Bộ 15 đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp quốc gia năm 2020-2021

Bộ đề thi học sinh giỏi môn Hóa học lớp 8 năm 2017-2018 có đáp án giúp các bạn dễ dàng ôn tập, không mất nhiều thời gian trong việc tìm kiếm tư liệu tham khảo. Bộ đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp quốc gia năm 2020-2021 sẽ giúp các bạn dễ dàng củng cố kiến thức chuẩn bị cho bài thi chọn học sinh giỏi đạt kết quả cao nhất. Mời quý thầy cô và các bạn cùng tham khảo đề thi.

BỘ 15 ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI

MÔN TOÁN LỚP 12 CẤP QUỐC GIA NĂM 2020-2021

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

Cho tam giác ABC nhọn có BAC300 Hai đường phân giác trong và ngoài của ABC lần lượt cắt đường thẳng

AC tại B và 1 B ; hai đường phân giác trong và ngoài của 2 ACB lần lượt cắt đường thẳng AB tại C và 1 C Giả 2

sử đường tròn đường kính B B1 2 và đường tròn đường kính C C cắt nhau tại một điểm P nằm bên trong tam 1 2

giác ABC Chứng minh rằng BPC900

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI CHỌN

ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ BÀI (Đề gồm: 01 trang)

Câu 1 (4,0 điểm)

Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:

3 3 2 3

a) Chứng minh rằng trong 5 số nguyên dương bất kì, luôn tồn tại 3 số có tổng chia hết cho 3

b) Chứng minh rằng trong 13 ước nguyên dương của 62019, luôn tồn tại 3 số có tích là lập phương của một số tự nhiên

Họ và tên thí sinh: Số báo danh: ………

Họ tên, chữ ký của giám thị: ………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Tìm các hàm số :f   thỏa mãn   2   3

( ) ( ) ( )

f a f a  f b  f a  , b a b,  Câu 4 (4 điểm)

Cho tam giác ABC cân tại A, lấy điểm D thuộc cạnh AB khác A và B, gọi  O là đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD, tiếp tuyến của đường tròn  O tại D cắt đường thẳng AC tại điểm E, vẽ tiếp tuyến EF của đường tròn

 O tại tiếp điểm F khác D Gọi I là giao điểm của hai đường thẳng BF và CD, gọi K là giao điểm của hai đường thẳng AI và BC Chứng minh BK 2CK

Câu 5 (4 điểm)

Một tổ gồm có 5 học sinh được phân công trực nhật 6 ngày trong tuần từ thứ hai đến thứ bảy thỏa mãn các điều kiện sau: Mỗi ngày đều có từ 1 đến nhiều nhất là 2 học sinh trực và trong cả tuần mỗi học sinh trực đúng 2 lần, mỗi lần trực 1 ngày Tính số các cách phân công trực nhật của tổ thỏa mãn các điều kiện đã cho

- HẾT -

https://toanmath.com/

+ Thí sinh không được sử dụng máy tính cầm tay, không được sử dụng tài liệu

+ Họ và tên thí sinh: Số báo danh:

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH ĐỒNG THÁP

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề thi gồm có 01 trang

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

DỰ THI CẤP QUỐC GIA NĂM 2021

Môn thi: TOÁN Ngày thi: 28/07/2020

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

2 Xét số T 3n  , trong đó n là số nguyên dương, 2n n2 Chứng minh rằng:

a) Không tồn tại n để T là bình phương của một số nguyên tố

b) Nếu T là lập phương của một số nguyên tố thì n là một số nguyên tố

Câu 3. (3,0 điểm)

Với mỗi m  ta kí hiệu * (2 ) ( !)m  m 2, (2 m 1) ( !).((m m1)!) Cho đa thức ( )p x hệ số nguyên, có

bậc lớn hơn hoặc bằng k k   và có ít nhất k nghiệm nguyên phân biệt Xét số nguyên n (* n sao cho 0)

đa thức ( )q x  p x( ) có ít nhất một nghiệm nguyên Chứng minh rằng | |n n ( )k

Câu 4. (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp  I tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại D, E, F

1 Gọi S là giao điểm của EF với BC Chứng minh SI vuông góc với AD

2 Đường thẳng d thay đổi, đi qua S và cắt đường tròn  I tại hai điểm phân biệt M, N Các tiếp tuyến tại M,

N của  I cắt nhau tại T Chứng minh T thuộc một đường thẳng cố định

3 Gọi K là giao điểm của ME và NF, G là giao điểm của MC và NB Chứng minh K và G cùng thuộc đường thẳng AD

Câu 5. (2,0 điểm)

