Bài toán cực trị số phức trong ôn thi tốt nghiệp THPT năm 2021

Bài toán liên quan đến cực trị của Số phức cũng là một nội dung khá quantrọng trong các đề thi là một trong những bài toán khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định lý, các quy tắc

2 Các giải pháp giải quyết vấn đề 4-18

I ĐẶT VẤN ĐỀ:

1 Lý do chọn đề tài:

Bài toán liên quan đến cực trị của Số phức cũng là một nội dung khá quantrọng trong các đề thi là một trong những bài toán khó vì nó cần đến sự áp dụng linh hoạt của định lý, các quy tắc, các công thức đã học ở lớp dưới, các phương pháp giải mà trong sách giáo khoa Giải tích 12 không có đưa ra.

Hiện nay đối với bài toán tìm điều kiện bài toán cực trị thi theo hình thức trắc nghiệm khách quan,khó khăn lớn nhất là áp lực thời gian, bởi vậy học sinh phải vận dụng cả kiến thức và kỹ năng để tìm ra đáp án đúng trong khoảng thời gian tương đối ngắn, học sinh có nhiều cách làm,không cần trình bày lời giải miễn sao có thể tìm ra đáp án bài toán một cách nhanh nhất

Với mong muốn giúp học sinh có thể tìm ra đáp án bài toán cực trị Số phức một cách nhanh nhất có thể để phù hợp với hình thức thi trắc nghiệm hiên

nay Vì thế tôi chọn đề tài: " Bài toán cực trị Số phức trong ôn thi tốt nghiệp THPT năm 2021 ”.

2- Mục đích nghiên cứu:

Mục đích nghiên cứu của đề tài là xây dựng một hệ thống các bài tậpnhằm định hướng hình thành và phát triển cho học sinh những năng lực, kỹ năngsau đây:

- Năng lực tư duy, năng lực tính toán

- Kỹ năng vận dụng các kiến thức về giải tích lớp 12

- Năng lực sử dụng các công cụ, phương tiện hỗ trợ tính toán

- Năng lực sử dụng ngôn ngữ Toán học

- Rèn luyện, bổ xung , định hướng học sinh vào các chủ đề, chủ điểm mà

đề thi minh họa đưa ra

- Tạo thêm kênh bài tập để học sinh thảo luận trao đổi Qua đó nâng cao kiến thức của mình để áp dụng trong các kỳ thi

3- Đối tượng nghiên cứu:

- Phương pháp điều tra khảo sát thực tế, thu thập thông tin: Điều tra, khảosát thực tế dạy học toán nói chung và dạy học phân môn Giải tích 12 ở trườngTHPT Lê Hồng Phong để từ đó thấy được tầm quan trọng của việc xây dựng hệthống bài tập trong việc nâng cao chất lượng dạy học

- Phương pháp nghiên cứu xây dựng cơ sở lý thuyết: Trên cơ sở tài liệuphân phối chương trình môn học, chuẩn kiến thức - kỹ năng, sách giáo khoaGiải tích 12 - Nâng cao và tài liệu về Dạy học theo định hướng phát triển nănglực học sinh để xây dựng hệ thống bài tập theo mục đích đã đặt ra

- Đưa ra các dạng bài toán tổng quát tìm tham số thỏa điều kiện bài toán cực trị trong chương trình Toán THPT hiện hành, phân tích và đưa ra công thức giải nhanh Sau đó lấy ví dụ minh họa cụ thể

4- Những điểm mới:

4.1 Điểm mới của đề tài.

Sau khi có đề minh họa năm 2021 của Bộ Giáo dục & Đào tạo, tôi nhậnthấy rằng các câu hỏi ở phần VD-VDC đòi hỏi học sinh cần có nhiều bài tập, tàiliệu để làm quen và rèn luyện nhằm phù hợp với đối tượng học sinh khá giỏihọc sinh các lớp chuyên chọn

Nguyên nhân khách quan:

- Do hệ thống kiến thức vừa dài lại vừa khó trong khi trong phân phối thời lượnglại quá ngắn

Nguyên nhân chủ quan:

- Khả năng tự học của học sinh còn thấp, số lượng câu hỏi trong Sách giáo khoaphần này còn hạn chế

