Nâng cao hiệu quả dạy và học chủ đề ứng dụng tích phân thông qua hệ thống bài tập liên hệ thực tiễn tại trường THPT tĩnh gia 1

Trong các sách giáo khoa môn Toán và các tài liệu thamkhảo về Toán thường chỉ tập trung chú ý những vấn đề, những bài toán trong nội bộ Toán học; số lượng ví dụ, bài tập Toán có nội dung

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Toán học có nguồn gốc thực tiễn và là "chìa khoá" trong hầu hết các hoạt độngcủa con người Toán học là kết quả của sự trừu tượng hoá các sự vật hiện tượng trongthực tiễn trên những bình diện khác nhau và có vai trò rất quan trọng trong việc thựchiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông Mặc dù là ngành khoa học có tính trừutượng cao nhưng Toán học có mối liên hệ chặt chẽ với thực tiễn và có thể ứng dụngrộng rãi trong nhiều lĩnh vực khác nhau: là công cụ để học tập các môn học trong nhàtrường, nghiên cứu nhiều ngành khoa học và là công cụ để hoạt động trong sản xuất

và đời sống thực tế Trong thư gửi các bạn trẻ yêu toán, thủ tướng Phạm Văn Đồng đã

nhấn mạnh: "Dù các bạn phục vụ ở nghành nào, trong công tác nào, thì các kiến thức

và phương pháp toán cũng cần cho các bạn" Toán học có liên hệ mật thiết với thực

tiễn và có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau của khoa học, côngnghệ cũng như trong sản xuất và đời sống Với vai trò đặc biệt, Toán học trở nênthiết yếu đối với mọi ngành khoa học, góp phần làm cho đời sống xã hội ngày cànghiện đại và văn minh hơn Bởi vậy, việc rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụngkiến thức Toán học vào thực tiễn là điều cần thiết đối với sự phát triển của xã hội

và phù hợp với mục tiêu của giáo dục Toán học

Những ứng dụng của Toán học vào thực tiễn trong Chương trình và sách giáokhoa, cũng như trong thực tế dạy học Toán chưa được quan tâm một cách đúngmức và thường xuyên Trong các sách giáo khoa môn Toán và các tài liệu thamkhảo về Toán thường chỉ tập trung chú ý những vấn đề, những bài toán trong nội

bộ Toán học; số lượng ví dụ, bài tập Toán có nội dung liên môn và thực tế trongcác sách giáo khoa Đại số THPT và Giải tích để học sinh học và rèn luyện còn rất

ít Một vấn đề quan trọng nữa là trong thực tế dạy Toán ở trường phổ thông, cácgiáo viên không thường xuyên rèn luyện cho học sinh thực hiện những ứng dụng

của Toán học vào thực tiễn mà theo Nguyễn Cảnh Toàn đó là kiểu dạy Toán ''xa

rời cuộc sống đời thường'' cần phải thay đổi.

Việc tăng cường rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán học

để giải quyết các bài toán có nội dung thực tiễn là rất thiết thực và có vai trò quantrọng trong hoàn cảnh giáo dục của nước ta Trong thời gian gần đây, với hình thứcthi trắc nghiệm các dạng bài tập vận dụng giải toán thực tế được khai thác nhiềuhơn Chủ đề ứng dụng tích phân là dạng toán hay vì được ứng dụng rất hiệu quảtrong nhiều bài toán thực tế nhưng khó đối với học sinh bước đầu làm quen do họcsinh lúng túng với những khái niệm mới cùng với áp lực công thức có tính máymóc Việc xây dựng một hệ thống bài tập có tính gần gũi, gắn liền với những tìnhhuống thực tế hằng ngày phần nào đó giúp các em tự tin hơn trong việc tiếp cậndạng toán này

Vì những lí do trên đây tôi chọn đề tài là: “Nâng cao hiệu quả dạy và học chủ đề ứng dụng tích phân thông qua hệ thống bài tập liên hệ thực tiễn tại trường THPT Tĩnh Gia 1”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của đề tài là tìm hiểu mối liên hệ của một số kiến thức chủ đề Ứngdụng tích phân trong chương trình Giải tích 12 và xây dựng hệ thống bài tập liên hệthực tiễn tại trường THPT Tĩnh Gia 1 trong việc xây dựng, củng cố và ôn tập nhằmgóp phần nâng cao hứng thú học tập của học sinh và hiệu quả dạy học trong mỗitiết học

