Một trong những ứng dụng quan trọng mà khó có thể làm được khi không có sự góp mặt của nó chính là ứng dụng để tìm GTLN, GTNN của hàm số.. Với mục đích nhằm giúp các em họcsinh giải quyế
Trang 11 MỞ ĐẦU
Ứng dụng của đạo hàm để khảo sát sự biến thiên và vẽ ĐTHS là một trong
những nội dung quan trọng của chương trình giải tích 12 Nội dung của chương
có rất nhiều những ứng dụng vô cùng hay và khiến các dạng bài tập khó trở nên đơn giản hơn Một trong những ứng dụng quan trọng mà khó có thể làm được khi không có sự góp mặt của nó chính là ứng dụng để tìm GTLN, GTNN của
hàm số Với mục đích nhằm giúp các em họcsinh giải quyết tốt các bài toán tìm
GTLN, GTNN của hàm số trong các đề thi THPTQG môn Toán những năm
trước và đề thi tốt nghiệp THPT năm 2020, 2021 tôi chọn sáng kiến: “Phân dạng và phương pháp giải bài tập về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số” Hy vọng với sáng kiến này các em học sinh sẽ có cái nhìn toàn diện và
tự tin hơn khi tiếp cận với các bài toán trong chủ đề trên
1.1 Lý do chọn đề tài.
Tôi chọn đề tài này với mong muốn giúp học sinh có cái nhìn toàn diện và tự tin hơn khi giải các bài toán về GTLN, GTNN của hàm số
1.2 Mục đích nghiên cứu.
Sáng kiến đưa ra một số biện pháp giúp các em học sinh giải quyết tốt các bài toán tìm GTLN, GTNN của hàm số trong các đề thi
1.3 Đối tượng nghiên cứu.
Dựa vào nền tảng là “ Phương pháp giải bài tập về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số” nhằm mục tiêu giúp các em H/S nắm vững các dạng và
hương pháp giải các bài toán thuộc chủ đề trên
1.4 Phương pháp nghiên cứu.
- Phương pháp xây dựng cơ sở lý thuyết
- Phương pháp khảo sát, thu thập thông tin
- Phương pháp thống kê , xử lý số liệu
1.5 Những điểm mới của SKKN
Để hoàn thành được sáng kiến nói trên chúng tôi đã phải nghiên cứu trên các dạng toán liên quan đến các ứng dụng của đạo hàm vàđồ thị của HS
Phạm vi nghiên cứu của sáng kiến là toàn bộ chương I giải tích 12 các bài toán liên quan dến GTLN, GTNN thường xuất hiện trong ĐT HSG Toán, thi
THPTQG những năm trước
2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM
2.1 Cơ sở lý luận để đề xuất sáng kiến
Hệ thống lại cho học sinh những kiến thức cơ bản Phân dạng và chỉ ra các
PP giải vững mỗi dạng bài tập áp dụng Trên cơ sở đó nếu thấy H/S yếu phần nào ta có thể bổ sung kịp thời cùng với sự hướng dẫn, H/S tham khảo tài liệu
Trang 2liên quan đến bài học Giúp cho H/S có những kỹ năng và thao tác tốt khi giải các bài toán liên quan đến GTLN, GTNN của HS dưới hình thức trắc nghiệm và
tự luận
2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến
Chuyên đề khảo sát sự biến thiên và vẽ ĐTHS là chuyên đề quan trọng chiếm điểm số cao nhất trong kỳ thi HSG Toán 12 và thi THPTQG môn Toán những năm trước đây cũng như thi tốt nghiệp THPT năm 2020 Nhưng nó lại là một trong những vấn đề khá nhức nhối với đối tượng học sinh lớp 12 với phần câu liên quan đến tìm GTLN, GTNN của HS Để giúp các em có kiến thức tổng hợp toàn bộ những phương pháp hay nhất về hàm số và những dạng bài tập thường gặp trong các kỳ thi giúp các em có một tâm lý vững vàng trước khi
bước vào mùa thi tôi mạnh dạn đưa ra sáng kiến: “Phân dạng và phương pháp giải bài tập về giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số”
2.3 Các giải pháp đã sử dụng để giải quyết vấn đề
2.3.1 Giải pháp 1: Hệ thống kiến thức cơ bản về GTLN, GTNN
a Khái niệm về GTLN, GTNN của HS
Định nghĩa: Cho HS y=f x( ) xác định trên miền D
+) Số M gọi là GTLN của HS y=f x( ) trên D nếu:
( ) , , ( )
ìï £ " Î ïïí
Kí hiệu: max ( )
x D
Î
D
M = f x
+) Số m gọi là GTNN của HS y=f x( ) trên D nếu:
( ) , , ( )
ìï ³ " Î ïïí
Kí hiệu: min ( )
x D
Î
= hoặc min ( )
D
m= f x
b Quy trình tìm GTLN, GTNN của HS sử dụng BBT.
