Mô hình hóa và ước lượng phần tử liên kết đàn hồi trong các hệ truyền động điện tự động nhiều động cơ bằng phương pháp số

Bài viết đề xuất một giải pháp mới, giải quyết bài toán xác định mô hình ước lượng tối ưu của phần tử liên kết đàn hồi trong các hệ truyền động điện tự động nhiều động cơ ứng dụng phương pháp nội suy thực (RIM). Thuật toán và chương trình theo RIM đã được xây dựng cho một mô hình truyền động cơ-điện có hai động cơ để xấp xỉ hàm truyền gốc mô tả phần tử liên kết đàn hồi có chứa các thành phần quán tính và siêu việt bằng hàm truyền dạng phân thức hữu tỉ. Bên cạnh việc đưa ra dạng hàm cụ thể, chương trình còn tính sai số ước lượng với các hàm truyền xấp xỉ khác nhau, từ đó cho phép xác định cấu trúc và tham số của mô hình ước lượng tối ưu.

MÔ HÌNH HÓA VÀ ƯỚC LƯỢNG PHẦN TỬ LIÊN KẾT

ĐÀN HỒI TRONG CÁC HỆ TRUYỀN ĐỘNG ĐIỆN TỰ ĐỘNG

NHIỀU ĐỘNG CƠ BẰNG PHƯƠNG PHÁP SỐ

Đào Sỹ Luật1, Mai Xuân Dũng2, Nguyễn Phú Đăng2*

1 Đại học Đồng Nai; 2 Đại học Kỹ thuật Lê Quý Đôn

Tóm tắt

Bài báo đề xuất một giải pháp mới, giải quyết bài toán xác định mô hình ước lượng tối ưu của phần tử liên kết đàn hồi trong các hệ truyền động điện tự động nhiều động cơ ứng dụng phương pháp nội suy thực (RIM) Thuật toán và chương trình theo RIM đã được xây dựng cho một mô hình truyền động cơ-điện có hai động cơ để xấp xỉ hàm truyền gốc mô tả phần

tử liên kết đàn hồi có chứa các thành phần quán tính và siêu việt bằng hàm truyền dạng phân thức hữu tỉ Bên cạnh việc đưa ra dạng hàm cụ thể, chương trình còn tính sai số ước lượng với các hàm truyền xấp xỉ khác nhau, từ đó cho phép xác định cấu trúc và tham số của mô hình ước lượng tối ưu

Từ khóa: Băng tải đàn hồi; hàm truyền đạt; hệ truyền động điện; mô hình hóa; phương pháp nội

suy thực; xấp xỉ hóa

1 Đặt vấn đề

Hiện nay, các hệ thống truyền động điện tự động nhiều động cơ chủ động liên thuộc nhau về tốc độ là thành phần cơ bản trong hầu hết các dây chuyển sản xuất, robot công nghiệp, thiết bị gia công cơ khí, Cấu trúc chung của hệ truyền động như vậy được chỉ ra trên hình 1 Trong đó, phần tử đàn hồi (băng tải, dây đai,…) liên kết các động cơ của hệ có các tham số (khối lượng, độ đàn hồi,…) phụ thuộc vào kích thước không gian của nó, được mô tả bởi các phương trình vi phân đạo hàm riêng, các phương trình tích phân, vi - tích phân và các dạng khác nữa Vì vậy, hàm truyền đạt mô tả phần

tử này sẽ có dạng:

( ) ( ) ( ) ( , , , cos( ),sin( ), ( ), ( ), )

A s

B s dt

nó chứa không chỉ đối số s như với hệ tuyến tính mà còn cả các thành phần quán tính

và siêu việt (hàm của s ( s, cos( ),sin( ),s s sh s ch s( ), ( ), )) [1-4] Sự phức tạp của hàm truyền đạt mô tả băng tải đàn hồi (1) làm cho việc tổng hợp bộ điều chỉnh của các hệ thống này sẽ khó khăn hơn nhiều Cách thường dùng là thực hiện xấp xỉ biểu thức (1) bằng một phân thức hữu tỉ mô tả hệ tuyến tính Tuy việc này làm mất đi các tính chất

* Email: npdangdtys@gmail.com

đặc trưng của hệ thống có tham số phân bố và tăng sai số chung nhưng nó cho phép ứng dụng các phương pháp tổng hợp hệ thống tuyến tính đã biết