Các nội dung trong đề tài giúp học sinh có cái nhìn toàn diện về bài toán ứngdụng tích phân cũng như rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toán

để giải quyết một số bài toán có nội dung thực tiễn

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Đề tài đựơc nghiên cứu thực hiện tại trường THPT Tĩnh Gia 1 trong quá trìnhdạy và học chủ đề Ứng dụng tích phân chương trình Giải tích 12 Trên cơ sở lýthuyết cơ bản, bằng việc khai thác từ các tình huống thực tiễn xây dựng hệ thốngbài tập để học sinh giải quyết củng cố kiến thức đã học

Đề tài được thử nghiệm ở lớp 12A2, 12A6 trường THPT Tĩnh Gia 1 năm học2020-2021

1.5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết và thực nghiệm

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

2.1 Cơ sở lý luận:

Phép tính tích phân là một phần quan trọng của giải tích toán học Nhữngngười mới bắt đầu làm quen với tích phân thường gặp một số khó khăn hoặc chưahiểu một cách cặn kẽ, đặc biệt chưa vận dụng linh hoạt vào thực tế Trong thực tế

có nhiều bài toán cần đến sự can thiệp của phép toán tích phân

Kiến thức trọng tâm về ứng dụng tích phân bao gồm:

Bài toán 1: Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số yf x( ) liên tục trên

đoạn a b;  , trục hoành và hai đường thẳng x a , x b được xác định:

y f x

y 0 H

Bài toán 3: Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường x g y ( ), x h y ( ) và

hai đường thẳng y c , y d được xác định:

Bài toán 1: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi

các đường yf x( ), trục hoành và hai đường thẳng x a , x b quanh trục Ox:

( ): ( )( ):

V f x dx

a

 ( )

y f x y

Bài toán 2: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi

các đường x g y ( ), trục hoành và hai đường thẳng y c , y d quanh trục Oy:

V g y dy

Bài toán 3: Thể tích khối tròn xoay được sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi

các đường y f x( ),y g x ( ) và hai đường thẳng x a , x b quanh trục Ox:

các em hay nhầm lẫn dẫn đến làm sai kết quả, đặc biệt là những bài toán cần cónhững hình vẽ để chia nhỏ mới có thể tính được Sách giáo khoa lại có rất ít ví dụminh họa chi tiết để học sinh có thể tránh “ những sai lầm “ đó Đa số học sinh còn

bế tắc khi gặp bài toán ứng dụng tích phân mà yêu cầu phải vẽ hình hoặc vận dụngvào thực tế Đặc biệt, cấu trúc đề thi tốt nghiệp THPT hầu hết đều có mặt bài tậpvận dụng thực tế, nếu không rèn luyện các em sẽ khó hình thành kỉ năng, kỉ xảotrong việc giải bài tập giải quyết vấn đề thực tế

Vì vậy đề tài là cần thiết, phù hợp đối với giáo viên trực tiếp giảng dạy, là tàiliệu tham khảo hữu ích cho học sinh góp phần chuẩn bị cho các em một kiến thứcvững vàng và đạt kết quả cao trong kì thi tốt nghiệp THPTQG

2.3 Một số biện pháp

2.3.1 Ứng dụng tích phân tính diện tích hình phẳng giới hạn

Bài 1: Trong chương trình văn nghệ chào mừng “Thành lập Thị xã Nghi Sơn”

được tổ chức tại trường THPT Tĩnh Gia 1, Đoàn trường có thực hiện một dự án ảnhtrưng bày trên một pano có dạng parabol như hình vẽ Biết rằng Đoàn trường sẽyêu cầu các lớp gửi hình dự thi và dán lên khu vực hình chữ nhật ABCD, phần cònlại sẽ được trang trí hoa văn cho phù hợp Chi phí dán hoa văn là 200.000 đồng chomột m 2 bảng Hỏi chi phí thấp nhất cho việc hoàn tất hoa văn trên pano sẽ là baonhiêu (làm tròn đến hàng nghìn)?

C D

2

y ax b.Parabol cắt trục tung tại điểm 0;4 và cắt trục hoành tại 2;0 nên:

a b

4 m

4 m

22



x y

O

4 3

x x

.Gọi C t ;0  2

;4

B t t

với 0  t 2 Ta có CD 2t và BC  4 t2 Diện tích hình chữ nhật ABCD là S2 CD BC  2 4t  t2  2t3  8t

Diện tích phần trang trí hoa văn là S S1  S2 32  3 

Như vậy, diện tích phần trang trí nhỏ nhất là bằng

2

96 32 3

m 9

ABCD có chiều cao BC 6 m, chiều dài

12

CD m (hình vẽ bên) Cho biết MNEF

là hình chữ nhật cóMN  4 m; cung EIFcóhình dạng là một phần của cung parabol

C D

E F

N M

12 m

6 m

4 m

I

có đỉnh I là trung điểm của cạnh AB và đi qua hai điểm C, D Kinh phí làm bứctranh là 900.000đồng/m2.

