𝟐𝟐 + 𝟓𝟓𝟐𝟐 + 𝟔𝟔]

Out[4]= (2 + 𝑥𝑥)(3 + 𝑥𝑥)

b Đặt tên và tính toán các biểu thức

Trong Mathematica, để đơn giản hóa các đối tượng toán học trong quá trình lâp trình, ta có thể đặt tên cho các đối tượng đó nhằm tránh tình trạng nhắc

đi, nhắc lại nhiều lần một biểu thức toán học, mà chỉ cần nhắc tên của nó là được

Ví dụ 2:

Cho phân thức 𝑡𝑡 = (1 + 𝑥𝑥)^2/(1 − 𝑥𝑥) + 3𝑥𝑥^2/(1 + 𝑥𝑥)^2 + (2 − 𝑥𝑥)^2

- Khai triển tử thức

- Khai triển mẫu thức

- Khai triển cả biểu thức

Đối với các hàm ta có thể định nghĩa để giải quyết một bài toán giống như đối với

biểu thức Ngoài ra trong Mathematica còn có hơn 700 hàm có sẵn

a M ột số các hàm số cơ bản có sẵn:

Hàm số cơ bản Khai báo trong Math Hàm số cơ bản Khai báo trong Math

x Abs[x] x Sqrt[x] hoặc x^(1/2)

x

Ta sẽ tìm hiểu các hàm đơn giản có sẵn thông qua các ví dụ sau:

Đối với hàm ex và hàm loga thì ta phải dung lệnh //N để được kết quả số

Ở ví dụ trên nếu ta viết lệnh E^2+ Log[4] thì chỉ được kết quả là

Các hàm trong Mathematica đều bắt đầu bằng chữ hoa, còn các hàm hoặc các biểu

thức có thể đặt tên bắt đầu bằng chữ thường.Để tránh tình trạng tên hàm đã được dùng định nghĩa trước đó mà ta vẫn dùng thì phải dùng lệnh Clear[…] để xóa tất cả

định nghĩa nghĩa nếu có về hàm đó

Ta sẽ tìm hiểu cách định nghĩa các hàm qua các ví dụ sau đây:

ta được −Log[𝑥𝑥]3 + 𝑥𝑥2Log[𝑒𝑒3𝑥𝑥2Log[2]+Sin[1+2𝑥𝑥]2]

Sau khi định nghĩa, để tính giá trị của hàm số tại x=1 ta dùng lệnh sau:f[1.] hoặc f[x]/.x->1 ta được

Log[𝑒𝑒3+Sin[3]2] Log[2]

hoặc ta có thể lấy giá trị thập phân bằng lệnh f[1]//N sẽ được 4.32951

Lưu ý: Không được quên dấu “_ “ ở vế trái của dấu bằng trong mỗi định nghĩa hàm

Mathematica có thể tính phép tính ký hiệu và nhân nhiều hàm

- Định nghĩa hàm vectơ một biến

Ví dụ : định nghĩa hàm giá trị vectơ f(x)=(x2,1+sinx), tính giá trị f(π)

F[x_,y_]={x^2*ArcTan[y^2 – 2*x*y], Sin[x + y]^2*Log[x]^3}

{𝑥𝑥2ArcTan[2𝑥𝑥𝑦𝑦3– ], Log[𝑥𝑥]3Sin[𝑥𝑥 + 𝑦𝑦]2}

V ẽ đồ thị f(x) có nhiều màu khác nhau, ta dùng lệnh

Plot [f[x],{x, xmin, xmax}, PlotstyleGrayLevel[w]] , trong đó w là 0 hoặc 1

PlotstyleGrayLevel[0] hiển thị màu đen, còn PlotstyleGrayLevel[1] hiển thị màu trắng

Muốn vẽ nhiều màu hơn nữa, có thể dùng lệnh: Plot [f[x],{x, xmin, xmax}, PlotstyleRGBColor[r, g,b] trong đó r, g, b là 0 hoặc 1 Chẳng hạn RGBColor[1,0,0] cho màu đỏ, RGBColor[0,1,0] cho màu xanh lá cây, RGBColor[1,0,0] cho màu xanh nước biển

AxesOrigin {x-coordinate, y-coordinate} : Xác định giao điểm của trục

x và y tại điểm có tọa độ là {x-coordinate, y-coordinate}

PlotRange{y-min, y-max}: Xác định khoảng trên và dưới đồ thị sẽ được

hiển thị PlotRange{{x-min, x-max},{y-min, y-max}} hiển thị đồ thị giới hạn

trong hình chữ nhật {{x-min, x-max},{y-min, y-max}}

10 20 30 40 50 60

CH ƯƠNG II MỘT SỐ ỨNG DỤNG MATHEMATICA TRONG ĐẠI SỐ VÀ

2.1 Giải phương trỡnh và hệ phương trỡnh

Mathematica có thể tìm đ-ợc nghiệm đúng các ph-ơng trình và hệ ph-ơng trình của các ph-ơng trình có bậc ≤ 4 Bên cạnh đó cũng có thể tìm ra đ-ợc các nghiệm gần đúng của những ph-ơng trình hoặc là không thực tế, hoặc là không có khả năng giải đ-ợc