Viết n số thực có tổng bằng n1 (n quanh một đường tròn Chứng minh rằng ta có thể gắn nhãn cho các 1)

số đó theo chiều kim đồng hồ là x x1, , ,2  x n sao cho: x1  x2  x k  k 1,   1 k n

- HẾT -

https://toanmath.com/

+ Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm

+ Họ và tên thí sinh: Số báo danh: + Chữ ký giám thị 1: + Chữ ký giám thị 2:

========== HẾT ==========

========== HẾT ==========

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

n

u u

thể phân tích f x thành tích ( ) f x( ) p x q x( ) ( ) với p x , ( ) q x là các đa thức có hệ số nguyên ( )

Câu 4. (4,0 điểm)

Cho tam giác nhọn không cân ABC có trực tâm H và nội tiếp đường tròn  O Gọi E, F lần lượt là chân đường cao hạ từ B, C của tam giác ABC M là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF với đường tròn  O

(M không trùng A) Đường thẳng BH cắt đường tròn  O tại D (D không trùng B) I là trung điểm BC

a) Chứng minh rằng ba đường thẳng AM, EF, BC đồng quy tại một điểm

b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác HEI cắt BC tại N (N không trùng I) Đường thẳng EN cắt đường thẳng qua

H và song song với BC tại K Chứng minh rằng bốn điểm M, H, K, D cùng thuộc một đường tròn

Câu 5. (4,0 điểm)

a) Cho n là một số nguyên dương, xét tập hợp S{1, 2,3, , } n Gọi p, q lần lượt là số tập con khác rỗng của

S và có số phần tử là chẵn, lẻ Chứng minh rằng 1.p q  

b) Cho m, n là các số nguyên dương và một bảng hình chữ nhật kẻ ô vuông có m hàng và n cột (nghĩa là bảng

gồm m n ô vuông) Xét các tập hợp T khác rỗng gồm một số các ô vuông thuộc bảng trên sao cho mỗi hàng

và mỗi cột của bảng đều có chứa ít nhất một ô vuông của T Gọi p là số các tập hợp T có số phần tử là số m n,

-SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Trên tập hợp các số nguyên không âm, xét phương trình: x22.3y x2y 1 1  1

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm  x y; thỏa mãn  1 mà y 5

b) Chứng minh rằng không tồn tại cặp số nguyên không âm  x y; với y thỏa mãn phương trình 6  1 . 

Bài 4. (5,0 điểm)

Cho đường tròn  C1 và điểm B thuộc  C1 Điểm A khác B sao cho đường thẳng AB là tiếp tuyến của  C1

Điểm C không thuộc  C1 sao cho đoạn thẳng AC cắt  C1 tại hai điểm phân biệt Gọi  C2 là đường tròn

tiếp xúc với AC tại C và tiếp xúc với  C1 tại D (điểm B và D ở khác phía so với bờ AC) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và  là tiếp tuyến chung của  C1 ,  C2 tại D

a) Chứng minh rằng điểm I cách đều hai đường thẳng AB và 

b) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

- HẾT -

https://toanmath.com/

Ghi chú:

+ Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay

+ Giám thị coi thi không giải thích gì thêm

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI CHỌN

ĐỀ CHÍNH THỨC Môn: TOÁN

Thời gian: 180 phút (không kể thời gian giao đề)

ĐỀ BÀI (Đề gồm: 01 trang)

Câu 1 (4,0 điểm)

Giải hệ phương trình sau trên tập số thực:

3 3 2 3

a) Chứng minh rằng trong 5 số nguyên dương bất kì, luôn tồn tại 3 số có tổng chia hết cho 3

b) Chứng minh rằng trong 13 ước nguyên dương của 62019, luôn tồn tại 3 số có tích là lập phương của một số tự nhiên

Họ và tên thí sinh: Số báo danh: ………

Họ tên, chữ ký của giám thị: ………

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TỈNH ĐỒNG THÁP

ĐỀ THI CHÍNH THỨC

Đề thi gồm có 01 trang

KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI

DỰ THI CẤP QUỐC GIA NĂM 2021

Môn thi: TOÁN Ngày thi: 28/07/2020

Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)

2 Xét số T 3n  , trong đó n là số nguyên dương, 2n n2 Chứng minh rằng:

a) Không tồn tại n để T là bình phương của một số nguyên tố

b) Nếu T là lập phương của một số nguyên tố thì n là một số nguyên tố

Câu 3. (3,0 điểm)

