Theo chương trình Chuẩn.. Câu 4.a[r]
Trang 1I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
y = f x = x − x
1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C tại điểm có hoành độ x ,0 biết f " x( )0 = − 1.
Câu 2 (3,0 điểm)
1) Giải phương trình log x2( − +3) 2log43.log x3 =2 2) Tính tích phân 2( )2
0
1
ln
3) Tìm các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số f ( )x x m21 m
x
=
+ trên đoạn [ ]0;1 bằng 2.−
Câu 3 (1,0 điểm) Cho hình lăng trụ đứng ABC.A B C ′ ′ ′có đáy ABC là tam giác vuông tại B
và BA BC a.= = Góc giữa đường thẳng A B′ với mặt phẳng (ABC bằng 60 ) D Tính thể
tích khối lăng trụ ABC.A B C ′ ′ ′ theo a
II PHẦN RIÊNG - PHẦN TỰ CHỌN (3,0 điểm)
Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần 1 hoặc phần 2)
1 Theo chương trình Chuẩn
Câu 4.a (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(2;2;1), B(0;2;5)
và mặt phẳng ( )P có phương trình 2x y− + =5 0
1) Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua A và B
2) Chứng minh rằng ( )P tiếp xúc với mặt cầu có đường kính AB
Câu 5.a (1,0 điểm) Tìm các số phức 2z z+ và 25i
,
z biết z= −3 4i .
2 Theo chương trình Nâng cao
Câu 4.b (2,0 điểm) Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(2;1;2) và đường thẳng ∆
có phương trình 1 3
.
1) Viết phương trình của đường thẳng đi qua O và A
2) Viết phương trình mặt cầu ( )S tâm A và đi qua O Chứng minh ∆ tiếp xúc với ( )S
Câu 5.b (1,0 điểm) Tìm các căn bậc hai của số phức 1 9 5
1
i
i
+
−
Hết
-Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh:
Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2:
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2012
Môn thi: TOÁN − Giáo dục trung học phổ thông
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
http://toanhocmuonmau.tk
Trang 2BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2012
Môn thi: TOÁN − Giáo dục thường xuyên
Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề
Câu 1 (3,0 điểm)
Cho hàm số 2 1
1
x y x
+
=
− 1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số đã cho
2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị ( )C tại điểm có tung độ bằng 5
Câu 2 (2,0 điểm)
1) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f x( )= x2 −2x+ trên 5 đoạn [0 ; 3 ]
2) Tính tích phân 2( )2
1
I =∫ x− x dx
Câu 3 (2,0 điểm)
Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho đường thẳng ,
2 2
4 2
= − +
⎧
⎪ = −
⎨
⎪ = +
⎩
và mặt cầu ( ) ( ) (2 ) (2 )2
1) Tìm tọa độ một vectơ chỉ phương của đường thẳng d Tìm tọa độ tâm và tính
bán kính của mặt cầu ( )S
2) Viết phương trình mặt phẳng vuông góc với đường thẳng d và tiếp xúc với
mặt cầu ( )S
Câu 4 (2,0 điểm)
1) Giải phương trình log x log x3 + 3( − =8) 2.
2) Tìm phần thực, phần ảo và môđun của số phức z=(2 3 1+ i) ( − −i) 4 i
Câu 5 (1,0 điểm)
Cho hình chóp S ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, SA vuông góc với mặt đáy
Biết AB a = 2, BC a = và nSCA=60 o Tính thể tích khối chóp S ABCD theo a
- Hết -
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm
Họ và tên thí sinh: Số báo danh: Chữ kí của giám thị 1: Chữ kí của giám thị 2:
Trang 3BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2012
Môn thi: TOÁN – Giáo dục trung học phổ thông
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
(Bản hướng dẫn này gồm 04 trang)
I Hướng dẫn chung
1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì vẫn cho đủ
số điểm từng phần như hướng dẫn quy định
2) Việc chi tiết hoá (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong toàn Hội đồng chấm thi
3) Sau khi cộng điểm toàn bài, làm tròn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5; lẻ 0,75 làm tròn thành 1,00 điểm)
II Đáp án và thang điểm
1 (2,0 điểm)
Sự biến thiên:
2
x
y x x y'
=
⎡
⎣ + Trên các khoảng (−2 ; 0) và (2 ;+ ∞), y′> nên hàm số đồng biến 0 + Trên các khoảng (−∞ − và ; 2) (0 ; 2), y′< nên hàm số nghịch biến 0
0,50
• Cực trị:
+ Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và yCĐ =0.