Giả sử HS y=f x( ) liên tục trên K (K là một khoảng, nửa khoảng hoặc đoạn)
Bước 1 Tính đạo hàm f x¢ ( )
Bước 2 Tìm các nghiệm của f x¢ ( ) và các điểm f x¢ ( )không xác định trên K
Bước 3 Lập BBT của HSf x( ) trên K
Bước 4 Căn cứ vào BBT kết luận min ( ),max ( )
K f x K f x
c Quy trình tìm giá GTLN, GTNN của HS không sử dụng BBT
Trang 3Giả sử HS y=f x( ) liên tục trên K (K là một khoảng, nửa khoảng hoặc đoạn)
Trường hợp 1 Tập K là đoạn [ ; ]a b
Bước 1 Tính đạo hàm f x¢ ( )
Bước 2 Tìm tất cả các điểm x iÎ ( ) (a b i; = 1,2, ,n)sao chof x¢ = ( ) 0i hoặc f x¢ ( )i không xác định
Bước 3 Tính f x f x( ); ( ); ; ( ) 1 2 f x n và f a f b( ); ( ) (1)
Bước 4 Số lớn nhất (nhỏ nhất) trong các số ở (1) là max ( ) ;
a b
M = é ùf x (
;
min ( )
a b
m= é ùf x )
Trường hợp 2 Tập K là khoảng ( ; )a b
Bước 1 Tính đạo hàm f x¢ ( )
Bước 2 Tìm tất cả các điểm x i Î ( ) (a b i; = 1,2, ,n) sao cho f x¢ ( )i =0 hoặc f x¢ ( )i
không xác định
Bước 3 Tính lim ( )
x a
+
®
x b
-®
= , f x f x( ); ( ); ; ( ) 1 2 f x n
Bước 4 So sánh các giá trị tính được và kết luận M =max ( )( ; )a b f x , m=min ( )( ; )a b f x
Chú ý: Nếu GTLN (GTNN) là A hoặc B và không tồn tại x i Î ( ) (a b i; = 1,2, ,n)
để f x( )i =A f x( ( )i =B) thì ta kết luận HS không có GTLN(GTNN) trên khoảng
( ; )a b
2.3.2 Giải pháp 2: Phân dạng và đưa ra phương pháp giải các dạng bài tập cơ bản về GTLN, GTNN.
Dạng 1: Tìm GTLN, GTNN của HS thông qua Bảng biến thiên hoặc đồ thị của hàm số đó.
VD1: Cho HS yf x( ) liên tục trên đoạn 1;3 và có Đ/T
như hình vẽ bên Gọi M m, lần lượt là GTLN và GTNN
của HS đã cho trên đoạn 1;3 Giá trị của M m là:
A 2. B 6. C 5. D 2.
Lời giải: Dựa vào ĐT ta có: M 2;m 4 M m 2.
VD2: Cho HS yf x liên tục trên và có Đ/T như hình bên Tổng GTLN, GTNN của HS 2sin cos 3
2 2
bằng:
A 6 B 8
Trang 4C 4 D 5.
Lời giải: Đặt 2sin cos 3 sinx 3 2 4
Quan sát ĐT HS yf t trên đoạn 2;4 thì max2;4 f t 5khi t 4,min2;4 f t 1khi t 2
min ( ) 2 sinx 1 2
2
g x x k k và max ( ) 5 sinx 1 2 ( )
2
Vậy max ( ) min ( ) 1 5 6g x g x Chọn A
VD3: Cho HS y f x có Đ/T như hình vẽ Gọi M m, lần lượt
là GTLN và GTNN của HS y32 2f x
trên đoạn 0;2 Khi đó
M m là: A 3 B 1 C 2 D 0
Lời giải: Ta có ' 3 '
x
g x f
, ' 0 ' 0 0
4 2
x x
x
Từ đó ta lập BBT của HS g x trên đoạn 0;2 như sau:
x 0 2
g’(x) 0 -
g(x) g(0)
g(2) Vậy (0) 3 (0) 3, (2) 3 (1) 0 3 2 2 M g f mg f Mm Vậy M 3,m 0 M m 3 VD4: Cho HS y f x ( ) xác định, liên tục trên và có BBT:
x 1
f’(x) + 0 -
f( x)
2
1
1
Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A max f x 2.
