Phân loại dạng ứng dụng hệ thức vi ét trong đại số lớp 9 trường THCS đông văn

Thế nhưng đa số học sinh khi gặp bài toán bậc hai, các em lại lúng túngkhông giải được do trong chương trình học chỉ có 2 tiết, về nhà các em khôngbiết cách đọc thêm sách tham khảo nên k

Môn Toán ở THCS có một vai trò rất quan trọng, một mặt nó phát triển hệthống hóa kiến thức, kỹ năng và thái độ mà học sinh đã lĩnh hội và hình thành ởbậc tiểu học, mặt khác nó góp phần chuẩn bị những kiến thức, kỹ năng và thái

độ cần thiết để tiếp tục lên THPT, TH chuyên nghiệp, học nghề hoặc đi vào cáclĩnh vực lao động sản xuất đòi hỏi những hiểu biết nhất định về Toán học

Chương trình Toán THCS khẳng định quá trình dạy học là quá trình giáoviên tổ chức cho học sinh hoạt động để chiếm lĩnh kiến thức và kỹ năng Mặtkhác muốn nâng cao chất lượng cho học sinh, giáo viên cần phải hình thành chohọc sinh những kiến thức cơ bản, tìm tòi đủ cách để phát huy tính tích cực củahọc sinh, mở rộng tầm suy nghĩ

2 Cơ sở thực tế:

Trong vài năm trở lại đây, các trường PTTH, PTTH chuyên, đang ra sứcthi tuyển, chọn lọc học sinh và trong các đề thi vào lớp 10 THPT, PTTH chuyêntrong các đề thi tuyển học sinh giỏi lớp 9 các cấp xuất hiện các bài toán bậc hai

có ứng dụng hệ thức Vi-ét khá phổ biến Trong khi đó nội dung và thời lượng vềphần này trong sách giáo khoa lại rất ít, lượng bài tập chưa đa dang

Thế nhưng đa số học sinh khi gặp bài toán bậc hai, các em lại lúng túngkhông giải được do trong chương trình học chỉ có 2 tiết, về nhà các em khôngbiết cách đọc thêm sách tham khảo nên không ứng dụng hệ thức Vi ét để giải

Vì thế tôi đã suy nghĩ làm thế nào để nâng cao chất lượng học tập cho các

em học sinh, giúp các em biết vận dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài toán bậchai Góp phần giúp các em tự tin hơn trong các kỳ thi tuyển Đó là lý do tôi chọn

đề tài: Phân loại dạng “Ứng dụng hệ thức Vi-ét ” trong Đại số lớp 9 trườngTHCS Đông Văn

II Mục đích nghiên cứu:

Để nhằm mục đích bổ sung nâng cao kiến thức giải các bài toán bậc hai cóứng dụng hệ thức Vi-ét cho các em học sinh lớp 9 trường THCS Đông Văn Từ

đó các em có thể tự tin làm tốt các bài toán bậc hai trong các kỳ thi học sinhGiỏi, tuyển sinh vào các trường PTTH, PTTH chuyên

Kích thích, giúp các em biết cách tìm kiến thức nhiều hơn nữa, không chỉbài toán bậc hai mà cả các dạng toán khác

III Đối tượng nghiên cứu, khảo sát thực nghiệm:

*Đối tượng nghiên cứu: Học sinh lớp 9A trường THCS Đông Văn

Nghiên cứu các ứng dụng của hệ thức Vi-ét, trong môn đại số lớp 9, tìmhiểu các bài toán bậc hai có ứng dụng hê thức Vi-ét

IV Phương pháp nghiên cứu:

Căn cứ vào mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu, tôi sử dụng các phươngpháp nghiên cứu sau:

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu:

Tôi đã nghiên cứu và lựa chọn ra 11 dạng bài toán bậc hai có ứng dụng hệthức Vi-ét

- Phương pháp phỏng vấn, điều tra:

Tôi hỏi điều tra học sinh sau 2 tiết dạy thực nghiệm với các câu hỏi sau:Câu 1: Em thích các bài toán bậc hai có ứng dụng hệ thức Vi-ét không?Câu 2: Em hãy phân chia các dạng bài tập theo các nhóm ứng dụngcủa hệthức Vi- ét ?

