Hinh hoc khong gian hay

Hq 2: hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy lớn AB. Chứng minh SI song [r]

Chủ đề 1: QUAN HỆ SONG SONG

1 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng trong không gian:

Trong không gian cho hai đường thẳng ∆ và '∆

* Nếu ∆ và ∆ cùng thuộc một mặt phẳng khi đó giữa ∆ và '' ∆ có ba vị trí tương đối là song song, trùng nhau, cắt nhau

* Nếu không có mặt phẳng nào đi qua ∆ và '∆ thì ta gọi hai đường thẳng ∆ và '

∆ chéo nhau

2 Các tính chất:

Định lí 1: Nếu ba mặt phẳng cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao

tuyến đó hoặc đôi một song song hoặc chúng đồng quy

Định lí 2: Nếu hai mp phân biệt chứa hai đường thẳng song song với nhau thì

giao tuyến của chúng nếu có sẽ song song với hai đường thẳng đó

3 Đường thẳng song song với mặt phẳng

a Định nghĩa: Đường thẳng a
( )P khi chúng không có điểm chung

b Các tính chất

Định lí 1: Nếu đường thẳng a không nằm trong ( )P và a song song với một đường thẳng nằm trong ( )P thì a song song với ( )P

Chú ý: Từ định lí này ta rút ra được phương pháp để chứng minh đường thẳng

a song song với mp P ta chỉ cần chứng minh a song song với một đường thẳng ( )nằm trongmp P ( )

Định lí 2: Nếu đường thẳng a
( )P thì mọi mp đi qua a sẽ cắt ( )P theo một giao tuyến song song với a

Hq: Nếu hai mặt phẳng cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của

chúng nếu có sẽ song song với đường thẳng đó

Chú ý: Định lí 2 và hệ quả giúp chúng ta trong việc tìm giao tuyến của hai mặt phẳng mà trong đó có ít nhất một mp song song với một đường thẳng cho trước

Định lí 3: Cho hai đường thẳng chéo nhau Khi đó luôn tồn tại duy nhất một mp chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia

Định lí 4: (Định lí Talet trong không gian)

Điều kiện cần và đủ để các đường thẳng AA ,BB1 1 và CC1 cùng song song với một mặt phẳng là 1 1

1 1

B ABA

BC=B C , trong đó bộ ba điểm (A, B, C và ) (A , B , C1 1 1) lần lượt thuộc hai đường thẳng chéo nhau a và b

4 Hai mặt phẳng song song

a Định nghĩa: Hai mặt phẳng gọi là song song nếu chúng không có điểm chung

D A

S

B

C

b Phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song

Định lí 1: Nếu mp P chứa hai đường thẳng cắt nhau song song với ( ) mp Q thì ( ) ( ) ( )P
Q

Nhận xét: Định lí 1 chính là phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song

song

c Các tính chất:

Tính chất 1: Qua một điểm nằm ngoài mặt phẳng, có duy nhất một mặt phẳng

song song với mặt phẳng đó

Hq 1: Nếu đường thẳng a
( )P thì tồn tại duy nhất một mặt phẳng ( )Q đi qua

a và song song với mp P ( )

Hq 2: hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song

song với nhau

Tính chất 2: Nếu hai mặt phẳng ( )P và ( )Q song song thì mọi mặt phẳng ( )R

đã cắt ( )P thì phải cắt ( )Q và các giao tuyến của chúng song song với nhau

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy lớn AB Gọi M,N lần lượt là trung điểm của SA và SB

1 Chứng minh MN song song với CD

2 Gọi P là giao điểm của SC và (ADN) , I là giao điểm của AN và

DP Chứng minh SI song song với CD

Lời giải

1 Ta có MN là đường trung bình của tam giác SAB nên MN AB
.

Lại có ABCD là hình thang ⇒AB CD

N J E

I

C

D S

Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình bình hành Gọi

G là trọng tâm tam giác SAB, I là trung điểm của AB và M là điểm trên cạnh AD sao cho AM=1AD

trọng tâm của tam giác ACD

Tương tự M là trọng tâm của tam giác A'AD

Gọi I là trung điểm của AD ta có IN 1 IM, 1 IN IM MN A'C

IC=3 IA'= ⇒3 IC=IA'⇒

Bài tập tự luyện

1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là một hình thang với đáy AD và

BC Biết AD a,BC b= = Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác SAD

và SBC Mặt phẳng (ADJ) cắt SB,SC lần lượt tại M,N Mặt phẳng (BCI) cắt

SA,SD tại P,Q

a Chứng minh MN song sonng với PQ

b Giải sử AM cắt BP tại E; CQ cắt DN tại F Chứng minh EF song song với MN và PQ Tính EF theo a,b

Hướng dẫn giải:

M N O I

F E

Q P

N M

B

C A

2 Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' Gọi M,N lần lượt là trung điểm của CD và CC'

a Xác định đường thẳng ∆ đi qua M đồng thời cắt AN và A'B

b Gọi I,J lần lượt là giao điểm của ∆ với AN và A'B Hãy tính tỉ số IM

IJ

Hướng dẫn giải:

a Giả sử đã dựng được đường thẳng ∆ cắt cả AN và BA' Gọi I,J lần lượt là giao điểm của ∆ với AN và BA'

D' B'

B

A

D

C A'

M

Xét phép chiếu song song lên

(ABCD theo phương chiếu A'B )

Khi đó ba điểm J,I,M lần lượt có

hình chiếu là B,I',M Do J,I,M thẳng

Chủ đề 2: VECTƠ TRONG KHÔNG GIAN

* Véc tơ trong không gian và các phép toán được định nghĩa hoàn toàn tương

tự như trong mặt phẳng

* Ba véc tơ gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng

* Cho a,b,c  

Khi đó a,b,c   đồng phẳng khi và chỉ khi m,n∃ ∈: a=mb nc+ 

Ba vectơ a,b,c   không đồng phẳng

Khi đó: ma nb pc 0+ + = ⇔ m= = =n p 0

* Cho ba véc tơ a,b,c   không đồng phẳng Khi đó với mọi véc tơ d trong không gian, ta luôn có sự phân tích: d=ma nb pc+ + 

Ví dụ 1 Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các mặt đều là hình thoi cạnh a

và các góc
BAA' BAD DAA' 60=
=
= 0.Tính độ dài đường chéo AC'

Lời giải

C B

D

A'

D' A

C'

B' A'

Ví dụ 2 Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các mặt đều là hình vuông canh

a Lấy M thuộc đoạn AD' , N thuộc đoạn BD với AM DN= = x a∈(0,a 2) Tính MN theo a và x

Chủ đề 3: HAI ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC

a) Góc giữa hai đường thẳng cắt nhau:

Cho hai đường thẳng a và b cắt nhau, khi đó chúng sẽ chia mặt phẳng thành bốn miền góc Góc nhọn trong bốn góc đó gọi là góc giữa hai đường thẳng a và b

Kí hiệu: (a,b)

b) Góc giữa hai đường thẳng chéo nhau

Cho hai đường thẳng a và b chéo nhau Từ một điểm O ta dựng các đường thẳng a' và b' lần lượt song song với a và b Khi đó góc giữa hai đường thẳng a'

và b' gọi là góc giữa hai đường thẳng a và b

Chú ý: Nếu hai đường thẳng a,b lần lượt có u,v  là véc tơ chỉ phương thì

cos(a,b)=cos u,v 

c) Hai đường thẳng vuông góc

* Hai đường thẳng a và b được gọi là vuông góc với nhau nếu góc giữa chúng bằng 90 Kí hiệu: a0 ⊥ b

* Nếu u,v  là VTCP của hai đường thẳng a,b thì

a⊥ ⇔ ⊥b u v ⇔u.v =0

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , mặt bên

SAB là tam giác đều và SC a 2= Gọi H,K lần lượt là trung điểm của các cạnh

AB và AD Tính thể tích hình chóp S.ABCD và chứng minh AC⊥SK, CK⊥SD

Lời giải

φ N

P

M S

3 2

Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABC đáy ABC là tam giác vuông cân tại A có

SA SC a= = và BC a 2= Tính góc giữa hai đường thẳng AB và SC

373

Chủ đề 4: ĐƯỜNG THẲNG VUÔNG GÓC MẶT PHẲNG

Định nghĩa: Đường thẳng a gọi là vuông góc với mặt phẳng ( )P nếu a vuông

với mọi đường thẳng nằm trong mặt phẳng ( )P

Góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Cho đường thẳng a và mặt phẳng ( )P

• Nếu a⊥( )P thì ta nói góc giữa a và (P) bằng 90 0

• Nếu a không vuông góc với ( )P thì góc giữa a và hình chiếu a’ của a lên ( )P gọi là góc giữa a và ( )P

Ví dụ 1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, O là tâm của đáy

=    + + + 1( )

SO AC OB2

1SOMN.SO

1AC

2a2

375

L K

Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với AB a,=

BC a 3= mặt bên SBC là tam giác vuông tại B , mặt bên SCD vuông tại D và

SD a 5= Tính thể tích hình chóp S.ABCD Đường thẳng qua A vuông góc với

AC cắt CB,CD lần lượt tại I,J Gọi H là hình chiếu của A trên SC Gọi K,L là các giao điểm K,L của SB,SD với ( )HIJ Chứng minh AK⊥(SBC , AL) ⊥(SCD)