4.2 Sáng kiến của đề tài.

Sáng kiến kinh nghiệm này sẽ giúp học sinh tự tin hơn trong việc giải cáccâu hỏi mức độ 9 điểm, 10 điểm trong đề thi Tốt nghiệp Từ đó học sinh không

còn áp lực với các bài toán ở mức độ vận dụng - vận dụng cao, các em làm bài

có hiệu quả hơn

4.3 Giải pháp của đề tài.

- Người giáo viên lên lớp phải có sự chuẩn bị chu đáo, công phu trong cáctình huống đã được lường trước Muốn làm được điều đó đòi hỏi chúng ta phảibắt tay giải các bài toán đó trước tránh cho chúng ta tính ỷ lại hay sao chép máymóc

- Học sinh được tiếp cận với vấn đề một cách tự nhiên, đặt ra các vấn đề cầngiải quyết qua từng ví dụ và định hướng suy luận của giáo viên Từ đó rèn luyện

kỹ năng quan sát phân tích, tìm tòi và nghiên cứu của các em

II NỘI DUNG

1 Thực trạng

1.1 Về phía giáo viên

Sử dụng tương đối tốt các kĩ năng về tình toán và phân dạng các câu hỏitrong mức độ nghiên cứu Tuy nhiên bài toán phần này nhiều nội dung nên việcgiải các bài toán đó còn gặp nhiều khó khăn và bao quát được các dạng câu hỏi

Tài liệu thư viện chưa đủ nhiều nên tài liệu tham khảo còn hạn chế

2 NỘI DUNG ĐỀ TÀI

Dưới đây là một số bài tập của phần mà tôi đã thiết kế và tổ chức dạy học

ở đơn vị công tác:

Dạng 1: Cho số phức z thoả mãn z z 1  z z2 Tìm GTNN của P z z3

Phương pháp: Đặt M z A z ;  1 ;B z 2 ;C z 3 là điểm biểu diễn của các số phức

Gọi M x y A ; ; 0;2 ; B  2;0 lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z i ;2 ; 2

Từ giả thiết  MA MB  M  :x y  0 là đường trung trực của đoạn AB

Tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình

x y

Bài toán 2: Cho số phức z thoả mãn z 4 i  z i Gọi z a bi a b   ;   là sốphức thoả mãn z 1 3i nhỏ nhất Giá trị của biểu thức T  2a 3b là:

A. T 4 B. T 4 C. T 0 D. T 1

Lời giải

Đặt M z A ; 4;1 ; B0; 1  lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức z;4 i i; Khi đó từ giả thiết suy ra MA MB , tập hợp điểm biểu diễn của số phức z là đường trung trực  của AB  đi qua I2;0 và có VTPT n AB     4; 2  

: 2x y 4 0

    

Gọi N1; 3  là điểm biểu diễn của số phức 1 3i

Ta có: z 1 3i MN Do đó z 1 3i nhỏ nhất  MN nhỏ nhất  M là hình chiếu vuông góc của N lên 

x y

Dạng 2: Cho số phức z thoả mãn z z 0 R Tìm GTNN, GTLN của P z z1

Phương pháp: Đặt M z I z   ; 0 ;E z 1 lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức z z z; ; 0 1 Khi đó từ giả thiết z z 0 R  IM  R M thuộc đường tròn tâm

I bán kính R Ta có: P z z1 ME lớn nhất  MEmax và Pmin  MEmin

Khi đó: Pmax IE R và Pmin IE R

Bài toán 3: Cho số phức z thoả mãn iz 3 2 i 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểuthức P  z 1 i

A. Pmin  3 B. P min 13 3  C. P min 2 D. Pmin  10.

Lời giải

Ta có: iz 3 2 i  3 i z. 3i2 3 z 2 3i  3 Tập hợp điểm M biểu diễncủa số phức z là đường tròn tâm I   2; 3 bán kính R 3

Gọi E1;1 là điểm biểu diễn của số phức 1 i  P EM Do đó Pmin EI R  2

Bài toán 4: Cho số phức z thoả mãn z 2 3 i 1 Giá trị lớn nhất của

Gọi M x y ;  là điểm biểu diễn của số phức z trên mặt phẳng toạ độ

Do z 2 3 i  1 M nằm trên đường tròn tâm I2;3, bán kính R 1

Dạng 3: Cho số phức z thoả mãn z z 1  z z2 Tìm GTNN của

Do đó Pmin  IMmin  M là hình chiếu vuông góc của I lên .