Hỏi công ty X cần bao nhiêu tiền để làm bức tranh đó ?

A 20.400.000 đồng B 20.600.000 đồng.

C 20.800.000 đồng D 21.200.000 đồng

Bài 2: Một khu vực khuôn

viên sân trường THPT Tĩnh

Gia 1 có chiều dài 100 và

chiều rộng là 60m nhà trường

làm một con đường nằm trong

sân (như hình vẽ) Biết rằng

viền ngoài và viền trong của

con đường là hai đường elip,

Elip của đường viền ngoài có

trục lớn và trục bé lần lượt song song với các cạnh hình chữ nhật và chiều rộng củamặt đường là 2m Kinh phí cho mỗi m2 làm đường 600.000 đồng Tính tổng số tiềnlàm con đường đó (Số tiền được làm tròn đến hàng nghìn)

Xét hệ trục tọa độ Oxy đặt gốc tọa độ

O vào tâm của hình Elip

Phương trình Elip của đường viềnngoài của con đường là  

 

2

2 2

Gọi S1 là diện tích của  E1 và bằng hai lần diện tích phần hình phẳng giới hạn bởitrục hoành và đồ thị hàm số yf x1  Gọi S2 là diện tích của E2 và bằng hai lầndiện tích phần hình phẳng giới hạn bởi trục hoành và đồ thị hàm số yf x2 .

Gọi S là diện tích con đường

Parabol có hàm số dạng y ax 2bx c có đỉnh là gốc tọa độ và đi qua điểm B2;2nên có phương trình

2 1 2

y x

Đường tròn bồn hoa có tâm là gốc tọa độ và bán kính OB 2 2 nên có phươngtrình là x2y2 8 Do ta chỉ xét nhánh trên của đường tròn nên ta chọn hàm sốnhánh trên là y 8 x2

Vậy diện tích phần

2

1 2

chiều dài 50 m Để giảm bớt kinh phí cho việc trồng

cỏ nhân tạo, trường chia sân bóng ra làm hai phần

(tô màu và không tô màu) như hình vẽ

- Phần tô màu gồm hai miền diện tích bằng nhau và

đường cong AIB là một parabol có đỉnh I.

- Phần tô màu được trồng cỏ nhân tạo với giá 130 nghìn đồng/m 2 và phần còn lạiđược trồng cỏ nhân tạo với giá 90 nghìn đồng/m 2

Hỏi trường phải trả bao nhiêu tiền để trồng cỏ nhân tạo cho sân bóng?

A 165 triệu đồng B 151 triệu đồng

C 195 triệu đồng D 135 triệu đồng

Lời giải

Chọn hệ trục tọa độ Oxy như hình vẽ, O I

Khi đó, đường cong AIB là hình phẳng giới hạn

bởi các đường parabol

2 2 45

y x

và đường thẳng10

y 

Phương trình hoành độ giao điểm

2 2

45x   x

Diện tích phần tô màu là:  

15

1 15

Phần không tô màu có diện tích là:  2

Bài 4: Một khu vực khuôn viên sân trường THPT

Tĩnh Gia 1 được lát bằng những viên gạch hoa hình

vuông cạnh 40 cm được thiết kế như hình bên dưới

Diện tích mỗi cánh hoa (phần tô đậm) bằng

Diện tích một cánh hoa là diện tích hình phẳng

được tính theo công thức sau:

20

2 0

y = 20x

y = 1

20x2

 cm 2.