D max f x 1.
Lời giải: Dựa vào BBT ta có max f x 2.
Dạng 2: Tìm GTLN, GTNN của HS trên một đoạn hoặc một khoảng hoặc nửa khoảng.
VD1: ĐT THPTQG 2018 GTLN của HS 4 2
y x x trên đoạn 2;3 bằng
Lời giải: HS y x 4 4x2 9 liên tục trên đoạn 2;3
Ta có: y' 4 x3 8 ;x
x
Trang 5y(0) 9; ( y 2) 5; ( 2) 9; (3) 54. y y
VD2: ĐT THPTQG 2018 GTNN của HS y=x3 + 2x2 - 7x trên đoạn [0;4] bằng:
A - 259 B 68 C 0 D - 4
Lời giải: HS y=x3 + 2x2 - 7x liên tục trên đoạn [0; 4]
Ta có: y' 3 x2 4 ;x
2
x
y(0) 0; (4) 68 y
VD3: Tìm GTNN của HS 2 1 22
y
A miny 2 3 2 B min 2 2.
2
miny 2 3.
Nhận xét: Bài toán yêu cầu tìm GTNN của HS mà không chỉ rõ tìm trên tập hợp
nào thì ta sẽ tìm GTNN của HS trên TXĐ của HS đó
Lời giải: TXĐ: D 1;1 Đặt t x 1 x2 ,x 1;1
2
; ' 0 1
x
x
1
2
2 1 t’ + 0
-t
2 1
1 1; 2
t
Ta có:
2
2
4 1
2
y
t
2 2 ( 3 2) 2( 3 2), ( 1) 0, ( 2)
2
x
y
VD4: GTNN của HS y x 5 1
x
trên khoảng (0; ) là:
A (0; min ( ) ) f x 3.
B (0; min )f x( ) 1.
C (0;min)f x( ) 0. D (0;min )f x( ) 7.
Bài giải: HS đã cho liên tục trên khoảng (0; )
Ta có: y 1 12 x221;
2
1 (0; ) (0; )
x
2
1 ' 1
t
2;3
maxy 54.
0;4
miny 0.
2
2
t
t
Trang 6x 0 1
y’ - 0 +
y
-3
Từ BBT của HS suy ra:
VD5: Cho x y , 0 thỏa mãn x y 4 Tìm GTLN của biểu thứcS x3 1 y3 1
A. maxS 49. B maxS 1. C max 1.
3
maxS 8.
Nhận xét: Biểu thức cần tim GTLN, GTNN chứa hai biến x y, Để giải bài toán này ta phải qui về một biến bằng cách đặt ẩn phụ Sau đây là lời giải bài toán:
2
4
x y
t xy t Ta có S xy 3 x y x y 23xy 1 t3 12 63t
Xét HSf t t3 12 63,t t0;4 Ta cóf t' 3t2 12 0 t 0;4 f t ĐB trên 0; 4
Do đó 0;4
4 0 4
4
x y
x y
y
0;4
2
2
x
y
VD6: Cho x, y 0 thỏa mãn 2 2
8
x y Tìm GTNN của S x1 y1
A. min 4.
3
3
Lời giải: Đặt t x y, ta có 2 2 2
x y x y t 4, x y 2 x2y22xy x 2y2 8 t 2 2
Suy ra 2 2 t 4 Lại có 2 2 2 2
8
Ta có biến đổi sau đâyS x x 11 y y 11
2 2
1
x y xy
2
8
2
t t t t t
8 2
2 6
t
Xét HS 2
8 , 2 2;4
2 6
t
Ta có
Suy ra f t( ) NB trên 2 2; 4
Do đó
2 2;4
2
3
max f t f 2 2 2
2 2;4
4
2 min
3
, dấu bằng xảy ra
2 4
x
y
x y
2 3
x S
y
(0; min ( ) ) f x f(1) 3.
Trang 7VD7: (ĐT ĐH Khối B– 2011) Cho a, b là các số thực dương TM
2 2
2(a b ) ab (a b ab)( 2) GTNN m của biểu thức
4 a b 9 a b
P
A m 10. B 85.
4
m C 23.