Mặt khác việc vẽ đồ thị của các hàm cũng giúp ta tìm đ-ợc các nghiệm nhờ vào giao điểm của đồ thị

2.1.1 Giải phương trỡnh

Để tìm một nghiệm đúng của ph-ơng trình ta có thể dùng lệnh :

Solve[vế trái==vế phải,x] để ph-ơng trình theo ẩn x

Vớ dụ: giải cỏc phương trỡnh sau:

{{Cos[𝑥𝑥] → −1}, {Cos[𝑥𝑥] → −1}}

Chú ý rằng, không phải tất các phương trình đa thức đều có nghiệm chính xác Theo

lí thuyết phương trình thì các phương trình bậc 4 trở xuống đều có công thức nghiệm chính xác được xây dựng từ các hệ số Tuy nhiên, theo Galois, đối với các phương trình bậc 5 trở lên, chúng ta lại không có những công thức nghiệm như thế

Và Mathematica sẽ không đánh giá các phương trình bậc 5 trở lên (các phương trình không thể phân tích thành nhân tử), tất nhiên có thể tìm tất cả các nghiệm của

một phương trình đa thức bằng phương pháp số thông qua lệnh N[]

Có những phương trình mà kết quả chính xác rất dài và rườm rà thì ta có thể yêu cầu Mathematica cho kết quả nghiệm gần đúng bằng lệnh N[biểu thức] hoặc biểu thức//N

-1.52295-b Solve[x^4-3x^2==1-2x]//N

{{x 0.302339 0.49516 },{x 0.302339 +0.49516 },{x 2.0523},{x 1.44762}}

Nếu ta so sánh kết quả trên với kết quả khi giải phương trình với lệnh

Solve[x^4-3x^2==1-2x] thì sẽ thấy được giá trị của việc giải gần đúng nghiệm

Mặt khác, trong Mathematica có những lệnh chuyên dùng để giải những phương trình không thực tế hoặc không có khả năng giải được như FindRoot và NRoots,

NSolve

Lệnh NRoots [ v ế trái= = vế phải, biến] cho phép xấp xỉ nghiệm của đa

thức

FindRoot [v ế trái= = vế phải, {x,x 0 }]: Tìm nghi ệm của v ế trái= = vế phải

bắt đầu với x =x0 Một trong những cách để tìm x0 là vẽ đò thị của vế trái và vế

phải, tìm giao điểm của chúng rồi đánh giá hoành độ đó Nếu phương trình có nhiều nghiệm thì FindRoot phải dung nhiều lần

Ví dụ: Xấp xỉ nghiệm của đa thức

Như vậy lệnh FindRoot có thể tìm được cả xấp xỉ nghiệm của đa thức, nhưng

điểm mạnh là đối với những phương trình khác đa thức

Nhìn vào đồ thị ta thấy cosx-x=0 gần 0.7 nên ta dùng giá trị này làm xấp xỉ đầu tiên

Với hệ phương trình này thì ta phải dùng lệnh FindRoot để xấp xỉ, trước hết ta phải

vẽ đồ thị của mỗi phương trình để tìm nghiệm xấp xỉ ban đầu

Từ kết quả đò thị trên thì ta thấy hệ trên có 4 nghiệm, trong đó có 2 nghiệm khả dĩ

* Lưu ý : ContourPlot[f == 0,{x,xmin,xmax},{у,ymin,ymax}] – xây dựng đồ

thị hàm sốf(x,y) = 0 trong miền [xmin, xmax]×[ymin,ymax]

2.2 Phép tính vi tích phân

Ở phần này ta sẽ tìm hiểu các lệnh cơ bản để thực hiện phép tính vi tích phân Trong Mathematica thì các lệnh để thực thi các yêu cầu của các phép tính vi tích phân rất phong phú

2.2.1 Tính gi ới hạn

Để tính giới hạn trong Mathematica dung lệnh Limit[exp,x a] để tìm lim của exp

khi x a (a có thể là hữu hạn hoặc vô hạn)

- 2 4

𝑐𝑐 lim

𝑥𝑥→𝜋𝜋

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥𝑥𝑥

Limit[f[x],x→ 𝐄𝐄, 𝐃𝐃𝐏𝐏𝐒𝐒𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐂𝐏𝐏𝐂𝐂𝐄𝐄 → 𝟏𝟏] dùng để tính

lim

2.2.2.1 Đạo hàm của hàm và biểu thức

Ở đây ta sẽ tìm hiểu về các lệnh của Mathematica trong việc tính đạo hàm của hàm

và biểu thức

Nếu hàm f(x) là khả vi thì Mathematica có thể tính đạo hàm của f(x) như sau:

- L ệnh f’[x]: Đạo hàm cấp một của hàm một biến

- L ệnh f (n) [x]: Đạo hàm cấp n của hàm một biến

plot1=Plot[f[x],{x,-5,5}, DisplayFunction Identity];

plot2=Plot[3x+7,{x,-5,5}, DisplayFunction Identity];

