BT Giai tich 12 chuong 1 co ban nang cao de thi daihoc cac nam

Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết tiếp tuyến đó cắt trục hoành, trục tung lân lượt tại hai điểm phân biệt A,B và tam giác OAB cân tại gốc tọa độ O.. Bài 3..[r]

Trang 1

Chương 1.ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỂ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM SỐ

Bài 1 SỰ ĐỒNG BIẾN, NGHỊCH BIẾN CỦA HÀM SỐ

I TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1 Nhắc lại định nghĩa

Hàm số y=f(x) đồng biến (tăng) trên K nếu với mọi cặp x1,x2 thuộc K mà x1 nhỏ

hơn x2 thì f(x1) nhỏ hơn f(x2), tức là x1< x2 => f(x1) < f(x2);

Hàm số y=f(x) nghịch biến (giảm ) trên K nếu với mọi cặp x1,x2 thuộc K mà x1

nhỏ hơn x2 thì f(x1) lớn hơn f(x2), tức là x1< x2 => f(x1) > f(x2);

Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi là hàm số đơn điệu trên K.

2 Tính đơn điệu của hàm số

ĐỊNH LÍ

Giả sử hàm số f (x) cĩ đạo hàm trên khoảng K

a) Nếu f/ (x) > 0, ∀ x ∈ K thì hàm số f đồng biến trên K

b) Nếu f/ (x) < 0, ∀ x ∈ K thì hàm số f nghịch biến trên K

c) Nếu f/ (x) = 0, ∀ x ∈ K thì hàm số f khơng đổi trên K

II QUI TẮC XÉT TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1/ Tìm tập xác định

2/ Tính đạo hàm f/(x) Tìm các điểm xi (i=1,2,…,n) mà tại đĩ đạo hàm bằng 0 hoặc

khơng xác định

3/ Sắp xếp các điểm xi theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên

4/ Nêu kết luận về các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

Dạng 1 Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Bài 1 Xétsự đồng biến, nghịch biến của các hàm số :

a/ y = 3x2-8x3; b/ y = x3 -6x2+9x+4

c/ y = (4-x)(x-1)2 d/ y = x4 -2x2+5

e/ y = x2( 4-x2)

Bài 2 Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số :

a / y = 2 x − 3

x+1 ; b/ y=

x +1 1− 2 x

c / y= 2 x

x − 3 ; d/ y=

x +4 x

Bài 3 Tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của các hàm số :

a / y = x

2

− 2 x +3

x+1 ; b/ y =

x2−5 x+3

x −2

c / y= 2 x

x2− 9 ; d/ y=

x4+48

x

Bài 4 Xét tính đơn điệu của hàm số

Trang 2

a y  x ) 100

x

b y

x



 2

)

16

x

c y

x





3 2

)

6

x

d y

x





Dạng 2 Tìm giá trị tham số để hàm số đồng biến,nghịch biến tên một khoảng cho trước

Bài 1.Tìm m để hàm số y = x3+(m-1)x2+(m2-4)x+9 đồng biến với moi x ( HVCTQG/2000)

Bài 2.Tìm m để hàm số y = m−13 x3+mx2+(3m-2)x đồng biến trên R.(ĐHTL/97)

*Dạng 3 Dùng tính đơn điệu của hàm số chứng minh bất đẳng thức.

Bài 1.Chứng minh rằng : tan x > sinx , 0<x < π

2 ;

Bài 2.

a) Chứng minh rằng hàm số f(x) = tan x - x đồng biến trên nửa khoảng ¿

b) Chứng minh rằng tan x >x+ x

3

3 , x ∈(0 ; π

2)

Trang 3

Bài 2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

Trang 4

1 Khái niệm cực đại, cực tiểu

ĐỊNH NGHĨA

Giả sử hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a;b) ( có thể a là -, b là +) và điểm x0

 (a;b)

a) Nếu tồn tại số h>0 sao cho f(x) < f(x0) với mọi x (x0 –h; x0+h) và xx0 thì ta nói hàm

số f(x) đạt cực đại tại x0

b) Nếu tồn tại số h>0 sao cho f(x) > f(x0) với mọi x (x0 –h; x0+h) và xx0 thì ta nói hàm

số f(x) đạt cực tiểu tại x0

Chú ý

1/ Nếu hàm số f(x) đạt cực đại ( cực tiểu) tại x0 thì x0 được gọi là điểm cực đại

( điểm cực tiểu) của hàm số ; f(x0) được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm

số kí hiệu là fCĐ ,(fCT ) Điểm M(x0,f(x0)) được gọi là điểm cực đại ( điểm cực tiểu) của đồ

thị hàm số

2/ Các điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị.