Câu 3: Không giải phương trình, hãy nhẩm nghiệm của các phương trìnhsau: a/ x2 + x – - 1= 0

- Phương pháp thực nghiệm sư phạm:

Sau khi sắp xếp thành 11 nhóm ứng dụng hệ thức Vi-ét, tôi đã thực hiện

lên lớp hướng dẫn học sinh các ứng dụng trên qua các tiết dạy môn “Tự chọn”

của lớp 9A

PHẦN II: NỘI DUNG SKKN

I Cơ sở lý luận:

Mục tiêu của giáo dục THCS “Nhằm giúp học sinh củng cố và phát triểnnhững kết quả của giáo dục tiểu học, có trình độ học vấn THCS và những hiểubiết ban đầu về kỹ thuật và hướng nghiệp, học nghề hoặc đi vào cuộc sống laođộng”

Để khắc phục mục tiêu trên, nội dung chương trình THCS mới được thiết

kế theo hướng giảm tính lý thuyết hàn lâm, tăng tính thực tiễn, thực hành bảođảm vừa sức, khả thi, giảm số tiết học trên lớp, tăng thời gian tự học và hoạtđộng ngoại khóa

Trong chương trình lớp 9, học sinh được học 2 tiết về hệ thức Vi ét và ứngdụng; 1 tiết lý thuyết : học sinh được học định lý Vi-ét và ứng dụng hệ thức Vi-ét

để nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn, lập phương trình bậc hai vàtìm hai số biết tổng và tích của chúng, 1 tiết luyện tập: học sinh được làm cácbài tập củng cố tiết lý thuyết vừa học

Theo chương trình trên, học sinh được học Định lý Vi-ét nhưng không cónhiều tiết học đi sâu khai thác các ứng dụng của hệ thức Vi-ét nên các em nắm

và vận dụng hệ thức Vi-ét chưa linh hoạt Là giáo viên tôi cần phải bồi dưỡng vàhướng dẫn học sinh tự học thêm kiến thức phần này để tìm ra các phương phápgiải phù hợp với từng ứng dụng bài tập

II Tình hình thực tế:

1 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng SKKN:

Nhiều năm công tác tại Trường THCS đặc biệt đối với trường nằm trênđịa bàn nông thôn, điều kiện học tập chưa đầy đủ, nhiều em không có thời gianhọc ở nhà, nhiều gia đình chưa quan tâm đến việc học của con em, vấn đề xã hộihoá giáo dục chưa ngang tầm với giai đoạn hiện nay Nên chất lượng học tập vẫnchưa được cao, số học sinh bị hổng kiến thức còn nhiều, nhiều em còn có tâm lý

sợ môn toán học Phụ huynh học sinh chưa thật sự quan tâm đúng mức đến việchọc tập của con em mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở sự học tập ởnhà Các bài toán về hệ thức Vi ét và ứng dụng rất quan trọng như đã nêu phầntrước, song qua thực tế giảng dạy nhiều năm tôi thấy với học sinh đại trà các emcòn lười làm bài tập, khi nhìn thấy đề dài hoặc hơi khác một chút là ngại đọc đề,ngại phân tích đề, đặc biệt là với dạng toán có lời văn Cũng như qua việc theodõi kết quả bài kiểm tra, bài thi của HS thì đa số HS chưa nắm chắc phươngpháp giải, chưa vận dụng biến đổi một cách linh hoạt sáng tạo vào từng bài cụthể dẫn đến việc áp dụng vào các dạng toán khác còn gặp nhiều khó khăn, lúngtúng