Bài tập tương tự: Một hoa văn trang trí được tạo ra từ

một miếng bìa mỏng hình vuông cạnh bằng 10 cm

bằng cách khoét đi bốn phần bằng nhau có hình dạng

parabol như hình bên Biết AB 5cm, OH 4 cm Tính

diện tích bề mặt hoa văn đó

P y x  x

.Diện tích hình phẳng giới hạn bởi

160 4

3

S  S 2

cm Diện tích của hình vuông là: S  hv 100 cm2

Vậy diện tích bề mặt hoa văn là:

Bài 5: Cổng chính trường THPT Tĩnh Gia 1

được thiết kế như hình vẽ, vòm cổng có hình

dạng là một parabol Giá 1m2 cửa Inox là

1.660.000 đồng Cửa Inox có giá (nghìn đồng)

là:

A 6500

.Vậy giá tiền cửa sắt là:

55

x 1.660.000 15.217.000

Bài toán 2: Úng dụng tính thể tích vật thể

Bài 1: Trong chương trình nông thôn mới, tại phường Hải Hòa, Thị xã Nghi Sơn có

xây một cây cầu bằng bê tông như hình vẽ Tính thể tích khối bê tông để đổ đủ câycầu (Đường cong trong hình vẽ là các đường Parabol)

Hướng dẫn giải

Chọn hệ trục Oxy như hình vẽ

0,5m 19m 0,5m

5m

2m 0,5m

Ta có

Gọi  P1 :y ax 2c là Parabol đi qua hai điểm  

19

;0 , 0; 2 2

8 19

361 2

361 2

2

a a

b b

1 5

y x

Diện tích phần mặt cắt tínhnhư sau:

4

2 4

64

2 dm

1m

40cm

30 30cm

y

x

.Thiết diện vuông góc với trục và cách đều hai đáy là hình tròn

40 250

y x 

.Thể tích của trống là

2 50

A 425162lít B 212581lít C 212,6lít D 425, 2 lít

Lời giải

.Đơn vị tính là dm

Gọi  P x ay:  2by c quaA4;0 , B3;5 , C3; 5 

1

4 dy 425, 2 425, 2 25

Các tiềm năng ứng dụng và ý nghĩa to lớn của những bài toán có nội dungthực tiễn được gợi mở và dần được củng cố bằng Hệ thống các bài toán có nội dungthực tiễn đa dạng, phong phú Điều đó kích thích hứng thú của cả thầy và trò trongthời gian thực nghiệm Nhận định chung cho rằng, điều khó khăn nhất và có thểvượt qua – nếu ý tưởng này được triển khai về sau – là lựa chọn được một Hệ thốngbài tập có nội dung thực tiễn cho mỗi tiết học, để cùng một lúc đạt được nhiều mụcđích dạy học như đề tài đã đặt ra

2.4.2 Một số kết quả định lượng

Việc phân tích định lượng dựa vào kết quả kiểm tra trong đợt thực nghiệm tạihai lớp thực nghiệm và đối chứng, nhằm minh họa bước đầu kiểm nghiệm tính khảthi, hiệu quả của việc lựa chọn hệ thống bài tập có nội dung thực tiễn

Trong quá trình thực nghiệm, tôi đã tiến hành một bài kiểm tra để đánh giá

Đề gồm 5 câu với 5 tình huống giải quyết thực tế

Thời gian 45 phút để học sinh trình bày ngắn gọn đưa ra đáp án trắc nghiệm.Đối tượng tham gia kiểm tra gồm 2 lớp là

Lớp 12A2 là lớp thực nghiệm được triển khai hệ thống bài tập đầy đủ, củng cốkiến thức chủ đề ứng dụng tích phân

Lớp 12A6 là lớp đối chứng chưa được củng cố qua hệ thống bài tập thực tiễn,nội dung giảng dạy vừa đủ theo nội dung sách

giáo khoa và tài liệu cơ bản

Câu 1: Vòm cửa lớn của một trung tâm văn hoá

có dạng hình Parabol Người ta dự định lắp cửa

kính cường lực cho vòm cửa này Hãy tính diện tích mặt kính cần lắp vào biết rằngvòm cửa cao 8m và rộng8m (như hình vẽ)∙.

A 131 2

2 28 ( )

Câu 2: Chướng ngại vật “tường cong” trong

một sân thi đấu X-Game là một khối bê tông

có chiều cao từ mặt đất lên là 3,5m Giao củamặt tường cong và mặt đất là đoạn thẳng

2 m

AB  Thiết diện của khối tường cong cắtbởi mặt phẳng vuông góc với AB tại A là mộthình tam giác vuông cong ACE với AC 4 m,3,5m

CE  và cạnh cong AE nằm trên mộtđường parabol có trục đối xứng vuông

góc với mặt đất Tại vị trí M là trung điểm của AC thì tường cong có độ cao 1m(xem hình minh họa bên) Tính thể tích bê tông cần sử dụng để tạo nên khối tườngcong đó

