Bài giảng Cơ học ứng dụng - ĐH Sư Phạm Kỹ Thuật Nam Định

Nội dung của Bài giảng Cơ học ứng dụng bao gồm ba phần: Cơ học vật rắn tuyệt đối, cơ học vật rắn biến dạng (Sức bền vật liệu) và chi tiết máy, trong đó phần Cơ học vật rắn tuyệt đối và chi tiết máy được viết gộp trong 3 chương bao gồm nội dung về tĩnh học, động học và động lực học chất điểm và cơ hệ. Phần Cơ học vật rắn biến dạng được viết trong 1 chương bao gồm các nội dung về các hình thức chịu lực đơn giản và phức tạp của thanh.

LỜI NÓI ĐẦU

Cơ học ứng dụng là một phần kiến thức căn bản đối với kỹ sư thuộc các ngành

kỹ thuật, vì vậy môn học này được bố trí trong chương trình đào tạo của nhiều trường đại học như: đại học Bách khoa Hà Nội, Giao thông vận tải, Thuỷ lợi, Xây dựng,… Ở trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Nam Định, môn học này được giảng dạy cho sinh viên hệ đại học chuyên nghành Điện- Điện tử Hiện nay, các trường đại học đều có tài liệu riêng giảng dạy về môn học này với các tên gọi khác nhau như Cơ học cơ sở, Cơ học kỹ thuật v.v với nội dung thời lượng và khối lượng kiến thức rất khác nhau do đặc thù của ngành

Chính vì vậy việc biên soạn một bài giảng môn học Cơ học ứng dụng riêng cho sinh viên trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Nam Định là rất cần thiết Theo chương trình môn học Cơ học ứng dụng được xây dựng để giảng dạy cho sinh viên trường Đại học Sư phạm Kỹ thuật Nam Định, nội dung của môn học bao gồm ba phần: Cơ học vật rắn tuyệt đối, cơ học vật rắn biến dạng (Sức bền vật liệu) và chi tiết máy, trong đó phần Cơ học vật rắn tuyệt đối và chi tiết máy được viết gộp trong 3 chương bao gồm nội dung về tĩnh học, động học và động lực học chất điểm và cơ hệ Phần Cơ học vật rắn biến dạng được viết trong 1 chương bao gồm các nội dung về các hình thức chịu lực đơn giản và phức tạp của thanh

Cuốn bài giảng được viết trên cơ sở chương trình môn học Cơ học ứng dụng Người biên soạn đã cố gắng trình bày những vấn đề cơ bản của Cơ học theo quan điểm hiện đại, đảm bảo tính sư phạm và yêu cầu chất lượng của một bài giảng giảng dạy đại học Những kiến thức trình bày trong bài giảng này là những kiến thức tối thiểu, cần thiết nhằm trang bị các kiến thức cơ học nền tảng trong hệ thống kiến thức cung cấp cho các sinh viên, đặc biệt cho các sinh viên phi cơ khí

Cuốn bài giảng được biên soạn lần đầu nên chắc chắn còn nhiều thiếu sót Chúng tôi rất mong nhận được sư góp ý của các đồng nghiệp và các em sinh viên để

có điều kiện sửa chữa, hoàn thiện hơn cuốn bài giảng nhằm phục vụ tốt hơn cho công tác giảng dạy và học tập Các ý kiến đóng góp xin gửi về địa chỉ: Bộ môn Kỹ thuật cơ

sở, Khoa cơ khí, Trường Đại học Sư phạm kỹ thuật Nam Định

Nhóm tác giả biên soạn

2

MỤC LỤC

LỜI NÓI ĐẦU 1

MỤC LỤC 3

Phần 1: CƠ HỌC VẬT RẮN TUYỆT ĐỐI………5

Chương 1 5

ĐỘNG HỌC 5

1.1 ĐỘNG HỌC ĐIỂM 5

1.1.1 Phương pháp véc tơ 5

1.1.2 Phương pháp toạ độ Đề các 7

1.1.3 Phương pháp toạ độ tự nhiên 9

1.1.4 Một số chuyển động thường gặp 12

1.2 ĐỘNG HỌC VẬT RẮN TUYỆT ĐỐI 14

1.2.1 Các chuyển động cơ bản của vật rắn 14

1.2.2 Chuyển động song phẳng của vật rắn 22

1.3 HỢP CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỂM- VẬT RẮN 33

1.3.1 Hợp chuyển động của điểm 33

1.3.2 Hợp chuyển động của vật rắn 37

1.4 ĐỘNG HỌC CƠ CẤU 42

1.4.1 Một số khái niệm 42

1.4.2 Cơ cấu bốn khâu bản lề phẳng 42

1.4.3 Các biến thể của cơ cấu bốn khâu 43

1.4.4 Cơ cấu cam 45

1.4.5 Cơ cấu bánh răng 46

CÂU HỎI ÔN TẬP 51

Chương 2 52

TĨNH HỌC 52

2.1 CÁC KHÁI NIỆM CƠ BẢN VÀ CÁC ĐỊNH LUẬT TĨNH HỌC 52

2.1.1 Các khái niệm cơ bản 52

2.1.2 Các định luật tĩnh học 57

2.1.3 Các hệ quả 61

2.2 KHẢO SÁT HỆ LỰC 64

2.2.1 Hệ lực phẳng 64

2.2.2 Hệ lực không gian 74

CÂU HỎI ÔN TẬP 83

Chương 3 84

ĐỘNG LỰC HỌC 84

3.1 CÁC ĐỊNH LUẬT CƠ BẢN CỦA ĐỘNG LỰC HỌC VÀ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN CHUYỂN ĐỘNG CỦA CHẤT ĐIỂM 84

3.1.1 Các khái niệm 84

3.1.2 Các định luật cơ bản của động lực học 84

3.1.3 Phương trình vi phân chuyển động của chất điểm 86

3.1.4 Hai bài toán cơ bản của động lực học 87

3.2 ĐỘNG LỰC HỌC CƠ HỆ 89

3.2.1 Các khái niệm 89

3.2.2 Nguyên lý Đalămbe 93

3.3 CÁC ĐỊNH LÝ TỔNG QUÁT CỦA ĐỘNG LỰC HỌC CƠ HỆ 96

4

3.3.1 Định lý động lượng và định lý chuyển động khối tâm 97

3.3.2 Định lý mômen động lượng 102

3.3.3 Định lý động năng 106

3.3.4 Định lý bảo toàn cơ năng 114

3.4 ĐỘNG LỰC HỌC VẬT RẮN 117

3.4.1 Vật rắn chuyển động tịnh tiến 117

3.4.2 Vật quay xung quanh một trục cố định với vận tốc góc  gia tốc góc  117 3.4.3 Vật rắn là tấm phẳng chuyển động song phẳng 118

