Giúp học sinh lớp 12 trường THPT quảng xương 1 giải nhanh một số bài toán về môdun của số phức bằng phương pháp vectơ

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁTRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 1 SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM GIÚP HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 1 GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ MÔĐUN CỦA... Do đó, để làm b

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 1

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

GIÚP HỌC SINH LỚP 12 TRƯỜNG THPT QUẢNG XƯƠNG 1 GIẢI NHANH MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ MÔĐUN CỦA

2 Nội dung sáng kiến kinh nghiệm

3 Kết luận, kiến nghị

1 MỞ ĐẦU

1.1 Lí do chọn đề tài

Từ năm 2017 đến nay, ở các kỳ thi THPT Quốc gia, môn Toán vẫn tiếp tụcđược tổ chức thi theo hình thức trắc nghiệm Đề thi gồm 50 câu, mang tính baoquát cao và rộng, nhiều dạng bài đào sâu các kiến thức trong sách giáo khoa Do

đó, để làm bài trắc nghiệm có hiệu quả thì học sinh giải toán không những phảichính xác mà còn phải nhanh, một trong những yếu tố quan trọng là đánh giá nhanhvấn đề và nhanh chóng loại bỏ những phương án nhiễu để qua đó, chỉ cần kiểm trađối chiếu các đáp án còn lại với bài giải

Trong chương trình Toán THPT, phần giải tích mà cụ thể là chương “Sốphức”, học sinh sẽ được hoàn thiện hiểu biết của mình về các tập hợp số Trongchương này, học sinh bắt đầu làm quen với các định nghĩa, các phép toán: cộng,trừ, nhân và chia số phức, môđun của số phức Ứng với mỗi số phức

z a bi a b R   sẽ được biểu diễn bởi một điểm M a b trong mặt phẳng tọa ; 

độ Oxy Do đó, giữa Giải tích và Hình học luôn có mối liên hệ rất “gần gũi”.

Chuyển hóa từ bài toán giải tích sang bài toán hình học là một phương pháp kháhay và hiệu quả, đặc biệt trong các bài toán liên quan đến môđun của số phức Tuynhiên, việc chuyển từ một bài toán giải tích mà cụ thể là bài toán về môđun của sốphức sang bài toán hình học sử dụng phương pháp vectơ không phải đơn giản Nóđòi hỏi người học cần có kiến thức tốt về cả giải tích và hình học Xuất phát từ

những lí do trên, tôi lựa chọn đề tài sáng kiến kinh nghiệm: “Giúp học sinh lớp 12

trường THPT Quảng Xương 1 giải nhanh một số bài toán về môđun của số phức bằng phương pháp vectơ”.

1.2 Mục đích nghiên cứu

Qua thực tế giảng dạy, với một số năm kinh nghiệm, tôi đã rút ra được một sốkinh nghiệm nhỏ trong việc hướng dẫn, giúp học sinh giải các bài toán tính môđuncủa số phức Một thao tác hết sức quan trọng mà học sinh cần phải có đó là cáchchuyển từ bài toán về môđun của số phức sang bài toán về hình học Vì vậy, trongbài viết này, tôi tập trung vào việc giúp học sinh giải quyết nhanh gọn các câu hỏi

về môđun của số phức bằng phương pháp vectơ

1.3 Đối tượng nghiên cứu

Đề tài được áp dụng trong chương Số Phức của chương trình giải tích lớp 12,học sinh ôn thi THPT Quốc gia

1.4 Phương pháp nghiên cứu

Xuất phát từ đối tượng và nhiệm vụ nghiên cứu để đạt được mục đích đã đề ra,trong quá trình nghiên cứu tôi đã sử dụng các phương pháp chủ yếu sau:

- Phương pháp điều tra giáo dục

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu

- Phương pháp quan sát sư phạm

- Phương pháp phân tích và tổng hợp lý thuyết

- Phương pháp phân loại và hệ thống hóa lý thuyết

2 NỘI DUNG SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

Độ dài của vectơ OM

được gọi là môđun của số phức z và kí hiệu là z

2.1.6 Quy tắc ba điểm đối với tổng và hiệu của hai vectơ

Với ba điểm , ,A B C bất kỳ ta luôn có:

Nếu M là trung điểm của đoạn thẳng AB thì với mọi điểm I ta có:

2.1.8 Công thức tính độ dài đường trung tuyến

Cho tam giác ABC có các cạnh BC a CA b AB c ,  ,  Gọi m m a, b và m clà

độ dài các đường trung tuyến vẽ từ các đỉnh ,A B và C của tam giác.