4
Lời giải: Với a>0, b>0 ta có: 2(a2 b2 ) ab (a b ab )( 2)
2(a b ) ab a b ab 2(a b)
2 a b 1 (a b) 2
Áp dụng bất đẳng thức Cô–si ta được: (a b) 2 1 1 2 2(a b) 1 1 2 2 a b 2
2
b a
, t 52 Ta được:
4( 3 ) 9( 2) 4 9 12 18
P t t t t t t Xét HS: f t( ) 4 t3 9t2 12 18t với 5
2
t Ta có:
( ) 6(2 3 2) 0,
2
f t t t t Suy ra 5;
2
min ( )
Vậy min 23
4
P khi và chỉ khi a b b a 52 và a b 2 1 1
a b
( ; ) (2;1)a b hoặc ( ; ) (1; 2)a b
Dạng 3 : Tìm ĐK để HS cho trước có GTLN (GTNN) thỏa mãn ĐK cho trước.
* Hàm số không chứa dấu giá trị tuyệt đối.
VD1: Tìm m để GTNN của HS y x 3 3mx2 3m x m2 2 trên [0;1] bằng 1
m= 1
[0;1]
Do đó min 0;1 y 1 1 m 2 m 3
VD2: Tìm m để GTLN của HS số y x 4 2m x2 2 m 1 trên [0;1] bằng 1
A 1; 1
2
D m=3.
[0;1]
Do đó 0;1 2
1
2
y m m m m Chọn A
VD3: Tìm m để HS 2
1
mx y x
đạt GTLN tại x 1 trên đoạn 2; 2
A m 0 B m 2 C m 0 D m 2
Trang 8Lời giải: Ta có
2
2
2
1
x
Như vậy, HS 2
1
mx y x
đạt GTLN tại x 1 khi m>0 Chọn A
Nhận xét: Ta có thể dùng máy tính, thử đáp án và suy ra m>0.
VD4: Cho HS y f x có đạo hàm trên và có Đ/T như hình vẽ
Đặt y g x f 2x3 x 1m Tìm m để max0;1 g x 10
1
m
Lời giải: Cách 1: HS y f x có dạng: y ax bx cx d 3 2 Ta có: f x 3ax2 2bx c Theo Đ/T, hai điểm A 1;3 và B1; 1 là hai điểm cực trị của Đ/T HSyf x
Ta có hệ:
3 1
a b c d
a b c d
1 0 3 1
a b c d
Do đó: f x x3 3x 1 Ta có: f x 3x2 3; 0 1
1
x
x
Lại có: g x 6x2 1 f 2x x3 1, g x 0 f2x3 x 1 0
3 3
0
0
x
x x
x x
x x
Với x 0 0;1 và TM 3
2x x 1 1
Ta có: g 0 f 1 m 3 m; g 1 f 2 m 3 m; g x 0 f 1 m 1 m Theo đề bài, ta có: 3 m 10 m 13 Chọn A
Cách 2: Đặt t 2x3 x 1,x 0;1 t x' 6x2 1 0, x 0;1 HS t(x) ĐB trên 0;1
Dó đó x 0;1 t 1;2 Từ Đ/T HS ta có m[ 1;2] ax ( ) 3f t m[ 1;2] ax[ ( )f t m]=3+m
Suy ra max g x0;1 max f t1;2 m 3 m 3m10 m13 Chọn A
* Hàm số có chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Bài toán 1: Cho HS y=f(x) Tìm m để:
a) m ax ( ) ; f x m a a( 0)
b) max ( ) ; f x m
không vượt quá M cho trước
Cách giải: Tìm m f x ax ( ) ; K; min ( ) ; f x k.
Khi đó m ax ( ); f x m max K m k m;
a) Xét 2 TH:
TH1:
; ax ( ) K m a
b) Để max ( ) ; f x m M m k M M k m M K
m K M
Sau đây là VD minh họa:
VD1: Cho HS y f x ( ) ax 2 bx c a ( 0) có Đ/T như hình vẽ
Trang 9Tính tổng tất cả các giá trị nguyên của tham số m sao cho
GTLN của HS g x( ) f x m( )
trên đoạn
0;4 bằng 9
Lời giải: Từ ĐT HS yf x( ) ax 2 bx c a ( 0) ta có ĐT HS nhận đường thẳng x=2 làm trục đối xứng mà f(0) 5 f(4) 5. Vậy1 f x( ) 5 x 0;4
Xét HS g x( ) f x( ) m x, 0;4 Ta có m[0;4]ax ( )g x max m1 ,m5
TH 1:
[0;4]
10
ax ( ) 9 1 9
m
TH 2:
[0;4]
4
m
Vậy tổng các giá trị nguyên của m là: -10+4=6
VD2: Cho HSf x( ) x3 3 x2 Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m sao cho GTLN của HS y f (sinx 1) m bằng 4 Tổng các phần tử của tập S bằng:
D 6.