Các phương pháp ước lượng hàm truyền đạt (1), được xem xét trong nhiều nghiên cứu trước đây đã cho những kết quả tích cực [5-9] Nghiên cứu [5] đề cập vấn đề xấp xỉ hóa sử dụng các đa thức Chebyshev, còn [6] sử dụng các đa thức Bessel Phương pháp ước lượng phổ biến là ứng dụng các chuỗi hội tụ và xấp xỉ Pade [7, 8] Tuy nhiên, việc phân tích hàm (1) thành các chuỗi hội tụ gặp nhiều khó khăn do sự phức tạp của nó, đồng thời làm tăng sai số ước lượng Phương pháp tần số có những hạn chế nhất định liên quan đến việc chuyển hàm ban đầu (1) theo biến phức về dạng có đối số thực [9]

Vì vậy, nghiên cứu này sẽ đề xuất và khảo sát một giải pháp dựa trên phương pháp nội suy thực để xác định mô hình ước lượng tối ưu từ mô hình gốc (1) [10]

Hình 1 Cấu trúc hệ truyền động hai động cơ chủ động được liên kết bởi băng tải đàn hồi

2 Nội dung chính

2.1 Mô hình hóa phần tử liên kết đàn hồi dạng vòng kín

Trong các hệ truyền động điện tự động nhiều động cơ, cơ cấu truyền dạng băng tải được mô tả bằng các phương trình vi phân hyperbol Băng tải được khảo sát có dạng vòng kín liên kết với động cơ và sơ đồ tính toán chỉ ra trên hình 1 Phần tử này có khối lượng và độ cứng phân bố đều, với m - khối lượng phần dẫn động liên kết với động cơ, 1

tập trung tại điểm x x1 , còn 0 m - khối lượng của băng tải tập trung tại điểm 2 xx2

Mô tả toán của nó được biểu diễn bởi phương trình [4]:

( , ) ( , )

t

với điều kiện ban đầu (3):

0 0 0 1

( , ) ( , ) |t ( ); u x t |t ( )

t



 (3)

và điều kiện biên:

( , ) ( , ) ( , ) |x ( , ) |x l; u x t |x u x t |x l

  (4) trong đó: L - toán tử vi phân; t u x t - độ dịch chuyển của điểm trên phần tử liên kết ( , )

đàn hồi có tọa độ x ở thời điểm t nào đó; E const - mô đun đàn hồi của phần tử được khảo sát; u x u x - độ dịch chuyển và tốc độ dịch chuyển của mặt cắt phần tử 0( ), ( )1

đàn hồi tại tọa độ x và thời điểm t 0; f x t - tác động đầu vào theo không gian, thời ( , ) gian; ( )x - mật độ vật chất của phần tử đàn hồi theo tọa độ x , có thể được tính thông

qua các thành phần khối lượng m ứng với tọa độ i x theo biểu thức: i

1

n

i



   (5) với   l const là mật độ của phần tử liên kết đàn hồi khi không mắc tải Hàm truyền đạt chuẩn hóa ứng với (2) là nghiệm của bài toán biên [4]:

2 2

2 1

2

( , , )

(0, , ) ( , , )

n

i

l

i i l

d W x s

dx



















(6)

Sử dụng phép biến đổi Fourier rời rạc N đối với hàm truyền đạt k W x (chu kỳ ( )

T l) dạng:

0

1 [ ( )] ( ) k ; 2 / , 0, 1, 2,

l

j x

l





và các kết quả tính toán trong [4], chúng ta nhận được:

2

1

1

k

j z n

e









Trong hệ khảo sát (Hình 1) có thành phần khối lượng liên kết với động cơ và băng tải: n 2 Điểm đầu ra chính là vị trí băng tải có tọa độ x và khối lượng 2 m , còn động 2

cơ đặt tại điểm có tọa độ x1 0 Sau khi thay thế các tọa độ (x x ) vào (8), chúng 1, 2

ta sẽ xác định được các hằng số W x : ( )i

2 2







(9)

Từ đây, chúng ta nhận được hàm truyền đạt biểu diễn mối liên hệ giữa lực tại điểm có tọa độ x  và khối lượng 1 0 m (1 F d(0, )s ) với vận tốc tại điểm có tọa độ x và 2

khối lượng m (2 V x s ( , )2 ):

2

( ) ( , 0, )

dt

d

trong đó, 1 1/l m1/m k, 2 2 /lm2/m k, m k  l l - khối lượng băng tải;