+ Hàm số đạt cực tiểu tại x = ± và y2 CT = − 4.
0,25
• Giới hạn: ;
x lim y x lim y
Câu 1
(3,0 điểm)
• Bảng biến thiên:
0,25 +∞
− 4
x − ∞ −2 0 2 +∞
y’ − 0 + 0 − 0 +
y
− 4
+∞
0
http://toanhocmuonmau.tk
Trang 4Đồ thị:
Lưu ý: Thí sinh chỉ trình bày: Đồ thị cắt Ox tại O và (±2 2 ;0) hoặc thể hiện
(±2 2 ;0) trên hình vẽ thì vẫn cho đủ 0,50 điểm.
0,50
2 (1,0 điểm)
Ta có f x′( )=x3−4 ;x f′′( )x =3x2 − 4. 0,25
( )
4
x = ⇒ y = − f ' = − ta được phương trình tiếp tuyến là 3 5
4
y= − x+ . 0,25
( )
4
x = − ⇒ y = − f ' − = ta được phương trình tiếp tuyến là 3 5
4
y= x+ . 0,25
1 (1,0 điểm)
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với
1 4
x x
= −
⎡
⇔ ⎢ =
⎣ Vậy nghiệm của phương trình là x= 4. 0,25
2 (1,0 điểm)
Đổi cận: x= ⇒ = ; 0 t 0 x ln= 2⇒ = t 1. 0,25 Suy ra
1
2
t
Câu 2
(3,0 điểm)
Vậy 1
3
(loại)
x
y
4
−
2 2
2 2
Trang 53 (1,0 điểm)
Trên đoạn [0 ; 1 ,] ta có ( )
2 2
1 1
x
− +
Mà m2 − + > ∀ ∈ ⇒m 1 0, m \ f x′( )>0. Nên hàm số đồng biến trên [0 ; 1 ] 0,25 Suy ra giá trị nhỏ nhất của hàm số trên [ ]0 ; 1 là f ( )0 = −m2 +m. 0,25
min f x = − ⇔ −m + = − Vậy m m= − và 1 m= 2 0,25
Ta có A A′ ⊥(ABC)⇒ nA BA′ =60o.
0,25
Diện tích đáy: 2
2
ABC a
Câu 3
(1,0 điểm)
Vậy thể tích khối lăng trụ ABC.A B C′ ′ ′ là 3 3
2
ABC.A B C ABC a
V ′ ′ ′ =S∆ .A A' = . 0,25
1 (1,0 điểm)
Ta có JJJGAB= −( 2 ; 0 ; 4 ,) suy ra AB có vectơ chỉ phương là uG= −( 1 ; 0 ; 2). 0,50
Vậy phương trình tham số của đường thẳng AB là
2 2
1 2
y
= −
⎧
⎪ =
⎨
⎪ = +
⎩
0,50
2 (1,0 điểm)
Gọi ( )S là mặt cầu có đường kính AB và I là trung điểm AB
Bán kính của ( )S là ( ) (2 ) (2 )2
R IA= = − + − + − = . 0,25
( )2
Câu 4.a
(2,0 điểm)
Nên d I P( ,( ) )= Vậy R ( )P tiếp xúc với ( )S 0,25
A
C B
B'
60D
http://toanhocmuonmau.tk
Trang 6Ta có 2z= − và 6 8i z = +3 4i. 0,25
Câu 5.a
(1,0 điểm)
( 25 3 4)( ) 25( 4 3 )
25
4 3
i
i.
1 (1,0 điểm)
Đường thẳng OA có vectơ chỉ phương là OAJJJG=(2 ; 1 ; 2). 0,50
Vậy phương trình của đường thẳng OA là
2 2
x t
y t
z t
=
⎧
⎪ =
⎨
⎪ =
⎩
hoặc
.
2 (1,0 điểm)
Bán kính mặt cầu ( )S là R OA= = 22+ +12 22 = 3. 0,25 Suy ra ( )S :( ) (2 ) (2 )2
Đường thẳng ∆ qua B(1 ; 3 ; 0) và có vectơ chỉ phương uG=(2 ; 2 ; 1).
Mặt khác, JJJGBA=(1 ; 2 ; 2− )⇒ ⎡⎣JJJG GBA u, ⎤⎦ = −( 6 ; 3 ; 6).
Nên ( , ) , ( )62 2 232 262 3
BA u
u
JJJG G G
0,25
Câu 4.b
(2,0 điểm)
Suy ra d A( ,∆ = Vậy ) R ∆ tiếp xúc ( )S 0,25
(1 9 1)( )
.