* Định nghĩa: Góc giữa hai mặt phẳng là góc giữa hai đường thẳng lần lượt

vuông góc với hai mặt phẳng đó

* Cách xác định góc giữa hai mặt phẳng

Cho hai mặt phẳng ( )P và ( )Q cắt nhau theo giao tuyến ∆ Dựng một mặt phẳng ( )R vuông góc với ∆ , cắt hai mặt phẳng ( )P , ( )Q lần lượt theo hai giao tuyến a,b Khi đó góc giữa a và b chính là góc giữa hai mặt phẳng ( )P và ( )Q

* Công thức hình chiếu

Gọi S là diện tích của đa giác H trong mặt phẳng ( )P và S' là diện tích hình chiếu H’ của H lên mặt phẳng ( )P’ thì S' S.cos= ϕ , trong đó ϕ là góc giữa hai mặt phẳng ( )P và ( )P’

• Nếu hai mặt phẳng cắt nhau và cùng vuông góc với mặt phẳng thứ ba thì giao tuyến của chúng vuông góc với mặt phẳng thứ ba

Ví dụ 1 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác cân tại A với

AB=AC a= và góc  0

BAC 120= , cạnh bên BB' a= Gọi I là trung điểm của CC' Chứng minh rằng tam giác AB'I vuông tại A Tính cô sin của góc giữa hai mặt phẳng (ABC và ) (AB'I )

Lời giải

Gọi H là trung điểm của BC Do ABC∆ cân tại A nên AH⊥BC và ACH 30= 0

Ví dụ 2 Cho hình chóp đều S.ABC, có độ dài cạnh đáy bằng a Gọi M,N lần lượt

là trung điểm của các cạnh SB,SC Tính diện tích tam giác AMN biết rằng (AMN) (⊥ SBC)

Ta có MN BC ⇒ SAB∆ = ∆SAC⇒ hai trung

tuyến tương ứng AM=AN ⇒ ∆AMN cân tại

A

C

B

O M

B'

C' D'

A

B A'

hai đường thẳng OM,OA' chính là góc

giữa hai mặt phẳng (A'BD và ) (MBD )

379

1 Khoảng cách từ một điểm đến đường thẳng

Cho đường thẳng ∆ và điểm M Gọi H là hình chiếu của M lên ∆ Khi đó độ dài đoạn MH là khoảng cách từ M đến ∆

Để tính khoảng cách này ta gắn MH vào một tam giác nào đó rồi sử dụng những kết quả của hình học phẳng để tính MH

Chú ý: Cho ABC∆ , đường cao AH

• Nếu ABC∆ đều cạnh a thì AH a 3

Chú ý: Để chọn được H ta cần chú ý một số trường hợp sau:

TH 1: Nếu có một mp( )Q chứa M mà ( ) ( )Q ⊥ P thì ta có thể tìm H như sau:

* Tìm giao tuyến d của ( )P và ( )Q

* H là hình chiếu của M lên d

TH 2: Nếu có MA=MB MC= thì H chính là tâm đường tròn ngoại tiếp ABC∆ Lúc đó ta có: MH= MA2−R2, R là bán kính đường tròn ngoại tiếp ABC∆ Trong trường hợp này để tính MH ta chú ý đến định lí hàm số sin

TH 3: Nếu MA=MB thì H là hình chiếu của M lên đường thẳng trung trực của đoạn AB nằm trong mp( )P

TH 4: Nếu có một đường thẳng ∆
( )P , ta vẽ đường thẳng d ∆
Khi đó H là giao điểm của d và mp( )P

Trong trường hợp này ta cần chú ý đến định lí Talet

3 Khoảng cách giữa đường thẳng và mặt phẳng mang yếu tố song song

a) Khoảng cách từ một đường thẳng đến một mp song song bằng khoảng cách

từ một điểm bất kì trên đường thẳng này đến mp

b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này đến đường thẳng kia

c) Khoảng cách giữa hai mặt phẳng song song bằng khoảng cách từ một điểm thuộc mp này đến mp kia

4 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau

a) Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau chính là độ dài đường vuông góc chung của hai đường thẳng đó

Do đó để tìm khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau ta cần tìm đoạn vuông góc chung của hai đường thẳng đó

b) Ngoài ra nếu có một mp chứa đường thẳng này song song với đường thẳng kia thì khoảng cách giữa hai đường thẳng đó chính bằng khoảng cách từ đường thẳng song song đó đến mp nói trên

Ví dụ 1 Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a Gọi E là

điểm đối xứng của D qua trung điểm của SA , M là trung điểm của AE , N là trung điểm của BC Chứng minh MN vuông góc với BD và tính (theo a ) khoảng cách

giữa hai đường thẳng MN và AC

Lời giải

Gọi P là trung điểm của SA

Ta có MP là đường trung bình của tam

I H

Ví dụ 3 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông

BA=BC a= , cạnh bên AA' a 2= Gọi M là trung điểm của BC Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AM,B'C

d AM,B'C =d B', AMN Mặt khác N là trung

điểm của BB' nên d B', AMN( ( ) )=d B, AMN( ( ) )