2 Kết quả của thực trạng

Từ thực trạng trên chất lượng học qua bài kiểm tra 15 phút học kỳ II, nămhọc 2020-2021 như sau:

III GIẢI PHÁP VÀ TỔ CHỨC THỰC HIỆN

Qua thực tế khi chưa nghiên cứu theo đề tài này học sinh gặp nhiều sai sóttrong quá trình giải toán, hay sai nhất trong cách trình bày lời giải, học sinh cònlúng túng chưa biết cách biến đổi Vì vậy để rèn kỹ năng cho các em nắm chắckiến thức trong quá trình dạy tôi đã phân ra các ứng dụng tương ứng với cácphần bài tập

1 Các giải pháp thực hiện

1.1 Hệ thống lại kiến thức lý thuyết.

Giúp các em nắm vững kiến thức và khắc sâu phần lý thuyết đã học

1.2 Phân loại dạng các ứng dụng bài tập

- Ứng dụng 1: Không giải phương trình tính tổng và tích hai nghiệm củaphương trình bậc hai một ẩn(HS được luyện qua tiết học chính thức)

- Ứng dụng 2: Dùng hệ thức Vi-ét tìm nghiệm còn lại khi phương trìnhbậc hai một ẩn cho biết trước một nghiệm

- Ứng dụng 3: Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn

- Ứng dụng 4: Lập phương trình bậc hai

- Ứng dụng 5: Tìm hai số biết tổng và tích của chúng

- Ứng dụng 6: Tính giá trị của biểu thức đối xứng giữa các nghiệm màkhông giải phương trình

- Ứng dụng 7: Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm của phương trình saocho hai nghiệm này không phụ thuộc vào tham số

- Ứng dụng 8: Tìm giá trị tham số của phương trình thỏa mãn biểu thứcchứa nghiệm

- Ứng dụng 9: Xác định dấu các nghiệm của phương trình bậc hai

- Ứng dụng 10: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thứcnghiệm

- Ứng dụng 11: Một vài ứng dụng khác của hệ thức Vi-ét (Các con nghiêncứu thêm)

2 Các biện pháp tổ chức thực hiện

2.1 Biện pháp 1: Hệ thống lại kiến thức lý thuyết.

Để việc dạy học đạt hiệu quả GV phải vận dụng các phương pháp củng

cố, kiểm tra đánh giá để kiểm tra mức độ nhớ lý thuyết và khả năng vận dụng của học sinh Tôi đã áp dụng thông qua kiểm tra bài cũ, làm bài tập về nhà, đưa

ra câu hỏi gợi mở khi làm bài tập Ngoài ra khi áp dụng các bài toán khó hơn đòihỏi các em phải nhớ một số kiến thức đã học ở lớp 8 như: Các hằng đẳng thức

- Tích hai nghiệm là P : P =

1 2

c

x x a

=

2.2 Biện pháp 2: Phân loại các bài tập.

ỨNG DỤNG 2: TÌM NGHIỆM CÒN LẠI CỦA PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN KHI BIẾT MỘT NGHIỆM CỦA NÓ

1 Dùng hệ thức Vi-ét tìm nghiệm còn lại khi phương trình bậc hai một ẩn cho biết trước một nghiệm(Dạng này HS được luyện trên giờ học chính khóa)

2 Cho phương trình , có một hệ số chưa biết, cho trước một nghiệm tìm nghiệm còn lại và chỉ ra hệ số của phương trình :

Ví dụ: a) Phương trình x2−2px+ =5 0 Có một nghiệm bằng 2, tìm p và

nghiệm thứ hai

b) Phương trình x2+5x q+ =0 có một nghiệm bằng 5, tìm q và nghiệm thứ hai.

c) Cho phương trình : x2−7x q+ =0, biết hiệu 2 nghiệm bằng 11 Tìm q và

hai nghiệm của phương trình

d) Tìm q và hai nghiệm của phương trình : x2− +qx 50 0= , biết phươngtrình có 2 nghiệm và có một nghiệm bằng 2 lần nghiệm kia

