Giúp học sinh khá, giỏi lớp 9 giải bài toán tìm giá trị của biến để biểu thức chứa căn dạng a b đạt giá trị nguyên

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NHƯ THANHSÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH KHÁ, GIỎI LỚP 9 GIẢI BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC CHỨA CĂN Người thực hiện: Võ Kim Anh Chức vụ: Giáo

PHÒNG GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO NHƯ THANH

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GIÚP HỌC SINH KHÁ, GIỎI LỚP 9 GIẢI BÀI TOÁN TÌM GIÁ TRỊ CỦA BIẾN ĐỂ BIỂU THỨC CHỨA CĂN

Người thực hiện: Võ Kim Anh Chức vụ: Giáo viên

Đơn vị công tác: Trường THCS TT Bến Sung SKKN thuộc môn: Toán

THANH HÓA NĂM 2021

1 MỞ ĐẦU 1

1.1 Lí do chọn đề tài. 1

1.2 Mục đích nghiên cứu. 2

1.3 Đối tượng nghiên cứu. 2

1.4 Phương pháp nghiên cứu 2

1.5 Những điểm mới của SKKN………2

2 NỘI DUNG 2

2.1 Cơ sở lý luận 2

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN. 3

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề 4

2.3.1 Cơ sở lý thuyết 4

2.3.2 Các biện pháp 4

2.4 Hiệu quả của SKKN đối với hoạt động giáo dục, với bản thân, với đồng nghiệp và nhà trường……… 14

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ 3.1 Kết luận 15

3.2 Kiến nghị 15

TÀI LIỆU THAM KHẢO 16

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài.

Toán học là một trong những môn khoa học có vị trí đặc biệt quan trọng trong trường phổ thông Kiến thức và phương pháp Toán học là công cụ thiết yếu, là nền tảng giúp học sinh phát triển các năng lực và phẩm chất trí tuệ; tạo tiền đề giúp các em học tốt các môn khoa học tự nhiên khác

Trong dạy học Toán, không chỉ cung cấp cho học sinh những kiến thức cơ bản, giúp các em nắm chắc các khái niệm, định lí, quy tắc, mà điều quan trọng là hình thành cho học sinh phương pháp để giải các các bài tập toán; từ đó giúp các

em tích cực hoạt động, độc lập, sáng tạo để hoàn thiện kỹ năng, kỹ xảo, hoàn thiện nhân cách

Mỗi bài tập toán học được sử dụng với những dụng ý khác nhau, có thể tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra Thông qua giải bài tập, học sinh phải thực hiện những hoạt động nhất định bao gồm cả nhận dạng và thể hiện định nghĩa, định lý, quy tắc hay phương pháp, những hoạt động toán học phức hợp, những hoạt động trí tuệ phổ biến trong toán học

Do đó, việc hướng dẫn học sinh phương pháp, kỹ năng tìm tòi, sáng tạo trong quá trình giải toán là vô cùng cần thiết và quan trọng, nó có ý nghĩa quyết định đến kết quả học tập của học sinh

Là một giáo viên trực tiếp giảng dạy môn Toán ở trường trung học cơ sở

và thường xuyên ôn thi học sinh giỏi, ôn vào 10, tôi nhận thấy dạng toán: “Rút

gọn biểu thức chứa căn rồi tìm giá trị nguyên hoặc tìm tất cả các giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên” rất đa dạng Trong đề toán thi vào Trung

học phổ thông và thi học sinh giỏi lớp 9 cũng thường có dạng toán này Tuy đây không phải là dạng toán quá khó, nhưng đa số học sinh khá, giỏi đều mắc sai lầm như: chưa định hướng được cách giải, biến đổi sai, nhận định vấn đề chưa đúng dẫn đến giải sai Ngay cả một số đáp án các đề thi vào 10, thi học sinh giỏi cũng giải chưa đúng bài toán đó Vậy làm thế nào để các em hiểu đúng bản chất bài toán, tìm được cách giải và giải đúng là vấn đề tôi luôn suy nghĩ và trăn trở Đó cũng là lý do tôi lựa chọn nghiên cứu đề tài sáng kiến kinh nghiệm:

“Giúp học sinh khá, giỏi lớp 9 giải bài toán Tìm giá trị của biến để biểu thức

chứa căn dạng A

B đạt giá trị nguyên”, trong đó nếu xem x t 0   , thì tử và

mẫu thức là những biểu thức có bậc không quá bậc hai đối với biến t

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Trên cơ sở nghiên cứu lý luận và phân tích thực trạng, đề xuất một số biện pháp giúp học sinh khá, giỏi lớp 9 giải bài toán Tìm giá trị của biến để biểu thức chứa căn dạng A

B đạt giá trị nguyên

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

- Đề tài tập trung nghiên cứu phương pháp giải các bài toán Tìm giá trị của biến để biểu thức chứa căn dạng A

B đạt giá trị nguyên, trong đó tử và mẫu thức

là những biểu thức có bậc không quá bậc hai đối với biến t

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

- Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu các tài liệu tham khảo, các đề thi, các văn bản

- Khảo sát thực tế, thu thập thông tin

- Thực hành giải toán

- Thống kê xử lý số liệu

1.5 Những điểm mới của SKKN.

- Xây dựng được phương pháp chung giải các dạng toán Tìm giá trị của biến

để biểu thức chứa căn dạng A

B đạt giá trị nguyên, trong đó tử và mẫu thức là những biểu thức có bậc không quá bậc hai đối với biến t

- Giúp học sinh nhận dạng được bài toán để lựa chọn phương pháp giải phù hợp

2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận

Trong quá trình phát triển, xã hội luôn đề ra những yêu cầu mới cho sự nghiệp đào tạo con người Chính vì vậy, từng bộ môn trong nhà trường trung học cơ sở phải có cách nhìn nhận cải tiến phương pháp dạy học sao cho phù hợp với từng đối tượng học sinh

Công tác bồi dưỡng học sinh khá, giỏi là hoạt động dạy học đòi hỏi người giáo viên phải tuân thủ các yêu cầu sư phạm, các nguyên tắc cũng như phương pháp dạy học theo hướng phát huy tính tích cực, chủ động, sáng tạo của người

học; người học thực sự là chủ thể của hoạt động dạy học Để làm tốt công tác này, giáo viên phải nắm rõ các hình thức giáo dục học sinh khá, giỏi Từ đó, giáo viên có các phương pháp dạy học sáng tạo, đặc biệt đối bộ môn Toán để bồi dưỡng đạt hiệu quả cao nhất

Trong chương trình môn Toán lớp 9, dạng toán “Rút gọn biểu thức chứa căn rồi tìm giá trị nguyên hoặc tìm tất cả các giá trị của biến để biểu thức có giá trị nguyên” rất đa dạng Tuy không phải là dạng toán quá khó, nhưng nhiều học sinh khá, giỏi lại giải sai

Để giải bài toán tìm giá trị của biến để biểu thức chứa căn đạt giá trị nguyên, học sinh cần:

- Biến đổi rút gọn biểu thức chứa căn chính xác

- Tách phần nguyên (nếu có)

- Nhận dạng biểu thức để chọn cách giải phù hợp.

- Lập luận chặt chẽ.

- Giải đúng bất đẳng thức thu được

- Hoàn thiện lời giải và trả lời

2.2 Thực trạng của vấn đề trước khi áp dụng SKKN.

Khi giải bài toán Tìm giá trị của biến để biểu thức chứa căn dạng A

B đạt giá trị nguyên, trong đó tử và mẫu thức là những biểu thức có bậc không quá bậc hai

đối với biến t, học sinh thường:

- Viết biểu thức dưới dạng tổng của một biểu thức nguyên và một phân thức, trong đó tử là một số nguyên đã biết

- Lập luận rằng biểu thức nguyên khi mẫu là ước của tử

Đây là cách giải không hợp lí khi biến ở trong dấu căn Nếu làm như vậy ta

đã ngầm công nhận x luôn là số nguyên với mọi giá trị của x không âm

Điều tra việc nắm kiến thức của 20 học sinh khá giỏi của lớp 9A của trường THCS Thị trấn Bến Sung trong 2 năm học 2017 - 2018 và 2018 - 2019 qua cùng một đề kiểm tra về dạng toán Tìm giá trị của biến để biểu thức chứa căn đạt giá trị nguyên, kết quả thu được như sau:

* Năm học 2017 - 2018:

Tổng số học sinh 20

Giải đúng 2 10%

Giải sai 16 80%

Không giải được 2 10%

* Năm học 2018 - 2019:

Tổng số học sinh 20

Giải đúng 3 15%

Giải sai 13 65%

Không giải được 4 20%

- Qua bảng khảo sát cho thấy: Hiểu biết của học sinh về dạng toán này còn hạn chế, chủ yếu dựa trên kiến thức về phân thức đại số ở lớp 8

- Việc định hướng để giải dạng bài tập này chưa rõ ràng, cơ sở lý thuyết vận dụng vào giải toán còn chưa phù hợp, một số em không vận dụng được

2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề.

2.3.1 Cơ sở lý thuyết.

+) Nếu n là số tự nhiên mà không là số chính phương thì n là số vô tỉ.

Chứng minh:

Giả sử n là số vô tỉ thì nó được viết dưới dạng n pq với p, q  N, q 0

, p, q 1

Do n không là số chính phương nên p

q không là số tự nhiên, do đó q > 1.

Ta có p2 nq2, gọi x là ước nguyên tố nào đó của q, thế thì p x2 , do đó

p x Như vậy x là ước nguyên tố của p và q, trái với p, q 1

Vậy n phải là số vô tỉ.

+) Phương trình bậc hai ẩn x: ax2 bx c 0 a 0     có nghiệm khi  0

2.3.2 Các biện pháp:

a) Giúp học sinh nhận dạng và phương pháp chung để giải bài toán.

* Giải bài toán: Tìm giá trị của x để biểu thức A

B đạt giá trị nguyên, trong đó

A, B là những biểu thức chứa x

Nếu đặt x t 0  thì trong phạm vi SKKN này ta chỉ xét các biểu thức A và

B có bậc không quá bậc hai đối với t.

* Phương pháp chung:

- Nếu x nguyên:

+ Tử có bậc nhỏ hơn bậc của mẫu:

Ta quy đồng, khử mẫu đưa về dạng phương trình bậc hai ẩn t, trong đó xem

A là tham số

Giả sử tồn tại t để biểu thức A có giá trị nguyên thì phương trình bậc hai thu được phải có nghiệm

Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm, từ đó tìm được miền giá trị của A, chọn các giá trị phù hợp của A, thay vào biểu thức tìm x, đối chiếu điều kiện và

trả lời (Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai)

+ Tử có bậc cao hơn bậc của mẫu:

++) Biến đổi biểu thức sau khi rút gọn thành dạng:

A =  

 

a

P x

Q x

 Trong đó: + a là một số nguyên

+ P(x) là đa thức biến x, Q(x) là biểu thức chứa x

Khi đó: P(x) là số nguyên nên biểu thức A nhận giá trị nguyên khi Q(x) có giá trị là ước của a

Từ đây ta đưa ra các trường hợp mà A nhận giá trị nguyên, sau đó đối chiếu

điều kiện để kết luận (Sử dụng tính chia hết)

++) Hoặc sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai

+ Tử có bậc bằng bậc của mẫu:

++) Biến đổi biểu thức sau khi rút gọn thành dạng:

A =

 

a m

Q x

 Trong đó: + a, m là các số nguyên

+ Q(x) là biểu thức chứa x

Khi đó: Biểu thức A nhận giá trị nguyên khi Q(x) có giá trị là ước của a

Từ đây ta đưa ra các trường hợp mà A nhận giá trị nguyên, sau đó đối chiếu

điều kiện để kết luận (Sử dụng tính chia hết)

++) Hoặc sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai

- Nếu x hữu tỉ hoặc x là số thực:

+ Đưa bài toán về tìm điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai (như trên), hoặc:

+ Đưa về dạng A =

 

a m

Q x

 Trong đó: + a, m là các số nguyên

+ Q(x) là biểu thức chứa x

Đặt

 

a

k Z

Q x   , tính x theo k Dựa vào điều kiện của x và x để giải bất phương trình, thu được miền giá trị của k Từ đó chọn giá trị k phù hợp, thay

vào tìm x, đối chiếu điều kiện, trả lời (Sử dụng phương pháp xét miền giá trị)

* Các kiến thức thường sử dụng:

- Sử dụng tính chia hết

- Xét miền giá trị

- Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai

- Đánh giá hai vế

- Xét miền giá trị kết hợp với tính chia hết

b) Lựa chọn phương pháp giải cho từng dạng bài toán.