Lời giải: Đặt tsinx 1( t0;2 ). Khi đó yf(sinx 1) m f t( ) m t2 3t m
Xét HS liên tục trên đoạn [0;2] có
'( ) 0 3 3 0
1 [0;2]
t
t
Ta có
Khi đó:
TH 1:
6
2 2
2 4
0
m
m m
m
m
TH 2:
2
2 6
0
m
m m
m
m
Vậy
VD3: Cho HS 1 4 3 2
4
y x x x m Tính tổng các số nguyên m để m[ 1;2] axy 11.
Lời giải: Xét HS 1 4 3 2
4
f x x x x m x Ta có f x( ) liên tục trên đoạn 1;2,
2
'( ) 3 3
u t t
3
( ) 3
u t t t m
[0;2]
[0;2]
(0) ; (1) 2; (2) 2 max ( ) 2,min ( ) 2.
u m u m u m u x m u x m
ax y ax 1 , 2
2;2 2 2 0
Trang 10
3 2
0 1;2 '( ) 3 2 ; '( ) 0 1 1;2
2 1;2
x
x
[-1;2]
[-1;2]
11
35
11
11 11
9 9
8 4
m
m m
m
m
m m
Chọn C
Bài toán 2: a) Tìm m để:
a) min ( ) ; f x m a a( 0)
b) min ( ) ; f x m a
(a cho trước)
Cách giải: a) Tìm m f x K ax ( ) ; ; min ( ) ; f x k K k( ).
Để min ( ) ; ( 0) 0
0
f x m a a
b)Tìm m f x ; ax ( ) K; min ( ) ; f x k.
Khi đó ;
0 min ( )
0 ( )( ) 0
f x m a
VD1: Tính tích tất cả các giá trị của m để HS 4 3 2
3
y x x x m có GTNN trên đoạn 0;3 bằng 18 là:
Lời giải: Xét HS 4 3 2
( ) 6 8 , 0;3 3
f x x x x m x Ta có f x( )là HS liên tục trên đoạn 0;3 ,
2
'( ) 4 12 8;
1 0;3 '( ) 0
2 0;3
x
f x
x
; (0) , (1) 10 ; (2) 8 ; (3) 6
Khi đó: m[0;3]ax ( )f x m 6; min ( )[0;3] f x m. Để [0;3]
18
min 18
24
6 18
6 0
m
y
m m
m
Vậy tích các giá trị m thỏa mãn là 24.18 432. Chọn C
f x x x m Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị của tham
số m sao cho GTNN của HS trên đoạn 0;2 bằng 18 Tổng các phần tử của S là:
Trang 11Lời giải: Xét HS g x( ) x4 2x2 m 1,x0;2 Ta có g x( ) liên tục trên đoạn 0;2,
3
0 0; 2
1 0; 2
x
x
[0;2]
[0;2]
(0) 1, (1) 2, (2) 7 ax ( ) 7, min ( ) 2
g m g m g m m g x m g x m
[0;2]
2 0
25
7 0
7 18
m
m m
m
Chọn A
VD3: Tính tổng các giá trị nguyên của tham số m sao cho GTNN của HS
yx m x m trên đoạn 2;m 1 nhỏ hơn 2020
3412020
Lời giải: Xét HS f x( ) x2 (m 1)x m x , 2;m 1 ( m 6) Ta có g x( )liên tục trên đoạn
0;2
1
2
m
2
[2; 1]
(2) 2 , ( ) , ( 1) 2 ax ( ) ax (2); ( ); ( 1) 2 ,
2
[2; 1]
min ( ) min (2); ( ); ( 1)
m
2 ( 1)
4
m
y m m
Để miny 2020 2 m 2020 2018 m 2022 Do m ,m 6 m7;8; ;2021
nên tổng các giá trị của m là 7 2021 2015 2043210
2
Bài toán 3: Tìm m để m ax ( ) ; f x m
hoặc min ( ) ; f x m
đạt GTNN
Cách giải: Tìm m f x K ax ( ) ; ; min ( ) ; f x k K k( ).
*) Nếu yêu cầu tìm m để m ax ( ) ; f x m đạt GTNN thì
2
K k
m Khi đó GTNN của max ( ) ; f x m
là:
2
K k
*) Nếu yêu cầu tìm m để min ( ) ; f x m
đạt GTNN thì (m K m k )( ) 0 K m k.
Khi đó GTNN của min ( ) ; f x m
là 0
VD1: Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để GTLN của HS
30
y x x x m trên đoạn 0;2 đạt GTNN?
A 2 B 3 C 0 D 1.