Câu 5.b
(1,0 điểm)
Mặt khác, ( )2
z= − = i Vì vậy các căn bậc hai của z là 2i− và 2i 0,50
- Hết -
http://toanhocmuonmau.tk
Trang 7HƯỚNG DẪN CHẤM THI
(Bản hướng dẫn này gồm 03 trang)
I Hướng dẫn chung
1) Nếu thí sinh làm bài không theo cách nêu trong đáp án nhưng đúng thì vẫn cho đủ
số điểm từng phần như hướng dẫn quy định
2) Việc chi tiết hoá (nếu có) thang điểm trong hướng dẫn chấm phải đảm bảo không làm sai lệch hướng dẫn chấm và phải được thống nhất thực hiện trong toàn Hội đồng chấm thi
3) Sau khi cộng điểm toàn bài, làm tròn đến 0,5 điểm (lẻ 0,25 làm tròn thành 0,5; lẻ 0,75 làm tròn thành 1,00 điểm)
II Đáp án và thang điểm
1 (2,0 điểm)
Sự biến thiên:
• Chiều biến thiên:
3 0 1
x
−
− Suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng (− ∞ ; 1) và (1 ; + ∞)
0,50
• Giới hạn và tiệm cận:
1
x lim y−
→ = − ∞ ;
1
x lim y+
→ = + ∞ ⇒ đường thẳng x= là tiệm cận đứng 1 2
x lim y
0,50
Câu 1
(3,0 điểm)
• Bảng biến thiên:
0,25
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
KỲ THI TỐT NGHIỆP TRUNG HỌC PHỔ THÔNG NĂM 2012
Môn thi: TOÁN – Giáo dục thường xuyên
x − ∞ 1 + ∞
y’ − −
− ∞
2
2
http://toanhocmuonmau.tk
Trang 8Đồ thị:
Lưu ý: Thí sinh chỉ trình bày: Đồ thị cắt Ox tại 1 ; 0
2
⎛− ⎞
⎝ ⎠ và Oy tại (0 ; 1 − )
hoặc thể hiện 1 ; 0
2
⎛− ⎞
⎝ ⎠và (0 ; 1 − ) trên hình vẽ thì vẫn cho đủ 0,50 điểm.
0,50
2 (1,0 điểm)
Phương trình tiếp tuyến cần tìm là y− = −5 3(x−2)⇔ = − +y 3x 11. 0,50
1 (1,0 điểm)
Trên đoạn [ ]0;3 , ta có ( ) 2 1
x
−
=
Ta có f ( )0 = 5 ; f ( )1 =2; f ( )3 =2 2. 0,25 Vậy
[ ]0;3 ( ) ( )1 2
min f x = f = và
2 (1,0 điểm)
Câu 2
(2,0 điểm)
=
2
1
2
1 (1,0 điểm)
Một vectơ chỉ phương của d là uG=(2; 1; 2− ). 0,50
Câu 3
(2,0 điểm)
2
1 1
−
O
x
y
1 2
−
http://toanhocmuonmau.tk
Trang 92 (1,0 điểm)
Gọi ( )α là mặt phẳng vuông góc với d , suy ra ( )α có một vectơ pháp
tuyến là uG=(2; 1; 2− ) và phương trình ( )α có dạng 2x y− +2z+ = D 0. 0,25
( )α tiếp xúc mặt cầu ( )S khi và chỉ khi d I( ,( )α )=R 0,25
( )( ) ( )2
26 3
⎣
Vậy có hai mặt phẳng thỏa mãn yêu cầu đề bài là
( )α1 : 2x y− +2z+ = và 4 0 ( )α2 : 2x y− +2z−26 0= . 0,25
1 (1,0 điểm)
Với điều kiện trên, phương trình đã cho tương đương với ( 2 )
log x − x = 0,25
9
x
⇔ = Vậy phương trình có nghiệm là x= 9. 0,25
2 (1,0 điểm)
2
Số phức z có phần thực bằng 5 ; phần ảo bằng 3− 0,25
Câu 4
(2,0 điểm)
Môđun của z là 2 ( )2
Do SA⊥(ABCD)nên SA là chiều cao của khối chóp S.ABCD
0,25
Ta có AC = AB2+BC2 = 2a2+a2 =a 3.
Trong tam giác vuông SAC, ta có: SA =a 3 tan60D =3a. 0,25
Câu 5
(1,0 điểm)
Thể tích khối chóp S.ABCD là V S.ABCD = 1
3SA.S ABCD
Hết
-2
a
A S
B
o
http://toanhocmuonmau.tk