[r]
Trang 1Đáp án đề 2
1
TXĐ D= R
y’ =
x+2¿2
¿ 4
¿
> 0 ∀ x ∈ D
Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;-2) và (-2;+∞) và không có cực trị
0.25
x → 2+ ¿
lim y
¿
= +∞, lim y
x →− 2 − = 2 -∞ ⇒ x = -2 là tiệm cận đứng
lim y
0.25
Bảng biến thiên :
x -∞ -2 +∞
y +∞
-∞
0.25
Điểm đặc biệt : (0 ; 0), (1 ; 2/3), (2 ; 1) , (-1 ;-2), tâm đối xứng I(-2 ;2)
Đồ thị :
0.25
2
Gọi M(x0 ; 2 x0
x0+2 ) là điểm trên (C ) Ttiếp tuyến ∆ của (C ) tại M là :
y - 2 x0
x0+2 =
x0+2¿2
¿ 4
¿ (x – x0) ⇔ 4x – (x0 = 2) ❑2 y + 2x0 = 0 (∆)
0.25
d(I, ∆) =
x0+2¿2+2 x0
− 8 −2¿
¿
x0+2¿4
¿ 16+¿
√¿
¿
¿
=
x0+2¿4
¿ 16+¿
√¿
8|x0+2|
¿
x0+2¿2
¿
2 4¿
√¿
8|x0+2|
¿ (bđt Cô –Si)
⇒ d(I, ∆) 8|x0+2|
2√2|x02| = 2 √2
0.25
⇒ d(I, ∆) đạt giá trị lớn nhất ⇔ (x0 +2)4 = 16
y
O -2
2
x
Trang 2⇔
x0=0,( y0=0)
¿
x0=− 4,( y0=4)
¿
¿
¿
¿
0.25
1
Với điều kiện cosx 0 ,phương trình tương đương với :
cos2x.cos2x – sin2x = cosx2 + cos3x – 1
⇔ cos2x( cos2x – cosx) = 0
0.25
⇔
cos x=1
¿
cos x=−1
2
¿
¿
¿
¿
0.25
⇔
x=n 2 π (n ∈ Z)
¿
x=± 2 π
3 +k 2 π (k ∈ Z )
¿
¿
¿
¿
0.25
2
Từ hệ pt suy ra : y 0 nên
Hpt ⇔
x2+1
y +x + y=4 x+ y¿2−2 x
2
+1
y =2
¿
¿
¿{
¿ Đặt u = x
2
+1
y và v = x + y Ta có hệ phương trình :
7 2
4
v
v u
⇔
¿
u=4 − v
v2+2 v −15=0
¿{
¿
⇔
¿u=1 v=3
¿
¿
¿
u=9
¿
v =−5
¿
¿
¿
¿
¿
0.25
Với u = 1, v = 3 ta có hệ phương trình :
0.25 (thỏa mãn đk cosx
0 )
Trang 3
¿
x2+1= y
x + y=3
¿{
¿
⇔
¿
x2+x −2=0
y =3− x
¿{
¿
⇔
¿x =1
y =2
¿
¿
¿
x=−2
¿
y =5
¿
¿
¿
¿
¿ Với u= 9, v = -5 ta có hệ phương trình
¿
x2+1=9 y
x+ y=−5
¿{
¿
hệ phương trình vô nghiệm 0.25
Ta có
1+tan x
2¿
2
1+sin x 1+cos x=
1
2¿ Do đó :
I = 12
1+tan x
2¿
2 e xdx=1
2∫
0
π
2
(1+tan2x
2+2 tan
x
2) e
xdx
¿
∫
0
π
2
¿
0.25
I = 12
(1+tan2x
2)e
xdx+¿
∫
0
π
2
¿
∫
0
π
2 tanx
2 e
x
dx
0.25
Đặt u = ex ⇒ du = exdx, dv = 1
2(1+tan
2 x
2)dx ⇒ v = tan x
2 .
Do đó :
I = extan x
2
¿π
2
¿0
-
∫
0
π
2
tanx
2 e
x
dx + ∫
0
π
2
tanx
2 e
x
dx
0.25
N
A
K
I O
M
D
C B
S
0.25
Từ giả thiết suy ra ACD là tam giác đều cạnh a
⇒ CM AD và CM = a√3
⇒ SBCDM = 1
2 (BC + DM).CM
= 3 a
2
√3
8 (đvdt)
Trang 4Gọi N = BM AC ⇒ M là trọng tâm của tam giác ABD.