2

x x

10 5

x x

a) Nếu cho x = 1 thì ta có (*)  a.12 + b.1 + c = 0  a + b + c = 0

Như vây phương trình có một nghiệm 1

3 2

x =−

Phương trình (2) có dạng a + b + c = 0 nên có nghiệm 1

1

x =

và 2

11 3

Theo hệ thức VI-ÉT ta có

1 2

1 2

5 6

Ví dụ: Cho phương trình : x2− + =3x 2 0 có 2 nghiệm phân biệt x x1 ; 2

Không giải phương trình trên, hãy lập phương trình bậc 2 có ẩn là y thoả mãn :

1/ Cho phương trình 3x2+ − = 5x 6 0 có 2 nghiệm phân biệt x x1 ; 2 Khônggiải phương trình, Hãy lập phương trình bậc hai có các nghiệm 1 1 2

2 2

y =x (có nghiệm là luỹ thừa bậc 4 của

các nghiệm của phương trình đã cho)

(Đáp số : y2−727y+ =1 0)3/ Cho phương trình bậc hai: x2 − 2x m− 2 = 0 có các nghiệm x x1 ; 2 Hãy lậpphương trình bậc hai có các nghiệm y y1 ; 2 sao cho :

a) y1 = −x1 3 và y2 = −x2 3 b) y1= 2x1− 1 và y2 = 2x2− 1

a) y2−4y+ −3 m2 =0 b) y2−2y−(4m2− =3) 0

ỨNG DỤNG 5: TÌM HAI SỐ BIẾT TỔNG VÀ TÍCH CỦA CHÚNG

Nếu hai số có Tổng bằng S và Tích bằng P thì hai số đó là hai nghiệm của phương trình :

Vậy a =−4 thì b = −9

*) Với a b+ =13

và ab = 36, nên a, b là nghiệm của phương trình :

1 2

Vậy nếu a =−5

thì b = −6

; nếu a =−6

thì b = −5

Vậy nếu a = 5 thì b = 6 ; nếu a = 6 thì b = 5.

ỨNG DỤNG 6: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA CÁC BIỂU THỨC NGHIỆM

Đối các bài toán dạng này điều quan trọng nhất là phải biết biến đổi biểu thức nghiệm đã cho về biểu thức có chứa tổng nghiệm S và tích nghiệm P để áp dụng hệ thức VI-ÉT rổi tính giá trị của biểu thức

1 Biến đổi biểu thức để làm xuất hiện : ( 1 2

2 Không giải phương trình, tính giá trị của biểu thức nghiệm

a) Cho phương trình : x2 − + =8x 15 0 Không giải phương trình, hãy tính

Để làm các bài toán loại này, ta làm lần lượt theo các bước sau:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2

(thường là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0)

- Áp dụng hệ thức VI-ÉT viết S = x1 + x2 v à P = x1 x2 theo tham số

- Dùng quy tắc cộng hoặc thế để tính tham số theo x1 và x2 Từ đó đưa ra

hệ thức liên hệ giữa các nghiệm x1 và x2

Ví dụ 1: Cho phương trình : (m− 1) x2 − 2mx m+ − = 4 0 có 2 nghiệm x x1; 2.Lập hệ thức liên hệ giữa x x1 ; 2 sao cho chúng không phụ thuộc vào m.

Để phương trình trên có hai nghiệm x1 và x2 thì :

2

1 1

Ví dụ 2: Gọi x x1 ; 2 là nghiệm của phương trình : (m− 1) x2 − 2mx m+ − = 4 0.

Chứng minh rằng biểu thức A= 3(x1 +x2) + 2x x1 2 − 8 không phụ thuộc giá trị của

m.