Giá trị cực đại ( giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị.

2.Điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị

ĐỊNH LÍ 1

Định lí 1 Giả sử hàm số y=f(x) liên tục và có đạo hàm trên

K \ {x0} , với h >0

a/ Nếu f/(x) > 0 tên khoảng (x0-h;x0) và f/(x) < 0 trên khoảng (x0;x0+h) thì x0 là một điểm cực đại của hàm số f(x)

b/ Nếu f/(x) < 0 tên khoảng (x0-h;x0) và f/(x) >0 trên khoảng (x0;x0+h) thì x0 là một điểm cực tiểu của hàm số f(x)

x x0-h x0 x0+h

f’(x) +

-f(x) fCD

III/ QUY TẮC TÌM CỰC TRỊ

QUY TẮC 1

1/ Tìm tập xác định

2/ Tính f/(x) Tìm các điểm tại đó f/(x) =0 hoặc f/(x) không xác định

3/ Lập bảng biến thiên

4/ Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị

ĐỊNH LÍ 2 Giả sử hàm số y=f(x) có đạo hàm cấp hai trên khoảng ( x0-h;x0+h), với h>0 Khi

đó

a/ Nếu f/(x0) = 0 và f//(x0 ) > 0 thì x0 là điểm cực tiểu;

b/ Nếu f/(x0) = 0 và f//(x0 ) < 0 thì x0 là điểm cực đại

QUY TẮC 2

1/ Tìm tập xác định

2/ Tính f/(x) Giải phương trình f/(x) =0 và kí hiệu xi ( i=1,2,3,….) là các nghiệm của nó

x x0-h x0 x0+h

f’(x) - +

f(x)

fCT

Trang 5

Dạng 1 Tìm cực trị của hàm số

Bài 1.Tìm cực trị của các hàm số :

a/ y = x3 -3x2-9x+5.; b/ y = - x3+3x2+9x;

c/ y= 2x3-9x2+12x+3; d/ y = x3 -3x2-24x+7

Bài 2.Tìm cực trị của các hàm số :

a/ y = x4 -2x2-3; b/ y = (x+1)3(5-x);

c/ y= (x+2)2(x-3)3 d/y= 3x4-4x3-24x2+48x-3

Bài 3.Tìm khoảng đơn điệu( đồng biến, nghịch biến) và cực trị của các hàm số :

1

8

x

y

x





 b)

1

x x y

x





c)

1

x x

y

x

 



 d)

2

4

x y

x x





Bài 5 Tìm cực trị của các hàm số sau :

a)y7 x 3 x5 b)

2 2 10

x y

x





1/ y= sin2 x- √3 cosx, x [0 ;π]

2/y=2sinx +cos2x, x [0 ;π]

a)y=sin2x b)y=cosx-sinx c)y=sin2x

Dạng 2 Tìm giá trị tham số để hàm số cho trước cĩ cực trị

Bài 1 Tìm m để hàm số y = x3 -3mx2 +3(m2-1)x +m đạt cực tiểu tại x= 2

(CĐSPtp/99)

Bài 2 Tìm các hệ số a,b,c sao cho hàm số f(x) = x3+ax2+bx+c đạt cực tiểu tại điểm x=1, f(1) =3 và đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm cĩ tung độ bằng 2

Bài 3.Xác định giá tị của tham số m để hàm số y= x3-2x2 +mx+1 đạt cực tiểu tại

x=1(TN2011)

Bài 4.Tìm a, b để hàm số y = x24 +ax2+b đạt cực trị bằng -2 khi x =1

Bài 3 GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ

I/ ĐỊNH NGHĨA

Cho hàm số y=f(x) xác định trên tập hợp D ( DR)

a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số y=f(x) trên D, nếu f(x) M với mọi

x thuộc D và tồn tại x0 D sao cho f(x0)= M

Kí hiệu là M =max D f (x)

Trang 6

b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số y=f(x) trên D, nếu f(x) m với mọi

x thuộc D và tồn tại x0 D sao cho f(x0)= m

Kí hiệu là m=min D f (x )