* Một số ví dụ minh họa.

Bài 1: Cho biểu thức M = a 6

a 1



 a) Tìm các số nguyên a để M là số nguyên

b) Tìm các số hữu tỉ a để M là số nguyên

- Hướng dẫn:

a) ĐK: a 0

* Phương pháp: Sử dụng tính chia hết

Ta có: M = 1 5

a 1



 Để M là số nguyên thì 5

a 1 phải là số nguyên

Ta biết rằng a là số nguyên thì a là số nguyên khi a là số chính phương hoặc là số vô tỉ khi a không là số chính phương.

Để 5

a 1 là số nguyên thì a không thể là số vô tỉ do đó a là số nguyên, suy ra a 1 là ước tự nhiên của 5 (vì a 1 > 0)

a 1 1; 5 a 0;16

 Với a = 0 thì M = 6

 Với a = 16 thì M = 2

Vậy a = 0 hoặc a = 16 thì M có giá trị là số nguyên

b) * Phương pháp: Xét miền giá trị

M = 1 5

a 1



 Để M là số nguyên thì 5

a 1 phải là số nguyên

Đặt 5

a 1 = t, t Z, t 0  , ta có: 5 t a t a 5 t

t



Vì a 0 nên 5 t 0

t



 , giải điều kiện này ta được 0 t 5 

Do t Z nên t1; 2; 3; 4; 5 Ta có:

2

2 3

1

a 16 9

4

4 9

1

Vậy a 16; ; ;9 4 1 ; 0

4 9 16

Bài 2: (Đề thi tuyển sinh vào 10 tỉnh Thanh Hóa năm 2010 - 2011)

Cho biểu thức A = a 3 a 3 1 1

3

với a 0, a 9  1) Rút gọn A

2) Tìm a để A nhận giá trị nguyên

- Hướng dẫn:

1) Rút gọn biểu thức được A = 4

a 3

2) * Lời giải của đáp án: Biểu thức A đạt giá trị nguyên  a 3 là ước của 4

Do a 3 3  nên a 3 4   a 1 (TMĐK)

Nhận xét:

Cách giải trên chưa đúng vì đã công nhận a 3 là số nguyên mà chưa xét đến khả năng a không phải là số nguyên

 Cách giải đúng:

* Phương pháp: Xét miền giá trị

Từ kết quả rút gọn: A = 4

a 3 

4

A

  (vì A 0 )

a > 0 nên a 0 4 3 0

A

0 A

3

  

Vì A nguyên nên A = 1  a 1  a 1 (TMĐK)

Vậy với a = 1 thì A có giá trị nguyên

Bài 3: Cho biểu thức A = 2 3 5 x 7 : 2 x 3

x 2 2 x 1 2x 3 x 2 5x 10 x

(x > 0, x  4) a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm x sao cho A nhận giá trị nguyên

- Hướng dẫn:

a) Với x > 0, x  4 ta có:

2 2 x 1 3 x 2 5 x 7 5 x x 2 5 x

2 x 3 2 x 1

x 2 2 x 1

b) * Phương pháp: Xét miền giá trị

Giả sử tồn tại x để A có giá trị nguyên, lúc đó phương trình:

A = 5 x

2 x 1

 A 2 x 1   5 x  5 2A  x A (*) có nghiệm

Ta có:

 Nếu A = 5

2 thì (*) có dạng:

5

x 0

2

 , pt vô nghiệm

 Nếu A 5

2

 thì x A 0 0 A 5

 , do A nguyên nên

A 0;1; 2

- Với A = 0 thì x  0 x 0 (không thỏa mãn)

- Với A = 1 thì x 1 x 1

   ( thỏa mãn)

- Với A = 2 thì x  2 x 4 (không thỏa mãn)