2 5

HK  ,IM0 d I ;   3 2

2 2

Dạng 4: Cho số phức z thoả mãn z z 0 R Tìm GTLN, GTNN của biểu thức

z  i   M thuộc đường tròn tâm I , bán kính R 2

Gọi A2;3 ; B0;5 lần lượt là điểm biểu diễn của các số phức 2 3i và 5i

P z  i  z i MA MB

2 2

2

2

AB MH

(với H1; 4 là trung điểm của

AB)

max max

P  HM  HM HI R  8  Pmax  2.82  4 132

Bài toán 8: Cho số phức z thoả mãn

13 3

2

z  i

Gọi z a bi a b   ;   là sốphức thoả mãn biểu thức

T 

13 2

T 

9 2

2 5 4;

2

M M

Dạng 5: Cho hai số phức z z1 ; 2 thoả mãn z1  w 1 R1 và z2  w 2 R2 trong đó

z  R  N thuộc đường tròn tâm K bán kính R2

Ta có: P MN Dựa vào các vị trí tương đối của hai đường tròn để tìm

và  2 suy ra điểm A nằm trên đường tròn tâm I 1 6; 10   và bán kính R 1 4;điểm B nằm trên đường tròn tâm I2 6;3 và bán kính R 2 12

I 2

I 1

B A

Gọi A B, là hai điểm biểu diễn cho hai số phức z1 và z2

+) z1   2 3i   2 A thuộc đường tròn tâm I 2;3, bán kính R 1 2

+) z2   1 2i   1 z2  1 2  i   1 z2  1 2  i   1 z2  1 2  i   1 B

thuộc đường tròn tâm J 1; 2  , bán kính R 2 1

Vì IJ  34  3 R1 R2 nên hai đường tròn I R; 1 và J R; 2 ngoài nhau

Vậy giá trị nhỏ nhất của biểu thức z1  z2 bằng 3 34

Bài toán 12: Cho số phức z thỏa mãn z1 i 1, số phức w thỏa mãn

2 3 2.

w  i  Giá trị nhỏ nhất của biểu thức z w bằng

A 13 3 B 13 3 C 17 3 D 17 3

Lời giải

Gọi A B, là hai điểm biểu diễn cho hai số phức z và w

+) z 1 i  1 A thuộc đường tròn tâm  I 1;1 , bán kính R 1 1

+) w 2 3 i  2 w 2 3 i  2 w 2 3 i  2 w 2 3 i  2 B thuộc đường tròn tâm J 2; 3 , bán kính R 2 2.

Vì IJ  17  3 R1 R2 nên hai đường tròn I R; 1 và J R; 2 ngoài nhau

Dạng 6: Cho hai số phức z z1 ; 2 thoả mãn z1  z0 R và z2  w 1 z2  w 2 , trong

Bài toán 14: Cho hai số phức z z1 , 2 thỏa mãn z  1 5 5 và z2   1 3i z2  3 6  i

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức z1  z2 bằng

A

1 2

B

3

5 2

D

7 2

Khi đó z1  z2 là khoảng cách từ một điểm thuộc d x:8 6y 35 0 tới một điểm

Vậy N thuộc đường thẳng :8x6y35

Dễ thấy đường thẳng  không cắt  C và z z MN

Áp dụng bất đẳng thức tam giác, cho bộ ba điểm I M N, ,  ta có.

Bài toán 16: Cho hai số phức u và v thoả mãn hệ thức 5 u4i1 u 4 và

hay quỹ tích điểm M là đoạn thẳng AB

Gọi N là điểm biểu diễn số phức 2iv, I 2;0

z  iz d I   R    

III.KẾT LUẬN

1 Ý nghĩa, phạm vi áp dụng của đề tài.

Việc phân loại các dạng bài toán đã đem lại hiệu quả cao trong việc học tập vàrèn luyện của học sinh

Học sinh đã nắm được các dạng cơ bản, rèn luyện nhiều các kĩ năng làm bài tập

Sau khi thực nghiệm đề tài này tôi xin đưa ra một số kiến nghị sau:

Cần phát huy tốt việc phân loại các dạng bài tập để học sinh học tập dễ dàng vàhứng thú hơn

Cần cung cấp và cho học sinh làm quen nhiều với dạng toán nâng cao

Do khả năng và thời gian có hạn, kết quả của sáng kiến chỉ dừng lại ở bước đầu,nhiều vấn đề chưa được đi sâu, không tránh khỏi những thiếu sót, kính mongđược góp ý để hoàn thiện đề tài

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác

IV Tài liệu tam khảo

[1] Giải tích 12.

[2] Đề minh họa môn toán 2020.

[3] Đề minh họa môn toán 2021.

[4] Đề minh thi môn toán 2020.