CÂU HỎI ÔN TẬP 120

Phần 2: CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG ………121

Chương 4 121

CƠ HỌC VẬT RẮN BIẾN DẠNG 121

4.1 MỞ ĐẦU 121

4.1.1 Các khái niệm về thanh 121

4.1.2 Nội lực- Ứng suất 122

4.1.3 Phương pháp mặt cặt biến thiên- các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang 123

4.1.4 Quan hệ giữa ứng suất và các thành phần nội lực trên mặt cắt ngang 124

4.1.5 Biến dạng 125

4.1.6 Các giả thiết cơ bản về vật liệu 126

4.2 KÉO- NÉN ĐÚNG TÂM 127

4.2.1 Khái niệm 127

4.2.2 Nội lực và biểu đồ nội lực 127

4.2.3 Ứng suất trên mặt cắt ngang 128

4.2.4 Điều kiện cường độ- ba bài toán cơ bản 134

4.3 XOẮN THUẦN TÚY CỦA THANH THẲNG 135

4.3.1 Khái niệm 135

4.3.2 Nô ̣i lực và biểu đồ nô ̣i lực 136

4.3.3 Ứng suất trên mặt cắt ngang 137

4.3.4 Điều kiện cường độ– ba bài toán cơ bản 141

4.4 UỐN PHẲNG CỦA THANH THẲNG 143

4.4.1 Khái niệm 143

4.4.2 Nội lực và biểu đồ nội lực 143

4.4.3 Ứng suất trên mặt cắt ngang 146

4.4.4 Điều kiện cường độ- ba bài toán cơ bản 154

4.5 THANH CHỊU LỰC PHỨC TẠP 156

4.5.1 Thanh chịu uốn xiên 158

4.5.2 Uốn và kéo (nén) đồng thời 161

4.5.3 Kéo (nén) lệch tâm 165

4.5.4 Xoắn và uốn đồng thời 167

4.5.5 Thanh chịu lực tổng quát 171

CÂU HỎI ÔN TẬP 172

TÀI LIỆU THAM KHẢO 173

Phần 1: CƠ HỌC VẬT RẮN TUYỆT ĐỐI

Chương 1 ĐỘNG HỌC

1.1 ĐỘNG HỌC ĐIỂM

Trong phần động học điểm, chúng ta khảo sát chuyển động của một điểm đối với một hệ quy chiếu đã chọn Để mô tả sáng sủa và gọn gàng các đặc trưng của chuyển động, chúng ta sử dụng phương pháp véc tơ Để tính toán thuận tiện, chúng ta

sử dụng các phương pháp tọa độ như phương pháp tọa độ Đềcác, phương pháp tọa độ

tự nhiên, phương pháp véc tơ

1.1.1 Phương pháp véc tơ

1.1.1.1 Phương trình chuyển động

Xét điểm M chuyển động trong hệ quy chiếu Oxyz (Hình 1.1)

Vị trí của điểm M được xác định bởi

véc tơ r OM Điểm M chuyển động, do đó



r thay đổi theo thời gian:

)

(t r r





Phương trình (1.1) được gọi là phương

trình chuyển động của điểm M dạng véc tơ

Chú ý rằng điểm M chuyển động liên

tục, ở mỗi thời điểm, điểm M chiếm một vị trí

xác định và có hướng chuyển động xác định

Do đó r (t)



là một hàm liên tục, đơn trị

Tập hợp các vị trí của điểm trong không gian quy chiếu được gọi là quỹ đạo của

nó trong hệ quy chiếu ấy Phương trình (1.1) là phương trình tham số của quỹ đạo Nếu quỹ đạo là đường thẳng, thì chuyển động được gọi là chuyển động thẳng Nếu quỹ đạo là đường cong, thì chuyển động được gọi là chuyển động cong Và khi đó, người

ta thường lấy tên đường cong quỹ đạo để gọi tên chuyển động

Hình 1.1

r v

v

t t

tb

0 0

lim

Như thế, vận tốc của điểm là đạo hàm bậc nhất theo thời gian của véc tơ định vị của điểm ấy Véc tơ vận tốc v hướng theo tiếp tuyến với quỹ đạo ở điểm M về phía chuyển động Đơn vị của vận tốc là mét/giây, ký hiệu là m/s

v d t

v a

a

t t

2 0

0

lim

Như thế, gia tốc của điểm là đạo hàm bậc nhất theo thời gian của véc tơ vận tốc

và bằng đạo hàm bậc hai theo thời gian của véc tơ định vị của điểm ấy Đơn vị của gia tốc là: mét/giây2, ký hiệu là m/s2

1.1.1.4 Nhận xét về một vài tính chất của chuyển động

Trước hết ta nêu ra một tiêu chuẩn nhận xét về chuyển động thẳng và chuyển động cong của điểm Khi điểm chuyển động thẳng, véc tơ vận tốc v luôn không đổi về phương do đó véc tơ v và véc tơ a luôn cùng phương Vì vậy, véc tơ v  a 0

Ngược lại, khi điểm chuyển động cong, véc tơ v nói chung thay đổi cả về hướng cũng như trị số Các véc tơ v và véc tơ a nói chung không cùng phương Vì vậy ta có tiêu chuẩn nhận xét:

Chú ý rằng, sự thay đổi của v2 đặc trưng cho sự thay đổi của giá trị v của vận tốc Ta có:

liên tục theo thời gian Vậy các phương trình

;

dy v x dt

dy i dt

dx k z j y i x dt

d dt

r d

v v Oy v

v v

d k v j v i v dt

d dt

v d

v d j dt

v d i dt

Từ đó nhận được hình chiếu của gia tốc a

trên các trục tọa độ:

;

;

y dt

dv v

x dt

dv

z y

y x

a

a a Oz a

a a Oy a

a a

Bài giải:

Muốn tìm phương trình quỹ đạo, ta chỉ việc tìm cách khử tham số thời gian t trong các phương trình chuyển động Trong ví dụ này, từ các phương trình chuyển động ta suy ra:

Vậy quỹ đạo là một đường elip với các bán trục b và d (Hình 1.5)