2.1.9 Bất đẳng thức đối với hai vectơ

Cho hai vectơ a và b Khi đó: a  b  a b a  b

2.2 Thực trạng vấn đề trước khi áp dụng sáng kiến kinh nghiệm

Số phức là một trong những nội dung quan trọng trong chương trình toánlớp12 và không thể thiếu trong đề thi THPT Quốc gia Bài toán về tính môđun của

số phức là phần kiến thức khó đòi hỏi học sinh phải nắm kiến thức một cách có hệ

thống và bao quát, cũng như phải có kĩ năng nhận dạng và tính toán nhanh nhạy khithực hiện giải quyết vấn đề.

Có nhiều bài toán về tính môđun của số phức đôi khi không thể sử dụng trựctiếp một phương pháp mà phải thông qua một số kỹ thuật nhất định kết hợp nhiềuphương pháp với nhau Cụ thể hơn là có nhiều bài toán cần phải có sự kết hợp kiếnthức về việc biểu diễn hình học của số phức, vectơ, giải tam giác và hình học tọa độtrong mặt phẳng để đưa ra lời giải phù hợp cho bài toán Vì vậy, các câu hỏi trắcnghiệm về môđun của số phức đôi khi thoạt nhìn thì có vẻ đơn giản nhưng nếu họcsinh không nắm được các dấu hiệu đặc trưng thì thời gian giải quyết vấn đề lâu,mất nhiều công sức, tạo tâm lí nặng nề, mất bình tĩnh và tiêu tốn thời gian dành chonhững câu trắc nghiệm khác

Trước khi áp dụng đề tài này vào trong giảng dạy ở lớp 12C6 năm học 2020

-2021 trường THPT Quảng Xương 1, tôi đã tiến hành làm thực nghiệm ở lớp bằngcách đặt ra câu hỏi, yêu cầu học sinh suy nghĩ và trả lời trong thời gian 02 phút

Câu hỏi: Cho hai số phức z , 1 z thỏa mãn 2 z1 z2 z1  z2 2 Tính z1z2

A

3

Đứng trước thực trạng trên, tôi nghĩ nên hướng dẫn cho các em tới một cáchgiải quyết khác trên cơ sở kiến thức trong sách giáo khoa Song song với việc cungcấp tri thức, tôi chú trọng rèn rũa kỹ năng phát hiện và phân dạng bài toán Việcchuyển từ bài toán tính môđun của số phức sang bài toán hình học sử dụng phươngpháp vectơ là một phương pháp hay và nhanh gọn

2.3 Các biện pháp tiến hành giải quyết vấn đề

2.3.1 Bài toán cơ bản về mối liên hệ giữa số phức và vectơ

Bài toán: Gọi A, B lần lượt là hai điểm biểu diễn số phức z 1, z trong mặt phẳng2

1 2

/

a z  z  c OA OB   c BA c  AB c

Pz1z2 OA OB  2OM 2OM

(Với M là trung điểm của AB).

Trong tam giác OAB có OM là đường trung tuyến nên:

thuộc, đơn giản hơn rất nhiều

Ví dụ 1: Cho hai số phức z ,1 z thỏa mãn 2 z1 z2 z1 z2  Tính giá trị của2.biểu

thức Pz1z2

A

3

2 B 2 3. C 1 D 3.

Ví dụ 2: Cho hai số phức z ,1 z thỏa mãn 2 z1 6, z2  , 8 z1z2 10 Tính giá trịcủa biểu thức Pz1 z2

Nhận xét: Như vậy, nếu học sinh biết được bài toán 1 và áp dụng công thức thì

học sinh có thể giải quyết nhanh gọn ví dụ 1 và ví dụ 2 trong chưa đầy 30s.

M A

O

B

Ví dụ 3: Cho hai số phức z 1, z thỏa mãn 2 z 2 3 i  và 3 z1 z2  Giá trị của5.biểu thức Pz1z2  4 6 i bằng

A 11. B 5 C

11

2 D 16

Phân tích gợi mở: Đối với ví dụ 3, đề bài chưa cho môđun của hai số phức z 1, z2

Tuy nhiên, đề bài lại cho hai số phức z1, z thỏa mãn 2 z 2 3 i 3 tức là

P 

D

3.2

P 

Phân tích gợi mở: Đối với ví dụ 4, đề bài chưa cho môđun của hai số phức z 1, z2.

Tuy nhiên, bằng cách đặt z a bi  a b ;  ta có thể nhanh chóng tìm được

P z z OM

M A

b Tìm giá trị nhỏ nhất, giá trị lớn nhất của biểu thức

Bài toán 2: Cho hai số phức z z thỏa mãn 1, 2 z1 a z, 2  và b z1 z2  (Vớic

a b c  ) Tính giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức Pz1z2 z0

(với z là số phức cho trước).0

z  z 

Gọi ,N nlần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức z1z2 Tổng N n bằng

A

44

5 B.5. C

56

5 D 20.

Phân tích gợi mở: Đối với ví dụ này, đề bài không cho môđun của z z Tuy1, 2

nhiên, với cách đặt w1 z1 3 4 , i w2 z2  3 4 i tương tự như ở ví dụ 3 mục

2.3.2.a đã phát huy hiệu quả tốt giúp ta chuyển bài toán với hai số phức z z1, 2

thành bài toán với hai số phức w w Áp dụng bài toán 2 và nhanh chóng tìm ra1, 2

kết quả chính xác.