III/ CÁCH TÌM GTLN,GTNN CỦA HÀM SỐ TÊN ĐOẠN

1/ Định lí Mọi hàm số liên tục trên một đoạn đều cĩ giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất

trên đoạn đĩ

2/ Quy tắc

1/ Tìm các điểm x 1 ;x 2 , , x n thuộc khoảng (a;b) tại đĩ f / (x)cĩ đạo hàm bằng 0 hoặc f /

(x) khơng xác định

2/ Tính f(a) ),f(x 1 ) ,f(x 2 ) , ,f(x n ) ,,f(b

3/ Tìm số lớn nhất M và số nhỏ nhất m Ta cĩ

M =max

D f (x) và m=min D f (x )

CHÚ Ý

Nếu là khoảng (a;b) thì phải lập bảng biến thiên

Dạng 1 Tìm giá trị lớn nhất ,giá trị nhỏ nhất của hàm số y= f(x)

Bài 1: Tìm GTLN ,GTNN của các hàm số :

a/ y =x3 -6x2+9x trên [-1;5]

b/ y = x3 +3x2 -2x2 -9x-7 trên [ -4;3]

c/ y =x4 -3x3 -2x2 +9x với x [-2;2]

Bài 2: Tìm GTLN,GTNN (nếu có )của các hàm số :

a/ y= x2+x+1

x , x >0 b/ y= x

x2+4 trên khoảng (-;+)

c/

1

cos

y

x



trên khoảng

3

;

2 2

Bài 3: Tìm GTLN ,GTNN của các hàm số :

a/ y = √x −2+√4 − x ; b/.y= x+1

√x2+1 trên[1;2] (ĐHKD/2003)

c/ y= x+ √4 − x2 (ĐHKB/2003);

Bài (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất và giá trị lớn nhất của hàm số

2

1

y

x



đoạn [0;2] (ĐHKD 2011)

Câu V (1,0 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x24x21  x23x10

(ĐHKD 2010)

Dạng 2.Tìm giá trị lớn nhất,giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng PP đặt ẩn phụ.

Bài 1 Tìm GTLN ,GTNN của các hàm số :

a/ y = √2 cos2x +4sinx trên [ 0; π2 ] (TN/01-02)

Trang 7

b/ y = 2sinx - 43 sin3x trên [0;] (TN/03-04).

c/ y= 2sinx +sin2x trên đoạn [0; 3 π

2 ]

Bài 2 Tìm GTLN ,GTNN của các hàm số :

y=cos2x +cos x +2

cos2x +3

Bài 4 ĐƯỜNG TIỆM CẬN

a/ Đường tiệm cận ngang

ĐỊNH NGHĨA

Đường thẳng y = y0 được gọi là đường tiệm cận ngang ( gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm

số y= f(x) nếu x →+∞lim f ( x )= y0 hoac lim

x →− ∞ f ( x )= y0

b/ Đường tiệm cận đứng

ĐỊNH NGHĨA

Đường thẳng x = x0 được gọi là đường tiệm cận đứng ( gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm

số y= f(x) nếu ít nhất một trong các điểu kiện sau thỏa mãn

x → x0+ ¿

f ( x )=− ∞

x → x+0¿f ( x )=− ∞; lim

x→ x0−

f ( x )=+ ∞; lim

¿

lim

x → x0− f (x ) =+ ∞; lim

¿

Dạng 1 Tìm phương trình các đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Bài 1 Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận ngang của đồ thị các hàm số sau:

a¿y= x+1

2 x+1 ; b¿y=4+

1

x − 2 ; c¿y=√x2

+x

x − 1 ; d¿y =

√x +3

x +1

a¿y= 2 x −3

x +1 ; b¿ y =

x2+2 x

x2− 9 ; c¿ y =

1

2 x − 1 ; d¿y=

x − 3

x-2

a¿y= x2−12 x +27

x2−4 x+5 ; b¿y=

x2− x −2 (x −1)2 ; c¿ y = x2+3 x

x2− 4 ; d¿y=

2− x

x2-4x+3

Bài 5 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA MỘT SỐ

HÀM ĐA THỨC

Sơ đồ khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

1/ Tìm tập xác định

2/ Sự biến thiên

a/ * Xét chiều biến thiên của hàm số:

+ Tính đạo hàm y/,

+ Tìm các điểm tại đĩ đạo hàm y/ bằng 0 hoặc khơng xác định

+ Xét dấu đạo hàm y/ và suy ra chiều biến thiên của hàm số

b/ Tìm cực trị

Trang 8

c/ Tìm các giới hạn tại vơ cực, các giới hạn vơ cực và tìm tiệm cận( nếu cĩ ).

b/ Lập bảng biến thiên ( Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)

3/ Đồ thị

* Vẽ các đường tiệm cận của đồ thị ( nếu cĩ )

* Xác định một số điểm đặc biệt của đồ thị , như tìm giao điểm của đồ thị với

các trục toạ độ ( Trong trường hợp đồ thị khơng cắt các trục toạ độ hoặc việc tìm

toạ độ giao điểm phức tạp thì bỏ qua bước này )

* Nhận xét đồ thị : Chỉ ra trục và tâm đối xứng của đồ thị ( nếu cĩ , khơng yêu

cầu chứng minh )

HÀM SỐ BẬC BA y =ax3+bx2+cx+d ( a≠ 0 )

Bài 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hám số:

a/ y= 2x3-3x2-2;

b/ y= -x3+x2-x

Bài 2 Cho hàm số y = 13 (m+1)x3-(m-1)x2 +mx- 32

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số khi m= 0

b) Với giá trị nào của m thì hàm số luôn đồng biến (ĐHQG HN97)

Bài 3.Cho hàm số y = x3+mx2+9x+4( Cm)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số m =6

b) Tìm m để đồ thị hàm số ( Cm) có một cặp điểm đối xứng nhau qua gốc toạ độ

Bài 4.Cho hàm số y= x3 -3x2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số

HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG y =ax4+bx2+c ( a≠ 0 )

Bài 1 Cho hàm số y= -x4 +2x2

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số

c) Viết phương trình tiếp tuyến với (C ) tại điểm cĩ hồnh độ là nghiệm y// = 0

Bài 2.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y=-x4+2x2+2

b) Chứng minh rằng với mọi m < 2, phương trình : –x4 +2x2+2 –m=0 cĩ hai nghiệm c) Từ đồ thị (C) của hàm số đã cho suy ra đồ thị hàm số y= | -x4+2x2+2 |

Bài 3.Cho hàm số y = mx4+(m2-9)x2 +10

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số với m = 1

b) Tìm m để hàm số có 3 điểm cực trị (ĐHKB2002)

Bài 4.

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y= x4+x2-3

b) Chứng minh rằng đường thẳng y=-6x-7 tiếp xúc với đồ thị hàm số đã cho tại điểm

cĩ hồnh độ bằng -1

Trang 9

HÀM SỐ y= ax+b cx+d .( c  0)

Bài 1 Cho hàm số y= 2 x +1

x − 2 ( TN2009)

Bài 2..Cho hàm số y= 2 x − 1 3 − x

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số

2 Tìm trên đồ thị hàm số những điểm có toạ độ là số nguyên

3 Chứng minh rằng đồ thị hàm số nhận giao điểm của hai tiệm cận làm tâm đối

xứng

Bài 3.Cho hàm số y = x −3 x +2

2 Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số sao cho khoảng cách từ M đến tiệm cận đứng bằng khoảng cách từ M đến tiệm cận ngang.( HVQHQT99)

Bài 4.Cho hàm số y = x −2 x+2

2 Tìm điểm M thuộc đồ thị hàm số cách đều hai trục toạ độ (ĐHNT99)

HÀM SỐ CHỨA GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

a/ Vẽ đồ thị hàm số y= |f(x) | (C 1 )

¿

f (x), f(x ≥0)

− f(x), f(x)<0

¿

Phần đồ thị (C1) gồm :

- Phần từ trục hồnh trở lên của đồ thị hàm số y= f (x)

- Đối xứng phần đồ thị phía dưới trục hồnh của (C ) qua trục hồnh

b/ Vẽ đồ thị hàm số y= f(|x|) (C 2 )

¿

f ( x ),(x ≥ 0)

f (− x ) ,(x <0)

¿y=f(|x|)={

¿

Và y= f(|x|) là hàm số chãn nên đồ thị đối xứng qua Oy

Đồ thị (C2) gồm :

Trang 10

- Phần phía bên phải oy của đồ thị (C ).