Từ phương trình (1.7) ta tính các đạo hàm theo t:

v x x bcost,v y  y  dsint

t d

y a t b

-d

0

1

2 1

1 1

y x

a b

a

v v

v t

b v

2 1 2

x

(1.8)

Đây là phương trình đường đầu mút véc tơ vận tốc dạng tọa độ Trên hình 1.5 các điểm M’0, M’, M’1 trên đường đầu mút véc tơ vận tốc tương ứng với các điểm M0,

M, M1 ở trên quỹ đạo

1.1.3 Phương pháp toạ độ tự nhiên

1.1.3.1 Phương trình chuyển động

Phương pháp tọa độ tự nhiên được áp

dụng khi biết trước quỹ đạo chuyển động của

điểm Giả sử cho biết quỹ đạo (C) của điểm ở

trong một hệ quy chiếu không gian Chọn một

điểm tùy ý O ở trên quỹ đạo làm điểm gốc và

định chiều dương trên quỹ đạo (Hình 1.6) Vị trí của điểm M được xác định bằng độ

dài đại số cung OM s

Điểm M chuyển động do đó sthay đổi theo thời gian Phương trình:

1.1.3.2 Một vài tính chất hình học của quỹ đạo

1 Hệ tọa độ tự nhiên

Trước hết chúng ta hãy đưa ra

cách xác định mặt phẳng mặt tiếp của

quỹ đạo tại điểm M của nó Trên quỹ đạo

ngoài điểm M ta lấy thêm điểm M1

Dựng trong mặt phẳng mật tiếp với quỹ đạo tại điểm M trục Mt hướng theo tiếp tuyến của quỹ đạo về phía dương Véc tơ đơn vị trên trục đó là t0

Dựng trục Mn hướng theo pháp tuyến của quỹ đạo về phía lõm Pháp tuyến Mn nằm trong mặt phẳng mật tiếp gọi là pháp tuyến chính Véc tơ đơn vị trên trục này là n0

sao cho Mtnb tạo thành một hệ trục thuận (Hình 1.7)

Như thế, tại mỗi điểm của đường cong là luôn dựng được một hệ tọa độ vuông góc có ba trục hướng theo tiếp tuyến, pháp tuyến chính, trùng pháp tuyến, gọi là hệ tọa

độ tự nhiên Hệ tọa độ tự nhiên thay đổi theo vị trí của điểm M trên quỹ đạo và phản

ảnh được một phần tính chất hình học của quỹ đạo

2 Độ cong của quỹ đạo

Ta nhận thấy rằng quỹ đạo càng cong thì tiếp tuyến của nó đổi hướng càng

Hình 1.7

- +

nhanh dọc theo quỹ đạo ấy Vì vậy người ta đưa ra khái niệm độ cong của quỹ đạo

k s

ds

r d s dt

s d ds

r d dt

r d v

Tương tự như phần vận tốc, ta sẽ tìm hình chiếu của véc tơ gia tốc trên các trục

của hệ tọa độ tự nhiên:

0 0

0 a n a b t

t d v t v t v t v t v dt

d dt

v d

a  t  t  t  t  t 0 

0 0 0

dv a

Từ (1.11) ta thấy gia tốc pháp tuyến n

a luôn luôn hướng về tâm cong của quỹ đạo, còn gia tốc tiếp tuyến a

thì có thể hướng cùng chiều hoặc ngược chiều với vận tốc v

Từ các biểu thức (1.11) ta đưa ra một vài nhận xét về ý nghĩa của các thành phần gia tốc

Từ biểu thức a n v2/ ta thấy: khi điểm chuyển động nói chung v ≠ 0, do đó

an= 0 khi ρ = ∞ Vậy chỉ trong chuyển động thẳng thì an mới luôn luôn triệt tiêu Trong chuyển động cong, nói chung a ≠ 0 Như thế gia tốc pháp tuyến phản ứng tính cong của quỹ đạo, do đó đặc trưng cho sự thay đổi về phương của véc tơ vận tốc Chú ý rằng giá trị của an tỷ lệ với bình phương của vận tốc nên tăng rất nhanh khi giá trị vận tốc tăng

1.1.4 Một số chuyển động thường gặp

1.1.4.1 Chuyển động đều: Chuyển động đều của điểm là chuyển động mà vận

tốc của nó có trị số không đổi (v = v0 = hằng số)

Nếu chọn chiều chuyển động không đổi của điểm làm chiều dương trên quỹ đạo thì phương trình chuyển động của điểm có dạng:

0 0 0

0

0dt s v t s v

1.1.4.2 Chuyển động biến đổi đều: Chuyển động biến đổi đều của điểm là

chuyển động mà thành phần gia tốc tiếp luôn có trị số không đổi (at = a = hằng số)

1

s t v at s dt

ds

Trong chuyển động biến đổi đều nếu vt và at cùng dấu thì chuyển động là nhanh dần đều, nếu vt và at ngược dấu nhau thì chuyển động là chậm dần đều Trong thực tế, nếu ta chọn chiều dương trên quỹ đạo trùng với chiều của vận tốc đầu v0

thì nếu 0



 a

a t chuyển động là nhanh dần đều, còn a t a 0 chuyển động là chậm dần

đều cho đến khi dừng lại (v = 0)

Ví dụ 1.2 Cho điểm chuyển động theo quy luật:

2

t4sinz

;cos1

;cos

;sin

;2cos2

;sin

;cos1

t z

t y t

x

t z

t y t x

4 2 cos 4 ) cos 1 ( 2

2 2

2 2 2

2 2

2 2 2

t z

y x a

t t

z y x v

;0

Ví dụ 1.3 Một chất điểm chuyển động trên một đoạn cung của đường tròn có bán kính

R = 1000m với vận tốc ban đầu v0 = 54 km/h Sau khi đi được một đoạn đường có chiều dài 500m, vận tốc của chất điểm giảm xuống còn 36 km/h Cho biết chất điểm chuyển động chậm dần đều

Tính gia tốc của chất điểm tại lúc xuất phát và lúc vận tốc có giá trị 36 km/h

v t a

Trong đó: at là gia tốc tiếp tuyến của chất điểm

Khử t từ hai phương trình trên, ta có:

s

v v v v

a t

2

))(

( 0  0



Khi thay các giá trị: v0 = 15 m/s (ứng với 54 km/h), v = 10 m/s (ứng với 36 km/h),s = 500m, ta nhận được:

14

2/125,01000

255

s m

/1,01000

10

s m R

2 2

2

/16,01,0125,0)

()

Ví dụ Chuyển động của thùng xe trên đoạn đưởng thẳng (Hình 1.9), chuyển

động của thanh truyền AB trong cơ cấu bốn khâu có các tay quay O1A và O2B bằng nhau (Hình 1.10) là chuyển động tịnh tiến

Chú ý: Không có khái niệm điểm chuyển động tịnh tiến Khi vật rắn chuyển

động tịnh tiến, các điểm thuộc vật có thể chuyển động không thẳng, không đều

2 Khảo sát chuyển động của vật

Định lí Khi vật rắn chuyển động tịnh tiến, quỹ đạo, vận tốc, gia tốc các điểm

của vật rắn như nhau tại cùng một thời điểm

Chứng minh Lấy hai điểm A, B bất kỳ thuộc vật các véc tơ định vị của chúng

thỏa mãn điều kiện (Hình 1.11)

điểm B là vị trí của điểm A trượt đi một véctơ

hằng AB Nếu sự dịch chuyển trên được thực hiện

thì quỹ đạo của điểm A sẽ chồng khít lên quỹ đạo

của điểm B Các quỹ đạo như thế được gọi là như

nhau

Do AB =const nên đạo hàm đẳng thức

(1.12) theo thời gian, ta có:

dt

r d dt

1.2.1.2 Chuyển động quay của vật rắn quanh trục cố định

1 Định nghĩa

Chuyển động của vật rắn có hai điểm cố định, do đó có một trục đi qua hai điểm

đó cố định, được gọi là chuyển động quay quanh một trục cố định Trục cố định đó được gọi là trục quay của vật

Trên hình 1.12a cho ta mô hình không gian của vật rắn quay quanh một trục cố

 Vị trí của vật rắn khi đó được xác định vởi vị trí của mặt

phẳng P đối với mặt phẳng P0 tức là được xác định bởi góc quay

giữa  Khi vật quay, góc quay  thay đổi theo thời gian

Như thế, vị trí của vật rắn quay quanh một trục cố định

được xác định bởi một tham số là góc quay  Do đó vật rắn loại

này có một bậc tự do

Chú ý: Góc quay  có thể dương hay âm tùy thuộc vào chiều quay dương đã chọn Thông thường người ta quy ước góc quay  được xem là dương nếu vật quay ngược chiều kim đồng hồ, và xem là âm nếu vật quay cùng chiều kim đồng hồ Góc quay  được tính bằng radian (rad)

b Vận tốc góc của vật

Để đặc trưng cho chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định, người

ta đưa vào các khái niệm vận tốc góc và gia tốc góc

Như thế vận tốc góc là đạo hàm bậc nhất theo thời gian của góc quay Dấu của

 cho biết chiều quay của vật quanh trục Nếu  = . > 0 thì  tăng theo thời gian và vật rắn quay theo chiều dương Ngược lại nếu  < 0 thì vật quay theo chiều âm

Giá trị tuyệt đối   cho biết độ nhanh của chuyển động quay:  có giá trị càng lớn, thì vật quay càng nhanh

Đơn vị để tính vận tốc góc là radian trên giây Ký hiệu là rad/s Người ta cũng dùng đơn vị 1/s để tính vận tốc góc

Trong kỹ thuật người ta hay sử dụng đơn vị vòng/phút để tính tốc độ góc Do 1

vòng = 2rad, 1 phút =60s nên ta dễ dàng thiết lập hệ thức liên hệ giữa hai loại đơn vị:

s rad n

n

/1

,0

d



(1.16)

Gọi là gia tốc góc của vật

Đơn vị để tính gia tốc góc là radian/giây2 Ký hiệu là rad/s2 Người ta cũng dùng đơn vị 1/s2 để tính gia tốc góc

Gia tốc góc  đặc trưng cho sự biến thiên của vận tốc góc  theo thời gian Khi  =0, do đó  = const, chuyển động quay đều Khi  0, chuyển động quay biến đổi Nếu =  tăng theo thời gian, thì vật rắn quay nhanh dần Ngược lại khi  giảm theo thời gian, thì vật rắn quay chậm dần Chú ý rằng sự biến đổi của giá trị vận tốc góc  được đặc trưng bởi sự biến đổi của 2     2 Do đó để tìm dấu hiệu nhận biết

tính chất của chuyển động quay, ta xét dấu của đạo hàm:  

dt

d 2

Do     

.2

d Một vài dạng chuyển động quay đặc biệt

- Chuyển động quay đều: Đó là chuyển động quay mà vận tốc góc có trị số

không đổi (0 const) Do đó = 0 = const

- Chuyển động quay biến đổi đều: Đó là chuyển động quay mà gia tốc góc có trị

số không đổi ( 0const)

Do   

2 2

0 0

e Véctơ vận tốc góc và véctơ gia tốc góc

18

Để biểu diễn gọn gàng, sáng sủa những đặc điểm của chuyển động quay của vật rắn quanh một trục cố định và để chuẩn bị cơ sở nghiên cứu sâu hơn về động học vật rắn Người ta sử dụng véctơ để biểu diễn vận tốc góc và gia tốc góc Ký hiệu véctơ

là  , véctơ gia tốc góc là 

Véc tơ vận tốc góc của vật rắn quay quanh một trục

cố định  là một véc tơ nằm trên trục quay có chiều sao cho

nhìn từ ngọn đến gốc véc tơ  ta thấy vật rắn quay ngược

chiều kim đồng hồ và có trị số   Nếu gọi k



là véc tơ đơn vị trên trục quay z, ta có:

.k

 

Véc tơ gia tốc của vật rắn quay quanh một trục cố

định là một véc tơ bằng đạo hàm theo thời gian của véc tơ

3 Khảo sát chuyển động của các điểm thuộc vật

Xét chuyển động một điểm M bất kỳ thuộc vật rắn, nằm cách trục quay z một đoạn IM=R Khi vật rắn quay quanh trục z cố định, quỹ đạo của điểm M là một đường tròn tâm I Bán kính R, nằm trên mặt phẳng đi qua I và vuông góc với trục quay Do biết được quỹ đạo chuyển động của M nên ta sử dụng phương pháp tọa độ tự nhiên để phân tích chuyển động của điểm M

a Phương trình chuyển động của điểm

Chọn điểm O trên mặt phẳng P0 làm gốc quy chiếu và lấy chiều quay dương làm chiều dương Vị trí của điểm M được xác định bởi cung s OM

Ta có: 0

.