A 9,75m3 B.10,5m3

C 10 m3 D 10, 25m3

Câu 3: Một cái thùng đựng dầu có thiết diện ngang (mặt trong của thùng) là một

đường elip có trục lớn bằng 1m, trục bé bằng 0,8m, chiều dài (mặt trong của thùng)bằng 3m Đươc đặt sao cho trục bé nằm theo phương thẳng đứng (như hình bên).Biết chiều cao của dầu hiện có trong thùng (tính từ đáy thùng đến mặt dầu) là 0,6m.Tính thể tích V của dầu có trong thùng (Kết quả làm tròn đến phần trăm)

A V 1,52m3 B V 1,31m3 C V 1, 27m3 D V 1,19m3Câu 4 : Người thợ gốm làm cái chum từ một khối cầu có bán kính 5dm bằng cáchcắt bỏ hai chỏm cầu đối nhau Tính thể tích của cái chum biết chiều cao của nóbằng 6dm (quy tròn 2 chữ số thập phân).

A 135,02dm3 B 104,67 dm3

A

B

C M

E

3,5m

4 m

C 428,74dm3 D 414,69dm3.

Câu 5: Thị xã Nghi Sơn định xây dựng một cây cầu bắc ngang con sông dài 500m,

biết rằng người ta định xây cầu có 10 nhịp cầu hình dạng parabol, mỗi nhịp cáchnhau 40m Biết hai bên đầu cầu và giữa nhịp nối người ta xây một chân trụ rộng5m Bề dày nhịp cầu không đổi là 20cm Biết một nhịp cầu như hình vẽ Hỏi lượng

bê tông để xây các nhịp cầu là bao nhiêu ( bỏ qua diện tích cốt sắt trong mỗi nhịpcầu)

3 KẾT LUẬN, KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận

Qua đề tài tôi đã thấy được việc đưa các bài toán có nội dung thực tiễn vàogiảng dạy đã tăng được tính hứng thú, tích cực của học sinh, từ đó nâng cao hiệuquả học tập, góp phần rèn luyện cho học sinh năng lực vận dụng kiến thức Toánhọc vào thực tiễn nói chung

Số lượng và mức độ các bài toán có nội dung thực tiễn được lựa chọn và cânnhắc thận trọng, được đưa vào giảng dạy một cách phù hợp, có chú ý nâng cao dầntính tích cực và độc lập của học sinh, nên học sinh tiếp thu tốt, tích cực tham gialuyện tập và đạt kết quả tốt

Phương pháp giảng dạy các bài toán có nội dung thực tiễn đã trình bày ở Mục2.3, trên cơ sở kế thừa và phát huy những kinh nghiệm dạy học tiên tiến, đượcchuyển giao cho giáo viên thực nghiệm một cách thuận lợi và được vận dụng mộtcách sinh động, không gặp phải những trở ngại gì lớn và các mục đích dạy họcđược thực hiện một cách toàn diện, vững chắc

Tôi đã tiến hành trao đổi, thảo luận với các thầy cô trong tổ Toán để chia sẻnhững kinh nghiệm, tiếp thu nghiêm túc sự đóng góp ý kiến của đồng nghiệp đểhoàn thiện hơn đề tài nghiên cứu; để đề tài trở thành tài liệu sử dụng trong việc ônthi tốt nghiệp THPT một cách có hiệu quả

3.2 Kiến nghị

3.2.1 Đối với các em học sinh

Phải có tinh thần học tập nghiêm túc, cầu tiến bộ Luôn nêu cao tinh thần tựhọc và rèn luyện Có kiến thức tổng hợp, biết vận dụng kiến thức của các môn họckhác nhau trong việc giải quyết một vấn đề, đặc biệt tinh thần tự học có như vậymới đáp ứng được hình thức thi thi trắc nghiệm đòi hỏi kỹ năng vận dụng kiến thứclinh hoạt

3.2.2 Đối với giáo viên giảng dạy

Luôn nêu cao tinh thần tự học và sáng tạo; không ngừng nghiên cứu tìm tòinhững phương pháp mới hữu ích trong việc truyền thụ tri thức cho các em học sinh.Các thầy cô phải là những người nhiệt huyết, tận tâm, hết lòng vì những học tròthân yêu của mình Để nâng cao chất lượng dạy và học mỗi thầy cô giáo phải luôncoi trọng việc xây dựng hệ thống bài tập phù hợp trong mỗi buổi lên lớp, duy trìđược sự hứng thú trong học tập; từ đó nâng cao năng lực vận dụng của chính các

em giúp các em tự tin khi gặp những nhiệm vụ học tập mới