Nâng cao năng lực giải các bài toán tính khoảng cách cho học sinh trung bình trung bình yếu bằng cách phát triển các ví dụ, bài tập cơ bản đã có trong sách giáo khoa hình học lớp 11

Trong việc học toán, học sinh cần tìm ra được phương pháp, nắm bắt quy luật và bản chất của một vấn đề, đặc biệt là loại toán tính khoảng cách trong hình họckhông gian.. Bài toán tìm kho

2.3.1 Tổng quan về hướng giải quyết bài toán 4

2.3.2 Các bài toán thể hiện phương pháp và các phân tích sau bài

toán

5-152.3.3 Các bài toán trong các đề thi tốt nghiệp THPTQG 16

1

1 MỞ ĐẦU 1.1 Lý do chọn đề tài.

Thực tiễn dạy học nói chung và dạy toán nói riêng, đòi hỏi người thầy phảithực sự là người dẫn dắt, định hướng và khơi dậy trong học sinh hứng thú học tập và thích học để các em tự tìm tòi, tự phát hiện ra vấn đề và tự giải quyết vấn đề

Trong việc học toán, học sinh cần tìm ra được phương pháp, nắm bắt quy luật

và bản chất của một vấn đề, đặc biệt là loại toán tính khoảng cách trong hình họckhông gian Học sinh thường sợ những bài toán hình học không gian vì nó rất trừutượng Chính lí do đó, nhiều em chán nản, không muốn học hoặc tệ hơn nữa là khônghọc hình học không gian nói chung và dạng toán tìm khoảng cách nói riêng Vì vậy,khi gặp dạng toán này học sinh thường rất lúng túng và không biết hướng giải quyết

Bài toán tìm khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng là một bài toán khóđối với đại đa số các em học sinh, đặc biệt là các em học sinh trung bình và trungbình yếu ở lớp 11 và lớp 12 chuẩn bị thi tốt nghiệp THPTQG Trong các bài toán tìmkhoảng cách, có nhiều bài toán mà nếu giải bằng phương pháp tìm hình chiếu củamột điểm trên mặt phẳng, phương pháp tọa độ… thì sẽ rất phức tạp và đòi hỏi họcsinh phải mất nhiều thời gian để suy nghĩ mới giải quyết được Nhưng trong nhiềutrường hợp các em học sinh biết vận dụng những ví dụ, bài tập cơ bản trong sách giáokhoa thì ta có lời giải rất nhanh Đặc biệt là các bài toán phức tạp

Để những học sinh trung bình- trung bình yếu làm được dạng toán tìm khoảngcách từ một điểm đến một mặt phẳng trong hình không gian lớp11, tôi đã tiến hành

thực hiện và rút ra SKKN: Nâng cao năng lực giải các bài toán tính khoảng cách

cho học sinh trung bình- trung bình yếu bằng cách phát triển các ví dụ, bài tập cơ bản đã có trong sách giáo khoa hình học lớp 11.

1.2 Mục đích nghiên cứu.

Qua thực tế giảng dạy tôi thấy việc tiếp thu kiến thức và để làm được một bàitập khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian gặp rất nhiều khó

khăn.Tôi đưa ra cách tiếp cận và hướng dẫn học sinh trung bình và trung bình yếubiết làm những bài tập cơ bản khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.

1.3 Đối tượng nghiên cứu.