0 s t t v

Như thế, vận tốc các điểm thuộc vật rắn quay quanh một trục cố định được phân

bố quanh trục quay theo quy tắc tam giác đồng dạng (Hình 1.16)

j dt

(cos 1  1 



1 1

1 sin )

Xét vật rắn quay quanh một trục z cố định Chọn hệ tọa độ cố định Ox1y1z1 làm

hệ quy chiếu Lấy hệ tọa độ động Oxyz gắn

liền với vật (Hình 1.18) Vị trí của điểm M

thuộc vật được xác định bởi véctơ r

:

k z j y i

Trong đó: x, y, z là tọa độ của điểm M

trong hệ tọa độ Oxyz Chúng là các hằng số

Vận tốc của điểm M:

dt

d z dt

j d y dt

i d x dt

i j

20

j x i y i y j x

y x

k j i

c Gia tốc các điểm

Điểm M chuyển động tròn nên trong trường hợp

tổng quát, gia tốc của nó có hai thành phần: gia tốc pháp



v

Gia tốc tiếp tuyến a

hướng cùng chiều với vận tốc

Còn trị số của nó:

    2 2  4 2

Như thế, gia tốc các điểm của vật rắn chuyển

động quay quanh một trục cố định được phân bố theo

quy tắc tam giác thường đồng dạng với hệ số đồng dạng là 4 2 (Hình 1.20)

Từ công thức Ơle (1.22) ta có:

v r

r dt

d dt

a v

4 Vài dạng truyền chuyển động quay đơn giản

Trong một máy hoặc một tổ hợp máy thường gồm ba phần (Hình 5.13): Động

cơ, cơ cấu truyền động, bộ phận làm việc

Ở đây bước đầu ta làm quen với một vài cơ cấu truyền động đơn giản nhằm biến chuyển động quay quanh một trục cố định thành chuyển động quay quanh một trục khác cố định, biến chuyển động tịnh tiến thành chuyển động tịnh tiến, biến chuyển động quay thành chuyển động tịnh tiến và biến chuyển động tịnh tiến thành chuyển động quay

Dưới đây là một vài truyền động đơn giản

a) Truyền động bằng cơ cấu bánh răng, đai truyền, xích

Truyền các chuyển động quay giữa hai trục

cố định song song nhau, người ta dùng cơ cấu bánh

răng, đai truyền, xích như hình 1.22 và 1.23

Trong trường hợp biểu diễn như hình 1.22,

Bộ phận làm việc

Hình 1.21

22

Để truyền chuyển động giữa một vật quay và một vật tịnh tiến người ta sử dụng

cơ cấu bánh răng- thanh răng hoặc sử dụng cơ cấu bánh- thanh ma sát (Hình 1.24)

c) Truyền động bằng cơ cấu cam

Để truyền chuyển động tịnh tiến thành chuyển động tịnh tiến hoặc chuyển động quay thành chuyển động tịnh tiến người ta có thể sử dụng các cơ cấu cam như hình 1.25

1.2.2 Chuyển động song phẳng của vật rắn

1.2.2.1 Định nghĩa và mô hình

1 Định nghĩa

Chuyển động song phẳng của vật rắn là chuyển động trong đó mỗi điểm thuộc vật luôn luôn dịch chuyển trong một mặt phẳng xác định song song với một mặt phẳng quy chiếu đã chọn trước (Hình 1.26)

2 Mô hình khảo sát chuyển động

Xét một đoạn thẳng AB tùy ý của vật rắn K mà AB vuông góc với mặt phẳng quy chiếu P0 Vì K là một vật rắn nên AB=const Mặt khác do vật rắn K chuyển động song phẳng nên các điểm A, B luôn dịch chuyển trong hai mặt phẳng song song nhau Vậy đoạn AB luôn song song với vị trí ban đầu của nó Theo định nghĩa AB thực hiện

chuyển động tịnh tiến Vậy chuyển động của đoạn AB được đặc trưng bởi chuyển động của điểm M thuộc nó (Hình 1.26) Vật rắn K là tập hợp vô số thanh AB Do đó chuyển động song phẳng của vật rắn K được đặc trưng bởi chuyển động của thiết diện phẳng S trong mặt phẳng P

Như vậy việc khảo sát chuyển động song phẳng của vật rắn K trong không gian được đưa về bài toán khảo sát chuyển động phẳng của thiết diện S trong mặt phẳng P (Hình 1.27)

1.2.2.2 Khảo sát chuyển động của vật rắn

1 Phân tích chuyển động song phẳng thành chuyển động cơ bản

Xét chuyển động của hình phẳng S

trong mặt phẳng chứa nó (Hình 1.28) Ta

chọn hệ quy chiếu cố định Oxy Lấy một

điểm A tùy ý thuộc S làm điểm cực và gắn

vào A một hệ tọa độ Ax’y’ sao cho trong

quá trình S chuyển đông luôn luôn có

Ax’//Ox; Ay’//Oy

Chuyển động phẳng của hình S được

phân tích thành hai chuyển động thành phần

Chuyển động tịnh tiến của hệ động

Ax’y’ đối với hệ quy chiếu cố định Oxy

Chuyển động quay quanh A của hệ động A đối với hệ động Ax’y’

Như thế, chuyển động phẳng của vật rắn bao giờ cũng có thể phân tích được thành hai chuyển động cơ bản: Chuyển động quay tương đối của vật rắn quanh cực A thuộc vật đối với hệ quy chiếu động Ax’y’ và chuyển động tịnh tiến của hệ động Ax’y’ cùng với cực A đối với hệ quy chiếu cố định Oxy

2 Phương trình chuyển động của vật

Theo phân tích trên, vị trí của S đối với hệ quy chiếu cố định Oxy được xác định bởi ba thông số định vị Đó là góc  (để xác định vị trí của S – hoặc hệ tọa độ A

 - đối với hệ động Ax’y’) và các tọa độ xA, yA (để xác định vị trí của hệ động Ax’y’ đối với hệ cố định Oxy) Như thế, số bậc tự do của một vật rắn chuyển động song phẳng là ba

