Toán Tài chính là một môn học nhằm giúp các bạn học sinh các ngành kinh tế, tài chính, kế toán nắm bắt được một số kiến thức cơ bản của toán tài chính với các ứng dụng thực tế trong tài chính, qua đó có thể tiếp tục tìm hiểu sâu thêm về lĩnh vực này. Nhằm phục vụ cho học sinh ngành tài chính và kế toán nên quyển giáo trình này có tính chất bổ túc các kiến thức về tài chính và đồng thời cố gắng giảm nhẹ hình thức toán học cho học sinh dễ tiếp cận và tiếp thu tốt hơn.
LÃI ĐƠN
Phương pháp lãi đơn
Phương pháp lãi đơn được sử dụng để tính lãi của các kỳ trên cơ sở giá trị vốn gốc ban đầu trong suốt tất cả các kỳ này Hay nói cách khác, phương pháp lãi đơn chỉ tính lãi trên vốn gốc mà không tính lãi trên lãi Điều này có nghĩa là trong điều kiện lãi suất cố định, tiền lãi sinh ra của các kỳ sẽ bằng nhau nếu tính theo phương pháp lãi đơn
Thông thường phương pháp lãi đơn được sử dụng trong các phép toán tài chính ngắn hạn, nhưng không nhất thiết khi nào cũng phải như vậy.
Giải thích các khái niệm cơ bản
Vốn gốc: Là số tiền mà ngân hàng cho các tổ chức, doanh nghiệp hay cá nhân vay Số tiền này được thể hiện trong hợp đồng tín dụng Vốn gốc còn được hiểu là số tiền mà nhà đầu tư bỏ ra để thực hiện hay tham gia một dự án đầu tư nào đó
Vốn thu hồi: Vốn thu hồi có quan hệ mật thiết với vốn gốc, nó thể hiện số vốn gốc sau một quá trình đầu tư nay đáo hạn mà nhà đầu tư thu hồi lại
Tiền lãi: Còn gọi là lợi tức, chính là số tiền lời sinh ra từ vốn gốc Thuật ngữ tiền lãi không nên bị nhầm lẫn với thuật ngữ lãi suất
Lãi suất: Còn gọi là lợi suất, chính là tỷ lệ giữa tiền lãi với giá trị vốn gốc Lãi suất thường được thể hiện dưới dạng một số % hoặc cũng có thể là số thập phân
Thời hạn: Là khoảng thời gian đầu tư vốn Đơn vị thời hạn có thể là năm, nửa năm, quý, tháng, tuần, ngày
Kỳ khoản thứ i: Dúng để gọi tên kỳ i cụ thể nào đó, chẳng hạn i = 1 có nghĩa là kỳ khoản thứ 1 tức là khoản tiền phát sinh đầu tiên hay số tiền trả nợ đầu tiên Nếu kỳ khoản có đơn vị là năm thì gọi là năm thứ 1, tương tự nếu i = 10 thì gọi là năm thứ 10.
Các ký hiệu được sử dụng trong chương
C n Giá trị vốn thu hồi
I i Tiền lãi phát sinh trong kỳ thứ p
2 Tổng lãi phát sinh từ kỳ thứ 1 đến kỳ thứ n
N Số kỳ khoản (thời hạn đầu tư)
R Lãi suất r e Lãi suất hiệu dụng (lãi suất thực) r Lãi suất trung bình
Dẫn nhập phương pháp lãi đơn
1.4.1 Bài toán đặt vấn đề
Giả sử bạn có số vốn C0 dự kiến sẽ nhàn rỗi trong n tháng tới Bạn quyết định gởi tiết kiệm ngân hàng kỳ hạn n tháng để hưởng lãi suất r phần trăm 1 tháng Hỏi số lãi bạn được hưởng là bao nhiêu và khi hất hạn bạn được nhận tổng cộng bao nhiêu
Tiền lãi phát sinh tháng thứ nhất:
Do vốn đầu tư tháng thứ nhất C0 nên: r C
Tiền lãi phát sinh trong tháng thứ hai:
Theo định nghĩa lãi đơn, tiền lãi sẽ chỉ tính trên vốn gốc C0 trong suốt các kỳ nên: r C
Lập luận tương tự, tiền lãi tháng thứ i bất kỳ cũng sẽ bằng: r C
Và tiền lãi tháng cuối cùng cũng bằng: r C
I n 0 Điều dễ dàng nhận thấy rằng tiền lãi của bất kỳ tháng nào cũng đều bằng giá trị vốn gốc
C0 nhân với lãi suất r, tức là: I1 = I2 = In=C0r
Như vậy tổng tiền lãi phát sinh trong suốt thời gian gởi tiết kiệm là:
Còn tổng số tiền bạn thu về khi hết hạn gởi gồm phần tiền vốn cộng với phần tiền lãi phát sinh: r nC C I C
Giả sử bạn có số vốn 100 triệu đồng và bạn dự kiến sẽ không dùng đến ít nhất là 6 tháng tới Bạn thấy lãi suất của ngân hàng A loại kỳ hạn 6 tháng là 1% một tháng Nếu bạn quyết định gởi vào ngân hàng A này thì tổng tiền lãi bạn được hưởng là bao nhiêu? Tính chung cả số tiền gởi của bạn nữa thì sau 6 tháng gởi ngân hàng bạn có bao nhiêu tiền?
Sau đó lấy vốn gốc cộng lãi:
Hoặc bạn cũng có thể dùng công thức (1.2) để tính:
Vào ngày 25/08/200X, bạn và ngân hàng ký một hợp đồng tín dụng với điều khoản như sau: Số tiền vay 25 triệu đồng, thời hạn 9 tháng, lãi suất 1,2% một tháng Lãi được tính theo phương pháp lãi đơn, song 3 tháng sẽ thanh toán 1 lần Đến ngày đáo hạn trả cả gốc lẫn lãi kỳ cuối (nếu có) Bạn hãy cho biết số tiền sau mỗi 3 tháng phải trả là bao nhiêu? Ngày đáo hạn bạn phải trả tổng cộng là bao nhiêu? Hãy thử lập bảng lịch trình trả nợ
Sau mỗi 3 tháng, bạn phải trả tổng số tiền lãi phát sinh trong 3 tháng Do tiền lãi được tính theo phương pháp lãi đơn nên tiền lãi mỗi tháng đều bằng nhau Vận dụng công thức (1.1) ta có:
Vậy sau mỗi 3 tháng bạn phải trả tổng cộng 900.000 đồng Đến ngày đáo hạn bạn phải trả số nợ gốc cộng với tiền lãi của kỳ 3 tháng thứ 3 (từ tháng
7 đến hết tháng 9) mà bạn chưa trả Vậy tổng cộng bạn phải trả là:
Bảng lịch trình trả nợ
Ngày Trả gốc Trả lãi Tổng cộng
Hai mức lãi suất nào đó được gọi là tương đương khi chúng đều sinh ra hai mức lợi tức như nhau từ cùng một số vốn đầu tư ban đầu sau một thời hạn nhất định
Gọi r là lãi suất yết theo năm đã biết, r m là lãi suất theo tháng tương đương cần tìm
Bảng 1.1 Bảng hệ số tương đương k
Bạn có số tiền 200 triệu đồng nhàn rỗi và bạn quyết định sẽ gởi tiết kiệm ngân hàng với thời hạn 18 tháng Biết lãi suất tiết kiệm là 12% một năm Hỏi bạn sẽ nhận tổng cộng bao nhiêu tiền khi đáo hạn?
Giải: Áp dụng công thức (1.2)
Quy đổi lãi suất 12% một năm về 1 tháng tương đương ta có:
Thay vào công thức (1.2) ta tính được số tiền thu về sau 18 tháng:
Vậy khi đáo hạn bạn nhận được 236 triệu đồng, trong đó 26 triệu đồng là tiền lãi, còn lại là tiền vốn của bạn
1.4.3 Một số công thức cơ bản vận dụng
1.4.3.1 Tính giá trị vốn đầu tư ban đầu Co
Từ công thức (1.2), chúng ta dễ dàng suy ra nr
Hoặc từ công thức (1.1) suy ra: nr
Giả sử bạn muốn có được số tiền 15 triệu đồng sau 9 tháng nữa để mua chiếc xe honda Wave α đi làm Biết lãi suất ngân hàng hiện nay là 9% một năm Vậy bây giờ bạn nên gởi tiết kiệm bao nhiêu?
Trong trường hợp này do đã biết trước giá trị vốn thu hồi nên chúng ta áp dụng công thức (1.4) để tính Kết quả tính được là:
Như vậy, bây giờ bạn gửi 14 triệu đồng để sau 9 tháng nữa bạn có 15 triệu đồng mua xe cho mình
Một số vốn mang đầu tư trong 20 tháng thu được khoản lợi tức 50 triệu đồng Biết dự án đó có tỷ suất sinh lợi (lãi suất) là 1,25% một tháng Hãy xác định giá trị vốn đầu tư ban đầu? Giải: Áp dụng công thức (1.5) ta tính được:
Vậy dự án có vốn đầu tư ban đầu là 200 triệu đồng
1.4.3.2 Tính thời hạn đầu tư n r C
Chúng ta tiếp tục sử dụng ví dụ 1.6 cho tình huống sau:
Giả sử bây giờ bạn chỉ có 14 triệu đồng thì phải gởi trong bao lâu?
Giải: Áp dụng công thức (1.6) ta tính được:
Hoặc tính lãi suất từ lượi tức: n
Chúng ta tiếp tục sử dụng ví dụ 1.6 cho tình huống giả định: bạn chỉ có 14 triệu đồng nhưng lại không thể kiên nhẫn chờ thêm nửa tháng nữa Vì vậy bạn sẽ mong đợi lãi suất của ngân hàng tăng lên bao nhiêu?
Giải: Áp dụng công thức (1.8) ta tính được:
Lãi suất trung bình
1.5.1 Lãi suất trung bình của một khoản vốn gốc cố định
1.5.1.1 Bài toán đặt vấn đề
Giả sử cách nay n 1 tháng bạn có vay số tiền C 0 tại ngân hàng A với mức lãi suất một tháng là r 1 phần trăm Nay do lạm phát tăng cao nên ngân hàng đề nghị điều chỉnh lại mức lãi suất r 2 phần trăm một tháng, áp dụng cho n 2 tháng còn lại theo thời hạn vay của bạn r
Giả sử bạn vay ngân hàng số tiền với thời hạn là 6 tháng Lãi suất trong hai tháng đầu tiên là 1% một tháng, còn bốn tháng còn lại là 1,4% một tháng Bạn muốn cố định mức lãi suất thì theo bạn ngân hàng sẽ neo lãi suất bao nhiêu?
Theo dữ liệu bài toán , ta có các thông số sau: n1 = 2; r1=1% n2 = 4; r2 = 1,4% Áp dụng công thức trên ta tính được:
Vậy lãi suất trung bình một tháng trong 6 tháng là 1,27%
Từ bài toán đặt vấn đề ta rút ra công thức tổng quát tính lãi suất trung bình cho trường hợp vốn gốc cố định:
1.5.2 Lãi suất trung bình của nhiều khoản vốn khác nhau
1.5.2.1 Bài toán đặt vấn đề
Bạn có số tiền C 0 định gởi vào ngân hàng nhằm hưởng lãi Bạn quyết định chia số vốn này thành 3 phần C A , C B , C C và lần lượt gởi vào 3 ngân hàng A, B, C với mức lãi suất tương ứng r A , r B , r C Hỏi sau n kỳ gởi , bạn nhận được tổng mức lợi tức của cả 3 phần vốn này là bao nhiêu? Nếu bạn quyết định gửi luôn C0 vào ngân hàng O nào đó sau n kỳ thì mức lãi suất của ngân hàng O này phải là bao nhiêu thì sẽ đảm bảo mức sinh lời không đổi như phương án chia vốn?
Trước hết tính tiền lãi sinh ra tương ứng từ 3 phần vốn gửi tại 3 ngân hàng:
Tiền lãi từ ngân hàng A: I A nC A r A
Tiền lãi từ ngân hàng B: I B nC B r B
Tiền lãi từ ngân hàng C: I C nC C r C
Vậy tổng tiền lãi từ 3 ngân hàng:
Bây giờ xét phương án không chia vốn: o o r nC
Trong đó: r0 là mức lãi suất tại ngân hàng O Để thoả mãn yêu cầu tiền lãi của 2 phương án là như nhau ta có phương trình:
0 C r C r C r r C A A B B C C Ở đây r0 gọi là mức lãi suất trung bình của 3 mức lãi suất rA, rB, rC
Bạn có số tiền 900 triệu đồng, chia ra làm 3 phần 400 triệu, 200 triệu và 300 triệu Ba số tiền này sẽ được gởi vào ba ngân hàng A, B, C với các mức lãi suất tương ứng 1,2% một tháng, 1% một tháng, và 0,9% một tháng Hỏi tổng số tiền lãi từ cả ba ngân hàng là bao nhiêu sau 9 tháng gởi? Biết rằng ngân hàng D đang phát hành chứng chỉ tiền gởi có mệnh giá 900 triệu đồng, kỳ hạn 9 tháng với mức lãi suất 1,05% một tháng, bạn mua không?
Trước hết, ta tính tổng lãi của cả 3 ngân hàng:
I = 9x(400x1,2%+200x1%+300x0,9%) = 85,5 triệu đồng Để có cơ sở quyết định nên mua chứng chỉ tiền gửi không, bạn cần tính lãi suất trung bình của 3 mức lãi suất trên:
Như vậy, do lãi suất trung bình của 3 mức lãi suất trên lớn hơn mức lãi suất chứng chỉ tiền gửi nên gửi vào ba ngân hàng trên có lợi hơn
Từ bài toán đặt vấn đề ta có thể lập công thức tổng quát như sau:
C j là giá trị của khoản gốc thứ j (j1,m) r j là lãi suất áp dụng cho khoản vốn gốc tương ứng Cj (j1,m)
Lãi suất thực
1.6.1 Trường hợp trả lãi đầu kỳ
Ví dụ: Ngân hàng A đang công bố mức lãi suất tiết kiệm loại kỳ hạn 6 tháng là 1% một tháng, trả lãi đầu kỳ Ngân hàng B mức lãi suất 12,6% một năm, trả lãi cuối kỳ Bạn gởi tiền vào ngân hàng nào có lợi hơn?
- Nếu bạn gởi số tiền C0 vào ngân hàng A, số lãi bạn được hưởng là:
Do ngân hàng thanh toán ngay tiền lãi nên số tiền thực gởi chỉ là:
Chỉ gởi số tiền 0,94C0 mà vẫn hưởng được mức lợi tức là 0,06C0, vậy tỷ suất sinh lời thực tế là:
Rõ ràng ngân hàng A lãi suất danh nghĩa thấp hơn ngân hàng B nhưng thực tế gởi ở ngân hàng A sẽ có lợi hơn
Từ ví dụ ta dễ dàng xác lập công thức tính lãi suất thực tế cho trường hợp trả lãi đầu kỳ:
Trong đó: r: là lãi suất danh nghĩa (đầu kỳ) n: là thời hạn đầu tư
1.6.2 Trường hợp lãi ghép định kỳ
Ví dụ: Bạn đi vay ngân hàng số tiền C0, trả cả gốc lẫn lãi sau khi đáo hạn 12 tháng với lãi suất r là 12% một năm Theo hợp đồng tín dụng ngân hàng sẽ ghép lãi định kỳ 3 tháng 1 lần Hãy xác định tổng số tiền bạn phải trả khi đáo hạn, và cho biết trong đó số lãi phải trả là bao nhiêu? Tỷ suất chi phí thực tế của khoản vốn vay này là bao nhiêu?
Trước hết ta tính tổng số lãi phát sinh trong kỳ hạn 3 tháng đầu (từ tháng 1 đến tháng 3):
Số lãi này sẽ được ghép vào vốn gốc C0 theo điều khoản của hợp đồng tín dụng Nghĩa là đầu kỳ hạn 3 tháng thứ hai (tức đầu tháng thứ 4), dư nợ vay lúc này là:
Tiếp tục tính tổng số lãi phát sinh trong kỳ hạn 3 tháng thứ hai (từ tháng thứ 4 đến tháng thứ 6):
Tương tự ngân hàng sẽ ghép số lãi này vào vốn đầu kỳ hạn 3 tháng thứ hai:
C r Đây chính là số dư nợ vào đầu kỳ hạn 3 tháng thứ 3 (tức là từ tháng 7 đến tháng thứ 9) Tương tự ta tiếp tục tính lãi cho kỳ hạn 3 tháng thứ 3 này:
Vậy tổng số dư nợ vào đầu kỳ hạn 3 tháng cuối cùng:
Số lãi phát sinh trong kỳ hạn 3 tháng cuối:
Tổng số tiền trả nợ sau kỳ hạn thứ 4 (tức sau 12 tháng và cũng là đáo hạn):
Trong đó tổng số lãi phải trả:
Vậy tỷ suất chi phí thực tế với (r = 12% một năm):
Từ ví dụ trên ta xác định lãi suất thực tế trong trường hợp ghép lãi nhiều lần như sau:
Trong đó: k là tần số ghép lãi trong năm
Bài tập chương 1
Một doanh nghiệp vay ngân hàng 280 triệu đồng, lãi suất 1,22% một tháng Thời hạn vay 9 tháng Tính khoản lãi doanh nghiệp phải trả?
Bạn mua chịu một món hàng trị giá 15 triệu đồng Người bán hàng cho bạn chịu trong 90 ngày với lãi suất 12% một năm Hỏi sau khoảng 2 tháng, ngoài số tiền 15 triệu bạn phải có để trả món hàng thì bạn phải dành thêm bao nhiêu nữa để trả phần lãi phát sinh?
Vay ngân hàng số vốn trả sau 18 tháng số lãi 78 triệu đồng Biết lãi suất vay vốn 8% một năm Hãy xác định số vốn đã vay?
Một số vốn đầu tư được thực hiện trong 18 tháng thu được khoản lợi tức là 20 triệu đồng Biết dự án có tỷ suất sinh lợi (lãi suất) 7% một năm Hãy xác định giá trị vốn đầu tư ban đầu?
Số vốn 1.100 triệu đồng được choa làm 3 phần đem gửi vào 3 ngân hàng với lãi suất và thời hạn như sau:
- Ngân hàng A: 200 triệu, lãi suất 9% một năm, từ 10/3 đến 25/8
- Ngân hàng B: 400 triệu đồng, lãi suất 3% một quý, từ 10/3 đến 10/10
- Ngân hàng C: 500 triệu đồng, lãi suất 1,2% một tháng, từ 10/3 đến 31/12
Yêu cầu: a Hãy tính lãi suất trung bình các khoản vốn trên b Tổng số lãi phải thu được từ các phần vốn là bao nhiêu?
LÃI KÉP
Phương pháp lãi kép
Khác với phương pháp lãi đơn, với phương pháp lãi kép tiền lãi sau mỗi kỳ đầu tư sẽ được ghép vào vốn đầu kỳ để làm cơ sở tính lãi cho kỳ đầu tư kế tiếp Hay nói cách khác, tiền lãi phát sinh sau mỗi kỳ sẽ được vốn hóa để sinh ra mức lãi mới.
Dẫn nhập phương pháp lãi kép
2.2.1 Bài toán đặt vấn đề
Bạn có số tiền nhàn rỗi C0 và dự định gởi tiết kiệm tại ngân hàng Tham khảo biểu lãi suất tiết kiệm tại ngân hàng loại kỳ hạn 1 tháng là r phần trăm 1 tháng Từ đó bạn quyết định gởi 1 tháng cho đến khi cần dùng đến số tiền sau n tháng Hãy tính thử xem bạn sẽ có bao nhiêu tiền sau n tháng gởi?
Tiền lãi phát sinh trong tháng thứ 1: r
Do đây là tiền gởi kỳ hạn 1 tháng, nên sau 1 tháng tổng số tiền bạn nhận về:
Tiền lãi phát sinh trong tháng thứ 2: r r C r
Vậy tổng số tiền bạn nhận về sau kỳ gởi thứ 2:
Cuối cùng một cách tương tự bạn có thể chứng minh rằng, tổng số vốn thu hồi sau khi hết thời hạn gởi n tháng là: n n C r
Còn phần tiền lãi bạn nhận được từ tháng thứ nhất đến tháng thứ n sẽ bằng tổng số tiền thu hồi sau n tháng trừ đi phần vốn gốc của bạn
Hay có thể viết lại
VD 2.1 Giả sử cách đây 2 năm bạn đã vay ngân hàng số tiền 100tr đồng, thời hạn 5 năm Lãi suất 10% một năm, ghép lãi hàng năm nhưng trả lãi và vốn khi đáo hạn Hỏi bây giờ bạn đang nợ ngân hàng bao nhiêu tiền? Khi đáo hạn, ngoài phần vốn gốc, bạn phải thanh toán cho ngân hàng số lãi tổng cộng là bao nhiêu?
Số tiền mà bạn còn nợ ngân hàng hiện nay bao gồm phần vốn gốc bạn đã vay cộng với số tiền lãi phát sinh trong hai năm qua:
Tổng số lãi bạn phải trả khi đáo hạn sau 5 năm:
Bạn có số vốn C0 và dự định sẽ gởi nó vào ngân hàng để hưởng lãi sau 1 năm Hiện có 2 ngân hàng A và B công bố 2 mức lãi suất tương ứng r A và r B , biết rằng, ngân hàng A yết lãi suất theo năm cho kỳ hạn gởi một năm, còn ngân hàng B yết lãi suất theo tháng cho kỳ hạn một tháng Bạn sẽ gởi vào ngân hàng nào?
Trước hết, nếu bạn gởi vào ngân hàng A, sau 1 năm bạn sẽ có số tiền lãi:
Còn tại ngân hàng B, bạn sẽ nhận được số tiền lãi sau 12 tháng là:
Trong điều kiện bình thường hai mức lãi sinh ra từ ngân hàng theo các kỳ hạn gởi khác nhau phải như nhau
Trong đó r A là lãi suất năm, r B là lãi suất tháng Vậy trong lãi kép mối quan hệ tương đương giữa các loại lãi suất được xác định là:
- Nếu biết lãi suất một tháng,bạn quy ra các loại lãi suất tương đương:
Ví dụ: Biết lãi suất 1 tháng là 1%, hãy quy ra các mức lãi suất tương đương theo hai phương pháp lãi đơn và lãi kép để so sánh
Công thức tổng quát kr m (1r m ) k 1
- Ngược lại khi đã biết lãi suất 1 năm, bạn quy ra các loại lãi suất tương đương:
2.2.3 Các công thức cơ bản
Công thức C n C 0 (1r) n , được xem là công thức lãi kép cơ bản Từ công thức /này bạn có thể suy ra các công thức tính các yếu tố liên quan
2.2.3.1 Tính giá trị vốn đầu tư ban đầu C0
Nếu biết trước giá trị vốn đầu tư thu hồi, thời hạn đầu tư và lãi suất, chúng ta có thể xác định được giá trị vốn đầu tư ban đầu theo công thức sau:
Ví dụ: Bạn muốn có số tiền 200tr đồng sau 5 năm tới Biết lãi suất ngân hàng đang hấp dẫn ở mức 12% một năm Bạn sẽ gởi bao nhiêu tiền vào ngân hàng?
Giải: Áp dụng công thức (2.9) ta được:
2.2.3.2 Tính mức lãi suất đầu tư r
Nếu biết trước giá trị vốn đầu tư, giá trị vốn thu hồi và thời hạn đầu tư, chúng ta cũng dễ dàng tính được lãi suất đầu tư theo công thức:
Ví dụ 2.14: Bạn chỉ có 100tr đồng, nhưng rất cần 200tr đồng sau 5 năm tới Vậy bạn mong muốn lãi suất ngân hàng sẽ là bao nhiêu?
Giải: Áp dụng công thức (2.10) ta được:
2.2.3.3 Tính thời hạn đầu tư n
Nếu biết trước giá trị vốn đầu tư ban đầu, giá trị vốn đầu tư thu hồi và lãi suất đầu tư, ta có thể tính được thời hạn đầu tư theo công thức sau:
Ví dụ 2.15: Bạn chỉ có 100tr đồng và lãi suất ngân hàng 12% một năm, nhưng bạn cần 200tr đồng trong tương lai Hỏi bạn phải chờ bao lâu nữa mới có được số tiền mong muốn? Giải: Áp dụng công thức (2.11) ta được:
Lãi suất thay đổi làm bạn bận rộn với công việc hơn, Đặt biệt là bạn sẽ lo lắng cho vấn đề rủi ro lãi suất Câu hỏi đặt ra là tại sao không cố định mức lãi suất? Ý này cũng hay, nhưng trả lời không phải dễ vì nó liên quan đến rủi ro và quản trị rủi ro lãi suất
Gọi r là mức lãi suất cố định mà ngân hàng và bạn đang cố xác định để ấn định trong hợp đồng tín dụng Vậy, nếu bạn vay số tiền C0, thời hạn 10 năm, với lãi suất cố định r thì tổng số tiền trả nợ khi đáo hạn là:
Dựa vào viễn cảnh về lãi suất trong tương lai như đã xác định ở tình huống trên, ngân hàng chỉ chấp nhận cho bạn vay với mức lãi suất r khi tổng số tiền trả nợ của bạn cho ngân hàng ít nhất phải bằng với trường hợp bạn vay lãi suất thả nổi ở trên
Thay số vào, chúng ta tính được lãi suất cố định:
Mức lãi suất 9,89% một năm cũng chính là mức lãi suất trung bình của các mức lãi suất
Một cách tổng quát, ta có công thức tính lãi suất trung bình trong lãi kép:
1và r i là lãi suất của kỳ hạn thứ i (i1,m)
Ví dụ: Bạn gởi ngân hàng số tiền với thời hạn 8 năm, lãi suất thả nổi các kỳ hạn như sau: 2 năm đầu lãi suất 8% một năm, 3 năm kế tiếp lãi suất 6% một năm, 2 năm kế tiếp lãi suất là 9% một năm và năm cuối lãi suất 10% một năm Tính lãi suất trung bình của các mức lãi suất này và cho biết giá trị thu hồi gấp mấy lần vốn vay?
Giải: Áp dụng công thức (2.14) ta được:
Với lãi suất trung bình này, bạn tính được giá trị vốn thu hồi:
Vậy giá trị vốn thu hồi đã gấp 1,82 lần so với số tiền gốc
2.2.5 Lãi suất thực hay lãi suất hiệu dụng
2.2.5.1 Trường hợp ghép lãi với tần suất nhiều lần trong năm
Lãi suất thường được yết theo năm và người ta thường gọi là lãi suất phần trăm năm Đây chỉ là mức lãi suất danh nghĩa Lãi suất thực tế tùy thuộc vào tần suất ghép lãi trong một năm Khi tần suất ghép lãi nhiều hơn một lần trong năm thì lãi suất thực tế sẽ cao hơn lãi suất danh nghĩa Lãi suất thực tế này được gọi là lãi suất hiệu dụng
Nếu tần suất ghép lãi càng nhiều lần trong một năm thì tổng số lãi phải trả cho cùng một khoản nợ sẽ càng nhiều Như vậy, dựa vào mức lãi suất danh nghĩa cùng với số lần ghép lãi một năm mà ta có thể tính được mức lãi suất thực tế của khoản vay theo công thức sau:
So sánh lãi đơn và lãi kép
2.3.1 Lãi kép đắt hơn lãi đơn
Hãy so sánh 2 công thức cơ bản tính giá trị vốn thu hồi từ 1 đồng vốn đầu tư ban đầu theo
2 phương pháp lãi đơn và lãi kép:
Vậy khi nào thì phương pháp lãi kép sẽ cho giá trị lớn hơn phương pháp lãi đơn? Điều này xảy ra khi: r) n
Ngược lại nếu n