Bài tập cơ bản về khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng xuất phát từmột ví dụ và một bài tập cơ bản đã có trong sách giáo khoa

1.4 Phương pháp nghiên cứu.

Đề tài đã sử dụng phương pháp

- Nghiên cứu lí luận

- Thực nghiệm giảng dạy

- Phân tích các hướng giải quyết, so sánh đối chiếu và tổng hợp thành kinh nghiệm

- Đàm thoại với giáo viên khác và với học sinh

2 NỘI DUNG 2.1 Cơ sở lý luận của vấn đề.

Trong dạy học toán Phổ thông nói chung và Phổ thông trung học nói riêng,việc thực hiện liên môn và sự liên kết có tính logic của các phân môn toán nói chungnhằm giúp học sinh thấy được sự liên kết của toàn bộ các phần được học là rất cầnthiết Trong chương trình hình học cũng vậy, ở các lớp THCS các em được quen vớihình học không gian rất ít chỉ khi sang lớp 11 thi các em mới bắt đầu học hình họckhông gian, chính vì vậy đầy là vấn đề gặp rất nhiều khó khăn cho học sinh nóichung và đặc biệt là các em học sinh có lực học trung bình và trung bình yếu Nhưngthực tế với các đề thi tốt nghiệp THPT, thi học sinh giỏi, thi học kì luôn xuất hiện cácbài toán về khoảng cách trong đó cốt lỏi là bài tập khoảng cách từ điểm đến mặtphẳng Điều này cũng giúp cho các em thấy được biết giải bài tập loại này là vô cùngcần thiết và giúp các em biết tư duy và phát triển về hình học không gian

Chính vì vậy bằng kinh nghiệm của mình, tôi xin đưa ra vấn đề này để giúp các

em có thể tư duy tốt khi giải các bài toán khoảng cách từ một điểm đến một mặtphẳng trong đó có sự liên kết từ ví dụ và bài tập cơ bản sách giáo khoa

Một số kiến thức học sinh cần nắm được:

1 Khoảng cách từ một điểm tới một mặt phẳng.

3

M

H

Cho mặt phẳng   và một điểm M , gọi H là hình chiếu của điểm M trên mặt phẳng

  Khi đó khoảng cách MH được gọi là khoảng cách từ điểm M đến mặt phẳng

Cho đường thẳng  và mặt phẳng   song song với nhau Khi đó khoảng cách từ một điểm bất kì trên  đến mặt phẳng   được gọi là khoảng cách giữa đường thẳng  và mặt phẳng   d ,   d M ,  ,M 

- Nếu D cắt ( )a hoặc D nằm trong ( )a thì d( ,( ))D a =0.

2.2 Thực trạng của vấn đề.

Trong nhiều năm gần đây nhất là khi Bộ Giáo dục và Đào tạo tổ chức kỳ thiTHPTQG và tốt nghiệp THPTđề thi đã mặc định luôn có câu hỏi về khoảng cáchnhưng đối với các em học sinh trung bình và trung bình yếu gặp vô cùng khó khăn Một điều đặc biệt nữa với các em học sinh thuộc đối tượng này để vận dụngđược hình học toạ độ không gian lớp 12 với thời gian ít ỏi cuối cấp và tư duy hìnhhọc yếu như vậy lại càng khó khăn

Bản thân tối thấy nếu thầy giáo kết hợp từ bài toán có sẵn và đơn giản để tạo ranhững bài tập có tính chất tương tự hay mức độ của bài được thay đổi từng bước cóquy luật từ dễ đến phức tạp thì các em học sinh thuộc đối tượng này sẽ làm được

Nhằm giúp các em giải quyết tốt các bài toán, bản thân tôi mạnh dạn đề xuấtvấn đề này

2.3 Giải pháp và tổ chức thực hiện.

Để giải quyết vấn đề đặt ra chúng ta lần lượt giải quyết ba vấn đề nhỏ sau đây:

A

B

C H

1 Đưa ra bài toán quen thuộc và cơ bản

2 Các bài Toán được lắp ghép dần và phát triển các phân tích sau bài toán

3 Các bài toán trong các đề thi tốt nghiệp THPTQG

2.3.1 Tổng quan về hướng giải quyết bài toán.

Nhìn chung qua kinh nghiệm giảng dạy của mình bản thân có thể đưa ra một lộ

trình chung để có thể phân tích và giải các lớp bài toán này như sau:

- Bước 1: Phân tích đề, vẽ hình một cách tương đối chính xác

- Bước 2: Từ hình vẽ và các giả thiết, hướng dẫn học sinh biết đưa bài toán từ

bài toán mới về bài toán ban đầu

- Biết xây dựng bài toán quen thuộc ra bài toán mới sau đó đưa bài toán mới về

những tính toán quen thuộc

2.3.2 Các bài Toán thể hiện phương pháp và các phân tích sau bài toán

Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác vuông tại B, SA=AB=a và vuông

góc với đáy Gọi AH là đường cao của tam giác SAB.Chứng minh AH^(SBC) Từ đó

- Đối với học ta nhận xét nếu giữ nguyên tính chất hình chóp và thay đổi điều kiện

tam giác ABC không tại B vuông tại C và thay vì AB=a,choAC= 2ahọc sinh hãy tính

-Từ bài toán trên ta cho học sinh phiếu học tập với tổ hợp các bài toán thay đổi sốliệu ta được các bài tập sau:

Bài tâp1

Cho hình chóp S ABC. có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, AB=a SA; = 2a.Gọi SA vuông góc với đáy(ABC) Gọi I là trung điểm của AC, Glà trọng tâm của tamgiác ABC Tính

a) d A SBC( ,( ))

.b) d I SBC( ,( ))

Vì I là trung điểm của AC nên 1  ,   1  ,   5

a

.c) Tính d G SBC( ,( ))

Lấy điểm Mlà trung điêm của SC Vì G là trọng tâm của tam giác SAC nên

A S

- Ở bài toán b) và c) ta nên cho các em tìm mối quan hệ giữa 2 điểm I M, so với điểm

Athông qua kiến thức cơ bản các em đã được học ở cấp 2 và lớp 10

-Từ đó ta đưa ra một nhận xét quan trọng yêu cầu học sinh cần nhớ:

- Quan trọng của bài tập này học sinh biết quy lạ về quen thuộc, biết suy luận từ bàitoán của hình chóp đáy tứ giác trở về bài toán góc hình chóp đáy tam giác.

- Đối với câu d) Ta hướng dẫn học sinh tìm được mối liên hệ của điểm D A, so vớimặt phẳng SBC Từ đó dẫn đến kết quả của bài tập 3d)

9

D O

K

I

M S

C B

Cho hình chópS ABC. có ba cạnh AS a AB b AC c,  ,  đôi một vuông góc Gọi I

là chân đường cao hạ từ Atới SBC Chứng minh: 2 2 2 2

AI a b c  1

Từ bài toán trên giáo viên hướng dẫn học sinh đi đên kết luận AH d A SBC ,   d

Bài giải.

Gọi H là chân đường cao kẻ từ A lên BC.

Gọi I chân đường cao kẻ từ SH Ta dễ dàng chứng

minh được AI ^(SBC).

Do đó: d A SBC( ;( ))=AI. Tính AI.

Ta có: Tam giác ASH vuông tại A, có AI là đường cao Suy ra : 2 2 2

Gọi H là chân đường cao kẻ từ A lên BC.

Gọi I chân đường cao kẻ từ SH Ta dễ dàng chứng

Cho hình chóp S ABC. có SA ^AB,SA ^AC,AB ^AC.Khoảng cách từ điểm

A đến mặt phẳng (SBC)trong các trường hợp sau:

d 

; c)

3 3

- Ta áp dụng bài tập 2 bằng cách thay đổi bài toán chóp tam giác bằng hình chóp đáy

tứ giác, lăng trụ và giúp học sinh vận dụng được bài tập 2

Bài tập 2

Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCDlà hình chữ nhật với AB a AD , 2a,cạnh bên SA2a và vuông góc với đáy Tính d d A SBD  ,  

Bài giải.

Gọi H là chân đường cao kẻ từ A lên BD.