Khi thiết diện phẳng S chuyển động phẳng, ba thông số xA, yA và  biến đổi theo thời gian t Do đó phương trình chuyển động của vật rắn chuyển động phẳng là:

xA = xA(t); yA = yA(t); (t) (1.27) Hai phương trình đầu mô tả thành phần chuyển động tịnh tiến, phương trình thứ

ba mô tả thành phần chuyển động quay tương đối

3 Vận tốc và gia tốc suy rộng của vật

Hình 1.28

Ta gọi đạo hàm bậc hai theo thời gian của véctơ định vị của vật rắn chuyển động phẳng là véctơ gia tốc suy rộng của vật:

rộng mô tả gia tốc góc của thành phần chuyển động quay

1.2.2.3 Khảo sát chuyển động của các điểm thuộc vật

1 Phương trình chuyển động

Lấy một điểm B bất kì thuộc vật rắn s chuyển động phẳng Vị trí của điểm B

Hình 1.29

đối với hệ quy chiếu cố định Oxy được xác định bởi véctơ định vị rB

A B

B

y

x y

a Biểu thức giải tích xác định vận tốc của một điểm

Để nhận được biểu thức giải tích xác định vận tốc của một điểm thuộc vật rắn chuyển động phẳng, ta đạo hàm hai vế của phương trình (1.33) theo thời gian:

A B

B y

x y

cossin

Chú ý: Nếu chưa quen với cách đạo hàm các ma trận, ta có thể đạo hàm hai vế

của các phương trình (1.32) để nhận được các phương trình (1.35)

b Quan hệ vận tốc giữa hai điểm

Định lí 1: Vận tốc của điểm B tùy ý thuộc hình phẳng S chuyển động phẳng,

bẳng tổng hình học vận tốc của điểm cực A và vận tốc của điểm B trong chuyển động quay của hình phẳng S quanh A

AB v

v v

Chú ý 1: Vận tốc góc của thành phần chuyển động quay không phụ thuộc vào

việc chọn cực Thực vậy, nếu lấy A làm cực, ta có:

AB v

Định lí 2: Hình chiều vận tốc hai điểm bất kì của hình phẳng S chuyển động

phẳng lên đường thẳng nối hai điểm đó thì bằng nhau

A AB B

c Tâm vận tốc tức thời

Định nghĩa: Điểm P trên hình phẳng S mà tại thời điểm khảo sát có vận tốc

bằng không, gọi là tâm vận tốc tức thời

Định lí 3: Ở mỗi thời điểm nếu 0có một điểm duy nhất thuộc hình phẳng S

Hình 1.30

vM vMP Chiều hướng theo chiều 

Trị số v MP=.MP Vậy khi 0, vận tốc tức thời của hình phẳng S

phân bố giống như S đang quay quanh tâm vận tốc tức

Người ta nói rằng hình phẳng S chuyển động tịnh tiến tức thời

Như vậy, tại mỗi thời điểm, hình phẳng S hoặc quay tức thời quanh tâm vận tốc tức thời P (khi 0) hoặc chuyển động tịnh tiến tức thời (khi =0) Chú ý rằng chuyển động tức thời của hình phẳng chỉ nói lên tính chất của vận tốc Tuyệt đối không được từ đó suy ra tính chất của gia tốc

e Quy tắc thực hành tìm tâm vận tốc tức thời

Dựa vào các kết quả ở trên đưa ra ở đây một số quy tắc thực hành tìm tâm vận tốc tức thời

Hình 1.33

28

Trường hợp 1: Biết vận tốc điểm A và phương vận tốc điểm B Hai phương này

không song song với nhau

Dựa vào tính chất vA PA, vB PBtừ A và B ta kẻ tương ứng các đường vuông góc với vA

và vB

Giao điểm của chúng là tâm vận tốc P (Hình 1.34a)

Trường hợp 2: Biết vận tốc hai điểm A và B, chúng có phương song song với nhau

Dựa vào tính chất

PA v

Khi chuyển động phẳng là chuyển động lăn không

trượt của thiết diện phẳng S trên một đường cố định thì

tiếp điểm tiếp xúc có vận tốc tức thời bẳng không (vì các

tiếp điểm của hai vật khi không trượt trên nhau phải có

cùng một vận tốc, mà vật thứ hai cố định) Vì vậy điểm Hình 1.35

Hình 1.34

của vật tiếp xúc với mặt tựa chính là tâm P (Hình 1.34e)

Ví dụ 1.4 Tìm vận tốc của điểm M trên vành của bánh xe bán kính R lăn không

trượt trên đường thẳng Cho biết vận tốc tâm C của bánh xe là v

3 Gia tốc các điểm

a Biểu thức giải tích xác định gia tốc của một điểm

Đạo hàm biểu thức vận tốc (1.33) ta được:

A B

B

y

x y

sincos

sincos

b Quan hệ gia tốc giữa hai điểm

Định lý 4: Gia tốc của điểm B tùy ý thuộc hình phẳng S chuyển động phẳng,

bằng tổng hình học gia tốc của điểm cực A và gia tốc của điểm B trong chuyển động quay của hình phẳng S quanh A

BA n BA A

BA A

Chú ý 1: Từ các hệ thức (1.38) ta có thể nhận được hệ thức (1.39) bằng một vài biến đổi toán học không phức tạp

Chú ý 2: Từ cách xác định thành phần gia tốc tiếp, gia tốc pháp của một điểm

thuộc vật rắn quay quanh một trục cố định, ta dễ dàng xác định các véc tơ: aBA,a n BA

a

Trong đó:

n BA

; a

a   AB   v

Phương  AB Chiều phù hợp với chiều của 

Trị số at BA   AB

Hướng từ B đến A Trị số aBA n  2 AB

Hình 1.36

30

c Tâm gia tốc tức thời

Định nghĩa: Điểm Q trên hình phẳng S mà tại thời điểm khảo sát có gia tốc

bằng 0 gọi là tâm gia tốc tức thời

Định lý 5: Ở mỗi thời điểm nếu ω và ε không đồng thời triệt tiêu, có một điểm

duy nhất thuộc hình phẳng S có gia tốc bằng 0

Chứng minh: Sự tồn tại của tâm Q Giả sử biết a a,,,

Quay véc tơ a a quanh A theo chiều  một góc α

Ta được nửa đường thẳng AB (Hình 7.12) Trên

AB lấy một điểm Q sao cho:

Ta chứng minh sự duy nhất của tâm Q bằng phương pháp phản chứng Giả sử

có hai điểm Q1 và Q2 mà tại thời điểm khảo sát:

0

2 1

- Khi ω và ε không đồng thời triệt tiêu thì Q là một điểm giới nội;

- Khi ω và ε đồng thời triệt tiêu thì Q → ∞;

- Nói chung, tâm vận tốc tức thời P và tâm vận tốc tức thời Q của hình phẳng S không trùng nhau

Ví dụ 1.5: Tại một thời điểm nào đó, tâm O của

bánh xe lăn không trượt trên đường ray thẳng có vận

tốc v0 = 1m/s và gia tốc a0 = 1.5m/s2, (Hình 1.38) Bán

kính bánh xe R = 0.5m Hãy xác định tâm gia tốc tức

thời Q tại thời điểm đó

Bài giải:

Do P là tâm vận tốc tức thời, ta có:

s R

v

/2

0 



Hình 1.37

Gia tốc góc của bánh xe: 0 3 s/ 2

R

a 





Chiều của ω và ε cho trên hình 1.38

Quay véc tơ a theo chiều của 0  đi một góc α:

Điểm Q đó là tâm gia tốc tức thời

Chú ý: Khi a0 = 0 thì ε = 0 và do đó α = 0o; OQ = 0 Như vậy khi vận tốc tâm O của bánh xe luôn không đổi thì điểm O đó là gia tốc tức thời

Ví dụ 1.6

Tay quay OA có chiều dài r = 0,1 m quay

đều với vận tốc góc 0  30  rad s/ Con trượt

B chuyển động theo phương ngang Cho chiều

dài của thanh truyền AB là lr 3 Tại thời

điểm đang xét tay quay OA vuông góc với thanh

truyền AB (hình 1.39)

Hãy: - Xác định vận tốc con trượt B và vận tốc thanh truyền AB

- Tính gia tốc của con trượt B và gia tốc góc của thanh truyền AB

Bài giải:

1) Phân tích: Khâu OA chuyển động quay quanh trục cố định O Thanh truyền

AB chuyển động song phẳng, còn con trượt B chuyển động tịnh tiến Tay quay OA

làm với hướng ngang một góc 60 0

Kết quả tìm được trùng với kết quả trên

Để giải bài toán trên cũng có thể sử dụng phương pháp tâm vận tốc tức thời Tâm vận tốc tức thời của thanh AB tại thời điểm khảo sát là giao điểm của OA với đường thẳng đứng qua B (hình 1.40)

a t BA.BAr 3 /m s2

Phương chiều của các véc tơ trong đẳng thức (a) cho trên hình 1.41

Để tìm giá trị của gia tốc điểm B ta chiếu đẳng thức (b) lên phương AB:

Chiều của gia tốc góc 

phù hợp với chiều của t

BA

a , tại thời điểm khảo sát có chiều

ngược chiều kim đồng hồ Thanh

AB tại thời điểm khảo sát chuyển

động chậm dần

1.3 HỢP CHUYỂN ĐỘNG CỦA ĐIỂM- VẬT RẮN

1.3.1 Hợp chuyển động của điểm

1.3.1.1 Khái niệm

1 Mô hình bài toán

Điểm M chuyển động đối với hệ quy chiếu động Oxyz Thông thường hệ quy chiếu động Oxyz này được gắn liền với một vật S nào đó (Hình 1.42) Hệ quy chiếu động Oxyz chuyển động đối với hệ quy

chiếu cố định O1x1y1z1

Bài toán đặt ra là khảo sát chuyển

động của điểm M đối với hệ quy chiểu Oxyz

đang chuyển động đối với hệ quy chiếu

O1x1y1z1

2 Định nghĩa chuyển động tuyệt đối,

tương đối và chuyển động theo

a Chuyển động tuyệt đối

Chuyển động của điểm M đối với hệ

quy chiếu cố định O1x1y1z1 được gọi là

chuyển động tuyệt đối Vận tốc, gia tốc của điểm M trong chuyển động tuyệt đối

a a t BA



n A a

n A

b Chuyển động tương đối

Chuyển động của điểm M đối với hệ quy chiếu động

Oxyz được gọi là chuyển động tương đối Vận tốc, gia tốc

điểm M trong chuyển động tương đối (nghĩa là tính toán trong

hệ quy chiếu động) được gọi là vận tốc tương đối, gia tốc

tương đối Ký hiệu: v , r a r Ký hiệu i   j k 

, , là các véc tơ đơn

vị trên các trục Ox, Oy, Oz Tọa độ của điểm M trong hệ quy

chiếu động là x, y, z Khi đó, ta có:

k z j y i x

dy i dt

y d i dt

x d dt

M O d

2 2

2 2

2 2

Chuyển động của hệ quy chiếu động Oxyz đối với hệ quy chiếu cố định

O1x1y1z1 gọi là chuyển động theo

Để có thế thiết lập biểu thức của vận tốc theo, gia tốc theo, ta đưa vào khái niệm trùng điểm Gọi điểm M* của hệ quy chiếu động mà ở thời điểm khảo sát có cùng vị trí với điểm M là trùng điểm của điểm M tại thời điểm đó Như thế, ở mỗi thời điểm, điểm M trùng với một điểm M* nào đó của hệ quy chiếu động

Vận tốc, gia tốc tuyệt đối của trùng điểm M* tại thời điểm khảo sát (nghĩa là tính toán trong hệ quy chiếu cố định) được gọi là vận tốc theo, gia tốc theo của điểm

M tại thời điểm đó Ký hiệu: v , e a e

Gọi x*, y*, z* là tọa độ của trùng điểm M* trong hệ quy chiếu động Oxyz (x*, y*, z* là các hằng số) Ta có:

k z j y i x O O OM O O M

j d y dt

i d x dt

O O d dt

M O d v



2 2 2

2 2

2 2

1 2 2

1 2

dt

k d z dt

j d y dt

i d x dt

O O d dt

M O d a

Do x(t) = x*(t), y(t) = y*(t), z(t) = z*(t), nên ta có

dt

k d z dt

j d y dt

i d x dt

O O d

2

2 2

2 2

2 2

1 2

dt

k d z dt

j d y dt

i d x dt

O O d

a v v

Chứng minh: Theo hình 1.42 ta có:

k z j y i x O O OM O O M O

Khi hệ động Oxyz chuyển động quay quanh một trục cố định với vận tốc góc thì a c 2ev r

Chứng minh: Đạo hàm hai lần biểu thức:

k z j y i x O O M

dz dt

j d dt

dy dt

i d dt dx

dt

z d j dt

y d i dt

x d dt

k d z dt

j d y dt

i d x dt

O O d dt

M O d

2

2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

1 2 2

1 2

Chú ý đến (1.41), (1.43) và (1.45) ta có:

c e r

dz dt

j d dt

dy dt

i d dt

dx

Khi hệ quy chiếu động Oxyz chuyển động tịnh tiến, các véc tơ đơn vị i j k

,, là các véc tơ hằng Do đó véc tơ 0



c

a Khi hệ quy chiếu chuyển động quay quanh một trục cố định ∆ (Hình 1.43), ta lấy điểm O trên trục ∆ làm gốc trên hệ quy chiếu ấy Theo công thức tính vận tốc Ơle

Ta có:

k dt

k d j dt

j d i dt

i d

e e

dy i dt

Chú ý: Khi làm các bài tập ta có thế sử dụng quy tắc thực hành để xác định véc

tơ gia tốc Côriôlit như sau:

- Khi điểm M chuyển động trên một mặt phẳng thì ev r Khi đó ta quay v r

theo chiều quay của e đi một góc 90o, ta sẽ được phương và chiều của véc tơ a c Độ lớn của nó được tính theo công thức ac = 2ωevr (Hình 1.44)

- Khi điểm M không chuyển động trên một mặt phẳng Trong mặt phẳng  v r,e

, chiếu v r lên mặt phẳng vuông góc với e ta được véc tơ v' r Ta có v' = v r r.sinα Sau

đó quay v' r một góc 90o theo chiều của e ta được phương và chiều của a c Độ lớn của nó (Hình 1.45)

Ví dụ 1.7: Hai bờ sông của một con sông song song với nhau Chiều rộng của

dòng sông là h Dòng sông chảy với vận tốc v

có trị số không đổi Một người lái

thuyền sang ngang với vận tốc tương đối là u

Xác định hướng của vận tốc u để cho thời gian sang sông là ngắn nhất Với điều kiện đó, xác định vị trí cập bến của thuyền (Hình 1.46)

Bài giải:

Vật điểm khảo sát là con thuyền

Hệ quy chiếu chuyển động là dòng nước,

hệ quy chiếu cố định là một mốc ở bờ

sông Khi đó con thuyền sẽ tham gia hai

chuyển động: chuyển động tương đối với

vận tốc v r u và chuyển động với vận

tốc v e v

Theo định lý hợp vận tốc:

v u

v

x

1.3.2 Hợp chuyển động của vật rắn

1.3.2.1 Hợp hai chuyển động tịnh tiến

Định lý: Hợp hai chuyển động tịnh tiến là một chuyển động tịnh tiến với véc tơ

vận tốc bằng tổng hình học hai véc tơ vận tốc của các chuyển động đã cho

Hình 1.46

38

Giả sử có vật rắn chuyển động tịnh tiến đối với hệ động, vận tốc u1; trong khi

hệ động cũng tịnh tiến đối với hệ cố định, vận tốc u2 Ta xét một điểm M bất kỳ trên vật Vận tốc tuyệt đối của M được xác định như sau:

1 2

u u u

1.3.2.2 Hợp hai chuyển động quay quanh trục song song

1 Hai chuyển động quay cùng chiều

Định lý: Hợp hai chuyển động quay song song cùng chiều là một chuyển động

quay song song cùng chiều với các chuyển động đó Chuyển động tổng hợp có trục quay chia trong đoạn nối hai trục đã cho thành những đoạn tỉ lệ nghịch với các vận tốc góc và có trị số vận tốc góc bằng tổng các vận tốc góc đã cho

Cho 2 chuyển động quay như hình 1.47, trục quay của chuyển động tổng hợp đi qua C nằm trong đoạn nối O1O2 với:

2 Hai chuyển động quay ngược chiều

Định lý: Hợp hai chuyển động quay song song ngược chiều là một chuyển động

quay song song cùng chiều với chuyển động quay có vận tốc góc lớn Chuyển động tổng hợp có trục quay chia ngoài đoạn nối hai trục đã cho thành những đoạn tỉ lệ nghịch với các vận tốc góc và có trị số vận tốc góc bằng hiệu các vận tốc góc đã cho

Cho 2 chuyển động quay như hình 1.48, trục quay của chuyển động tổng hợp đi qua C nằm trong đoạn nối O1O2 với:

3 Hai chuyển động quay ngược chiều cùng tốc độ

Định lý: Hợp hai chuyển động quay song song ngược chiều cùng tốc độ là một

chuyển động tịnh tiến Vận tốc tịnh tiến bằng tích véc tơ của véc tơ nối trục quay theo với trục quay tương đối và véc tơ vận tốc góc tương đối, nghĩa là:

2 1 1

u O O  Chú ý: ta có thể giải thích định lý trên một

cách trực tiếp Xét một đoạn thẳng thuộc vật Vì

rằng hai chuyển động quay tương đối và quay

theo có chiều trái nhau và cùng tốc độ, do đó

trong quá trình chuyển động đoạn thẳng không bị

lệch hướng (trong chuyển động tương đối đoạn

thẳng bị quay đi một góc bao nhiêu thì chuyển

động theo đoạn thẳng lại được quay trả lại một

góc bấy nhiêu) Vậy vật có chuyển động tịnh tiến

* Nhận xét

Nếu dựng véc tơ  trên trục quay của chuyển động tổng hợp; biểu diễn cho trục, chiều và tốc độ của chuyển động đó – và xem các véc tơ vận tốc góc biểu thị cho các chuyển động quay – thì ta nhận thấy rằng phép hợp các véc tơ vận tốc góc cho kết quả tương tự như phép hợp hai lực song song; nghĩa là nói chung hai véc tơ vận tốc thì được một véc tơ vận tốc góc:

với tay quay OA của bánh xe I gắn vào mút A của tay

quay và ăn khớp với bánh xe II Cho biết các bánh xe

có bánh kính R1 = 2R2

Bài giải

Chuyển động của bánh xe I đối với tay quay rõ

ràng là một chuyển động quay (vì tâm A gắn cố định

trên tay quay) Tay quay lại quay quanh O Như thế

theo các định lý ở trên, chuyển động của bánh xe I so với mặt bảng cố định chuyển động tuyệt đối cũng là một chuyển động quay Ở đây ta chỉ tìm đại số vận tốc góc của các chuyển động đó

Muốn thế, ta xét đồng thời chuyển động của bánh xe I và II, nhận tay quay làm

R R

o o

R R