Xét phép chiếu vuông góc lên (IBB' thì ta có B'K là hình chiếu của B'C trên )

(IBB' nên ) d AM,B'C( ) (=d I,B'K)

K M

C'

A' B

A

C B'

I H

N M

C'

B'

B

C A

A'

I K

MB +MA' =21a =A'B nên tam giác

MA'B vuông tại M hay MB⊥MA'

Vậy d I, A'BM( ( ) )=IK

Ta có

2 2

1 Cho hình lăng trụ đứng ABC.A'B'C' có đáy ABC là tam giác vuông tại

B , AB a, AA' 2a, A'C 3a= = = Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng A'C' , I là giao điểm của AM và A'C Tính theo a thể tích khối tứ diện IABC và khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (IBC )

Hướng dẫn giải:

Hạ IH⊥AC (H AC∈ ) ⇒IH⊥(ABC ; IH) là đường cao của tứ diện IABC⇒IH / /AA' IH CI 2

2

Thể tích khối tứ diện IABC :

3 ABC

Chủ đề 7: THỂ TÍCH KHỐI ĐA DIỆN

• Thể tích của khối chóp có diện tích đáy B và chiều cao h là:

1

3

• Thể tích của khối lăng trụ có diện tích đáy B và chiều cao h là:

Ví dụ 1 Cho hình chóp đều S.ABC , cạnh đáy bằng a, góc giữa các cạnh bên và

mặt đáy bằng60 Tính thể tích khối chóp S.ABC 0

Lời giải

Gọi O là tâm của tam giác ABC , I là trung điểm của BC

Ta có S.ABC là hình chóp đều nên

Ví dụ 2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông tâm O , SA vuông

góc với (ABCD , AB a,SA) = =a 2 Gọi H,K lần lượt là hình chiếu vuông góc của A trên SB,SD Chứng minh: SC⊥(AHK) và tính thể tích của khối chóp OHAK theo a

S =SB.SD= ⇒9 =9

2 BOH

Ví dụ 3 Cho hình hộp ABCD.A'B'C'D' có tất cả các mặt đều là hình thoi cạnh a,

các góc BAA' BAD DAA' 60=== 0 Tính thể tích khối hộp ABCD.A'B'C'D' theo a

Lời giải

Gọi H,I,J lần lượt là hình

chiếu của A' lên

3

2 0 ABCD

1 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a Gọi M và N lần lượt

là trung điểm của các cạnh AB và AD Gọi H là giao điểm của CN và DM Biết

SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD và SH a 3) = Tính thể tích khối chóp S.CDNM và khoảng cách giữa hai đường thẳng DM và SC theo a

Hướng dẫn giải:

2 Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , SA⊥(ABCD) và

SA=a 3 Gọi I là hình chiếu của I lên AC Từ I lần lượt vẽ các đường thẳng song song với SB,SD cắt BC, CD tại P, Q Gọi E,F lần lượt là giao điểm của PQ với AB, AD Tính thể tích của khối chóp SAEF và khoảng cách từ F đến mặt phẳng (SBD )

Hướng dẫn giải:

Gọi O là tâm hình vuông ABCD Qua A dựng

AH⊥SOvà dễ dàng chứng minh được AH⊥BD, khi đó

AH d A; SBD= Trong tam giác vuông SAC , ta có:

2 2

2

IC ACCI.SC AC

+CBS

389

3 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B , BA 3a,BC= =4a mặt phẳng (SBC vuông góc với mặt phẳng ) (ABC Biết SB 2a 3) = và SBC 30= 0 Tính thể tích khối chóp S.ABC và khoảng cách từ điểm B đến mặt phẳng (SAC )theo a

Ta có : Tam giác SAC vuông tại S , SA=a 21, SC = 2a, AC = 5a

Diện tích SSAC=a2 21 ( ( ) ) SABC 3

2 SAC

Gọi I là giao điểm của AC và BD⇒A I1 ⊥(ABCD) và M là trung điểm của

AD⇒IM⊥AD và A M1 ⊥AD, suy ra A MI là góc giữa hai mặt phẳng 1 (ADD A1 1)

và (ABCD hay ) A MI 601 = 0

5 Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B ,

AB BC 2a= = hai mặt phẳng (SAB và ) (SAC cùng vuông góc với )

mặt phẳng (ABC Gọi M là trung điểm của AB mặt phẳng qua SM và )

song song với BC , cắt AC tại N Biết góc giữa hai mặt phẳng (SBC )

và (ABC bằng ) 60 Tính thể tích khối chóp S.BCNM và khoảng cách 0

giữa hai đường thẳng AB và SN theo a