1 / 2

q a- hệ số truyền của phần tử đàn hồi, còn   1 2x2/l- tọa độ không gian đầu

ra của hệ Việc tính toán được thực hiện một cách tương tự đối với các tọa độ vào - ra:

x   x  , chúng ta sẽ nhận được hàm truyền đạt liên hệ giữa lực trên tang quấn chủ động (F d(0, )s ) và vận tốc của nó V d(0, )s :

( ) (0, 0, )

d dt

d

2.2 Ước lượng hàm truyền đạt mô tả phần tử liên kết đàn hồi bằng phương pháp nội suy thực

Dưới đây, chúng ta sẽ khảo sát việc ước lượng các hàm (10,11) bằng phương pháp nội suy thực (RIM) [10] Bài toán đặt ra là cần tìm một biểu thức dạng phân thức hữu tỉ:

1

1

( )

W s











    (12)

có tham số cấu trúc m n, và các hệ số a b i i, j( 1, ;n j 0, )m , xấp xỉ với hàm truyền đạt gốc (10) hoặc (11):

W s W s (13) với sai số () nào đó, được xác định theo tiêu chuẩn cho trước

Để ứng dụng RIM, trước tiên cần thực hiện chuyển các hàm W s W e , dt s về dạng có đối số thực , sau đó xác định đặc trưng số W e i  ,W dt i 

thực W e  ,W dt  tương ứng, thiết lập và giải hệ phương trình có chứa các hệ số cần

tìm a b i i, j( 1, ;n j 0, )m [11]:

 

      (14)

Để xây dựng (14) cần xác định số các hệ số cần tìm của hàm W e  :   m n  và 1 khoảng phân bố các điểm nút nội suy  1,  Cận dưới thường được chọn:   , còn 1 0 cận trên  được tìm từ điều kiện [11]: 

  0.1 0.2  0    

W     W W  W  (15) Ngoài ra, cần thiết lập quy luật phân bố điểm nút Với phân bố đều, bước nội suy 

và giá trị các điểm nút  i,i1, được xác định theo công thức:

; i i ,i 1, 1

     , (16) còn hệ số b có thể tìm được từ phương trình tĩnh, hoặc dựa trên đặc trưng biên độ tần 0

số A( ) W dt(j ) [1]:

 

20*lg( ( )) 20*lg 20

A

dt

  

  (17)

2.2.1 Đánh giá sai số ước lượng

Việc tính toán sai số ước lượng theo các đặc trưng trong miền thời gian được thực hiện thông qua sai lệch tuyệt đối cực đại [12]:

t

     , (18) với h CF- sai số cho phép, có tính trực quan và cho phép xác định các chỉ tiêu chất lượng Tuy nhiên, với đối tượng có tham số phân bố, nó có những khó khăn không khắc phục được, do không thể nhận được đặc trưng h dt t từ hàm truyền đạt gốc W dt s , có chứa các thành phần quán tính và siêu việt [1-4]

Để đánh giá sai số ước lượng theo phương pháp tần số, trước tiên hàm W dt( )s

được chuyển thành W dt(j , sau đó các phần thực ) P( ) ReW dt(j ) và ảo

( ) Im dt( )

Q   W j  được tách riêng [9, 12] Tuy nhiên, việc này không đơn giản với đối tượng có tham số phân bố và thường không thể nhận được lời giải chính xác do hàm ( )

dt

L  tồn tại cực trị tại các tần số nhất định

Phương pháp nội suy thực cho phép thiết lập tiêu chuẩn đánh giá độ chính xác xấp

xỉ giữa W dt( )s và W s thông qua các mô hình thực e( ) W dt( ) và W e( ) [10, 11]:

;( , );max ( ) ;( , );max ( ) ( ) , , , 0

2.2.2 Xác định mô hình xấp xỉ tối ưu

Khi đánh giá sai số theo (19), độ chính xác xấp xỉ có thể được cải thiện bằng cách lặp theo các tham số cấu trúc m n, và điểm nút nội suy  i,i1, khác nhau [10] Trước hết, chúng ta cố định giá trị của tham số cấu trúc và coi hàm ước lượng nhận được với

bộ điểm nút nào đó là lần lặp thứ nhất được ký hiệu bởi chỉ số (1): (1)

( , )m n ,   i (1), (1)