Hướng dẫn giải: Chọn D.

Đặt w1 z1 3 4 , i w2 z2  3 4 i  1 2 1 2

81,

Gọi , ,A B C lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức w , 1 w và 2 w0  6 8i Điểm

Ví dụ 1 [Đề tham khảo kỳ thi tốt nghiệp THPT năm 2021]: Xét hai số phức

c) Tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức

* Một số kết quả cần lưu ý về tập hợp điểm trên mặt phẳng.

1 Nếu MA MB (với , A B cho trước) thì tập hợp các điểm M là đường trung trực

của đoạn thẳng AB.

2 Nếu MA R (với A là điểm cho trước, R  ) thì tập hợp các điểm M là đường0

tròn tâm A , bán kính R .

Bài toán 4: Cho số phức z thỏa mãn z z 0  (với k k  , 0 z là số phức cho0

trước) Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z.

Hướng dẫn giải:

Gọi M A lần lượt là các điểm biểu diễn số phức , z z trên mặt phẳng Oxy , 0

0

z z  k OM OA    k MA k

.Suy ra, tập hợp các điểm M là đường tròn tâm A, bán kính R k

Ví dụ 1 [Chuyên KHTN năm 2018 – 2019 Lần 1]: Tập hợp tất cả các điểm biểu

diễn số phức z thỏa mãn 1i z  5  là một đường tròn tâm I và bán kínhi 2

R

lần lượt là

A I2; 3 ,  R 2 B I2; 3 ,  R 2

C I2;3 , R 2 D I2; 3 , R 2

Phân tích gợi mở: Đối với ví dụ này, để có thể áp dụng bài toán 1 thì ta cần có

bước chuyển, bằng cách sử dụng công thức z z1 2 z z1 2

Ví dụ 2: Cho ba điểm A B C, , lần lượt biểu diễn ba số phức z z z với 1, , 2 3 z3 z1

và z3 z2 Biết z1 z2 z3 và z1z2  Mệnh đề nào sau đây là đúng?0

A Tam giác ABC vuông tại C B Tam giác ABC đều.

C Tam giác ABC vuông cân tại C D Tam giác ABC cân tại C

Hướng dẫn giải: Chọn A

và B đối xứng với nhau qua O hay AB là đường

kính của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC .

Vậy, tam giác ABC vuông tại C

B O

A

C

Bài toán 5: Cho số phức z thỏa mãn z z 1  z z2 (với z z là các số phức cho1, 2

trước) Tìm tập hợp các điểm biểu diễn số phức z.

Hướng dẫn giải:

Gọi M A B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức , , z z z trên mặt phẳng Oxy , ,1 2

Suy ra, tập hợp các điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng AB.

Ví dụ 1 [Đề thi KHTN lần 2 năm học 2018 – 2019]: Tập hợp các điểm biểu diễn

các số phức z thỏa mãn z 2  z i là một đường thẳng có phương trình

A 4x2y  B 23 0 x4y13 0.

C 4x 2y  D 23 0. x 4y13 0

Hướng dẫn giải: Chọn A

Ta có: z2  z i  z ( 2)  z i  MA MB

(Với M A, 2;0 , B0;1 lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z z, 12,z2  ).i

Suy ra, tập hợp các điểm M là đường trung trực của đoạn thẳng AB :

Gọi M F F lần lượt là các điểm biểu diễn số phức , ,1 2 z z, 1 c z, 2  c

Câu 1: Xét các số phứcz z1, 2 thỏa mãn z1 z2  13, z1 z2 5 2 Hãy tính

Câu 8 [Chuyên Lê Quý Đôn Quảng Trị năm 2018 – 2019 Lần 01 ]: Trong mặt

phẳng tọa độ Oxy , tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn

Câu 9 [ĐỀ MINH HỌA 2016-2017]: Cho các số phức z thỏa mãn z  Biết4.

rằng tập hợp các điểm biểu diễn các số phức w3 4 i z i  là một đường tròn

Tính bán kính r của đường tròn đó

A r 4. B r  C 5. r 20. D r 22

Câu 10: Xét ba điểm , , A B C theo thứ tự biểu diễn ba số phức phân biệt z z z1, , 2 3

thỏa mãn z1 z2 z3 và z1z2 z3 0 Khẳng định nào sau đây là đúng?

