Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC tại F, đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng CD tại K. a) Chứng minh hai tam giác ABF và ADK bằng nhau, suy ra tam giác AFK là tam giác [r]
Trang 1SỞ GIÁO DỤC – ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂ SIH VÀO LỚP 10
ĂM HỌC 2011 – 2012
gày thi: 18/06/2011 Thời gian: 150 phút Câu 1 (2,0 điểm)
Hãy tính giá trị của biểu thức P = a b
1 ab
− + , biết:
a =
2 2
− − ; b =
2
1 x x
− (với 2 x 1
2 < < )
Câu 2 (2,5 điểm)
Cho phương trình bậc hai:
x2 + 4x + m + 1 = 0
a) Tìm m để phương trình đã cho có nghiệm kép
b) Tìm m để phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn:
x +x = 3
Câu 3 (1,5 điểm)
Cho x, y là hai số dương Chứng minh rằng:
x+ ≥y x y
+
Câu 4 (3,0 điểm)
Cho hình vuông ABCD và điểm E di động trên đoạn CD (E khác D) Đường thẳng AE cắt đường thẳng BC tại F, đường thẳng vuông góc với AE tại A cắt đường thẳng CD tại K
a) Chứng minh hai tam giác ABF và ADK bằng nhau, suy ra tam giác AFK là tam giác vuông cân
b) Hãy xác định vị trí của điểm E sao cho độ dài đoạn EK nhỏ nhất
Câu 5 (1,0 điểm)
Tìm cặp số tự nhiên (m; n) thỏa mãn hệ thức:
m2 + n2 = m + n + 8
Trang 2
GIẢI ĐỀ THI VÀO LỚP 10 CHUYÊ
THPT CHUYÊ LÊ QUÝ ĐÔ BÌH ĐNH MÔ TOÁ ĂM HỌC 2011 – 2012
gày thi: 18/06/2011 – Thời gian: 150 phút Câu 1.(2,0 điểm)
Giá trị của biểu thức P = a b
1 ab
− + , biết:
a =
2 2
2
1 x x
−
2 < < )
Ta có:
P =
2
2
x
x
−
+
2
2
=
1
1
=
Câu 2.(2,5 điểm)
a) Giá trị của m để phương trình có nghiệm kép
Phương trình x2 + 4x + m + 1 = 0 có nghiệm kép khi:
∆’ = 4 – (m + 1) = 0 ⇔ m = 3
b) Giá trị m để phương trình có hai nghiệm x 1 , x 2 th ỏa mãn: 1 2
x +x = 3 Điều kiện để phương đã cho trình có hai nghiệm là: ∆’ = 3 – m ≥ 0 ⇔ m ≤ 3
Theo hệ thức Vi-ét, ta có: x1 + x2 = - 4, x1x2 = m + 1 ≠ 0 ⇔ m ≠ - 1
Biến đổi điều kiện:
+
= +
⇔ (14 – 2m).3 = 10(m + 1) ⇔ 42 – 6m = 10m + 10 ⇔ m = 2 (thỏa điều kiện)
Vậy khi m = 2 thì phương trình đã cho có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn: 1 2
x +x = 3
Câu 3.(1,5 điểm)
x+ ≥y x y
+ (x, y > 0) (1) BĐT (1) ⇔ (x + y)2 ≥ 4xy ⇔ x2 + 2xy + y2 ≥ 4xy
⇔ x2 – 2xy + y2 ≥ 0 ⇔ (x – y)2 ≥ 0:
BĐT đúng Dấu ‘=” xảy ra khi và chỉ khi x = y
Câu 4.(3,0 điểm)
a) Chứng minh ∆ABF = ∆ADK
Ta có: AB = AD,
BAF DAK= (cùng phụ với DAF),
ABF ADK= = 900
Do đó ∆ABF = ∆ADK (g.c.g),
A
D
B
C E
F K
Trang 3suy ra AF = AK, ta lại có KAF = 90,
nên tam giác AKF vuông cân tại A
b) Vị trí của E ∈ CD để EK ngắn nhất
Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông
AEK với AD là đường cao, ta có:
DK.DE = AD2 = a2
(a là độ dài cạnh hình vuông ABCD)
Mặt khác, ta có BĐT:
(DK + DE)2 ≥ 4DK.DE = 4a2
⇔ DK + DE ≥ 2a ⇔ EK ≥ 2a
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
DK = DE = a ⇔ E trùng với C
Vậy khi E trùng với đỉnh C thì EK có độ dài ngắn nhất bằng 2a
Câu 5.(1,0 điểm)
Các cặp số tự nhiên (m; n) thỏa mãn hệ thức m 2 + n 2 = m + n + 8 (1)
Biến đổi (1) ⇔ 4(m2 + n2) = 4(m + n + 8) ⇔ 4m2 – 4m + 4n2 – 4n = 32
⇔ 4m2 – 4m + 1 + 4n2 – 4n + 1 = 34 ⇔ (2m – 1)2 + (2n – 1)2 = 34
⇔ (2m – 1)2 + (2n – 1)2 = 32 + 52
Suy ra: 2m 1 3 m 2
⇔
⇔
Vậy các cặp số (m; n) thỏa mãn (1) là: (2; 3) và (3; 2)
gày 19 tháng 06 năm 2011
A
D
B
C E
F K