Show[plot1,plot2,DisplayFunction $ DisplayFunction]

Lưu ý: option DisplayFunction Identity sử dụng để tránh cho plot1 và plot2 xuất

hiện cùng một lúc trên màn hình Option này ta sẽ sử dụng nhiều trong phần vẽ đồ thị trong các phần sau

2.2.2.3 Dùng đạo hàm để vẽ đồ thị hàm số

Trong toán học thì việc vẽ đồ thị hàm số là rất quan trọng, trong Mathematica sẽ hỗ

trợ cho ta cách vẽ một hàm số mà trên đó cho ta thông tin tiện lợi nhất Để đáp ứng được các yếu tố đó thì ta cần sử dụng đến đạo hàm bậc 1 và đạo hàm bậc 2 để cho

ta biết các thông tin sau:

- f giảm và lồi khi x<-7

- f tăng và lồi khi -7 < x < -4

-f tăng và lõm khi -4 < x< 1

2

-f giảm và lõm khi 12 <x < 3

- f giảm và lồi khi 3 < x < 5

- f tăng và lồi khi x> 5

4

e Clear[f]

f[x_]=e^(2x)Sin[2x]^2

Integrate[f[x],{x,Pi/2,2Pi}]

𝑒𝑒𝜋𝜋(−1 + 𝑒𝑒3𝜋𝜋)Log[𝑒𝑒](4 + Log[𝑒𝑒]2)

f Integrate[Log[x] * Exp[-2x], {x, 0, Infinity}]

Cú pháp hình thức có thể viết như sau:

Plot[f, {x, xmin, xmax}]: vẽ đồ thị hàm f trên đoạn [xmin,xmax]

Plot[{f1, f2, }, {x, xmin, xmax}]: vẽ trên cùng một hệ trục tọa độ các hàm f1, f2,

… trên đoạn [xmin,xmax]

Ví dụ 1:

Plot[Sin[x]/x,{x,0,20}]

2 4 6 8 10 200

400 600 800 1000 1200

Để biết được danh sách các tham số được dùng kèm với hàm Plot, ta gõ câu

lệnh Options[Plot] Các tham số này được khai báo ở dạng: name→value

Các giá trị hay dùng nhất của tham số là:

- Automatic: sự chọn lựa sẽ được tự động

- None: tham số không được sử dụng

- All: được sử dụng trong trường hợp bất kì

ListPlot[{{x1, y1},{х2, у2 }, }] – hiển thị các điểm có tọa độ {xi,yi} lên hệ trục tọa độ

Chú ý:

- Đối với lệnh ListPlot cũng có các tham số như lệnh Plot

- Nếu các điểm không được hiển thị đầy đủ, bạn bổ sung thêm tham số

PlotRange→All

- Muốn hiển thị nhiều đồ thị tên cùng một hệ trục tọa độ ta dùng lệnhShow[]

2.3.1.1 V ẽ đồ thị hàm xác định từng khúc

Trong Mathematica có thể định nghĩa và vẽ đồ thị các hàm xác định từng khúc Ký

hiệu /; sẽ định nghĩa hàm với các miền giá trị khác nhau

Ví dụ: Cho f(x)= �sinx với x ≥ 0𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑥𝑥 𝑣𝑣ớ𝑠𝑠 𝑥𝑥 < 0

2.3.1.2 Đồ thị các hàm cho theo tham số trong mặt phẳng

Lệnh ParametricPlot [{x[t],y[t]},{t, tmin, tmax}] dùng vẽ đường cong cho

bởi phương trình x=x[t], y=y[t] khi t biến thiên từ tmin đến tmax

Ví dụ 1:

ParametricPlot[{Cos[5*t],Sin[3*t]},{t,0,20},AspectRatio->Automatic]

Ví dụ 2:

ParametricPlot[{{2Cos[t],2Sin[t]},{2Cos[t],Sin[t]},{Cos[t],2Sin[t]},{Cos[t],Sin[t] }},{t,0,2 Pi}]

Ví dụ 3: Vẽ đường tròn x2 – 2x + y2 – 2y = 2

Ta đưa phương trình về dạng (x-1)2+ (y-1)2 = 22

ParametricPlot[{1+2Cos[t],1+2Sin[t]},{t,0,2Pi},AspectRatio → 𝟏𝟏]

2.3.2 Vẽ đồ thị trong không gian 3 chiều

- Lệnh Plot3D

Chức năng: vẽ hình dạng của hàm 2 biến z = f(x,y) trong hệ trục tọa độ Oxyz

Plot3D[f,{x,xmin,xmax),{у,ymin,ymax}] – xây dựng đồ thị 3 chiều của hàm 2 biến

Như chúng ta đã biết, để vẽ đồ thị của một hàm số trong hệ trục tọa Decac vuông

góc ta thường dùng lệnh Plot[ ], tuy nhiên đối với trường hợp này hàm số phải có

dạng chuẩn là y = f(x) Trong nhiều trường hợp khác, chúng ta lại cần vẽ đồ thị của hàm số có dạng f(x,y) = 0, ví dụ như vẽ hình elip chẳng hạn, giải pháp tối ưu nhất là