- Đối xứng phần đồ thị trên qua Oy

c/ Vẽ đồ thị hàm số y = | f(|x|)| (C 3 )

Cách 1 Từ y= f(x)  đồ thị y = | f(x) | = g(x)  đồ thị y = g(|x|)

Cách 2.Từ y= f(x)  đồ thị y =f(|x|) = h(x)  đồ thị y = |h (x)|

Bài 1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x3 -3x2 +2

Từ đó suy ra đồ thị hàm số y = | x3-3x2 +2 |

Bài 2 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = -x3 +3x

Từ đó suy ra đồ thị hàm số y =- | x|3+3|x|

Bài 3 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = x4 -2x2 +1

Từ đó suy ra đồ thị hàm số y = | x4-2x2 +1 |

Dùng đồ thị biện luận số nghiệm phương trình

Dùng đồthị biện luận theo tham số m số nghiệm pt : p (x, m) = 0

Biến đổi pt thành dạng: f(x) = g(m)

Trong đó:

*y = f(x) có đồ thị (C ), là hàm số đã vẽ đồ thị

*y = g(m) là đường thẳng d (song song Ox), là hàm số có chứa tham số

Bài 1.Cho hàm số y = -4x3+6x2-1

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số

2 Bằng đồ thị (C ) biện luận theo m số nghiệm phương trình 4x3 -6x2 +m =0

Bài 2.Cho hàm số y = -x4+2x2+3 có đồ thị ( C )

1 Khảo sát hàm số

2 Dựa vào đồ thị ( C ),hãy xác định các giá trị của m sao cho phương trình :

x4-2x2+m =0 có bốn nghiệm phân biệt (TN 2002)

Bài 3.Cho hàm số y= 2x3 -6x+1

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C ) của hàm số

2 Định k để phương trình | 2x3-6x +1 | + k =0 cĩ 6 nghiệm phân biệt

Tiếp tuyến của đồ thị

1/ Tiếp tuyến tại điểm M o (x o , y o ) thuộc đồ thị (C ): y = f(x)

Pt: y – y = f’(x)(x - xo) ; y = f(xo)

2/Tiếp tuyến có hệ số góc k.

 Gọi Mo(xo, yo) là tiếp điểm

 Ta có : f’(xo) = k (ý nghĩa hình hocï đạo hàm)

 Giải pt trên , tìm xo, suy ra yo = f (xo)

 Pt: y – yo = k (x – xo)

Trang 11

3/ Tiếp tuyến kẻ từ điểm A(x A , y A).

Cách 1:

 Gọi Mo(xo, yo) là tiếp điểm, pt tiếp tuyến với (C ) tại Mo là:

y – yo = f’(xo)(x - xo)

 Vì tiếp tuyến d qua A(xA, yA) nên:

yA – yo = f’(xo)(xA - xo)

yA – f(xo) = f’(xo)(xA – xo)

 Giải pt này tìm xo, suy ra tiếp tuyến

Cách 2: (nếu f(x) là hàm bậc 2)

 Đường thẳng d qua A (xA, yA) và có hệ số góc k:

y – yA = k (x - xA)  y = k(x – xA ) + yA

 d tiếp xúc với (C ) khi pt hđ gđ :

f(x) = k(x – xA) + yA có nghiệm kép

 Từ đây sẽ tìm được k, suy ra tiếp tuyến

Chú ý:

 Hai đường thẳng song song có cùng hệ số góc

 Hai đường thẳng vuông góc có tích hệ số góc bằng -1

Bài 1.Cho hàm số y = 4x3- 3x ( C)

2 Viết phương trình tiếp tuyến với ( C )tại các giao điểm của ( C ) với trục hoành

3 Viết phương trình tiếp tuyến của ( C ) biết tiếp tuyến đi qua điểm A(2;-6)

Bài 2 Cho hàm số y = 14x4− 2 x2−9

4

2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị hàm số tại các giao điểm với trục hoành

Bài 3 Cho hàm số y = 2 x +1 x −1 có đồ thị ( C ).Viết phương trình tiếp tuyến với ( C ) trong các trường hợp sau :

1 Song song với đường thẳng y= -3x +1

2 Vuông góc với đường thẳng y = x+2

3 Đi qua điểm A(1;4)

Bài 4.Cho hàm số y = x2+x+2 3 x+3 Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị , biết rằng tiếp tuyến này vuông góc với đường thẳng x- 3y – 6=0

ĐỀ TỐT NGHIỆP

Định dạng
Số trang	16
Dung lượng	142,69 KB