Với mong muốn giúp các em có thêm tài liệu ôn tập thật tốt trong kì thi chọn HSG sắp tới. TaiLieu.vn xin gửi đến các em Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 7 cấp trường năm 2020-2021 có đáp án - Trường THCS Nga Thủy. Vận dụng kiến thức và kỹ năng của bản thân để thử sức mình với đề thi nhé! Chúc các em đạt kết quả cao trong kì thi.
Trang 1PHÒNG GD VÀ ĐT NGA SƠN
TRƯỜNGTHCS NGA THỦY
ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2020- 2021 Môn thi: TOÁN 7
Thời gian: 120 phút (không kể thời gian giao đề)
Câu 1.(4,5 điểm) 1.Tính hợp lí giá trị các biểu thức sau:
A =
45
19 36
17 28
15 21
13 15
11 10
9 6
7
3
5
2
B =
2021
2020 : 7 , 0 875 , 0 6
1 1
5
1 25 , 0 3 1
11
7 9
7
4
,
1
11
2 9
2
4
,
0
2 Cho a + b + c = 2021 và
a c c b b
1 1
1
= 90
1 Tính C =
a c
b c b
a b a
c
Câu 2.(3,5 điểm) Tìm x biết:
a (x +2)n+1 = (x + 2)n+11 với n là số tự nhiên
b 2019 x 2020 x 2021 x 2
Câu 3.(4 điểm)
a) Tìm x, y nguyên thỏa mãn: 3xy - 5 = x2 + 2y
b) Cho a,b,c,d là các số nguyên thỏa mãn: a3 + b3 = 2(c3 - 8d3)
Chứng minh: a + b+ c+ d chia hết cho 3
Câu 4.(6 điểm)
Cho tam giác ABC, M là trung điểm BC Trên nửa mặt phẳng bờ AB chứa điểm C dựng AE vuông góc với AB và AE = AB Trên nửa mặt phẳng bờ AC chứa điểm B dựng AF vuông góc với AC và AF = AC Chứng minh:
a) FB = EC
b) EF = 2AM
c) AM EF
2 1
16
15 9
8 4
3
n
n
không là số tự nhiên với mọi n N Hết
Họ tên thí sinh: Số báo danh:
Trang 2PHÒNG GD VÀ ĐT NGA SƠN
TRƯỜNGTHCS NGA THỦY
HƯỚNG DẪN CHẤM THI
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 7
NĂM HỌC 2020 - 2021 Môn thi : Toán 7
1
(4,5đ)
1.a (1,5)
A =
45
19 36
17 28
15 21
13 15
11 10
9 6
7 3
5
2 =
90
19 72
17 56
15 42
13 30
11 20
9 12
7 6
5 1
5
6 10
1 2
1 2 10
1 9
1 9
1 8
1
4
1 3
1 3
1 2
1 2
1 2
0,5đ 1đ
1.b (1,5)
B=
2021
2020 : 7 , 0 875 , 0 6
1 1
5
1 25 , 0 3 1
11
7 9
7 4 , 1
11
2 9
2 4 , 0
=
2021
2020 : 10
7 8
7 6 7
5
1 4
1 3 1
11
7 9
7 5 7
11
2 9
2 5 2
2021
2020 : 7
2 7
1,5đ
2 (1,5)
Vì a + b + c = 2021 => a = 2021 - (b+c); b = 2021 -(a+c);
c = 2021-(a+b) => C =
a c
b c b
a b a
c
= 2021(abbcca
1 1
1
) - 3
= 2021
90
1
- 3 =
90
1751
0,5đ 0,5đ 0,5đ
2
(3,5)
a
(1,5)
a (x +2)n+1 = (x + 2)n+11 Suy ra: 2 11 210 0
x
được x = -2; x= -1; x = -3
1,5đ
b (2đ)
b 2019 x 2020 x 2021 x 2
Ta có 2020 x 0; 2019 x 2021 x x 2019 2021 x 2Do đó
để 2019 x 2020 x 2021 x 2thì
0 2020
0 ) 2021 )(
2019 (
x
x x
Suy ra x = 2020
1đ 1đ
3
(4đ)
a (2,0đ)
a 3xy - 5 = x2 + 2y
y(3x - 2) = x2 + 5 (1)
Do x, y nguyên suy ra x2 + 5 chia hết cho 3x - 2 9(x2 + 5) chia hết cho 3x - 2
9x2 -6x + 6x - 4 +49 chia hết cho 3x - 2
49 chia hết cho 3x - 2 3x - 2 49 ; 7 ; 1 ; 1 ; 7 ; 49 x1 , 3 , 17
thay vào (1) được y 6 ; 2 ; 6 Vậy (x,y) = (1;6); (3;2); (17;6)
0.5 0.5 0,5 0,5
Trang 3b
2,0
b) Ta có: a3 + b3 = 2(c3 - 8d3) a3 +b3 +c3 +d3 = 3c3 - 15d3
Mà 3c3 - 15d3 chia hết cho 3 nên a3 +b3 +c3 +d3 chia hết cho 3 (1) Lại có a a3 (mod3)
b b3(mod3); c c3(mod3); d d3(mod3)
suy ra a + b+ c +d a3 + b3 +c3 + d3 (mod3)
(2)
Từ (1) và (2) suy ra a +b +c + d chia hết cho 3
1đ
0,5
0,5
4
(6đ)
Vẽ hình chính xác và viết đúng GT,KL
0,5
a
(1,5đ) ∆ABF = ∆AEC (c-g-c) FB = EC
1 0,5
b
(2đ)
Trên tia đối của tia MA lấy điểm K sao cho AK = 2AM Ta có
∆ABM = ∆KCM (c-g-c) => CK//AB =>ACK + CAB = EAF + CAB = 1800
=>ACK = EAF Xét tam giác ∆EAF và ∆KCA có AE = AB = CK, ACK = EAF ,
AF = AC => ∆EAF = ∆KCA (c.g.c) => EF = AK = 2AM
0,5 0,5 0,5 0,5
c
(2,0đ)
Từ ∆EAF = ∆KCA =>CAK = AFE
=>CAK + FAK = AEF + FAK =900 => AK EF
1đ 1đ
5
(2đ)
2 1
16
15 9
8 4
3
n
n
2 2
2 2 2 2
2
1
4
1 4 3
1 3 2
1 2
n
n
= (n - 1) - ( 2 2 2 12
4
1 3
1 2
1
n
=> S < n - 1 (1)
2 2
2 2
1
4
1 3
1 2
1
n
n
n 1 ) (
1
4 3
1 3 2
1 2 1
1
n
1
<1
=> S > n- 1 - 1 = n - 2 (2)
Từ (1) và (2) suy ra S không là số nguyên
0,5 0,5 0,5 0,5
A
A
F
B
K
C
E
M
A