Gọi I chân đường cao kẻ từ A tớiSH Ta dễ dàng chứng

A S

- Qua bài toán trên ta phân tích cho học sinh thấy được kết qua bài toán không thay

đổi mà chỉ thay đổi về cấu trúc hình, hướng dẫn học sinh vận dụng những bài tập

tương tự tạo ra góc tam diện vuông

- Cho học sinh phiếu học tập với những bài tập sau:

Bài tập 3 Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , cạnh bên

SA a và vuông góc với đáy, G là trọng tâm của tam giác SAB

M A

B

C

D S

Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình thang vuông AB BC a AD  , 2a

, cạnh bên SA a và vuông góc với đáy

H

M C'

B' A

'

C

B A

Gọi H là chân đường cao kẻ từ A lên BC.

Gọi I chân đường cao kẻ từ A H' Ta dễ dàng chứng

Gọi H là chân đường cao kẻ từ A lên BC.Gọi Ichân đường cao kẻ từ A H' Ta dễ dàng chứng minh được AI^(A BC' ). Do đó: d A A BC( ;( ' ))=AI. Tính AI.

Ta có: Tam giác AA H' vuông tại A, có AI là đường cao Suy ra : 2 2 ' 2

- Đặc biệt các đề thi tốt nghiệp thpt quốc gia

2.3 Các bài toán trong các đề thi tốt nghiệp thptqg của Bộ Giáo dục và Đào tạo.

Bài 1( Mã đề 104 KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2019).

Cho hình chópS ABCD. có đáy là hình vuông cạnh a, mặt bênSAB là tam giácđều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng đáy (minh họa như hình vẽ bên).Khoảng cách từ B đến mặt phẳngSACbằng

A

B

D

C S

a

21 7

a

21 14

a

.

17

Bài 2( ĐỀ MINH HOẠKỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2019).

Cho hình chóp S ABCD. có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD  60 ,SA a và vuông góc với đáy Khoảng cách từ B đến mặt phẳng SCD bằng

a

21 3

a

15 3

a

Bài 3( MÃ ĐỀ 103.KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2020 ĐỢT1).

Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy ABC là tam giác

đều cạnh a và A A  2a Gọi M là trung điểm của A A (tham khảo

a

Bài 4( ĐỀ MINH HOẠ KỲ THI THPT QUỐC GIA NĂM 2021).

Cho hình hộp chữ nhật ABCD A B C D. ' ' ' 'có AB3,BC2,AD' 5 Gọi I là trung điểm của BC d D AID , ' 

3.1 Nhận xét kết quả thu được

Trong qua trình giảng dạy nhằm đánh giá tư duy của học sinh và so sánh kếtquả việc thực hiện nhằm rút ra kinh nghiệm cho bản thân, tôi đã thực hiện thửnghiệm trên các đối tượng học sinh mình trực tiếp giảng dạy ở hai lớp 11B4 và11B11 kết quả thu được thông qua hai đề kiểm tra sau:

Đề số 1

Bài 1: Cho hình chóp S ABC. có SAABC, SA AB  2a, tam giác ABCvuông tại B

(tham khảo hình vẽ) Khoảng cách từ A đến mặt phẳng SBC bằng

a d

a

C

3 2

a

D

5 2

* Nhận xét : Với hai đề bài trên tiến hành kiểm tra trên hai lớp ở hai lần với hai đối

tượng khác nhau Lần một với đối tượng ngẫu nhiên chưa được nghiên cứu, tìm hiểuchuyên đề dưới sự hướng dẫn của Giáo viên Lần hai với đối tượng ngẫu nhiên vớicác em đã được sự hướng dẫn của Giáo viên Kết quả thu được như sau:

Lần 1: Kiểm tra trên đối tượng lớp 11B11 là một lớp cơ bản với kiến thức cơbản chỉ ở trình độ trung bình với nhóm 1 là nhóm chưa được tìm hiểu chuyên đề,nhóm 2 là nhóm đã được hướng dẫn tìm hiểu chuyên đề

Nhóm 1:

19

có kiến thức nền tốt và khả năng tư duy và ham học hỏi và tự học cao nên có sự, tìmtòi và tìm hiểu tốt Nhưng qua tiếp xúc với các em học sinh này tôi nhận thấy phầnlớn các em chưa có khả năng tổng quát hoá được bài toán vì vậy mức độ nhớ lâu củacác em là ít, điều này ảnh hưởng đến khả năng phân tích của các em sau này khi đụngphải dạng toán ứng dụng mở hơn.