( )

e

( ),

Ở bước lặp thứ hai, chúng ta thực hiện tính toán các đại lượng tương ứng:

( ), ( ),

e

W  W  W với bộ điểm nút mới  i(2),i1, Việc chọn các điểm nút nội suy  ( )n

i



 ở lần lặp n phải đảm bảo giảm sai số ước lượng, có thể được xác định theo

biểu thức [10]:

( )

n

n







Thuật toán lặp (21) tiếp tục được thực hiện với các bộ tham số cấu trúc khác nhau: (2) (3)

( , ) , ( , ) , m n m n cho đến khi nhận được mô hình ước lượng tối ưu W e on( )s

(W min) Thông thường, m n, sẽ có giá trị nhỏ (m3,n ) do sự phức tạp của 3 bài toán tổng hợp tiếp theo

2.2.3 Nâng cao độ chính xác xấp xỉ dựa trên luật phân bố không đều các điểm nút nội suy

Hàm sai lệch W( ) W dt( ) W e( ) tồn tại các cực trị khác nhau Điều này đưa đến khả năng giảm sai số trên từng khoảng   i, i1 nhờ sử dụng các luật phân bố không đều điểm nút nội suy Điển hình là thiết lập giá trị các điểm nút   i  trùng với điểm không của các đa thức Chebyshev có khả năng tăng độ chính xác xấp xỉ hóa [13] Theo phương án này, các điểm nút được xác định bởi biểu thức:

1

, 1, 1

i i

i

x

a i x

 , (22) với a - tham số thực nào đó được dùng để hiệu chỉnh sai số ước lượng, còn  x i

 là các điểm không của đa thức Chebyshev loại một bậc  ( T x ( )0), được xác định bởi

hệ thức [13]:

  2

( ) 1; ( ) ; ( ) ; ; ( ) ( ) ( ); 1,1

T x  T x x T x x  T  x xT x   T  x x  (23) Cách khả thi khác là ứng dụng xấp xỉ Chebyshev và phương pháp Remez xấp xỉ đến lời giải đều tốt nhất [5] Bản chất của nó là thực hiện thay đổi đồng thời tất cả các điểm nút nội suy   i  nhằm giảm các sai lệch cực đại

 , 1 

max ( )

i i

W

   



  trên từng khoảng

  i, i1 có tính đến sự tăng giá trị sai lệch ở khoảng khác cho đến khi sai lệch

1

[ , ]





   trên các khoảng  i1, i,i1, sẽ bằng nhau 1 hoặc hiệu của chúng nhỏ hơn đại lượng  nào đó để nhận được mô hình ước lượng tối

ưu on( )

e

2.3 Chương trình tính toán và kết quả ước lượng

Từ các phân tích trên đây, các bước của thuật toán ước lượng hàm truyền đạt (10,11) bằng phương pháp nội suy thực sẽ bao gồm:

Bước 1 Lựa chọn tham số cấu trúc m n, của hàm W s e  và xác định số các hệ số cần tìm   m n  Xác định 1 b của hàm xấp xỉ 0 W s e  theo (17)

Bước 2 Thiết lập các điểm nút nội suy  i,i1, theo (16) hoặc (22)

Bước 3 Xác định các đặc trưng số W e i  ,W dt i 

  theo các điểm nút , 1,

i i

   và hàm thực W e  ,W dt  đã biết Thiết lập và giải hệ phương trình (14) Bước 4 Xác định sai số ước lượng theo (19)

Bước 5 Thực hiện lại từ bước 2 với các điểm nút nội suy khác nhau hoặc từ bước 1

với các tham số cấu trúc khác nhau để nhận được mô hình xấp xỉ tối ưu theo (24) Dưới đây, chúng ta sẽ tìm mô hình xấp xỉ dạng (31) của hàm truyền đạt (10, 11) với các tham số cấu trúc m n, khác nhau, khảo sát sự phụ thuộc của sai số ước lượng vào m n, và các điểm nút nội suy  i,i1, Toàn bộ chương trình ước lượng tự động được viết trên Matlab 2017b, có giao diện chính như hình 2 Các kết quả ước lượng hàm truyền đạt (10) với q7,0.4, 1m1/m k 11,2 m2 /m k 0, theo các tham số cấu trúc m n, khác nhau được liệt kê trong bảng 1

Hình 2 Giao diện chương trình tự động ước lượng hàm truyền đạt (10,11)

Bảng 1 Các kết quả tính toán khi sử dụng luật phân bố (22) các điểm nút nội suy

Tham

số

( , )m n

( )

on e

Sai số ước lượng

W



(0,1) 10 ,105 4

8

1.251

(0, 2) 10 ,109 8

7.5

(0,3) 10 ,10  5  4 

1.62

(1,1) 10 ,109 8

6 20

s s





s

(1,3) 10 ,105 4 

3

s



(2, 2) 0.74, 0.75

2

5 2



(2,3) 2 *10 ,3*104 4



-5

(3,3) 0.042, 0.043

-7

3 Kết luận

Như vậy, việc xấp xỉ các hàm truyền đạt phức tạp ứng dụng phương pháp nội suy thực đã cho những kết quả tích cực Bảng 1 chỉ ra rằng: Khi thực hiện xấp xỉ theo phân

bố điểm nút (22), mô hình xấp xỉ tối ưu nhận được khi m3,n3 Việc ước lượng trong miền ảnh thực làm giảm dung lượng tính toán, khắc phục được những hạn chế cố hữu khi đánh giá độ chính xác xấp xỉ dựa trên các đặc trưng theo thời gian hay tần số Các tính toán đơn giản và trực quan, cho phép tăng độ chính xác xấp xỉ bằng cách lặp theo điểm nút nội suy và tham số cấu trúc m n, khác nhau

Tài liệu tham khảo

1 Nguyễn Phú Đăng (2018) Phân tích và tổng hợp các hệ thống điều khiển tự động đối tượng

có tham số phân bố Nxb Quân đội nhân dân, Hà Nội

2 Рапопорт Э.Я (2005) Анализ и синтез систем автоматического управления с распределенными параметрами М Высш шк., 292 с

3 В.М Терехов, О.И Осимов (2006) Системы управления электроприводов Москва:

Издательский центр “Академия”, 304с

механических элементов Л.: Энергоатомиздат, Ленингр Отд-ние, 144 с

5 Mohammed A Abutheraa, David Lester (2007) Computable function representations using effective Chebyshev polynomial World academy of science, Engineering and Technology,

pp 103-109

6 Кувшинов Г.Е (2008) Влияние морского ветрового волнения на глубоководный привязной объект Владивосток: Дальнаука, 215 с

7 Mai Trung Thai (2017) Applying Pade Approximation Model in Optimal Control Problem

for a Distributed Parameter System with Time Delay International Journal of Computing and Optimization, 4(1), 19-30

8 Press, WH; Teukolsky, SA; Vetterling, WT; Flannery, BP (2007) Section 5.12 Padé Approximants Numerical Recipes: The Art of Scientific Computing (3rd ed.), New York:

Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-88068-8

9 Першин И.М (2002) Синтез систем с распределенными параметрами Пятигорск,

212 с

10 Гончаров В.И (1995) Вещественный интерполяционный метод синтеза систем автоматического управления Томск: Изд-во ТПУ 108с

11 Гончаров В.И (2002) Синтез электромеханических исполнительных систем промышленных роботов Томск: Изд-во ТПУ, 100с

12 Quang Dung Nguyen (June 2017) An effective approach of approximation of fractional

order system using real interpolation method Journal of Advanced Engineering and Computation (JAEC), 1(1), 39-47

13 Демидович, Б.П (2008) Численные методы анализа Э.З Шувалова 4-е изд., стер

СПб Лань 400c

MODELLING AND EVALUATING ELASTIC LINKS IN

MULTI-MOTOR AUTOMATIC ELECTRICAL DRIVING SYSTEMS

BY USING THE NUMERICAL METHOD

Abstract: The paper proposes a new approach for solving the problem of determining the

optimal estimation model of the elastic linkage element in multi-motor automatic driving systems using the real interpolation method (RIM) Algorithms and programs based on the RIM have been built for a two-motor electromechanical driving model to approximate the original transfer function that describes the elastic linkage element containing inertial and transcendent components by the transfer function in a rational fraction form Besides, providing a specific function form, the program also calculates estimation errors for different approximate transfer functions, thereby allowing to determine the structure and parameters of the optimal estimation model

Keywords: Elastic conveyor; transfer function; electric drive system; modeling;

real interpolation method; approximation

Ngày nhận bài: 25/02/2020; Ngày nhận bản sửa lần cuối: 05/05/2020; Ngày duyệt đăng: 23/6/2020