A Tam giác ABC vuông B Tam giác ABC vuông cân.

C Tam giác ABC đều D Tam giác ABC có góc 120 0

2.4 Hiệu quả của sáng kiến kinh nghiệm

Sau khi hướng dẫn học sinh vận dụng các phương pháp trên trong một số bàitập cụ thể tôi đã tiến hành kiểm tra sự tiếp thu và khả năng áp dụng của học sinhlớp 12C6, kết quả như sau:

số

Trước khi thực hiện đề tài Sau khi thực hiện đề tài

Số học sinh trả lời chính xác

Số học sinh trả lời chính xác trong 30s – 1ph

Số học sinh trả lời chính xác

Số học sinh trả lời chính xác trong 30s – 1ph

Qua bảng trên, có thể thấy rằng kết quả học tập của học sinh lớp 12C6 sau khihọc xong chủ đề này đã có sự thay đổi rõ rệt Từ chỗ chỉ mới có 15 em trong lớp trảlời chính xác cũng như chỉ có 5 em có thể trả lời nhanh và chính xác trong thời gian

từ 30s đến 1 phút thì sau khi áp dụng chuyên đề này vào giảng dạy, số lượng họcsinh trả lời chính xác, đặc biệt là số học sinh trả lời nhanh và chính xác đã tăng lênđáng kể Như vây, thành công bước đầu và quan trọng của cách làm là đã cải thiệnđược chất lượng học tập của học sinh cũng như tạo ra được sự hứng thú, say mêcho học sinh khi học phần kiến thức này.

3 KẾT LUẬN - KIẾN NGHỊ

3.1 Kết luận

Bài tập về tìm môđun của số phức nói chung rất đa dạng, phong phú và phứctạp Để có thể áp dụng sáng kiến kinh nghiệm của bản thân có hiệu quả vào đốitượng học sinh thì yêu cầu cả người dạy và người học phải không ngừng học hỏi vàtìm kiếm những tri thức mới Riêng đối với các em học sinh phải luôn cố gắng,chăm chỉ rèn luyện thì mới có thể phát triển tư duy suy luận logic, phân tích vấn đề

và khái quát hoá vấn đề, từ đó mới có thể giải quyết vấn đề một cách khoa học,nhanh gọn và bắt kịp với xu hướng học hiện nay Trong khuôn khổ bài viết củamình, tôi xin mạnh dạn đưa ra một số bài toán về môđun của số phức như: Tính giátrị của biểu thức, tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức và tìm tập hợpđiểm cùng với phân tích gợi mở giúp học sinh có thể đưa bài toán đã cho về các bàitoán cơ bản Từ đó, giúp các em giải quyết bài toán một cách dễ dàng hơn, đặc biệt

là hứng thú với môn học hơn

Kiến thức khoa học nói chung và kiến thức toán học nói riêng rất phong phúvà

đa dạng Do đó, bài viết không thể tránh khỏi những thiếu sót Rất kính mong nhậnđược góp ý và sự ủng hộ nhiệt tình của các bạn đồng nghiệp

3.2 Kiến nghị

Đối với giáo viên : Khi dạy phần kiến thức về Số phức, đặc biệt là phần bài tập

trắc nghiệm, giáo viên cần chú ý đến việc hướng dẫn cho học sinh biết cách rút racác đặc điểm và dấu hiệu nhận biết đặc trưng của các giả thuyết trong bài toán

Đối với nhà trường: Trong các buổi họp tổ chuyên môn, các giáo viên trong tổ

có thể chọn ra một chủ đề nào đó mà giáo viên còn gặp khó khăn trong giảng dạycũng như học sinh còn lúng túng để trao đổi kinh nghiệm giảng dạy cũng như hệthống các bài tập hay đối với từng lớp trong các buổi họp tiếp theo

XÁC NHẬN CỦA THỦ TRƯỞNG

ĐƠN VỊ

Thanh Hóa, ngày 18 tháng 05 năm 2021

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mìnhviết, không sao chép nội dung của

người khác

Ký và ghi rõ họ tên

Vũ Thị Phượng

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Sách giáo khoa Giải tích cơ bản và Giải tích nâng cao 12

[2] Chuyên đề Số Phức của Trần Phương - Lê Hồng Đức

[3] Chuyên đề trắc nghiệm Số Phức của tác giả Đặng Việt Đông

[4] Chuyên đề trắc nghiệm Số Phức của tác giả Huỳnh Đức Khánh

[5] Các dạng toán thường gặp trong kỳ thi THPT Quốc Gia Chuyên đề 26: Bàitoán tìm tập hợp điểm biểu diễn số phức của tác giả Nguyễn Bảo Vương