- Với các đối tượng đã được tôi giới thiệu và cùng các em tìm hiểu chuyên đề này thìphần lớn các em đa số đều đã làm được bài và biết cách phân tích để làm các bài toán

khó hơn để nâng mức độ tư duy của mình lên nhằm tổng quát hoá thành một dạngtoán ứng dụng quen thuộc Số em được điểm cao nâng lên rõ rệt và số em ở trình độtrung bình sau khi được tiếp xúc và tìm hiểu chuyên đề cũng có khả năng làm đượcbài cao hơn.

Như vậy qua đây bản thân tôi nhận thấy rằng: Chất lượng học sinh ở các nhómlấy làm đối chứng có trình độ và khả năng tiếp thu tuy khác nhau, nhưng nếu đượcgiáo viên tạo điều kiện tiếp xúc và giới thiệu cho các em tìm hiểu đồng thời giúp các

em tổng quát hoá bài học và phân tích cho các em thấy rõ được mối liên hệ liên môngiữa các phân môn đã học trong chương trình nhằm giúp các em nhớ lâu, học sâu làrất cần thiết Qua đó bản thân tôi có thể rút ra một số bài học kinh nghiệm trong quátrình giảng dạy như sau:

3.2 Bài học kinh nghiệm

- Dạy học là một nghệ thuật và là một quá trình tích lũy kinh nghiệm lâu dài vìvậy để nâng cao trình độ và khả năng chuyên môn thì việc đưa ra các sáng kiến kinhnghiệm cho quá trình giảng dạy của mình để rút kinh nghiệm đồng thời học hỏi đồngnghiệp là việc làm thường xuyên và cần thiết

- Thường xuyên tìm hiểu sâu các bài toán trong chương trình để nhằm giúp họcsinh khái quát và tổng hợp thành những dạng toán chung dễ nhớ

- Luôn có ý thức liên hệ và ôn tập các phần đã học để giúp học sinh ôn tập vàthấy được mối quan hệ hữu cơ giữa các phần đã học và kiến thức mới

- Tránh dàn trải và cố gắng “tham lam” để nhằm chữa hết và chữa đủ các bàitập cho học sinh mà cần chọn lọc có “ý đồ” các bài toán nhằm giúp các em nắm vững

và chắc một vấn đề trọng tâm nào đó Điều này có ích hơn nhiều so với việc dàn trải

mà không trọng tâm làm cho các em không có khả năng tóm tắt bài học

- Việc phân loại đối tượng học sinh để đôi khi giảng dạy đúng đối tượng là rấtcần thiết nhằm bồi dưỡng đối tượng là rất cần thiết nhằm giúp các em có trình độ phùhợp hơn với lớp học

Trên đây là toàn bộ một số điều rút ra từ kinh nghiệm giảng dạy của bản thânmình về một vấn đề rất nhỏ trong chương trình Vì điều kịên khả năng có hạn vì vậykhông thể tránh khỏi thiếu sót Rất mong được sự góp ý của các động nghiệp

Tài liệu tham khảo.

[1] Sách giáo khoa, sách bài tập hình học l1

[2] Các đề thi thử sức trước kỳ thi quốc gia của của các trường trong tỉnh, các tỉnhkhác và tập chí: “ Toán học tuổi trẻ”

[3] Đề thi Tuyển sinh của Bộ giáo dục và Đào tạo các năm 2019, 2020, 2021

Lê Đình Sinh

của người khác

Lê Văn Lâm