Để phương trình trên có 2 nghiệm x1 và x2 th ì :

2

1 1

1

m

x x

m m

m≥

Do đó biểu thức A không phụ thuộc vào m

Nhận xét:

- Lưu ý điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có 2 nghiệm

- Sau đó dựa vào hệ thức VI-ÉT rút tham số theo tổng nghiệm, theo tíchnghiệm sau đó đồng nhất các vế ta sẽ được một biểu thức chứa nghiệm khôngphụ thuộc vào tham số

Bài tập áp dụng:

1 Cho phương trình : x2 −(m+ 2) (x+ 2m− = 1) 0 có 2 nghiệm x x1; 2 Hãy lập

hệ thức liên hệ giữa x x1 ; 2 sao cho x x1 ; 2 độc lập đối với m.

Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau:

- Đặt điều kiện cho tham số để phương trình đã cho có hai nghiệm x1 và x2

(thường là a ≠ 0 và ∆ ≥ 0)

- Từ hệ thức liên hệ giữa các nghiệm đề bài đã cho, áp dụng hệ thức

VI-ÉT để tìm tham số của phương trình

- Đối chiếu với điều kiện xác định của tham số để xác định giá trị cần tìm

1 Dạng hệ thức liên hệ giữa các nghiệm có chứa các biểu thức tổng, tích hai nghiệm

x x

m m

Vậy với m = 7 thì phương trình đã cho có 2 nghiệm x1 và x2 thoả mãn hệthức : x1 + =x2 x x1 2

2 Dạng hệ thức liên hệ giữa các nghiệm có chứa các biểu thức đối xứng của hai nghiệm a)

Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau: Biến đổi biểu thức đối

xứng trong hệ thức bài cho làm xuất hiện (

3 Dạng hệ thức liên hệ giữa các nghiệm là phương trình bậc nhất hai

ẩn x1 , x2

Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau: Kết hợp hệ thức bài chovới hệ thức tổng hai nghiệm của hệ thức Vi-ét để được hệ hai phương trình bậcnhất hai ẩn x1, x2

Giải hệ phương trình để tìm nghiệm của hệ phương trình theo tham số rồithay vào hệ thức tích hai nghiệm để tìm tham số

m

x x

m m

Suy ra: { m

m x

m

m x

3

) 4 ( 3

) 4 ( 2

Ngoài ra ta có thể giải dạng này theo cách sau

+ Trong 3 bài tập trên thì các biểu thức nghiệm lại không cho sẵn tổng và tích hai nghiệm, do đó vấn đề đặt ra ở đây là làm thế nào để từ biểu thức đã cho biến đổi về biểu thức có chứa tổng nghiệm 1 2

x +x

và tích nghiệm 1 2

x x

rồi từ đó vận dụng tương tự cách làm đã trình bày ở Ví dụ 1 và ví dụ 2

m

x x

m m

4 Dạng hệ thức liên hệ giữa các nghiệm có chứa dạng phương trình bậc hai ban đầu

Đối với các bài toán dạng này, ta làm như sau: Sử dụng điều kiện x1

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt 1 2

Cho phương trình: ax2+ + =bx c 0 (a ≠ 0) Hãy tìm điều kiện để phương

trình có 2 nghiệm: trái dấu, cùng dấu, cùng dương, cùng âm ….

có 2 nghiệm trái dấu

Để phương trình có 2 nghiệm trái dấu thì

2 2

2 2

thì phương trình có 2 nghi ệm trái dấu

Bài tập tham khảo:

1 mx2 − 2(m+ 2)x+ 3(m− = 2) 0 có 2 nghiệm cùng dấu.

2 3mx2 + 2 2( m+ 1) x m+ = 0 có 2 nghiệm âm.

3.(m− 1) x2 + 2x m+ = 0 có ít nhất một nghiệm không âm.

