Dap an va de thi HSG Toan huyen Truc Ninh nam 20102011

Hãy chọn phương án đúng (viết vào bài làm chữ cái đứng trước phương án được lựa chọn). Cho tam giác đều cạnh bằng 3 cm. Khi đó bán kính đường tròn ngoại tiếp có độ dài bằng A. Các tiếp [r]

PHÒNG GIÁO DỤC - ĐÀO TẠO

HUYỆN TRỰC NINH ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI HUYỆN

NĂM HỌC 2010-2011

MÔN: TOÁN LỚP 9

Thời gian làm bài 120 phút không kể thời gian giao đề

Phần 1-Trắc nghiệm (2,0 điểm) Mỗi câu sau có nêu bốn phương án trả lời, trong đó chỉ có một

phương án đúng Hãy chọn phương án đúng (viết vào bài làm chữ cái đứng trước phương án được lựa chọn)

Câu 1 Biểu thức 7 4 3  7 4 3 có giá trị là:

3 2



Câu 2 Biểu thức 2

1 2x x

 xác định khi:

A

1 x

2



B.

1

x và x 0 2

C.

1 x 2



D

1

2

Câu 3 Cho hàm số y 2m 1 x 0,5    Đồ thị của hàm số là một đường thẳng không song song

với đường thẳng y  3x khi và chỉ khi

3 m 2



D

1 m

2



Câu 4 Cho tam giác đều cạnh bằng 3 cm Khi đó bán kính đường tròn ngoại tiếp có độ dài bằng

A

3 3

cm

3 cm 2

Phần 2-Tự luận (18 điểm)

Câu 1 (1 điểm).Thực hiện phép tính:

17

2 5 - 3 2 5 + 3

Câu 2 (2 điểm).

Cho biểu thức

x 1

a) Rút gọn P.

b) Tìm x để

1



Câu 3 (5 điểm) Giải các phương trình:

a) x 1   2 x  6 b) 4x 3x2 1 x 1 7x  21

Câu 4 (8 điểm) Cho (O; R), dây cung AB R 2 Các tiếp tuyến tại A và tại B với đường tròn cắt nhau tại M Từ điểm P thuộc đoạn thẳng AM (P không trùng với A và M), vẽ tiếp tuyến PC với đường tròn (C là tiếp điểm) Gọi Q là giao điểm của đường thẳng PC với BM.

a) Chứng minh tứ giác MAOB là hình vuông.

b) Chứng minh chu vi tam giác MPQ bằng nửa chu vi hình vuông MAOB Tính POQ c) Xác định vị trí của các điểm P, Q để độ dài đoạn thẳng PQ nhỏ nhất, khi đó chứng minh tam giác MPQ có diện tích lớn nhất.

Câu 5 (2 điểm) Cho x 0; y 0; x y 2   

ĐỀ CHÍNH THỨC

a) Chứng minh rằng

xyx y  b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2

xy



Họ và tên thí sinh: Giám thị1:

Số báo danh: Giám thị2:

PHÒNG GIÁO DỤC- ĐÀO TẠO

KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN 2010-2011

Môn: TOÁN LỚP 9

Phần I Trắc nghiệm (2 điểm)

Ph n II T lu nần II Tự luận ự luận ận

Câu 1 (1 điểm) Thực hiện phép tính.

17

2 5 - 3 2 5 + 3

3 1





4 5 3 1







0,5

Câu 2 (2 điểm)

a) Rút gọn P (1 điểm)

x 1

:

0,25

:

 x 1  x 1

1



0,25

x 1

2 x



 

16 x x 2 x 1 8 x 8

0

6 x x 9 0

    ( vì 8 x 1    0

với mọi x 0; x 1  )

x = 9 thỏa mãn điều kiện Vậy x = 9 là giá trị cần tìm 0,25

Câu 3 (5 điểm) Giải các phương trình:

a. x 1  2 x  6 (1)

Điều kiện

x 1 0

1 x 2

2 x 0

 



   



 1  x 1 2 x 2 x 1 2 x             6 2 x 1 2 x       3 0,5

2

1

x

2



thỏa mãn điều kiện (*) Vậy phương trình có nghiệm duy nhất

1 x 2

b) 4x 3x2 1 x 1 7x  21 (1)

(1)  7x   1 4x 3x   1 x 1 0    3x   1 4x 3x   1 4x  x 1 0   0,5

 3x2 1 2x2 x 1 0

Ta có  3x2  1 2x2 0

với mọi x

x 1 0  với mọi x   3x2 1 2x2 x 1 0 

0,5

Dấu bằng xảy ra

x 1 0

 



1

x = 1 thỏa mãn điều kiện Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 1 0,25

Câu 4 (8 điểm).

M P

Q C

A

B O

a) Chứng minh MAOB là hình vuông (1,5 điểm)

OA R







Chứng minh MAOB là hình chữ nhật 0,5

b) Chứng minh chu vi tam giác MPQ bằng nửa chu vi hình vuông MAOB (2

điểm)

Chu vi tam giác MPQ

MPQ

MAOB

1

P

2

Tính POQ (1,5 điểm)

Chứng minh

2

Chứng minh

2

c) Xác định vị trí của các điểm P, Q để độ dài đoạn thẳng PQ nhỏ nhất, khi đó

chứng minh tam giác MPQ có diện tích lớn nhất ( 3 điểm)

Đặt MQ = m; MP = n; PQ = x

Theo câu b có m + n + x = 2R  m n 2R x  

Ta cần tìm GTNN của x

Chứng minh bất đẳng thức 2 m 2n2 m n 2

0,5

Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi m n QM PM   0,5 Khi đó các điểm O, C, M thẳng hàng

OQ là tia phân giác của BOM

OP là tia phân giác của AOM

0,5

1

2

không đổi

Tam giác OPQ có chiều cao OC = R không đổi

0,5

PQ nhỏ nhất khi và chỉ khi SOPQnhỏ nhất suy ra SAOPQB nhỏ nhất 0,25

Câu 5 (2 điểm)

a) Chứng minh rằng



Vậy bất đẳng thức đã cho luôn đúng Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y

0,5

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 2 2

xy



2 2

1 2xy

x y  x y 2xy  x y 2 

( vì x y 2  ) Đẳng thức xảy ra

x y 1

x y 2



0,25

Chứng minh được

Đẳng thức xảy ra

2 2

2

xy

0,25

Chứng minh

2

Đẳng thức xảy ra  x y

0,25

Vậy

1 9

A 1 4

2 2

Đẳng thức xảy ra 2 2

x y 1

x y 1

x y 1

 





 vậy min A =

9

x y 1

0,25

Lưu ý: Nếu HS giải theo cách khác, mà đúng và phù hợp với kiến thức trong chương

trình thì Hội đồng chấm thi thống nhất việc phân bố điểm của cách giải đó, sao cho không làm thay đổi tổng điểm của câu (hoặc ý) đã nêu trong hướng dẫn này.