SA // (P) ⇒ (SAC) (P) = NK // SA
Dựng KI // SO với I AC ⇒ KI (ABCD)
0.25
∆SOC đồng dạng với ∆KIC ⇒ KISO=CK
CS (1)
∆SAC đồng dạng với ∆KNC ⇒ CK
CS =
CN
CA =
CO+ON
OA+1
3OA
2 OA =
2 3 (2)
Từ (1) và (2) ⇒ KI
SO=
2
3 ⇒ KI = a√3
0.25
VK.BCDM = 1
3 SBCDM.KI = a
3
1
0 < a 1 , 0 < b 1 ⇒ (a – 1)(b – 1) 0
⇒ ab – a – b + 1 0
⇒ 1 a + b – ab
⇒ 1
ab
1
a+
1
b - 1 (1)
0.25
Tương tự như trên ta có : bc1 ≥1
b+
1
c −1 (2)
Và 1
ca ≥
1
c+
1
a −1 (3)
Cộng 3 bất đẳng thức trên vế theo vế ta có :
1
ab+
1
bc +
1
ca≥ 2(
1
a+
1
b+
1
c) - 3
0.25
Ta có ( 1 + 1
abc¿ (a + b + c) = a + b + c +
1
ab+
1
bc +
1 ca ⇒ ( 1 + abc1 ¿ (a + b + c) a + b + c + 2( 1a+1
b+
1
c¿ - 3
2
1
a+
1
b+
1
c
(a+b+c )(¿)+1
a+
1
b+
1
c −3
√¿
2.3 + 1
a+
1
b+
1
c - 3 ( theo bđt Cô –Si)
Vậy ( 1 + abc1 ¿ (a + b + c) 3 + 1a+1
b+
1
c
0.25
1
AB đi qua A(1 ;-2) và AB CH ⇒ AB : x + y + 1 = 0
B = AB BN nên tọa độ điểm B là nghiệm của hpt
¿
x + y +1=0
2 x + y +5+0
¿{
¿
⇒
¿
x=− 4 y=3
¿{
¿ ⇒ B(-4 ; 3)
0.25
Gọi A’ là điểm đối xứng của A qua BN thì A’ BC
Phương trình đường thẳng d đi qua A và vuông góc với BN là d : x – 2y – 5 = 0
Gọi I = d BN thì tọa độ điểm M là nghiệm của hệ pt :
¿
x − 2 y −5=0
2 x+ y +5+0
¿{
¿
⇒
¿
x=−1 y=− 3
¿{
¿
⇒ I( 1;-3)
I là trung điểm của AA’ nên A’(-3 ;-4)
0.25
Trang 5Phương trình đường thẳng BC : 7x + y + 1 = 0
C= BC CH nên tọa độ điểm C là nghiệm của hệ pt :
¿
7 x+ y+25=0
x − y +1=0
¿{
¿
⇒
x=−13
4
¿
y=−9
4
¿
¿{
¿
¿ ¿
¿
⇒ C( −13
4 ;−
9
4 )
0.25
BC = 15√2
4 , d(A,BC) = 3 √2 ;
S ABC = 45
24
0.25
2
Mp(P) qua O nên(P) có pt dạng : Ax + By + Cz = 0 với A2 + B2 + C2 0
( P) ( Q) 1.A + 1.B + 1.C = 0 ⇒ C= -A – B (1) 0.25 d(M,(P) = √2 ( A + 2B – C)2 = √2 ( A2 + B2 + C2) (2)
Từ (1) và (2) 8AB + 5B2 = 0
B=0
¿
A=−5
8B
¿
¿
¿
¿
0.25
A= - 5
8B (P) : 5x – 8y + 3z = 0
0.25
Gọi A là biến cố : « đội tuyển chỉ có mặt 1 trong 2 danh thủ Cường hoặc Thủy »
Ta có các trường hợp sau :
Đội tuyển có Cường và không có Thủy : số cách chọn 3 nam còn lại là C ❑36 , Số
cách chọn 3 nữ không có Thủy là : C ❑39
Số cách chọn đội tuyển là : C ❑36 C ❑39 = 1680
0.25
Đội tuyển có Thủy (không có Cường) : Số cách chọn 2 nữ còn lại là C ❑92
Số cách chọn 4 nam (không có Cường) là : C ❑64
Số cách chọn đội tuyển là : C ❑64 C ❑92 = 540
n(A) = 1680 + 540 = 2220
0.25
Xác suất của biến cố A là :
P(A) = n( A)
n(Ω) =
555
4862 ≈ 0 , 11
0.25
AC BH AC: x – y = 0
A = d AC nên tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phương trình :
¿
x − 4 y −2=0
x − y=0
¿{
¿
Trang 61 A( −
2
3;−
2
3 )
M là trung điểm của AC C( 38;8
BC // d BC: x – 4y + m = 0
C BC m = 8 BC : x – 4y + 8 = 0
0.25
B = BH BC nên tọa độ điểm B là nghiệm của hệ phương trình :
¿
x=− 4 y=1
¿{
¿
2
A Ox, C Oz A(a; 0; 0), C(0; b; 0) với ac 0
(P) : x a+y
3+
z
c=1
M(4; 0;-3) (P) 4
a −
3
c=1 4c – 3a = ac
0.25
VOABC = 1
3SOAC OB = |ac|
2
VOABC = 3 |ac| = 6
ac=6
¿
ac=−6
¿
¿
¿
¿
0.25
Ta có
¿4 c −3 a=6
ac=6
¿
¿
¿
4 c −3 a=− 6
¿
ac=−6
¿
¿
¿
¿
¿
¿a=− 4 c=−3
2
¿
¿
¿
a=2
¿
c=3
¿
¿
¿
¿
¿
0.25
Vậy có hai mp thỏa mãn đề bài : (P1) : - 4x+y
3−
2 z
3 =1 ; (P2) : x2+y
3+
z
3=1
0.25
Gọi z = a + bi với a,b R |z|=√a a+b2
1z=a − bi
a2+b2
0.25
|1z|= 1
√a2
+b2 ; 1 – z = 1 – a – bi 1− a¿2+b2
¿
|1 − z|=√¿
0.25
|z|=|1z|=|1− z|
√a2+b2
1 −a¿2+b2
¿
¿
¿
¿
¿
√a2+b2=√¿
¿
a2+b2=1
a=1
2
¿{
¿
0.25
Trang 7
¿a=1
2
b=√3
2
¿
¿
¿
a=1
2
¿
b=−√3
2
¿
¿
¿
¿
¿
Vậy z = 1
2+
√3
2 i hoặc z =
1
2−
√3
2 i
0.25