Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 10 cấp trường năm 2020-2021 - Trường THPT Chuyên Bắc Ninh giúp các bạn củng cố lại kiến thức và thử sức mình trước kỳ thi. Hy vọng nội dung đề thi sẽ giúp các bạn đạt kết quả cao trong kỳ thi học sinh giỏi sắp tới.
Trang 1SỞ GD&ĐT BẮC NINH
TRƯỜNG THPT CHUYÊN
——————–
(Đề thi gồm 1 trang)
ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TRƯỜNG
NĂM HỌC 2020-2021 MÔN THI : Toán 10
Thời gian làm bài 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Bài 1 (4.0 điểm) Giải hệ phương trình:
( (x + 1)py2+ y + 2 + (y − 1) √
x2+ x + 1 = x + y (x2+ x)px − y + 3 = 2x2+ x + y + 1
Bài 2 (4 điểm) Choa, b, clà các số thực dương thỏa mãnab + bc + ca = 3abc
Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thứcP = a
2
b(a 2 + 2) +
b2 c(b 2 + 2) +
c2 a(c 2 + 2)
Bài 3 (4 điểm) Cho tam giác ABC với O, I theo thứ tự là tâm đường tròn ngoại tiếp,nội tiếp tam giác.Chứng minh rằngAIO ≤ 90 d ◦khi và chỉ khiAB + AC ≥ 2BC
Bài 4 (4 điểm)
a.Tìm tất cả các số tự nhiênnsao cho19.8n+ 17là số nguyên tố
b.Cho 2020 số nguyên dươnga1, a2, a3, , a2020và số nguyêna > 1sao cho a chia hết choa1, a2, a3, , a2020
Chứng minh rằnga2021+a−1không chia hết cho(a+a1−1)(a+a2−1) (a+a2020−1).
Bài 5 (4 điểm) Cho các số nguyên dương được viết vào 441 ô của bảng vuông
21x21.Mỗi hàng và mỗi cột có nhiều nhất 6 giá trị khác nhau Chứng minh rằng tồn tại một số nguyên có mặt ở ít nhất 3 cột và ít nhất 3 hàng
—————HẾT—————