Với mỗi m  ta kí hiệu * (2 ) ( !)m  m 2, (2 m 1) ( !).((m m1)!) Cho đa thức ( )p x hệ số nguyên, có

bậc lớn hơn hoặc bằng k k   và có ít nhất k nghiệm nguyên phân biệt Xét số nguyên n (* n sao cho 0)

đa thức ( )q x  p x( ) có ít nhất một nghiệm nguyên Chứng minh rằng | |n n ( )k

Câu 4. (6,0 điểm)

Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp  I tiếp xúc với các cạnh BC, CA, AB tại D, E, F

1 Gọi S là giao điểm của EF với BC Chứng minh SI vuông góc với AD

2 Đường thẳng d thay đổi, đi qua S và cắt đường tròn  I tại hai điểm phân biệt M, N Các tiếp tuyến tại M,

N của  I cắt nhau tại T Chứng minh T thuộc một đường thẳng cố định

3 Gọi K là giao điểm của ME và NF, G là giao điểm của MC và NB Chứng minh K và G cùng thuộc đường thẳng AD

Câu 5. (2,0 điểm)

Viết n số thực có tổng bằng n1 (n quanh một đường tròn Chứng minh rằng ta có thể gắn nhãn cho các 1)

số đó theo chiều kim đồng hồ là x x1, , ,2  x n sao cho: x1  x2  x k  k 1,   1 k n

- HẾT -

https://toanmath.com/

+ Thí sinh không được sử dụng tài liệu Giám thị không giải thích gì thêm

+ Họ và tên thí sinh: Số báo danh: + Chữ ký giám thị 1: + Chữ ký giám thị 2:

========== HẾT ==========

========== HẾT ==========

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

n

u u

thể phân tích f x thành tích ( ) f x( ) p x q x( ) ( ) với p x , ( ) q x là các đa thức có hệ số nguyên ( )

Câu 4. (4,0 điểm)

Cho tam giác nhọn không cân ABC có trực tâm H và nội tiếp đường tròn  O Gọi E, F lần lượt là chân đường cao hạ từ B, C của tam giác ABC M là giao điểm của đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF với đường tròn  O

(M không trùng A) Đường thẳng BH cắt đường tròn  O tại D (D không trùng B) I là trung điểm BC

a) Chứng minh rằng ba đường thẳng AM, EF, BC đồng quy tại một điểm

b) Đường tròn ngoại tiếp tam giác HEI cắt BC tại N (N không trùng I) Đường thẳng EN cắt đường thẳng qua

H và song song với BC tại K Chứng minh rằng bốn điểm M, H, K, D cùng thuộc một đường tròn

Câu 5. (4,0 điểm)

a) Cho n là một số nguyên dương, xét tập hợp S{1, 2,3, , } n Gọi p, q lần lượt là số tập con khác rỗng của

S và có số phần tử là chẵn, lẻ Chứng minh rằng 1.p q  

b) Cho m, n là các số nguyên dương và một bảng hình chữ nhật kẻ ô vuông có m hàng và n cột (nghĩa là bảng

gồm m n ô vuông) Xét các tập hợp T khác rỗng gồm một số các ô vuông thuộc bảng trên sao cho mỗi hàng

và mỗi cột của bảng đều có chứa ít nhất một ô vuông của T Gọi p là số các tập hợp T có số phần tử là số m n,

-SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

Trên tập hợp các số nguyên không âm, xét phương trình: x22.3y x2y 1 1  1

a) Tìm tất cả các cặp số nguyên không âm  x y; thỏa mãn  1 mà y 5

b) Chứng minh rằng không tồn tại cặp số nguyên không âm  x y; với y thỏa mãn phương trình 6  1 . 

Bài 4. (5,0 điểm)

Cho đường tròn  C1 và điểm B thuộc  C1 Điểm A khác B sao cho đường thẳng AB là tiếp tuyến của  C1

Điểm C không thuộc  C1 sao cho đoạn thẳng AC cắt  C1 tại hai điểm phân biệt Gọi  C2 là đường tròn

tiếp xúc với AC tại C và tiếp xúc với  C1 tại D (điểm B và D ở khác phía so với bờ AC) Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD và  là tiếp tuyến chung của  C1 ,  C2 tại D

a) Chứng minh rằng điểm I cách đều hai đường thẳng AB và 

b) Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC

- HẾT -

https://toanmath.com/

Ghi chú:

+ Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay

+ Giám thị coi thi không giải thích gì thêm