ỨNG DỤNG 10: TÌM GIÁ TRỊ LỚN NHẤT HOẶC GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA BIỂU THỨC NGHIỆM

Áp dụng tính chất sau về bất đẳng thức: trong mọi trường hợp nếu ta luôn phân tích được:

m=

Ví dụ 2: Cho phương trình : x2−mx m+ − = 1 0

Gọi x1 và x2 là các nghiệm của phương trình Tìm giá trị nhỏ nhất và giátrị lớn nhất của biểu thức sau:

Cách 1: Thêm bớt để đưa về dạng như phần (*) đã hướng dẫn

Ta biến đổi B như sau:

Cách 2: Đưa về giải phương trình bậc 2 với ẩn là m và B là tham số, ta sẽ

tìm điều kiện cho tham số B để phương trình đã cho luôn có nghiệm với mọi m.

2 2

1 2

B B

B B

3

A x= + −x x x

đạt giá trị lớn nhấtb)

IV HIỆU QUẢ DO SKKN MANG LẠI:

1 Kết quả thu được:

Từ thực tế giảng dạy áp dụng đề tài này vào giảng dạy tôi thấy chất lượngđược cải thiện rõ rệt qua khảo sát bài kiểm tra 15 phút toán 9 sau khi học xongchủ đề này của học sinh sinh lớp 9A, kết quả đạt được như sau:

SL % SL % SL % SL % SL %

1 9A 47 13 27,7 21 44,7 12 25,5 1 2,1 0 0

2 Giải pháp mới cải tiến:

Với đề tài này tôi có thể áp dụng cho từng đối tượng học sinh phù hợp vớiyêu cầu thực tế giảng dạy Từ đó để từng bước nâng cao chất lượng đại trà cũngnhư chất lượng học sinh khá giỏi

3 Điều kiện và khả năng áp dụng:

Đề tài này áp dụng cho mọi đối tượng học sinh khối 9, đặc biệt là học sinh

ôn thi vào 10 Đây là một dạng bài tập mà hầu như năm nào trong đề thi vào 10

ở các tỉnh trong cả nước cũng có, nên khi các em nắm chắc các dạng bài tập nàythì đó là một hành trang vững chắc để các em tự tin khi bước vào phòng thi

PHẦN III: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

1 Kết luận:

Qua tìm hiểu, trò chuyện với học sinh, tôi nhận thấy đa số các em đã nhậnthức được tầm quan trọng của việc học ở phổ thông chính là đòn bẩy đưa các emđến tương lai tươi đẹp Đa số các em học sinh khá, giỏi đều rất muốn được mởrộng, nâng cao kiến thức nhưng các em không biết bằng cách nào, đọc sách nào

là tốt vì sách tham khảo rất nhiều loại.Vì vậy giáo viên cần nghiên cứu tìm cáchhướng dẫn học sinh cách tự học ở nhà, tự chọn sách tham khảo,…

Mong rằng đề tài này: “Ứng dụng hệ thức Vi-ét để giải các bài tập” gópphần giúp các em thêm kiến thức, biết ứng dụng hệ thức Vi-ét vào giải các bàitoán bậc hai để các em thêm tự tin trong các kỳ thi tuyển

Trong đề tài này, tôi còn nhiều thiếu sót, rất mong được sự góp ý của quýthầy, cô giáo và các em học sinh

2 Kiến nghị:

Đối với giáo viên: Cần nghiên cứu kĩ đề tài, nắm chắc các phương phápgiải từng dạng toán; chuẩn bị kĩ giáo án; tích cực nghiên cứu tài liệu và bắt taygiải toán như một học sinh

Đối với học sinh: Sáng kiến này áp dụng với học sinh khối 9 cho kết quảtốt thì học sinh nắm chắc phương pháp giải đối với các dạng toán và phát huytính chủ động sáng tạo, chăm chỉ rèn luyện, làm nhiều bài tập luyện để nâng cao

kĩ năng giải toán

Xác nhận của thủ trưởng đơn vị Đông Văn, ngày 15 tháng 3 năm 2021

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của