Vậy A có giá trị nguyên khi x 1

9



Bài 4: Cho A = 15 x 11 3 x 2 2 x 3

x 2 x 3 1 x x 3

a) Rút gọn A

b) Tìm x để A nhận giá trị nguyên

- Hướng dẫn:

a) ĐKXĐ : x 0, x 1 

A = 15 x 11 3 x 2 2 x 3

x 2 x 3 1 x x 3

    = =

15 x 11 3 x 2 2 x 3

x 1 x 3

x 3 x 1

15 x 11 3 x 2 x 3 2 x 3 x 1

x 3 x 1



5x 7 x 2

x 3 x 1

  

=    

2 5 x x 1 2 5 x

x 3

x 3 x 1





b) * Phương pháp: Xét miền giá trị

Giả sử tồn tại x để A có giá trị nguyên, lúc đó phương trình 2 5 x t t Z 

x 3





có nghiệm

Ta có t x 3   2 5 x  x t 5    2 3t (*)

 Nếu t = - 5 thì (*) có dạng : x 0 17 , phương trình vô nghiệm

 Nếu t5 thì x 2 3t 0

t 5



2

5 t

3

   , do t nguyên nên

t 4; 3; 2; 1; 0  

- Với t = - 4 thì x 14 x 196 (thỏa mãn)

- Với t = - 3 thì x 11 x 121

   (thỏa mãn)

- Với t = - 2 thì x 8 x 64

   (thỏa mãn)

- Với t = - 1 thì x 5 x 25

   (thỏa mãn)

- Với t = 0 thì x 2 x 4

   (thỏa mãn)

Vậy A có giá trị nguyên khi x 196;121 64 25 4; ; ;

4 9 16 25

Bài 5: Cho biểu thức: A = x2 x 2x x 2 x 1 



a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm x để giá trị biểu thức 2 x

A là số nguyên.

- Hướng dẫn:

a) ĐK: x 0, x 1 

A = x  x 1 x  x 1 x 2 x 1  2 x 1  x 1

= x x 2 x 1 2 x 2 x      x 1

b) * Phương pháp: Sử dụng điều kiện có nghiệm của phương trình bậc hai

Giả sử tồn tại x để B = 2 x

A =

2 x

x x 1 có giá trị nguyên, lúc đó phương trình Bx B x B 2 x  Bx B 2  x B 0 có nghiệm

Đặt x t 0  ta có phương trình ẩn t: Bt2  B 2 t B 0    (1)

 Nếu B = 0 thì x = 0, không thỏa mãn ĐKXĐ nên B  0  Pt (1) có nghiệm khi  B2 4B 4 4B  2  3B24B 4 0

B 2 3

  

 Do B nguyên và B  0 nên B = 1 hoặc B = 2

 Nếu B = 1 thì phương trình t2  3t 1 0  có hai nghiệm

  thỏa mãn ĐK t 0 , lúc đó x 7 3 5

2



 (t/m)

 Nếu B = 2 thì phương trình 2t2  4t 2 0   t2  2t 1 0   t 1 thỏa mãn ĐK t 0 , lúc đó x 1 (không t/m)

Vậy với x 7 3 5

2



 thì 2 x

A có giá trị nguyên.

Bài 6: Cho biểu thức:

A =

3

3

3a

1 3a 3 3a 8 3a 2 3a 4

a) Rút gọn biểu thức A

b) Tìm các giá trị nguyên của a để A nhận giá trị nguyên

- Hướng dẫn:

a) ĐKXĐ: a 0, a 4

3

 

a) A =

3

3

3a

1 3a 3 3a 8 3a 2 3a 4

3a

1 3a 3a 2 3a 2 3a 4 3a 2 3a 4

6a 4 3a 3a 2

1 2 3a 3a

3a 2 3a 2 3a 4

=  

2

2 3a 2 3a 4 3a 1

3a 1

3a 2 3a 2 3a 4 3a 2



A =  

2

3a 1

3a 2



 (1)

b) * Phương pháp: Đánh giá hai vế

Với a  Z:

- Nếu 3a không là số chính phương  3a là số vô tỉ

Ta có: A =  

2

3a 1 3a 2





  3a 2 A 3a 2 3a 1    

A 2 3a 2A 3a 1

     (*)

Do AZ, a Z, nên xảy ra đẳng thức (*) khi: